Точка, симметричная относительно другой точки, прямой и плоскости
Здесь вы узнаете, как вычислить точку симметрии относительно другой точки, относительно прямой и относительно плоскости. Кроме того, вы сможете увидеть примеры и упражнения, решаемые шаг за шагом.
Точка, симметричная другой точке
Прежде чем мы посмотрим, как рассчитывается симметричная точка, давайте рассмотрим, что такое симметричная точка относительно другой точки:
Точка А’ является точкой, симметричной точке А относительно другой точки М, если точка А’ расположена симметрично на том же расстоянии от точки М, что и расстояние между точками А и М. Следовательно, М – это середина отрезка, образованного точки А и А’.
С другой стороны, мы также говорим, что точка М является центром симметрии.
Итак, для расчета координат точки симметрии воспользуемся формулой середины отрезка :
=M» width=»95″ height=»40″ />
Из этого уравнения извлекаем неизвестную точку А’ и получаем формулу для точки, симметричной относительно другой точки:
Для определения точки симметрии между этими двумя точками применим формулу точки симметрии относительно другой:
Теперь заменим точки в формуле:
» width=»111″ height=»19″ />
точка, симметричная прямой линии
Мы только что рассмотрели понятие точки, симметричной относительно другой точки. Ну, симметричность точки относительно линии очень похожа:
Точка А’ является точкой, симметричной точке А относительно прямой, если две точки А’ и А лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой, и при этом расстояние между точкой А’ и прямой равно расстоянию между точкой А и линией.
Таким образом, линия r также является осью симметрии между точками.
Таким образом, для определения точки симметрии точки А относительно прямой r необходимо выполнить следующую процедуру:
Находим плоскость, перпендикулярную прямой r , проходящей через точку А (плоскость π предыдущего графического изображения). Для этого мы должны использовать вектор направления линии, который будет вектором нормали к плоскости.
Вычисляем точку пересечения найденной плоскости и прямой (точка М на предыдущем изображении).
Мы используем формулу симметричности точки относительно точки (см. раздел выше), чтобы найти симметричную точку точки A относительно точки M. Результатом является симметричная точка, которую мы искали.
Пример расчета точки симметрии относительно прямой
Как только мы узнаем, как вычислить точку симметрии другой точки относительно прямой, мы увидим в качестве примера решенное упражнение:
Найдите точку, симметричную точке А относительно прямой r. Как говорится, точка и линия:
=(1,4,-3)» width=»104″ height=»19″ />
А коэффициенты А, В и С уравнения плоскости совпадают с координатами ее вектора нормали, следовательно:
Итак, уравнение плоскости, перпендикулярной прямой ry, проходящей через точку А, имеет вид:
Зная уравнение плоскости, нам нужно вычислить точку пересечения плоскости и прямой. Для этого подставляем координаты прямой в уравнение плоскости и решаем полученное уравнение:
Прежде чем рассмотреть метод определения точки симметрии другой точки относительно плоскости, давайте посмотрим, каково ее определение:
Точка А’ является точкой, симметричной точке А относительно плоскости, если две точки А’ и А лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскости, и при этом расстояние между точкой А’ и плоскостью эквивалентно расстоянию между точкой А и плоскостью.
Таким образом, плоскость также является плоскостью симметрии между двумя точками.
Таким образом, чтобы узнать декартовы координаты симметричной точки А относительно плоскости π, необходимо выполнить следующие шаги:
Найдем уравнение прямой, перпендикулярной плоскости, проходящей через точку А. Для этого в качестве направляющего вектора прямой будем использовать вектор нормали к плоскости.
Вычисляем точку пересечения плоскости и найденной прямой (точка М предыдущего изображения).
Мы используем формулу симметричности точки относительно точки (см. в начале раздела), чтобы найти симметричную точку точки A относительно точки M. Результатом является симметричная точка, которую мы искали.
Пример определения точки симметрии относительно плоскости
Ниже вы можете увидеть решенную задачу относительно точки симметрии другой точки относительно плоскости:
Определить точку симметрии A относительно плоскости π. Сказав точку и план:
Первое, что нам нужно сделать, это найти уравнение линии, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку А. Для этого мы можем использовать вектор нормали к плоскости в качестве вектора направления линии, компоненты которой X, Y, Z — коэффициенты при слагаемых A, B и C соответственно уравнения плоскости:
Итак, точка пересечения плоскости и перпендикуляра равна:
Наконец, нам просто нужно найти точку, симметричную точке А относительно точки М. И для этого мы можем использовать формулу, представленную в начале этой страницы:
Высшая математика и экономика
Найти точку , симметричную точке относительно прямой.
Найдем точку пересечения прямой и плоскости. — координаты точки пересечения. Отсюда, Следовательно, — искомая точка.
EMBED
To add the widget to iGoogle, click here. On the next page click the «Add» button. You will then see the widget on your iGoogle account.
To embed this widget in a post on your WordPress blog, copy and paste the shortcode below into the HTML source:
For self-hosted WordPress blogs
To embed this widget in a post, install the Wolfram|Alpha Widget Shortcode Plugin and copy and paste the shortcode above into the HTML source.
To embed a widget in your blog’s sidebar, install the Wolfram|Alpha Widget Sidebar Plugin, and copy and paste the Widget ID below into the «id» field:
To add a widget to a MediaWiki site, the wiki must have the Widgets Extension installed, as well as the code for the Wolfram|Alpha widget.
To include the widget in a wiki page, paste the code below into the page source.
Как строится точка симметричная данной относительно прямой
Построение точки симметричной относительно заданной прямой — это одна из основных задач геометрии. Это полезный инструмент, который позволяет находить точки, симметричные другим точкам относительно заданной прямой. В этой статье мы рассмотрим подробный гайд, который поможет вам легко и точно построить такую точку.
Для начала, определите, какую точку вы хотите сделать симметричной относительно прямой. Затем нарисуйте данную прямую на листе бумаги.
Далее, отметьте на прямой начальную точку, которая будет служить центром симметрии. Для этого используйте точку пересечения прямой с другим известным объектом, например, с другой пересекающей прямой или окружностью.
Теперь найдите отрезок между начальной точкой и заданной точкой, и продолжите его равным отрезком в противоположном направлении. Проведите прямую, параллельную начальной прямой, которая проходит через найденную точку. Эта прямая будет содержать точку, симметричную заданной точке.
И наконец, отметьте полученную точку на листе бумаги. Точка, которую вы отметили, будет симметричной относительно заданной прямой.
Симметричная точка относительно прямой: что это и для чего нужно?
В геометрии существует понятие симметрии относительно прямой. Симметричная точка относительно прямой – это точка, такая что, если провести прямую, проходящую через заданную точку и перпендикулярную данной прямой, то она пересечет данную прямую в точке, которая находится на таком же расстоянии от заданной точки, но в противоположной стороне прямой.
Симметричная точка является отражением данной точки относительно прямой и сохраняет расстояние и направление, но меняет сторону относительно прямой.
Знание о симметричных точках относительно прямой важно для решения задач, связанных с геометрией и позволяет упростить расчеты и построения.
Примеры использования симметричных точек:
Построение оси симметрии фигуры. Симметричные точки относительно прямой помогут нам построить ось симметрии фигуры, которая делит ее на две равные части.
Расчет расстояния. При наличии симметричных точек относительно прямой можно сократить необходимые расчеты расстояний, используя свойства симметрии.
Построение отражений фигур. Симметричные точки помогут нам построить отражение фигуры относительно заданной прямой.
Знание о симметричных точках относительно прямой позволяет решать геометрические задачи более эффективно и легко, делая использование данного метода важным инструментом в области геометрии.
Как найти точку, симметричную данной относительно прямой: основные шаги
Построение точки, симметричной заданной точке относительно прямой, является одной из основных задач геометрии. Этот процесс можно разделить на следующие шаги:
Определить координаты заданной точки.
Определить уравнение прямой, относительно которой нужно построить симметричную точку. Для этого можно использовать уравнение прямой вида y = kx + b или уравнение прямой, заданной двумя точками.
Найти уравнение прямой, симметричной заданной относительно данной прямой. Для этого сначала нужно определить угол наклона заданной прямой (если уравнение прямой задано в виде y = kx + b). Затем нужно использовать правило, согласно которому угол наклона симметричной прямой будет равен противоположному углу наклона.
Используя уравнение симметричной прямой, определить координаты симметричной точки. Для этого нужно подставить координаты заданной точки в уравнение симметричной прямой и решить полученное уравнение относительно координат симметричной точки.
По завершении этих шагов вы найдете координаты точки, симметричной заданной относительно прямой. Этот метод широко используется в геометрии и имеет множество применений, например, при построении симметричных фигур или определении точек отражения.
Определение прямой и точки симметрии
Прямая — это геометрическая фигура, которая состоит из бесконечного множества точек, расположенных на одной линии. Прямая обладает следующими свойствами:
Не имеет начала и конца;
Прямая простирается в обе стороны до бесконечности;
Любые две точки на прямой можно соединить отрезком, находящимся полностью на этой прямой.
Точка симметрии относительно прямой — это такая точка, которая находится на другой стороне этой прямой, но имеет равное расстояние до нее. Симметрия относительно прямой имеет следующие свойства:
Точка и ее симметричная относительно прямой точка имеют равные расстояния до этой прямой;
Отрезок, соединяющий точку и ее симметричную относительно прямой точку, перпендикулярен этой прямой и проходит через ее середину.
Для построения точки симметричной данной относительно прямой необходимо использовать данные свойства симметрии. Операции построения находятся в следующем разделе данного гайда.
Шаг 1: Нахождение середины отрезка
Перед тем, как построить точку симметричную данной относительно прямой, необходимо найти середину отрезка.
Для этого следует выполнить следующие шаги:
Укажите на прямой две разные точки A и B, которые необходимо отразить.
Используйте линейку или другое подходящее средство измерения, чтобы измерить длину отрезка AB.
Разделите измеренную длину пополам. Результатом будет значение половины отрезка AB.
Выберите любую из точек A или B и отложите от нее найденное значение половины отрезка AB в направлении противоположное от другой точки.
Итак, вы нашли точку M, которая является серединой отрезка AB.
Теперь, когда у вас есть середина отрезка, вы можете перейти к следующему шагу и построить точку, симметричную относительно прямой.
Шаг 2: Построение вспомогательной перпендикулярной прямой
После того, как мы выбрали точку симметрии на нашей основной прямой, необходимо построить вспомогательную перпендикулярную прямую, которая будет служить ориентиром при построении симметричной точки.
Чтобы построить вспомогательную перпендикулярную прямую, выполните следующие шаги:
Возьмите циркуль и отметьте точку, на которой должна находиться симметричная точка.
Поставьте иглу циркуля в эту точку и проведите дугу, пересекающую основную прямую.
Поставьте иглу циркуля в точку пересечения дуги с основной прямой и проведите вторую дугу. Повторите это действие с другой стороны основной прямой.
Проведите линию, соединяющую эти две точки пересечения дуг с основной прямой. Эта линия будет вспомогательной перпендикулярной прямой к основной прямой.
После выполнения этих шагов, у вас будет построена вспомогательная перпендикулярная прямая, которая будет использоваться для дальнейшего построения симметричной точки относительно основной прямой.
Вопрос-ответ
Как построить точку симметричную относительно прямой?
Для построения точки, симметричной относительно прямой, нужно провести прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой. Затем, проведя прямую от этой точки до пересечения с исходной прямой, получим точку, симметричную исходной точке относительно прямой.
Как найти симметричную точку относительно прямой без проведения дополнительных прямых?
Симметричную точку можно найти, зная координаты исходной точки и уравнение прямой. Для этого нужно провести перпендикуляр от исходной точки до прямой, затем отразить исходную точку относительно этого перпендикуляра. Полученные координаты будут координатами симметричной точки.
Как провести перпендикулярную прямую?
Чтобы провести перпендикулярную прямую к данной, возьмите циркуль и нажмите на рукоятку посередине. Поместите набик на прямую, которую нужно пересечь перпендикуляром, и начните поворачивать циркуль, не меняя при этом нажатие на рукоятку. Таким образом, вы сможете провести перпендикулярную прямую.
Как найти уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярную данной прямой?
Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой, нужно учесть, что если перпендикулярная прямая проходит через точку (x1, y1), то у нее угловой коэффициент равен -1/угловому коэффициенту исходной прямой. Зная уравнение исходной прямой, можно найти прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную исходной прямой.
Как вычислить координаты точки, симметричной данной относительно прямой, если известны координаты исходной точки и уравнение прямой?
Для вычисления координат точки, симметричной данной относительно прямой, если известны координаты исходной точки (x, y) и уравнение прямой (y = mx + b), нужно воспользоваться формулами для нахождения координат симметричной точки: x’ = x — 2 * (m * (mx + b — y)) / (m^2 + 1) и y’ = y + 2 * ((mx + b — y)) / (m^2 + 1). Подставив значения в эти формулы, получим координаты симметричной точки относительно прямой.
![\displaystyle A(4,0,-1) \qquad \qquad r: \ \begin</p>
<p>x=1 + t \\[1.7ex] y=5 +4t\\[1.7ex] z=-4-3t \end» width=»291″ height=»107″ /></p>
<p>Сначала нам нужно вычислить плоскость, перпендикулярную прямой r, проходящей через точку А. Вектором, нормальным к этой плоскости, будет вектор направления линии, компонентами которого являются слагаемые перед параметром</p>
<p>поскольку оно выражается в виде параметрических уравнений:</p>
<p><img decoding=](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e5906f8f5fce95109f9f19d93d1f41cd_l3.png)
![\displaystyle r: \ \begin</p>
<p>x=1 + t \\[1.7ex] y=5 +4t\\[1.7ex] z=-4-3t \end \qquad \qquad \pi : \ x+4y-3z-7=0″ width=»415″ height=»107″ /></p><div class='code-block code-block-7' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 7article -->
<script src=](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fd611c8a6c7e516dbb67583b49f0b8e6_l3.png)
![\displaystyle t=-1 \ \longrightarrow \ \begin</p>
<p>x=1 -1=0 \\[1.7ex] y=5 +4\cdot (-1)=1\\[1.7ex] z=-4-3\cdot (-1)=-1 \end» width=»299″ height=»107″ /></p>
<p>Итак, точка пересечения прямой r и перпендикулярной ей плоскости равна:</p>
<p>Наконец, достаточно найти точку, симметричную точке А относительно точки М; для этого мы можем использовать формулу, представленную в начале этой страницы:</p>
<p><img decoding=](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9b0c515e3969169679e810db65a99e3f_l3.png)
![\displaystyle r: \ \begin</p>
<p>x=3 + 2t \\[1.7ex] y=-4 +t\\[1.7ex] z=2-t \end \qquad \qquad \pi : \ 2x+y-z-6=0″ width=»397″ height=»107″ /></p>
<p><img loading=](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eb4ee2c7f6742eec2e1fa11cac3c5635_l3.png)
![\begin</p>
<p> A’ & = 2M — A \\[2ex] &= 2(5,-3,1) — (3,-4,2) \\[2ex] & = (10,-6,2)-(3,-4,2)\\[2ex] & = \bm \end» width=»211″ height=»147″ /></p><div class='code-block code-block-14' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 14article -->
<script src=](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e8199cf83bc3bdfbf0a7b2adb65a97af_l3.png)
, симметричную точке 
относительно прямой. 
— координаты точки пересечения. 
— искомая точка.