Как решить интеграл в питоне

Методы вычисления интегралов на Python

Первая функция вычисляет интеграл методом средних прямоугольников. Вторая — с помощью правила Буля. Вопрос: в задании нужно, чтобы пользователь вводил значения n1 и n2 — кол-во участков разбиения функции. Но самое интересное, что правило Буля работает только для n = 4. Я ведь прав? То есть, по сути, для первого метода оставляем запрос на ввод n1 и n2, а для правила Буля делаем n = 4.

def trianmethod(a, b, n): result = 0 h = (b - a) / n for j in range(n): result += func(a + h * (j + 0.5)) result *= h return result def boolesrule(a, b, n): h = (b - a) / n sum = 0 bl = ((7 * func(a) + 32 * func(a + h) + 12 * func(a + 2 * h) + 32 * func(a + 3 * h) + 7 * func(a + 4 * h)) * 2 * h / 45) sum += bl return sum 

Отслеживать
задан 21 ноя 2020 в 10:59
blvze_bmstu blvze_bmstu
39 1 1 серебряный знак 4 4 бронзовых знака

1 ответ 1

Сортировка: Сброс на вариант по умолчанию

Так, ребят, нашел ответ на свой же вопрос. Для правила Буля можно использовать любые значения N. Просто в зависимости от индекса аргумента X, мы будем умножать зачение функции в этой точке на то или иное число. Вот пример кода:

def boolesrule(a, b, n): result = 0 h = (b - a) / n for i in range(0, n+1): if i == 0 or i == n: result += 7 * func(a) elif i % 2 != 0: result += 32 * func(a) elif i % 2 == 0 and i % 4 != 0: result += 12 * func(a) elif i % 4 == 0: result += 14 * func(a) a += h result *= (2 * h) / 45 return result 

Отслеживать
ответ дан 21 ноя 2020 в 13:29
blvze_bmstu blvze_bmstu
39 1 1 серебряный знак 4 4 бронзовых знака

• python
• python-3.x
• математика

Важное на Мете

Похожие

Подписаться на ленту

Лента вопроса

Для подписки на ленту скопируйте и вставьте эту ссылку в вашу программу для чтения RSS.

Дизайн сайта / логотип © 2024 Stack Exchange Inc; пользовательские материалы лицензированы в соответствии с CC BY-SA . rev 2024.4.30.8420

�� Как посчитать интеграл в Питоне: простое руководство с примерами

result будет содержать значение интеграла, а error — ошибку вычислений. Ниже приведен пример вычисления интеграла функции f(x) = x^2 от 0 до 1.

def f(x): return x**2 result, error = integrate.quad(f, 0, 1) print("Значение интеграла:", result)

С помощью данного кода вы получите значение интеграла и выведете его на экран.

Детальный ответ

Как посчитать интеграл в питоне?

Интеграл — это важный математический инструмент, используемый для вычисления площади под кривой или для определения изменения величины в заданном интервале. В питоне есть несколько способов вычислить интеграл, и мы рассмотрим два из них: использование библиотеки SciPy и символьного интегрирования с помощью символьной математики SymPy.

1. Вычисление интеграла с использованием библиотеки SciPy

Библиотека SciPy является мощным инструментом для научных вычислений в питоне. Она содержит функцию quad , которая позволяет нам вычислить численный интеграл.

 import scipy.integrate as spi # Определяем функцию, которую необходимо проинтегрировать def f(x): return x**2 # Вычисляем интеграл от 0 до 1 result, error = spi.quad(f, 0, 1) print(result) 

В приведенном выше примере мы определяем функцию f(x) , которую мы хотим проинтегрировать. Затем мы используем функцию quad , передавая в нее функцию и пределы интегрирования. Функция quad возвращает два значения: результат интегрирования и погрешность вычислений. В данном случае мы выводим только результат интегрирования.

2. Вычисление интеграла с помощью символьной математики SymPy

Библиотека SymPy предоставляет возможность символьного вычисления, включая символьное интегрирование. Для вычисления интеграла с помощью SymPy нужно задать символьную переменную и использовать функцию integrate .

 import sympy as sp # Определяем символьную переменную x = sp.Symbol('x') # Определяем функцию, которую необходимо проинтегрировать f = x**2 # Вычисляем интеграл от 0 до 1 result = sp.integrate(f, (x, 0, 1)) print(result) 

В данном примере мы сначала определяем символьную переменную x . Затем мы определяем функцию f , которую мы хотим проинтегрировать, используя эту символьную переменную. Функция integrate позволяет вычислить интеграл, передавая в нее функцию и пределы интегрирования в виде кортежа ( x, a, b ). Мы выводим результат интегрирования.

Заключение

В этой статье мы рассмотрели два способа вычисления интеграла в питоне. Библиотека SciPy и функция quad предоставляют удобный способ численного интегрирования, в то время как библиотека SymPy и функция integrate позволяют использовать символьное интегрирование для более точных результатов. Выбор метода зависит от ваших потребностей и типа функции, которую вы хотите проинтегрировать.

�� Как вычислить интеграл в Питоне: пошаговое руководство для начинающих

Для вычисления интеграла в Python можно использовать библиотеку SciPy. В частности, модуль scipy.integrate предоставляет функцию quad, которая позволяет вычислить значение определенного интеграла численно. Вот пример использования:

import scipy.integrate as spi def integrand(x): return x ** 2 # Функция, интеграл которой нужно вычислить result, error = spi.quad(integrand, 0, 1) # Вычисление интеграла от 0 до 1 print(f"Значение интеграла: ")

В данном примере функция integrand(x) определяет подынтегральную функцию, которую мы хотим интегрировать. Функция quad принимает эту функцию в качестве аргумента, а также границы интегрирования — в данном случае от 0 до 1. Результатом вызова функции quad является кортеж, содержащий вычисленное значение интеграла и оценку ошибки.

Детальный ответ

Как вычислить интеграл в питоне

Интеграл является важным математическим понятием и находит свое применение в различных областях науки и техники. В программировании, в том числе на языке Python, также существуют способы вычисления интеграла для различных функций. В этой статье мы рассмотрим два основных метода вычисления интеграла: метод прямоугольников и метод трапеций.

Метод прямоугольников

Метод прямоугольников основан на приближении площади под графиком функции прямоугольными фигурами. Для вычисления интеграла с использованием этого метода необходимо разбить область интегрирования на равные отрезки и найти сумму площадей прямоугольников, используя значения функции на границах этих отрезков. Вот пример кода на языке Python, который демонстрирует вычисление интеграла с использованием метода прямоугольников:

 def rectangle_method(f, a, b, n): dx = (b - a) / n integral = 0 for i in range(n): x = a + i * dx integral += f(x) * dx return integral # Пример использования функции для вычисления интеграла функции x^2 на отрезке [0, 1] result = rectangle_method(lambda x: x**2, 0, 1, 100) print("Результат вычисления интеграла:", result) 

В этом коде функция «rectangle_method» принимает функцию f, начальную и конечную точки интегрирования a и b, а также число отрезков n. Она расчитывает шаг dx, затем итерируется по всем отрезкам и суммирует площади прямоугольников, используя значения функции на границах отрезков. Результатом будет приближенное значение интеграла.

Метод трапеций

Метод трапеций также основан на приближении площади под графиком функции, но в этом случае используются трапеции. Для вычисления интеграла с использованием этого метода необходимо разбить область интегрирования на отрезки и найти сумму площадей трапеций, используя значения функции на границах этих отрезков. Вот пример кода на языке Python, который демонстрирует вычисление интеграла с использованием метода трапеций:

 def trapezoid_method(f, a, b, n): dx = (b - a) / n integral = 0 for i in range(n): x0 = a + i * dx x1 = a + (i + 1) * dx integral += (f(x0) + f(x1)) * dx / 2 return integral # Пример использования функции для вычисления интеграла функции x^2 на отрезке [0, 1] result = trapezoid_method(lambda x: x**2, 0, 1, 100) print("Результат вычисления интеграла:", result) 

В этом коде функция «trapezoid_method» работает аналогично функции «rectangle_method», но вычисляет площади трапеций, используя значения функции на границах отрезков. Результатом также будет приближенное значение интеграла.

Заключение

Вычисление интеграла является важной задачей в математике и программировании. В этой статье мы рассмотрели два основных метода вычисления интеграла в Python: метод прямоугольников и метод трапеций. Оба метода используют приближение площади под графиком функции, но с разными геометрическими фигурами. Вы можете использовать эти методы в своих программах для вычисления интегралов различных функций. Не забывайте, что результаты вычислений интеграла с помощью этих методов могут быть приближенными, и для получения более точных результатов следует использовать другие методы. Математика и программирование — это постоянное обучение и исследование, так что не бойтесь экспериментировать и расширять свои знания!

Как вычислить определенные и неопределенные интегралы в Python

Python — это универсальный язык программирования, который предлагает библиотеки и инструменты для научных вычислений и математических расчетов.

Многие существенные математические операции часто связаны с определенными и неопределенными интегралами. В этой статье мы рассмотрим пример выполнения вычислений интегралов с помощью Python.

Как вычислить определенные интегралы с одной переменной

Установить SciPy

Прежде чем мы начнем, нам нужно установить модуль SciPy. Он предоставляет набор математических алгоритмов и функций, которые мы будем использовать.

Вы можете сделать это, выполнив следующую команду в терминале:

pip install scipy

Чтобы вычислить определенные интегралы с одной переменной, нам нужно сначала импортировать quad из scipy.integrate . Это функция общего назначения, используемая для вычисления определенных интегралов с одной переменной.

from scipy.integrate import quad

Элементарные функции

Оттуда нам нужно определить подынтегральную функцию как функцию в Python.

Например, если бы мы хотели вычислить интеграл от х-квадрата, мы бы определили подынтегральную функцию как функцию Python следующим образом:

def integrand(x): return x**2

Как только мы определим подынтегральную функцию, мы можем вычислить определенный интеграл, используя счетверенную функцию следующим образом:

print(quad(integrand, 0, 1)) # (0.33333333333333337, 3.700743415417189e-15)

В приведенном выше коде 0 представляет собой нижний предел интегрирования, а 1 — верхний предел интегрирования. Их может быть любое другое число.

В этом примере мы вычисляем, что оценочный результат интеграла от 0 до 1 от X² составляет приблизительно 0,333 с абсолютной ошибкой примерно 3,7e-15.

Функция quad возвращает кортеж оценки определенного integrand , за которым следует абсолютная ошибка оценки.

Четверная функция, по сути, оценивает подынтегральную функцию при нескольких различных значениях между нашими пределами интегрирования, чтобы иметь возможность вычислить оценку интеграла.

Другой пример: если бы я хотел вычислить интеграл от (x+1)/x**2 . Сначала мы определили бы его как функцию в Python и передали бы в функцию quad вместе с ограничениями интеграции:

from scipy.integrate import quad def integrand(x): return(x+1)/x**2 print(quad(integrand, 1, 2)) # (1.1931471805599452, 1.3246594716242401e-14)

В этом примере мы вычисляем, что оценочный результат интеграла от 1 до 2 от x +1 по всему x-квадрату составляет приблизительно 1,19 с абсолютной ошибкой примерно 1,32e-14.

Другие общие функции

Если мы хотим использовать общие математические функции, такие как sin(x) или log(x) , мы можем использовать другой пакет Python для научных вычислений — NumPy. Вы можете установить пакет с помощью следующей команды:

pip install numpy

Импортируя его, мы получаем доступ к этим общим функциям, которые мы можем использовать в нашем подынтегральном выражении:

from scipy.integrate import quad from numpy import log, sin def integrand(x): return log(sin(x)) print(quad(integrand, 0, 2)) # (-1.1022223889049558, 1.2237126744196256e-15)

В этом примере мы вычисляем, что оценочный результат интеграла от 0 до 2 от log(sin(x)) приблизительно равен -1,10 с абсолютной ошибкой примерно 1,22e-15.

Полный список математических функций, которые предоставляет NumPy, находится в их документации.

Как использовать константы

NumPy также предоставляет полезные константы, такие как e и pi , а также inf . Это представление с плавающей запятой положительной бесконечности. Мы можем использовать его для вычисления определенного интеграла, который сходится.

from scipy.integrate import quad from numpy import inf, exp def integrand(x): return exp(-x) print(quad(integrand, 0, inf)) # (1.0000000000000002, 5.842606742906004e-11)

В этом примере мы вычисляем, что оценочный результат интеграла e , возведённого в -x от 0 до бесконечности, приблизительно равен 1,00 с абсолютной ошибкой примерно 5,84e-11.

Как вычислить интегралы от нескольких переменных

Двойные интегралы

Для вычисления двойных интегралов нам нужно импортировать функцию dblquad из scipy.integrate :

from scipy.integrate import dblquad

Мы определяем подынтегральную функцию аналогичным образом, чтобы определить ее с одной переменной, только на этот раз вместо этого мы указали два аргумента.

def integrand(y, x): return x*y**2

Затем мы можем вычислить определенный интеграл, используя функцию dblquad , заданную scipy .

Обратите внимание, что подынтегральное выражение — это функция, которая должна принимать y в качестве первого параметра и x в качестве второго параметра.

print(dblquad(integrand, 0, 1, 2, 4)) # (9.333333333333334, 2.0679162295394134e-13)

В этом примере мы подсчитали, что оценочный результат двойного интеграла x , умноженного на y², от x = 0 до 1 и от y = 2 до y = 4 составляет приблизительно 9,33 с абсолютной ошибкой примерно 2,07e-13.

Функция требует, чтобы мы передали подынтегральное выражение, нижний и верхний пределы интегрирования для x , а затем нижний и верхний пределы интегрирования для y .

Переменные пределы

Чтобы вычислить интегралы с переменными пределами, нам нужно определить функции нижнего и верхнего пределов интегрирования для y через x :

def upper_limit_y(x): return x**2 def lower_limit_y(x): return x def integrand(y, x): return x+y print(dblquad(integrand, 0, 2, lower_limit_y, upper_limit_y))

В этом примере мы вычисляем, что расчетный результат двойного интеграла x+y от x = 0 до x = 2 и от y = x до y = X² составляет приблизительно 3,2 с абсолютной ошибкой примерно 1,10e- 13.

Тройные интегралы

Для вычисления тройных интегралов мы можем использовать функцию tplquad :

from scipy.integrate import tplquad def integrand(z, y, x): return z*(x+y+z) print(tplquad(integrand, 0, 1, 4, 5, 0, 1)) # (2.8333333333333335, 3.6983326566167174e-14)

Функция требует, чтобы мы передали аналогичные аргументы, являющиеся верхним и нижним пределами интегрирования по x , y и z .

В этом примере мы рассчитываем, что предполагаемый результат тройного интеграла от z, умноженного на (x+y+z) от x = 0 до x = 1, y = 4 до y = 5 и от z = 0 до z = 1 составляет примерно 2,83 с абсолютной ошибкой 3,70e-14:

Как вычислить неопределенные интегралы с одной переменной

Чтобы вычислить неопределенные интегралы с одной переменной с помощью Python, нам нужно использовать библиотеку SymPy. Он используется для символьных вычислений и включает точные вычисления с использованием переменных. Чтобы установить его, установите модуль SymPy:

pip install sympy

После его установки мы можем импортировать Symbol и интегрировать методы из sympy :

from sympy import Symbol, integrate

Сначала нам нужно определить переменные, используемые в подынтегральной функции:

x = Symbol('x')

После этого мы можем интегрировать функцию, используя метод интеграции, который предоставляет SymPy. Он ожидает два аргумента: первый — подынтегральная функция, а второй — переменная, по которой мы интегрируем.

Например, если мы хотим интегрировать X² относительно x, мы можем определить подынтегральное выражение в Python как x**2:

print(integrate(x**2, x)) # (x**3)/3

В этом примере мы вычисляем интеграл от X², который является x³ над 3.

Обратите внимание, что SymPy не добавляет константу интегрирования, но это подразумевается.

SymPy также предоставляет другие общие функции, такие как sin(x) и exp(x) , которые мы можем использовать.

Прежде чем использовать их, нам сначала нужно импортировать их из sympy :

from sympy import Symbol, integrate, sin

Затем, используя импортированную функцию sin, мы можем вычислить интеграл от sin(x) .

x = Symbol('x') print(integrate(sin(x), x)) # -cos(x)

В этом примере мы вычисляем интеграл от sin(x) , который равен -cos(x) :

Sympy предоставляет полный список математических функций, которые вы можете использовать в своей документации.

Краткое содержание

В этом уроке мы рассмотрели основы того, как вычислять как определенные, так и неопределенные интегралы в Python. Мы также рассмотрели, как вычислять интегралы от элементарных функций, которые включали в себя общие математические функции, а также с использованием констант.

Мы использовали популярные библиотеки Python для научных вычислений и рассмотрели примеры вычисления интегралов.

Если вам нравится то, что я пишу, рассмотрите возможность подписки на мой канал YouTube.

Заключение:

Статья останется не доработанной. Но мы ее опубликуем. Необходимо исправить формулы с самом тексте, не могу столько времени уделить на это. Возможно на выходных.