Научный форум dxdy
Комбинаторика. Задача на поиск количества определенных чисел
Комбинаторика. Задача на поиск количества определенных чисел
02.07.2019, 13:15
Здравствуйте! Встретился с комбинаторной задачей, которая звучит так:
Сколько существует 9-значных чисел, сумма цифр которых четна?
Найти общее количество 9-значных чисел не сложно (), но как именно мне подступиться к этому сложному условию четности суммы цифр?
Re: Комбинаторика. Задача на поиск количества определенных чисел
02.07.2019, 13:18
| Заслуженный участник |
А очень просто. Первые 8 цифр любые (ну, кроме того, что самая первая не 0), а последняя — такая, чтобы подогнать чётность.
Re: Комбинаторика. Задача на поиск количества определенных чисел
02.07.2019, 13:24
ИСН в сообщении #1402675 писал(а):
А очень просто. Первые 8 цифр любые (ну, кроме того, что самая первая не 0), а последняя — такая, чтобы подогнать чётность.
Точно! Спасибо большое, получается последней цифрой может быть 0,2,4,6,8! И значит ответ .
Re: Комбинаторика. Задача на поиск количества определенных чисел
02.07.2019, 14:34
| Заслуженный участник |
Сколько существует 9 значных чисел сумма цифр которых четна
Сколько существует девятизначных чисел, сумма цифр которых чётна?
Решение
Разобьём девятизначные числа на пары последовательных: (100000000, 100000001), (100000000, 100000001), . В каждой паре сумма цифр второго числа на 1 больше суммы цифр первого, значит, ровно одна из них чётна. Следовательно, числа с чётной суммой цифр составляют ровно половину от количества всех девятизначных чисел, а их 9·10 8 (см. решение задачи 60336).
Ответ
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. |
| Год издания | 1994 |
| Название | Ленинградские математические кружки |
| Издательство | Киров: «АСА» |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 3 |
| Название | Комбинаторика-1 |
| Тема | Классическая комбинаторика |
| задача | |
| Номер | 048 |
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 2 |
| Название | Комбинаторика |
| Тема | Комбинаторика |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Сложить или умножить? |
| Тема | Классическая комбинаторика |
| задача | |
| Номер | 02.013 |
Проект осуществляется при поддержке и .
Как решать задачу?
Сколько существует девятизначных чисел, сумма цифр которых четна?
- Вопрос задан более трёх лет назад
- 316 просмотров
1 комментарий
Простой 1 комментарий
Ровно половина от всего количества девятизначных чисел.
Решения вопроса 0
Ответы на вопрос 1
Федор Масленников @Lordliness
Математик, начинающий программист Python
Рассмотрим следующую биекцию:
Каждому числу, начинающемуся на нечётную цифру, поставим в соответствие число, у которого первая цифра на 1 меньше, а все остальные – такие же. Отсюда вытекают 2 следствия:
1.) Одно из чисел в паре будет обладать чётной суммой цифр, а другое – нечётной
2.) В биекции возникли числа, начинающиеся с нуля (это буквально все числа, имеющие менее 9 цифр, включая число 0), ведь мы сопоставили их с числами вида 1** *** ***
Тогда необходимое количество будет выражаться так:
Q * 1/2 * 4/5 = Q * 2/5, где Q – это кол-во девятизначных чисел. Такие же рассуждения работают для любого количества цифр в условии.
Ответ в Вашем случае:
900 млн * 2/5 = 360 млн.
Ответ написан 03 февр.
Комментировать
Нравится Комментировать
6 значные числа, сумма цифр четная, почему?
Зарегистрирован:
17 май 2013, 20:50
Сообщений: 730
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
16 раз в 9 сообщениях
Очков репутации: 2
В задаче сказано найти количество 6-значных чисел, сумма цифр которых четная.
Ответ в учебнике 9 х 10^4 x 5
Почему так? Я понимаю, что 9 для первой цифры, потому что 0 не может быть на первом месте; для последней цифры они рассматривают только четные, которых всего 5.
Но вопрос же звучит «сумма цифр которых четна».
Я думала так:
1) чтобы сумма цифр была четная, то нечетные цифры могут:
— все 6 нечетные, то есть 5^6
— только 4 нечетные, то есть 5^4
— только 2 нечетные, то есть 5^2
2) чтобы сумма цифр была четная, плюс к предыдущему добавляются четные:
— все 6 четные, тогда 4 х 5^5
— две цифры четные, тогда 4 х 5 (если одно из них не первом месте) + 5^2 (если оба не на первом месте)
— четыре цифры четные, тогда 4 х 5^3 (если одно из них не первом месте) + 5^4 (если все четыре не на первом месте)
Почему мое рассуждение неверно и почему ответ должен быть тот, который в учебнике?
На мой взгляд ответ из учебника отвечает на другой вопрос, а именно сколько всего четных 6-значных чисел, а не сколько чисел сумма цифр которых четная.
Заголовок сообщения: Re: 6 значные числа, сумма цифр четная, почему?
Добавлено: 24 июн 2015, 12:56
Зарегистрирован:
07 май 2015, 13:10
Сообщений: 652
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
175 раз в 169 сообщениях
Очков репутации: 24
первая цифра -любая из 9 (кроме 0), вторая, третья, четвертая, пятая — любые из 10.
Для каждого выбора 5 первых цифр последнюю шестую можно выбрать 5 способами.
Если сумма первых пяти нечетна, то одна из 5 нечетных цифр, если четна, то одна из 5 четных цифр.