Как решать уравнения с одинаковым числителем

Методы решения рациональных уравнений

Известно из пройденного курса теоретических знаний по алгебре о существовании различных числовых множеств. По аналогии принято различать математические выражения. В зависимости от конфигурации такие записи относят к той или иной категории. В алгебраических задачах нередко встречают рациональные соотношения. С целью идентификации подобных комбинаций следует ознакомиться с терминологией и характерными признаками.

Рациональным называют выражение, представленное в виде сложения, вычитания, произведения, частного, возведения в степень с натуральным показателем каких-либо чисел и переменной х.

Рациональное уравнение представляет собой пару рациональных выражений, объединенных знаком равенства.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Исходя из сформулированного понятия, целесообразно представить наглядный формат записи рационального уравнения:

В данном примере правая и левая части соотношения являются рациональными выражениями.

Виды рациональных уравнений

Во множестве рациональных уравнений можно выявить типичные конструкции. В зависимости от формата компонентов такие соотношения подразделяют на две основные категории:

Ознакомимся с формулировками записанных понятий и рассмотрим практические примеры записей, которые часто встречаются в заданиях по алгебре и при решении задач по другим дисциплинам, в том числе, физике и геометрии.

Целое рациональное равенство представляет собой вид уравнения, содержащий лишь математические операции суммирования, вычитания, произведения, частного и возведения в целую степень.

Заметим, что целое рациональное уравнение допустимо представлять в форме линейного, квадратного или прочего алгебраического соотношения с соответствующими свойствами. В процессе записи следует придерживаться следующей стандартной формулы:

В равенстве выше f(x) обозначает рациональное выражение.

В качестве типичного примера целого рационального равенства можно записать следующее соотношение:

Дробно-рациональные уравнения представляют собой такие выражения, которые включают в себя как минимум единственную дробь с неизвестным числом в знаменателе.

В распространенных случаях при записи дробного рационального равенства придерживаются следующей стандартизированной формулы:

В представленном соотношении выражения f(х) и g(х) имеют в своем составе переменную х.

С целью лучшего понимания приведем пару наглядных примеров уравнений, которые допустимо отнести к категории дробно-рациональных равенств:

Способы решения

Наиболее простым механизмом решения отличаются уравнения, которые относят к целым рациональным. Если в задаче речь идет о таком типе выражений, то следует воспользоваться стандартным алгоритмом действий:

перенос каждого слагаемого справа налево для устранения из правой части всех элементов за исключением нуля;
алгебраические преобразования с целью записи полученного равенства в виде линейного, квадратного, кубического или иного подходящего формата уравнения;
нахождение неизвестного.

Когда по итогам анализа условий задания выявлено, что уравнение, которое предстоит решить, относится к категории дробно-рациональных, необходимо применить подходящий алгоритм действий. Инструкция содержит всего несколько основных пунктов:

перенос каждого из слагаемых из одной части в другую для устранения всех компонентов в том сегменте, где записан ноль;
преобразование части со слагаемыми в случае необходимости;
приведения всех слагаемых к единому знаменателю и представление в формате дробного выражения;
составление системы с нулевым числителем дробного числа и отличным от нуля знаменателем;
вычисление корней записанной системы.

Следуя обозначенному в методе порядку действий, можно значительно снизить риски допущения каких-либо ошибок в расчетах. Как и в прочих разновидностях задач, здесь необходимо внимательно следить за сменой знаков при слагаемых в процессе их переноса из одной части выражения в другую. Кроме того, важно уметь различать разные типы уравнений из множества рациональных. Предусмотрено несколько простых правил, с помощью которых существенно упрощается работа по определению формата рационального соотношения:

при нахождении неизвестного х в числителе дробного выражения, рассматриваемое равенство допустимо считать целым рациональным;
в случае присутствия переменной х в знаменателе дробного выражения следует полагать, что заданное уравнение является дробно-рациональным.

Примеры решения задач

Расстояние от населенного пункта до речного водоема составляет 60 км. В часы рассвета путешественник начал свой путь к реке. В вечернее время путник прибыл обратно, преодолев этот путь со скоростью на 10 км/ч меньше, чем утром. При этом дорога заняла по времени на 18 мин больше. Требуется вычислить время, в течение которого путешественник двигался от водоема к населенному пункту.

Обозначим за t временной интервал перемещения путника вечером, то есть от водоема до населенного пункта. Исходя из информации, представленной по условию задания, получим, что время, затраченное на преодоление расстояния от города до реки, составляет:

Заметим, что в условии задачи также указана разница между скоростями путника, которая равна 10. Согласно этим данным, запишем следующее справедливое равенство по формату рационального уравнения:

Выполним деление всех частей сформулированного выражения на 10. В результате после преобразования получим такое рациональное соотношение:

$1,8=t(t-0,3), t \neq 0, t \neq 0,3$

$D = 0,3^2-4 \cdot (-1,8) = 0,09+7,2=7,29 = 2,7^2$

$t = \frac = \left[ \begin t_1 = -1,1 \\ t_2 = 1,5 \end \right.$

Здесь целесообразно устранить отрицательный корень и оставить решение только со знаком плюса, то есть t = 1,5 ч.

Лодка преодолела путь по течению водоема, равный 120 км. Двигаясь в обратном направлении, плавательное средство затратило в 1,5 раза больше времени на аналогичное расстояние. Скорость лодки в неподвижной воде 20 км/ч. При обозначенных характеристиках движения необходимо вычислить скорость течения в водоеме.

Введем обозначение для скорости течения реки u. Обратимся к условию задания. После анализа вводных данных целесообразно составить следующее рациональное соотношение для описания движения лодки:

Заметим, что обе части равенства допустимо сократить на число 120. Выполним преобразование и продолжим вычисления:

$1,5(20-u) = 20+u, u \neq \pm 20$

В результате простых манипуляций с алгебраическим соотношением, которое подходит под описание рационального равенства, можно сформулировать стандартное линейное уравнение с искомой скоростью:

В компонентный состав жидкости входят 50 г соли. Раствор дополнили 150 г простой воды. По итогам смешивания исходное содержание соли снизилось на 7,5%. Требуется вычислить, чему равна начальная масса раствора.

Предположим, что водная часть в исходном материале весила х гр. Проанализируем условия примера. Если сопоставить исходную и результирующую концентрации жидкости, то целесообразно записать выражение для их разности следующим образом:

Выполним несложные математические преобразования согласно стандартному алгоритму действий с рациональными уравнениями, чтобы упростить левый фрагмент соотношения. В результате получим:

Продолжим вычисления для получения дробного выражения:

$50 \cdot 150 = \frac (x+50)(x+200), x \neq -50, x \neq -200$

Заметим, что полученную дробь допустимо переписать в сокращенном виде:

Путем простых вычислений получим выражение, которое легко преобразовать в формат квадратного равенства:

С помощью стандартного алгоритма решения простейших квадратных уравнений вычислим, чему равен дискриминант и определим корни:

$D = 250^2-4 \cdot (-90000) = 62500+360000 = 100(625+3600) = 100 \cdot 4225 = 650^2$

$x = \frac = \left[ \begin x_1 = -450 \\ x_2 = 200 \end \right.$

По итогам алгебраических преобразований получилась система. Стоит учитывать важное условие задания, которое заключается в положительном значении искомого параметра. По этой причине необходимо исключить отрицательный корень. Тогда получим:

Согласно первоначальному обозначению, за х принята исходная масса воды в жидкости. На последнем этапе вычислим, чему равна масса раствора в начальной концентрации:

Опытный специалист и практикант совместно справляются с производством деталей в течение восьмичасовой рабочей смены. При раздельном труде специалист выполняет норму на 12 часов быстрее по сравнению с практикантом. Требуется выяснить, сколько времени требуется каждому работнику, чтобы справиться с нормативными показателями.

Представим, что нормативные показатели производства соответствуют N деталей. Тогда пусть t соответствует временному интервалу, в течение которого трудится сотрудник с опытом. После сопоставления данных из условия задания получаем следующе справедливое равенство в виде рационального уравнения:

Заметим, что последующие расчеты существенно упрощаются после сокращения полученного соотношения на величину N:

$8(2t+12) = t(t+12), t \neq 0, t \neq -12$

Условия для корней определены и зафиксированы. Продолжим далее вычисления с целью расчета искомых величин:

$t^2-4t-96 = 0 \Rightarrow (t-12)(t+8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin t_1 = -8 \\ t_2 = 12 \end \right.$

Из полученной в итоге некоторых алгебраических преобразований системы стоит выписать только тот корень, который больше нуля. Таким образом, время работы опытного специалиста для выполнения нормативных показателей составит:

Обратимся к условию задания вновь. Известно, что для определения времени труда практиканта необходимо добавить к рассчитанному ранее временному отрезку 12 часов. Выполним соответствующие вычисления:

Ответ: 12 ч и 24 ч.

Первому сотруднику требуется на 12 дней меньше на выполнение проектной работы. Следующий проект специалист выполнял в течение 6 дней. Далее этот сотрудник трудился совместно с коллегой. Спустя 3 дня, $\frac$ от всего объема поставленных задач было решено. Требуется рассчитать количество дней, за которые справляются с работой сотрудники без посторонней помощи, а также время, затраченное на фактическое выполнение работы.

Представим, что d равно количеству дней, в течение которых над проектом планирует работать первый сотрудник самостоятельно. Исходя из условия задания, можно составить следующее соотношение:

Заметим, что представленное выражение допустимо сократить на число 3. Выполним указанное преобразование и продолжим вычисления по уже знакомому алгоритму работы с рациональными уравнениями:

$\frac = \frac | \times 5d(d+12), d \neq 0, d \neq -12$

$5(2d+12) = (d-10)(d+12) \Rightarrow 10d+60 = d^2+2d-120$

$d^2-8d-180 = 0 \Rightarrow (d-18)(d+10) = 0 \Rightarrow \left[ \begin d_1 = -10 \\ d_2 = 18 \end \right.$

В результате удалось вычислить время, в течение которого работает первый специалист. Тогда второй сотрудник выполняет проектную работу за такое количество дней:

Далее перейдем к расчетам периода времени, которое потребовалось фактически:

Суммарное количество дней:

Ответ: 18 дней для первого сотрудника, 30 дней для второго специалиста, 13,5 дней фактически затрачено.

Как решить рациональное уравнение

Соавтор(ы): Jake Adams. Джейк Адамс — репетитор и владелец онлайн-сервиса Simplifi EDU с офисом в Санта-Монике, Калифорния, который предлагает образовательные ресурсы и услуги репетиторов по предметам от уровня детского сада до колледжа, помощь в подготовке к тестам SAT и ACT и консультирование по вопросам поступления в колледж. Имеет более 14 лет опыта в качестве профессионального репетитора, нацелен на предоставление клиентам репетиторских услуг высочайшего качества и доступа к сети, объединяющей выскоквалифицированных репетиторов с высшим образованием из лучших колледжей страны. Получил диплом бакалавра по международному бизнесу и маркетингу в Университете Пеппердайна.

Количество просмотров этой статьи: 101 293.

В этой статье:

Если вам дано выражение с дробями с переменной в числителе или в знаменателе, то такое выражение называется рациональным уравнением. Рациональное уравнение — любое уравнение, которое включает в себя не менее одного рационального выражения. Решаются рациональные уравнения так же, как любые уравнения: выполняются те же операции с обеих сторон уравнения, пока переменная не обособляется на одной стороне уравнения. Тем не менее есть два метода решения рациональных уравнений.

Метод 1 из 2:

Умножение крест-накрест

Например, дано уравнение (x + 3)/4 — x/(-2) = 0. Перенесите дробь x/(-2) на правую сторону уравнения, чтобы записать уравнение в надлежащем виде: (x + 3)/4 = x/(-2).
- Имейте в виду, что десятичные и целые числа могут быть представлены в виде дробей, если поставить в знаменателе 1. Например, (х + 3)/4 — 2,5 = 5 можно переписать в виде (х + 3)/4 = 7,5/1; это уравнение можно решить при помощи умножения крест-накрест.
- Умножение крест-накрест основано на основных алгебраических принципах. В рациональных выражениях и других дробях можно избавиться от числителя, соответственно перемножив числители и знаменатели двух дробей.
- Например, дано рациональное уравнение: (х +3 )/4 = х/(-2). После перемножения крест-накрест оно записывается в виде: -2(х +3) = 4x или -2х 2 6 = 4х
- В нашем примере вы можете разделить обе стороны уравнения на (-2) и получите: х+3 = -2x . Перенесите члены с переменной «х» на одну сторону уравнения и получите: 3 = -3х. Затем разделите обе части на -3 , чтобы получить результат: х=-1.
Метод 2 из 2:

Наименьший общий знаменатель (НОЗ)

Наименьший общий знаменатель используется для упрощения данного уравнения. Этот метод применим в том случае, когда нельзя записать данное уравнение с одним рациональным выражением на каждой стороне уравнения (и воспользоваться методом умножения крест-накрест). Этот метод используется, когда дано рациональное уравнение с тремя или более дробями (в случае двух дробей лучше применить умножение крест-накрест).
- Иногда НОЗ — очевидное число. Например, если дано уравнение: х/3 + 1/2 = (3x +1)/6, то очевидно, что наименьшим общим кратным для чисел 3, 2 и 6 будет 6.
- Если НОЗ не очевиден, выпишите кратные самого большого знаменателя и найдите среди них такой, который будет кратным и для других знаменателей. Зачастую НОЗ можно найти, просто перемножив два знаменателя. Например, если дано уравнение x/8 + 2/6 = (x — 3)/9, то НОЗ = 8*9 = 72.
- Если один или несколько знаменателей содержат переменную, то процесс несколько усложняется (но не становится невозможным). В этом случае НОЗ представляет собой выражение (содержащее переменную), которое делится на каждый знаменатель. Например, в уравнении 5/(х-1) = 1/х + 2/(3x) НОЗ = 3x(х-1), потому что это выражение делится на каждый знаменатель: 3x(х-1)/(х-1) = 3x; 3x(х-1)/3х = (х-1); 3x(х-1)/х = 3(х-1).
- Таким образом, в нашем примере умножьте х/3 на 2/2, чтобы получить 2x/6, и 1/2 умножьте на 3/3, чтобы получить 3/6 (дробь 3x +1/6 умножать не надо, так как ее знаменатель равен 6).
- Действуйте аналогично в случае, когда переменная находится в знаменателе. В нашем втором примере НОЗ = 3x(x-1), поэтому 5/(x-1) умножьте на (3x)/(3x) и получите 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x умножьте на 3(x-1)/3(x-1) и получите 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) умножьте на (x-1)/(x-1) и получите 2(x-1)/3x(x-1).
- В нашем примере: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Вы можете сложить две дроби с одинаковым знаменателем, поэтому запишите уравнение как: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Умножьте обе части уравнения на 6 и избавьтесь от знаменателей: 2x+3 = 3x +1. Решите и получите х = 2.
- В нашем втором примере (с переменной в знаменателе) уравнение имеет вид (после приведения к общему знаменателю): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1). Умножив обе стороны уравнения на НОЗ, вы избавитесь от знаменателя и получите: 5(3x) = 3(х-1) + 2(х-1), или 15x = 3x — 3 + 2x -2, или 15х = х — 5. Решите и получите: х = -5/14.
- Найдя «х», проверьте свой ответ, подставив значение «х» в исходное уравнение. Если ответ правильный, вы сможете упростить исходное уравнение к простому выражению, например, 1 = 1.
- Обратите внимание, что вы можете записать любой многочлен как рациональное выражение, просто разделив его на 1. Так х +3 и (х +3 )/1 имеют одинаковое значение, но последнее выражение считается рациональным выражением, потому что записано в виде дроби.
Дополнительные статьи

найти квадратный корень числа вручную

найти среднее значение, моду и медиану

вычислить общее сопротивление цепи

вычесть дробь из целого числа

решать кубические уравнения

извлечь квадратный корень без калькулятора

$найти множество значений функции$

найти множество значений функции

переводить из двоичной системы в десятичную

перевести миллилитры в граммы

умножить в столбик

$проводить действия с дробями$

проводить действия с дробями

вычислить вероятность

найти область определения и область значений функции

разделить целое число на десятичную дробь
1. ↑http://www.mesacc.edu/~scotz47781/mat120/notes/rational/solving/solving.html
2. ↑http://www.mesacc.edu/~scotz47781/mat120/notes/rational/solving/solving.html
3. ↑https://www.purplemath.com/modules/solvrtnl.htm
4. ↑https://www.purplemath.com/modules/solvrtnl.htm
5. ↑http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U11_L2_T1_text_final.html
6. http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/RationalExpressions.aspx
Об этой статье

Соавтор(ы): Jake Adams. Джейк Адамс — репетитор и владелец онлайн-сервиса Simplifi EDU с офисом в Санта-Монике, Калифорния, который предлагает образовательные ресурсы и услуги репетиторов по предметам от уровня детского сада до колледжа, помощь в подготовке к тестам SAT и ACT и консультирование по вопросам поступления в колледж. Имеет более 14 лет опыта в качестве профессионального репетитора, нацелен на предоставление клиентам репетиторских услуг высочайшего качества и доступа к сети, объединяющей выскоквалифицированных репетиторов с высшим образованием из лучших колледжей страны. Получил диплом бакалавра по международному бизнесу и маркетингу в Университете Пеппердайна. Количество просмотров этой статьи: 101 293.

Как решать уравнения с одинаковым числителем
Напомним, что дробь называют рациональной, если она представляет собой отношение многочленов (например, `(2x-1)/(x^2+3)`, `(5x^3)/(1-x)` и т. д.). Если обе части неравенства являются суммами рациональных дробей и многочленов, то такие неравенства назыв.

Автор
Городецкий Сергей Евгеньевич 479 статей

§2. Рациональные неравенства. Метод интервалов.

Напомним, что дробь называют рациональной, если она представляет собой отношение многочленов (например, `(2x-1)/(x^2+3)`, `(5x^3)/(1-x)` и т. д.). Если обе части неравенства являются суммами рациональных дробей и многочленов, то такие неравенства называют рациональными. Для их решения применяют следующий алгоритм: все члены переносят в одну сторону, приводят их к общему знаменателю, а далее у полученной дроби числитель и знаменатель раскладывают на множители. После этого на числовой прямой отмечают точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль, а затем на полученных промежутках расставляют знаки, которые принимает дробь — далее остаётся записать ответ.

Покажем, как работает метод интервалов на нескольких примерах.

а) Раскладывая числитель и знаменатель дроби на множители, получаем

Точки, в которых числитель обращается в ноль (нули числителя), обозначаем на числовой прямой маленькими закрашенными кружочками – они будут включены в ответ, так как в них неравенство выполняется. Точки, в которых знаменатель обращается в ноль (нули знаменателя), обозначаем на числовой прямой маленькими пустыми кружочками (такие точки называются выколотыми) – они не будут включены в ответ, так как в них левая часть не определена (рис. 2).

Отмеченные точки делят числовую прямую на шесть промежутков, на каждом из которых знак левой части неравенства (1) постоянен. Чтобы определить знаки, сначала определим знак левой части (1) на крайнем правом промежутке `(4; +oo)`. Для этого можно подставить какое-либо значение переменной `x` из этого промежутка в (1), например, `x=1000`. Несложно видеть, что при этом каждый из множителей в числителе и знаменателе положителен, поэтому дробь больше нуля, и на промежутке `(4; +oo)` можем поставить знак `«+»`.

Теперь переместимся в соседний промежуток `(1; 4)`. Заметим, что при переходе через точку `x=4` только один из множителей в (1) меняет знак (это `(x-4)`), а все остальные знаки остаются неизменными, поэтому дробь меняет знак, и на промежутке `(1; 4)` ставим знак `«-»`. При переходе к каждому следующему промежутку ровно один множитель в числителе или знаменателе (1) меняет знак, поэтому меняет знак и вся дробь, то есть знаки чередуются. Получаем такую расстановку знаков:

`x in [-3; -2]uu(0; 1)uu[4; +oo)`.

б) Здесь левая часть уже разложена на множители, и нам остаётся лишь расставить знаки. Для этого отмечаем на числовой прямой точки `x=3`, `x=4`, `x=5`, `x=6` (все они невыколотые и являются решениями неравенства) и приступаем к расстановке знаков. Принципиальное отличие этого примера от предыдущего в том, что некоторые из множителей возводятся в степень. На что это влияет? Если показатель степени чётный, то соответствующий множитель не меняет знак при переходе через ту точку, в которой он обращается в ноль (например, `(x-3)^2>=0` при любых `x`, поэтому с обеих сторон от точки `x=3` выражение `(x-3)^2` положительно). Если показатель степени нечётный, то множитель меняет знак при переходе через ту точку, в которой он равен нулю. В итоге получаем следующую расстановку знаков:

Не забываем также включить в ответ все точки, отмеченные на прямой жирными кружочками.

Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс

Тип урока: урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:
1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
2. Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
3. Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)
3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.

Решение уравнений с дробями 5 класс

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.

Решение уравнений.

При решении уравнений необходимо пользоваться правилами решения уравнений, свойствами сложения и вычитания.

Решение уравнений с применением свойств.

Решение уравнений с использованием правил.

Решите уравнение.

Выражение в левой части уравнения является суммой.

слагаемое + слагаемое = сумма.

Чтобы найди неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Решите уравнение.

Выражение в левой части уравнения является разностью.

уменьшаемое – вычитаемое = разность

Чтобы найди неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Решите уравнение.

Выражение в левой части уравнения является разностью.

уменьшаемое – вычитаемое = разность

Чтобы найди неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Решите уравнение.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРАВИЛ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ.

В левой части уравнения выражение является суммой.

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби

Уравнения, содержащие переменную в знаменателе можно решать двумя способами:
1. Приведя дроби к общему знаменателю
2. Используя основное свойство пропорции
Вне зависимости от выбранного способа необходимо после нахождения корней уравнения выбрать из найденных допустимые значения, т.е те, которые не обращают знаменатель в $0$.

1 способ. Приведение дробей к общему знаменателю.

Решение:

1.Перенесем дробь из правой части уравнения в левую

Для того чтобы правильно это сделать, вспомним, что при перенесении элементов в другую часть уравнения меняется знак перед выражениями на противоположный. Значит, если в правой части перед дробью был знак «+», то в левой перед ней будет знак «-».Тогда в левой части получим разность дробей.

2.Теперь отметим что у дробей разные знаменатели, значит для того, чтобы составить разность необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение многочленов, стоящих в знаменателях исходных дробей: $(2x-1)(x+3)$

Для того чтобы получить тождественное выражение, числитель и знаменатель первой дроби необходимо умножить на многочлен $(x+3)$, а второй на многочлен $(2x-1)$.

Выполним преобразование в числителе первой дроби-произведем умножение многочленов. Вспомним , что для этого необходимо умножить первое слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена, затем второе слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена и результаты сложить

\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3=^2+6х+3х+9\]

Приведем подобные слагаемые в полученном выражении

\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3=^2+6х+3х+9=\] \[^2+9х+9\]

Выполним аналогично преобразование в числителе второй дроби-произведем умножение многочленов

$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1=^2-х-10х+5=^2-11х+5$

Тогда уравнение примет вид:

Теперь дроби с одинаковым знаменателем, значит можно производить вычитание. Вспомним, что при вычитании дробей с одинаковым знаменателем из числителя первой дроби необходимо вычесть числитель второй дроби, знаменатель оставить прежним

Преобразуем выражение в числителе. Для того, чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-» надо изменить все знаки перед слагаемыми , стоящими в скобках на противоположные

Приведем подобные слагаемые

Тогда дробь примет вид

3.Дробь равна $0$, если ее числитель равен 0. Поэтому мы приравниваем числитель дроби к $0$.

Решим линейное уравнение:

4.Проведем выборку корней. Это значит, что необходимо проверить, не обращаются ли знаменатели исходных дробей в $0$ при найденных корнях.

Поставим условие, что знаменатели не равны $0$

Значит допустимы все значения переменных, кроме $-3$ и $0,5$.

Найденный нами корень является допустимым значением, значит его смело можно считать корнем уравнения. Если бы найденный корень был бы не допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и ,конечно, не был бы включен в ответ.

Ответ:$-0,2.$

Статья: Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби

Поможем написать реферат за 48 часов

Теперь можем составить алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе

Алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе
1. Перенести все элементы из правой части уравнения в левую. Для получения тождественного уравнения необходимо изменить все знаки, стоящие перед выражениями в правой части на противоположные
2. Если в левой части мы получим выражение с разными знаменателями, то приводим их к общему, используя основное свойство дроби. Выполнить преобразования, используя тождественные преобразования и получить итоговую дробь равную $0$.
3. Приравнять числитель к $0$ и найти корни получившегося уравнения.
4. Проведем выборку корней, т.е. найти допустимые значения переменных, которые не обращают знаменатель в $0$.
2 способ. Используем основное свойство пропорции

Основным свойством пропорции является то, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.

Используем данное свойство для решения этого задания

1.Найдем и приравняем произведение крайних и средних членов пропорции.

Решив полученное уравнение, мы найдем корни исходного

2.Найдем допустимые значения переменной .

Из предыдущего решения (1 способ) мы уже нашли , что допустимы любые значения, кроме $-3$ и $0,5$.

Тогда, установив что найденный корень является допустимым значением, мы выяснили, что $-0,2$ будет являться корнем.

Ответ:$-0,2.$

Как решаются дробно-рациональные уравнения с одинаковым числителем или знаменателем

Знаю, что надо приравнивать числители к 0, так как одинаковые, но почему?

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Сократить дробь, заданную числителем и знаменателем
задано натуральные числа a та b каторье обозначают числитель та знаменитель дробу. Скоротить дроб.

Дано рациональное число – дробь a/b, заданная числителем и знаменателем
Дано рациональное число – дробь a/b, заданная числителем и знаменателем. Oписать дробь с помощью.

Определить процедуры полного сокращения рационального числа, заданного числителем и знаменателем.
Бесконечная последовательность рациональных чисел v0, v1. образована по следующему закону.

Найти для числа правильные дроби с заданным знаменателем N и положителеным числителем
Привет родные форумчане! Пожалуйста помогите решить буду особенно благодарен если напишите код с.

$Эксперт по математике/физике$

6358 / 4065 / 1512
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 7,550
Записей в блоге: 4

1)
, т.е. из набора корней первого уравнения исключить те, при которых знаменатель равен 0

Словами: два случая. Если числитель равен 0 при каких-то х, то это есть корни исходного дробно-рационального уравнения, только нужно исключить те из них, при которых хотя бы один знаменатель равен 0. Если числитель не равен 0, то на него можно сократить и приравнять знаменатели, которые не должны быть равны 0. Объединить корни, полученные в обоих случаях (потому стоит совокупность систем).

27706 / 17322 / 3812
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 38,979

Антон2, Другим словами.
Переносите правую часть налево, меняя знак. Выносите за скобку (x+8) (f(x) в обозначениях jogano)
Далее пользуетесь тем, что в поле действительных чисел a*b = 0 тогда и только тогда a=0 или b=0
Конечно, значения x, делающие выражения недопустимыми, следует исключить.

4527 / 3521 / 358
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 6,038

Для дробно-рациональных уравнений есть рецепт.

1. Перенести всё в одну сторону и загнать в одну дробь.
2. Составить систему: числитель дроби равен 0, знаменатель отличен от 0.
3. В полученной системе решить уравнение и отбросить решения, не удовлетворяющие неравенству.

Уравнения с одинаковыми числителями или знаменателями отдельных рецептов не требуют.

Например, в вашем случае: перекидываем всё в левую сторону, вычитаем дроби, получаем:

Скобки я не стал раскрывать, потому что числитель всё равно приравнивать к 0, а тут можно будет вынести x + 8 за скобку. Пожалуй, я сразу так и сделаю:

Осталось решить квадратное уравнение, уже разложенное на множители, и проверить, удовлетворяют ли его решения ограничению.

1104 / 480 / 33
Регистрация: 05.07.2018
Сообщений: 1,870
Записей в блоге: 7

решение
1.
x + 8 = 0
x = -8
2.
сокращаем на x + 8, имеем
или
5x + 7 = 7x + 5
2x = 2
x = 1
ответ: x = -8; x = 1

примечание
Всегда надо использовать особенности уравнения и решать как проще и быстрее.
Похожие публикации: