Сколько различных слов можно составить переставляя буквы слова комбинаторика

Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «банан»?

Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «комбинаторика»?

Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «знание»?

Сколькими способами можно составить предложение, переставляя 3 слова: «кот» «сметану» «съел»?

Решение. Перестановки трех различных слов можно получить способами, т. е. всего вариантов . . . . .

Сколькими способами можно составить предложение, переставляя 3 слова: «мама» «мыла» «раму»?

Решение. Перестановки трех различных слов можно получить способами, т. е. всего вариантов . . . . .

Сколькими способами можно составить предложение, переставляя 4 слова: «студент» «экзамен» «сдал» «хорошо»?

Сколькими способами можно переставить буквы слова «барабан» так , чтобы 3 буквы «а» не шли подряд?

КОМБИНАТОРИКА РАЗБИЕНИЙ. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 5.1. Восемь разных книг нужно расставить по трем полкам так, чтобы на одной полке оказалось 2 книги, а на двух других — по 3 книги. Сколькими способами это можно сделать?

Поскольку в данной формулировке полки не различимы, то речь идет о неупорядоченном разбиении множества книг на три подмножества мощности 2, 3 и 3. Параметры m ₁ = 1, m ₂ = 2, поэтому число разных способов расставить книги так, как это требуется в условии задачи, равно

Приведенные выше примеры показывают, как важно для решения задачи выбрать наиболее подходящую комбинаторную схему, правильно определить, какие именно комбинаторные операции требуется выполнить над исходным множеством. Иногда формулировка задачи допускает неоднозначное понимание того, какие результаты комбинаторной операции считаются одинаковыми, а какие – разными. В таких случаях нужно самостоятельно сделать необходимые уточнения.[24]

Задача 5.2. одинаковых шариков случайным образом рассыпаются по 4 лункам (в одну лунку может поместиться любое число шаров). Сколько существует различных способов распределения 7 шариков по 4 лункам?[11]

Решение. Мы имеем 7 шариков, которые распределяем по 4 лункам (лунки могут быть пустые), т. е. это соответствует формуле о разбиениях = k n , число способов равно 4 7 = 16348.

Задача 5.3. Стадион имеет 4 входа. Сколькими способами болельщик может войти на стадион в один вход, а выйти через другой?[12]

Решение. Воспользуемся формулой о разбиениях (3), число способов равно = 12.

Задача 5.4. При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать? [11]

Решение. Это задача о разделе 28 костей между 4 игроками по 7 костей.

Используя формулу для числа способов такого раздела (3)

Задача 5.5. Сколькими способами можно разместить 4 книги на полке?[16]

Решение. Воспользуемся формулой о разбиениях n !, число способов равно 4! = 1·2·3·4 = 24

Задача 5.6. Сколькими способами можно поставить в ряд 6 человек для выполнения их группового портрета? Сколькими способами можно это сделать, если поставить трех человек в переднем ряду и трех во втором?[12]

Решение. Воспользуемся формулой о разбиениях n !, число способов равно 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720

Задача 5.7. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «лодка»?[12]

Решение. Слово «лодка» состоит из 5 различных букв. Значит можно воспользоваться формулой n !, число различных «слов» будет 5! = 1·2·3·4·5 = = 120.

Задача 5.8. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «математика»?[20]

Решение. Слово «математика» состоит из 10 повторяющихся букв: 3 буквы «а», 2 буквы «м», 2 буквы «т». Значит можно воспользоваться формулой (3), число различных «слов» будет = = 151200.

Задача 5.9. Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «комбинаторика»?[11]

Решение. Слово «комбинаторика» состоит из 13 повторяющихся букв: 2 буквы «к», 2 буквы «о», 2 буквы «и», 2 буквы «а». Значит можно воспользоваться формулой (3), число различных «слов» будет = = 389188800.

Задача 5.10. В классе изучают 10 предметов. В понедельник 6 уроков, причем все уроки разные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?[13]

Решение. Воспользуемся формулой о разбиениях = , число способов равно = = = = 151200.

Задача 5.11. Сколькими способами можно выбрать трех делегатов на студенческую конференцию из группы в 20 человек?[21]

Решение. Воспользуемся формулой = , число способов равно = = = =1140.

Задача 5.12. Сколькими способами можно расставить 40 различных книг по шести полкам так, чтобы не было пустых полок, если на полку помещаются все 40 книг?

Решение . В задаче опять важно, на какую полку, и в каком порядке расставляются книги, но теперь не должно быть пустых полок. Поэтому искомое число расстановок .[10]

Задача 5.13. Рассеянный почтальон должен разнести
12 писем по 12 адресам. Сколькими способами он может разложить письма по почтовым ящикам так, чтобы

а) ни один адресат не получил адресованное ему письмо;

б) ровно 5 человек получили адресованные им письма;

в) хоть один адресат получил адресованное ему письмо;

г) ровно один адресат получил адресованное ему письмо?

Решение . а) В силу предыдущей задачи искомое число способов .

б) Согласно формуле (1.6.12) искомое число способов равно .

в) Всего способов раскладки писем по ящикам, из них в случаях ни один адресат не получит адресованное ему письмо. Поэтому искомое число способов .

г) Очевидно, что такой ситуации быть не может.

Задача 5.14 (задача о беспорядках). Имеется различных предметов и различных ячеек . Требуется разместить предметы по ячейкам так, чтобы никакой предмет не попал в ячейку . Сколько существует таких способов размещения?

Решение . Примем за множество всевозможных раскладок предметов по ячейкам. Число таких раскладок равно числу перестановок из элементов, т.е. Условимся, что свойство означает: элемент находится в ячейке , . Тогда – число раскладок, при которых элемент находится в ячейке ( ), а – число раскладок, при которых никакой предмет не попал в ячейку . По формуле .

Задача 5.15. Контрольную работу по дискретной математике, содержащую три задачи, писали 105 студентов III курса. Первую задачу решили 70 человек, вторую – 59, а третью – 62. С первой и второй задачами справились – 39 студентов, со второй и третьей – 32, с первой и третьей – 41. Шесть человек не решили ни одной задачи. Сколько студентов полностью справились с контрольной работой?

Решение . Множество студентов примем за , а за свойства – решение студентом первой, второй и третьей задачи соответственно. Тогда , , , , , , . Подставляя эти значения в формулу (1.6.5), получим

6 = 105 – (70 + 59 + 62) + (39 + 32 + 41) – .

Задача 5.16. Имеются цветы трех видов: 10 васильков, 15 незабудок, 12 ромашек. Требуется разложить их на 2 букета.[11]

Решение. Васильки на 2 букета можно разложить 11 способами, незабудки — 16, ромашки — 13 способа ми. Поскольку расклад каждого вида цветов выполняется независимо, то общее число вариантов расклада будет: 11·16·13.

Задача 5.17. Из группы в 15 человек нужно отобрать бригаду, в которую должно входить не менее 5 человек. Сколько имеется вариантов выбора?

Решение. Подсчитаем число неблагоприятных комбинаций выбора, т. е. со ставим варианты бригад из 1, 2, 3, 4 человек. Их количество равно:

А общее количество бригад равно 2 15 – 1. Разность дает число благо­ приятных комбинаций.[17]

Задача 5.18. Трое мальчиков собрали 40 яблок. Сколько имеется способов раздела яблок между ними?

Решение. Напишем 40 единиц и 2 нуля, выполняющих как и ранее функции раз делителя, и затем начнем их переставлять всеми возможными спосо бами. Каждой перестановке будет соответствовать некоторый способ раздела 40 яблок на 3 кучки. Каждому способу раздела будет соответствовать некоторый код, содержащий 40 единиц и 2 нуля. Поэтому коли чество способов раздела:

Р(40,2) = 42!/(2!40!) = 861.

Задача 5.19. В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение : В задаче речь идёт о выборке из 4 деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:

2365 способами можно взять 4 детали из ящика.

Ответ : 1365 способами

Задача 5.20. Восемь разных книг нужно расставить по трем полкам так, чтобы на верхней полке оказалась 1 книга, на средней полке — 3 книги, на нижней полке — 4 книги. Сколькими способами это можно сделать?

В данном примере множество из восьми книг разбивается на три непересекающихся подмножества мощности 1, 3 и 4. Согласно формуле (3) количество различных вариантов выполнить такое разбиение равно

Сколько различных слов можно составить

Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова «комбинаторика»? Сколько различных слов можно
получить, переставляя буквы слова «комбинаторика», и таких, в которых никакие две гласные буквы не стоят рядом?

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Сколько различных «слов» можно составить из букв слова МАМАШКА так, чтобы буквы М не стояли рядом?
Помогите пожалуйста решить Сколько различных «слов» можно составить из букв слова МАМАШКА так.

Сколько различных слов можно получить перестановкой букв
Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова перешеек,при условии, что четыре.

Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова «президент», если согласные идут в алфавитном п
Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова «президент», если согласные идут в.

Сколько различных девятизначных чисел можно написать, пользуясь лишь цифрами 2, 3, 4, 5?
вопрос в заголовке: Сколько различных девятизначных чисел можно написать, пользуясь лишь цифрами.

27706 / 17322 / 3812
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 38,979

Сообщение от fegust

Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова «комбинаторика»?

13!/2 4 (если правильно все совпады посчитал)

Добавлено через 8 минут

Сообщение от fegust

Сколько различных слов можно
получить, переставляя буквы слова «комбинаторика», и таких, в которых никакие две гласные буквы не стоят рядом?

У меня получилось 7!*6!*С₈ 6 /16
1593 / 1043 / 278
Регистрация: 05.10.2014
Сообщений: 5,135

Добавлено через 6 минут
Посмотрел на ответ Байт и понял что потерял 6!/8)

27706 / 17322 / 3812
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 38,979

Имхо, там самый сложный момент, откуда это C₈ 6
Тут получается уравнение x0 + x1 + . x6 = 7 (7 — это количество согласных)
x0 — позиция первой гласной (счет с 0)
x6 — количество согласных после последней гласной
x0, x6 могут быть и нулевыми. Остальные явно положительны.
Чтоб дело уоднородить, говорим y0 = x0 + 1, y6 = x6 + 1
Получаем y0 + x1 + . + x5 + y6 = 9, все больше нуля.
Решение известно: C_n-1 m-1
Если кому-то не известно, с радостью расскажу. Метод камешков и палочек. До него могли додуматься еще папуасы, не знающие ни бинома Ньютона, ни арифметики вообще.

Школа олимпийского резерва. Математика

Рассмотрим задачи, где требуется посчитать количество способов, которыми можно расположить в ряд n предметов. Такие расположения называются перестановками и играют замечательную роль в комбинаторике и алгебре.

Пусть n — натуральное число, тогда n! (эн-факториал) — это произведение последовательных натуральных чисел от 1 до n.

Например, 2! = 1 • 2 = 2; 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120

Задача 24. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых цифры 1, 2, 3 встречаются ровно по одному разу?

Решение. На первое место можно поставить любую из трех цифр, на второе — любую из двух оставшихся, а на третье — последнюю оставшуюся цифру. Таким образом всего получается 3 • 2 • 1 = 3! = 6 чисел.

Для удобства формулировки задач следующего цикла введем следующее соглашение. Словом будем называть любую конечную последовательность букв русского алфавита. Скажем, используя буквы А, Б, В ровно по одному разу, можно составить 6 слов: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА; используя же букву А дважды, а букву Б один раз — только три слова — ААБ, АБА, БАА.

Задача 25. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове «ВЕКТОР»?
Решение. Поскольку все буквы различны и всего их 6, то получаем ответ: 6! = 720 слов.
Задача 26. Сколько различных слов можно получить, переставляя буква в слове «ЛИНИЯ»?

Решение. В этом слове две буквы И, а остальные буквы разные. Приведу один из вариантов рассуждения. Временно будем считать, что буквы И разные: И1 и И2. Тогда получим 5! = 120 разных слов. Однако, те слова, которые получаются перестановкой букв И1 и И2 , на самом деле одинаковы. Таким образом, полученные 120 слов разбиваются на пары одинаковых. Поэтому действительно разных слов всего 120 : 2 = 60.

Задача 27. Сколько различных слов можно получить, переставляя буква в слове «ПАРАБОЛА»?

Решение. Считая три буквы А этого слова различными (А1, А2 и А3), получим 8! = 40320 слов. Однако, слова, отличающиеся лишь перестановкой букв А, на самом деле одинаковы. Поскольку буквы А1, А2 и А3 можно переставлять 3! способами, то все 8! слов разбиваются на группы по 3! одинаковых. Поэтому разных слов всего 8!/3! = 6720.

Задача 28. Сколько различных слов можно получить, переставляя буква в слове «БИССЕКТРИСА»?

Решение. В этом слове три буквы С и две буквы И. Считая все буквы различными, получаем 11! слов. Отождествляя слова, отличающиеся лишь перестановкой букв И, но не С, получаем 11!/2! различных слов. Отождествляя теперь слова, отличающиеся перестановкой букв С, получаем окончательный результат 11!/(2! • 3!) = 3326400 слов.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 29. На танцплощадке собрались n юношей и n девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?

Задача 30. Чемпионат России по шахматам проводится в один круг. Сколько играется партий, если участвуют 18 шахматистов?

Задача 31. У мамы два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение 9 дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов. Сколькими способами это может быть сделано?

Задача 32. Сколько различных слов можно получить, переставляя буква в слове «МАТЕМАТИКА»?

Задача 33. Сколькими способами можно поселить 7 студентов в три комнаты: одноместную, двухместную и четырехместную?

Задача 34. Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трех букв Б?


Ответы и решения

Задача 29. Первый юноша выбирает из n девушек (или наоборот!), второй — из n -1, третий — из n — 2 девушек и т.д., то есть получаем произведение n(n-1)(n-2). 3 • 2 • 1 = n!

Ответ: n! пар

Задача 30. Каждый из 18 участников должен сыграть 17 партий, значит, 18 • 17, но необходимо исключить повторы, получаем (18 • 17)/2 партий.
Ответ: 153 партии

Задача 31. Если бы яблоки были по условию разными, груши и апельсины тоже, то вариантов было бы 9! Но в задаче предполагается, что яблоки одинаковы и способов их выбора — 2!, груши — тоже одинаковы, способов их выбора — 3!, ну и апельсинов — 4!