Пример частного решения линейного дифференциального уравнения
Задание . Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (xo = 0).
y″ + 6y’ + 13y = 8e -x , yo = 2/3, y’o = 2.
Решение находим с помощью калькулятора. Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение:
r 2 +6 r + 13 = 0
D = 6 2 — 4·1·13 = -16
Корни характеристического уравнения: r1 = -3 + 2i, r1 = -3 — 2i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1=e -3x ·cos(2x), y2=e -3x ·sin(2x)
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·e -3x ·cos(2x)+C2·e -3x ·sin(2x)
Найдем частное решение при условии:y(0) = 2/3, y'(0) = 2
Поскольку y(0) = c1, то получаем первое уравнение:
c1 = 2/3
Находим первую производную:
y’ = -3·c2·e -3·x ·sin(2·x)-2·c1·e -3·x ·sin(2·x)-3·c1·cos(2·x)·e -3·x +2·c2·cos(2·x)·e -3·x
Поскольку y'(0) = -3·c1+2·c2, то получаем второе уравнение:
-3·c1+2·c2 = 2
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1 = 2/3
-3·c1+2·c2 = 2
т.е.:
c1 = 2 /3, c2 = 2
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:
Рассмотрим правую часть: f(x) = 8·e -x
Поиск частного решения. Уравнение имеет частное решение вида: y * = Ae -x . Вычисляем производные онлайн:
Первая производная: y’ = -A·e -x
Вторая производная: y″ = A·e -x
Найденные производные подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y″ + 6y’ + 13y = (A·e -x ) + 6(-A·e -x ) + 13(Ae -x ) = 8·e -x
или 8·A·e -x = 8·e -x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: 8A = 8
Откуда, A = 1
Частное решение имеет вид: y * = e -x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: 
Рассмотрим тоже самое уравнение, но решим методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’i составляем систему уравнений:
C’1·e -3x ·cos(2x)+C’2·e -3x ·sin(2x)=0
C’1(-2·e -3x ·sin(2x)-3·cos(2x)·e -3x ) + C’2(-3·e -3x ·sin(2x)+2·cos(2x)·e -3x ) = 8*exp(-x)
Выразим C’1 из первого уравнения:
C’1 = -c2·sin(2x)/(cos(2x))
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’1 = -4·e 2x ·sin(2x)
C’2 = 4·cos(2x)·e 2x
Интегрируем полученные функции C’i:
C1 = -e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x + C * 1
C2 = e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x + C * 2
Записываем полученные выражения в виде:
C1 = (-e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x )·cos(2x)·e -3x + C * 1e -3x ·cos(2x)
C2 = (e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x )·e -3x ·sin(2x) + C * 2e -3x ·sin(2x)
или
C1 = -cos(2x)·e -x ·sin(2x)+cos 2 (2x)·e -x + C * 1e -3x ·cos(2x)
C2 = cos(2x)·e -x ·sin(2x)+sin 2 (2x)·e -x + C * 2e -3x ·sin(2x)
y = C1 + C2
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Пример . y″ + 5y’ + 6 = 12cos(2x)
Cоставляем характеристическое уравнение дифференциального уравнения: r 2 +5 r + 6 = 0
Находим дискриминант: D = 5 2 — 4·1·6 = 1
Корни характеристического уравнения: r1 = -2, r2 = -3. Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e -2x , y2 = e -3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·e -2x +C2·e -3x
Найдем частное решение при условии:y(0) = 1, y'(0) = 3
Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:
c1+c2 = 1
Находим первую производную: y’ = -3·c2·e -3·x -2·c1·e -2·x
Поскольку y'(0) = -3·c2-2·c2, то получаем второе уравнение:
-3·c2-2·c2 = 3
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1+c2 = 1
-3·c2-2·c2 = 3
которую решаем или методом обратной матрицы или методом исключения переменных.
c1 = 6, c2 = -5
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде: y =6·e -2x -5·e -3x
Рассмотрим правую часть: f(x) = 12·cos(2·x)
Уравнение имеет частное решение вида: y * = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные: y’ = -2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x); y″ = -4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y″ + 5y’ + 6y = (-4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)) + 5(-2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x)) + 6(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 12·cos(2·x) или -10·A·sin(2x)+2·A·cos(2x)+2·B·sin(2x)+10·B·cos(2x) = 12·cos(2·x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему линейных уравнений:
-10A + 2B = 0
2A + 10B = 12
СЛАУ решаем методом Крамера:
A = 3 /13;B = 15 /13;
Частное решение имеет вид:
y * = 3 /13cos(2x) + 15 /13sin(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Пример 2 . y’’ + y = cos(x)
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 + 1 = 0
D = 0 2 — 4·1·1 = -4
Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 = i, r2 = -i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e 0 x cos(x) = cos(x)
y2 = e 0 x sin(x) = sin(x)
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·cos(x)+C2·sin(x)
Рассмотрим правую часть: f(x) = cos(x)
Найдем частное решение. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e αx (P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x k e αx (R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 0 + 1i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r1).
Уравнение имеет частное решение вида:
y * = x (Acos(x) + Bsin(x))
Вычисляем производные:
y’ = sin(x)(B-A·x)+cos(x)(A+B·x)
y″ = cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y″ + y = (cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)) + (x (Acos(x) + Bsin(x))) = cos(x)
или
2·B·cos(x)-2·A·sin(x) = cos(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
2B = 1
-2A = 0
Следовательно:
A = 0; B = 1 /2;
Частное решение имеет вид: y * = x (0cos(x) + ½ sin(x)) = ½ x sin(x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
см. также решение диф уравнения в онлайн.
Частные производные функции двух переменных.
Понятие и примеры решений
На данном уроке мы продолжим знакомство с функцией двух переменных и рассмотрим, пожалуй, самое распространенное тематическое задание – нахождение частных производных первого и второго порядка, а также полного дифференциала функции. Студенты-заочники, как правило, сталкиваются с частными производными на 1 курсе во 2 семестре. Причем, по моим наблюдениям, задание на нахождение частных производных практически всегда встречается на экзамене.
Для эффективного изучения нижеизложенного материала вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? и Производная сложной функции. Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде. Раздобыть справочный материал можно на странице Математические формулы и таблицы.
Быстренько повторим понятие функции двух переменных, я постараюсь ограничиться самым минимумом. Функция двух переменных обычно записывается как , при этом переменные , называются независимыми переменными или аргументами.
Пример: – функция двух переменных.
Иногда используют запись . Также встречаются задания, где вместо буквы используется буква .
С геометрической точки зрения функция двух переменных чаще всего представляет собой поверхность трехмерного пространства (плоскость, цилиндр, шар, параболоид, гиперболоид и т. д.). Но, собственно, это уже больше аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ, который никогда не давал списывать мой вузовский преподаватель является моим «коньком».
Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной.
Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас:
…да, кстати, для этой темы я таки создал маленькую pdf-книжку, которая позволит «набить руку» буквально за пару часов. Но, пользуясь сайтом, вы, безусловно, тоже получите результат – только может чуть медленнее:
Найти частные производные первого и второго порядка функции
Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.
Обозначения:
или – частная производная по «икс»
или – частная производная по «игрек»
Начнем с . Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная считается константой (постоянным числом).
Комментарии к выполненным действиям:
(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом.
Внимание, важно! Подстрочные индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В данном случае, если вы где-нибудь нарисуете «штрих» без , то преподаватель, как минимум, может поставить рядом с заданием (сразу откусить часть балла за невнимательность).
Далее данный шаг комментироваться не будет, все сделанные замечания справедливы для любого примера по рассматриваемой теме.
(2) Используем правила дифференцирования , . Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так как считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной, то мы выносим за скобки. То есть в данной ситуации ничем не лучше обычного числа. Теперь посмотрим на третье слагаемое : здесь, наоборот, выносить нечего. Так как константа, то – тоже константа, и в этом смысле она ничем не лучше последнего слагаемого – «семерки».
(3) Используем табличные производные и .
(4) Упрощаем, или, как я люблю говорить, «причесываем» ответ.
Теперь . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная считается константой (постоянным числом).
(1) Используем те же правила дифференцирования , . В первом слагаемом выносим константу за знак производной, во втором слагаемом ничего вынести нельзя поскольку – уже константа.
(2) Используем таблицу производных элементарных функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица рАвно справедлива и для (да и вообще почти для любой буквы). В частности, используемые нами формулы выглядят так: и .
В чём смысл частных производных?
По своей сути частные производные 1-го порядка напоминают «обычную» производную:
– это функции, которые характеризуют скорость изменения функции в направлении осей и соответственно. Так, например, функция характеризует крутизну «подъёмов» и «склонов» поверхности в направлении оси абсцисс, а функция сообщает нам о «рельефе» этой же поверхности в направлении оси ординат.
! Примечание: здесь подразумеваются направления, которые параллельны координатным осям.
В целях лучшего понимания рассмотрим конкретную точку плоскости и вычислим в ней значение функции («высоту»):
– а теперь представьте, что вы здесь находитесь (НА САМОЙ поверхности).
Вычислим частную производную по «икс» в данной точке:
Отрицательный знак «иксовой» производной сообщает нам об убывании функции в точке по направлению оси абсцисс. Иными словами, если мы сделаем маленький-маленький (бесконечно малый) шажок в сторону острия оси (параллельно данной оси), то спустимся вниз по склону поверхности.
Теперь узнаем характер «местности» по направлению оси ординат:
Производная по «игрек» положительна, следовательно, в точке по направлению оси функция возрастает. Если совсем просто, то здесь нас поджидает подъём в гору.
Кроме того, частная производная в точке характеризует скорость изменения функции по соответствующему направлению. Чем полученное значение больше по модулю – тем поверхность круче, и наоборот, чем оно ближе к нулю – тем поверхность более пологая. Так, в нашем примере «склон» по направлению оси абсцисс более крут, чем «гора» в направлении оси ординат.
Но то были два частных пути. Совершенно понятно, что из точки, в которой мы находимся, (и вообще из любой точки данной поверхности) мы можем сдвинуться и в каком-нибудь другом направлении. Таким образом, возникает интерес составить общую «навигационную карту», которая сообщала бы нам о «ландшафте» поверхности по возможности в каждой точке области определения данной функции по всем доступным путям. Об этом и других интересных вещах я расскажу на одном из следующих уроков, ну а пока что вернёмся к технической стороне вопроса.
Систематизируем элементарные прикладные правила:
1) Когда мы дифференцируем по , то переменная считается константой.
2) Когда же дифференцирование осуществляется по , то константой считается .
3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной (, либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.
Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре.
Обозначения:
или – вторая производная по «икс»
или – вторая производная по «игрек»
или – смешанная производная «икс по игрек»
или – смешанная производная «игрек по икс»
Со второй производной нет никаких проблем. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной.
Для удобства я перепишу уже найденные частные производные первого порядка:
Сначала найдем смешанные производные:
Как видите, всё просто: берем частную производную и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по «игрек».
В практических примерах можно ориентироваться на следующее равенство:
Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка.
Находим вторую производную по «икс».
Никаких изобретений, берем и дифференцируем её по «икс» еще раз:
Следует отметить, что при нахождении , нужно проявить повышенное внимание, так как никаких чудесных равенств для их проверки не существует.
Вторые производные также находят широкое практическое применение, в частности, они используются в задаче отыскания экстремумов функции двух переменных. Но всему своё время:
Вычислить частные производные первого порядка функции в точке . Найти производные второго порядка.
Это пример для самостоятельного решения (ответы в конце урока). Если возникли трудности с дифференцированием корней, вернитесь к уроку Как найти производную? А вообще, довольно скоро вы научитесь находить подобные производные «с лёту».
Набиваем руку на более сложных примерах:
Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .
Решение: Находим частные производные первого порядка:
Обратите внимание на подстрочный индекс: , рядом с «иксом» не возбраняется в скобках записывать, что – константа. Данная пометка может быть очень полезна для начинающих, чтобы легче было ориентироваться в решении.
(1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае и , а, значит, и их произведение считается постоянным числом.
(2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни.
(1) Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является .
(2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения .
(3) Не забываем, что – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило: .
Теперь находим смешанные производные второго порядка:
, значит, все вычисления выполнены верно.
Запишем полный дифференциал . В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах.
Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:
В данном случае:
То есть, в формулу нужно тупо просто подставить уже найденные частные производные первого порядка. Значки дифференциалов и в этой и похожих ситуациях по возможности лучше записывать в числителях:
И по неоднократным просьбам читателей, полный дифференциал второго порядка.
Он выглядит так:
ВНИМАТЕЛЬНО найдём «однобуквенные» производные 2-го порядка:
и запишем «монстра», аккуратно «прикрепив» квадраты , произведение и не забыв удвоить смешанную производную:
Ничего страшного, если что-то показалось трудным, к производным всегда можно вернуться позже, после того, как поднимите технику дифференцирования:
Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.
Рассмотрим серию примеров со сложными функциями:
Найти частные производные первого порядка функции .
Записать полный дифференциал .
(1) Применяем правило дифференцирования сложной функции . С урока Производная сложной функции следует помнить очень важный момент: когда мы по таблице превращаем синус (внешнюю функцию) в косинус, то вложение (внутренняя функция) у нас не меняется.
(2) Здесь используем свойство корней: , выносим константу за знак производной, а корень представляем в нужном для дифференцирования виде.
Запишем полный дифференциал первого порядка:
Найти частные производные первого порядка функции .
Записать полный дифференциал .
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое
Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации.
Найти частные производные первого порядка функции .
(1) Используем правило дифференцирования суммы
(2) Первое слагаемое в данном случае считается константой, поскольку в выражении нет ничего, зависящего от «икс» – только «игреки». Знаете, всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль). Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования произведения. Кстати, в этом смысле ничего бы не изменилось, если бы вместо была дана функция – важно, что здесь произведение двух функций, КАЖДАЯ из которых зависит от «икс», а поэтому, нужно использовать правило дифференцирования произведения. Для третьего слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции.
(1) В первом слагаемом и в числителе и в знаменателе содержится «игрек», следовательно, нужно использовать правило дифференцирования частного: . Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от «икс», значит, считается константой и превращается в ноль. Для третьего слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции.
Для тех читателей, которые мужественно добрались почти до конца урока, расскажу старый мехматовский анекдот для разрядки:
Однажды в пространстве функций появилась злобная производная и как пошла всех дифференцировать. Все функции разбегаются кто куда, никому не хочется превращаться! И только одна функция никуда не убегает. Подходит к ней производная и спрашивает:
– А почему это ты от меня никуда не убегаешь?
– Ха. А мне всё равно, ведь я «е в степени икс», и ты со мной ничего не сделаешь!
На что злобная производная с коварной улыбкой отвечает:
– Вот здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую по «игрек», так что быть тебе нулем.
Кто понял анекдот, тот освоил производные, минимум, на «тройку»).
Найти частные производные первого порядка функции .
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.
Ну вот почти и всё. Напоследок не могу не обрадовать любителей математики еще одним примером. Дело даже не в любителях, у всех разный уровень математической подготовки – встречаются люди (и не так уж редко), которые любят потягаться с заданиями посложнее. Хотя, последний на данном уроке пример не столько сложный, сколько громоздкий с точки зрения вычислений.
Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления где-то рядом.
Что дальше? Дальше знакомимся с родственной темой – частными производными функции трёх переменных. После этого я рекомендую ДОБРОСОВЕСТНО (жить будет легче ;)) отработать технику дифференцирования на уроках Производные сложных функций нескольких переменных, Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? и Частные производные неявно заданной функции. И, наконец, обещанная вкусняшка – Производная по направлению и градиент функции. Стратегия и тактика знакомы – сначала учимся решать, затем вникаем в суть!
Решения и ответы:
Пример 4: Ссылка для просмотра или скачивания ниже.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено
Как решить неоднородное дифференциальное уравнение
второго порядка?
Данная статья является логическим продолжением урока Однородные уравнения второго и высших порядков. Как я уже отмечал, для того чтобы научиться решать неоднородные уравнения вида , нужно уверенно щёлкать более простые однородные диффуры вида . Впрочем, они доступны даже для школьника, поскольку для решения однородного уравнения требуется лишь правильно решить обычное квадратное уравнение, которое проходят, вроде, в 8 классе. Предполагаю, что вы уверенно расправляетесь с однородными уравнениями, если это не так, пожалуйста, посетите предыдущий урок.
Неоднородные уравнения – это просто!
А самых прилежных читателей в конце урока ждёт морковка подарок от Дедушки Мороза!
Как решить линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами вида ?
Алгоритм решения неоднородного ДУ следующий:
1) Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения. Да-да, взять уравнение , откинуть правую часть: – и найти общее решение. Данная задача подробно разобрана на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. Общее решение однородного уравнения я привык обозначать буквой .
2) Наиболее трудный этап. Необходимо найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Сделать это можно так называемым способом подбора частного решения с применением метода неопределенных коэффициентов.
Внимание! Для освоения метода подбора будет нужен методический материал Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? Данную справку лучше по возможности распечатать, очень удобно, если она будет перед глазами. Но не спешите вникать в эти таблицы, если являетесь чайником! Всему свое время.
3) На третьем этапе надо составить общее решение неоднородного уравнения. Это совсем легко: . Совершенно верно – следует просто приплюсовать завоёванные трофеи.
Если изначально в условии сформулирована задача Коши (найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям), то добавляется четвёртый этап:
4) Нахождение частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Порядок нахождения частного решение для уравнения второго порядка уже немного рассмотрен на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. В случае с неоднородным диффуром принципы нахождения частного решения сохраняются.
Примечание: В ваших лекциях, практических занятиях общее решение однородного уравнения и подобранное частное решение неоднородного уравнения , скорее всего, обозначаются не так. Я «намертво» привык к обозначениям , и буду использовать именно их.
Не так всё страшно, переходим к практическим задачам.
Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение:
1) Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Берём наш неоднородный диффур и обнуляем правую часть:
Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены различные действительные корни, поэтому общее решение:
2) Теперь нужно найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения
И вопрос, который вызывает затруднения чаще всего: В каком виде нужно искать частное решение ?
Прежде всего, смотрим на нашу правую часть: . Тут у нас многочлен третьей степени. По идее, частное решение тоже следует искать в виде многочлена третьей степени: , где – пока ещё неизвестные коэффициенты (числа). Образно говоря, нужно посмотреть на правую часть неоднородного уравнения и «собезьянничать» её, но уже с неопределёнными коэффициентами. Вариант подбора, который «сразу приходит в голову», я неформально буду называть обычным, обыкновенным или штатным случаем.
После предварительного анализа смотрим на корни характеристического уравнения , найденные на предыдущем этапе: это различные действительные корни, отличные от нуля. В методическом материале Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? данному случаю соответствует Раздел I. Анализируя примеры № 1-4 справки, приходим к выводу, что, да, действительно – частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде:
После правильно выбранного подбора алгоритм пойдёт по накатанной колее. Используем метод неопределенных коэффициентов. Кто не знаком – узнает.
Найдём первую и вторую производную:
Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:
(1) Раскрываем скобки.
(2) Ставим знак = и приписываем правую часть исходного ДУ.
Далее работаем с последним равенством – здесь нужно приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так:
Чтобы было еще проще, новичкам рекомендую предварительно сгруппировать подобные слагаемые:
, и только потом составлять систему.
В данном случае система получилась очень простой, и многие из читателей справятся с ней даже устно.
Подставляем найденные значения в наш исходный подбор частного решения :
Таким образом, подобранное частное решение неоднородного уравнения:
3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:
Ответ: общее решение:
Для неоднородных уравнений второго порядка я люблю проводить проверку-«лайт». Сначала я проверяю, правильно ли решил квадратное уравнение. После такой проверки первая часть ответа (общее решение однородного уравнения) будет гарантировано правильной.
Осталось проверить, верно ли найдена вторая часть ответа (подобранное частное решение): . Это тоже довольно просто.
Найдем первую и вторую производную:
Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:
– получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение найдено правильно.
Существует и полный вариант проверки, о нём речь пойдет, когда я разберу задачу Коши.
Найти общее решение дифференциального уравнения.
Выполнить проверку-«лайт». Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.
Будьте внимательны, пример «с подвохом»!
А поэтому повторим, по какой схеме подбирать частное решение:
– Смотрим на правую часть и подбираем первоначальный «штатный» вид частного решения .
– Смотрим на корни характеристического уравнения и в справке Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? находим нужный раздел (всего их там пять).
– Знакомимся с разделом и уточняем, в каком же виде нужно искать частное решение .
Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.
Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Составим и решим характеристическое уравнение:
, – получены различные действительные корни, среди которых нет нуля, поэтому общее решение: .
2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение ?
Сначала смотрим на правую часть и выдвигаем первую гипотезу: раз в правой части находится экспонента, умноженная на константу , то частное решение, по идее, нужно искать в виде
Далее смотрим на корни характеристического уравнения , , найденные в предыдущем пункте. Это два действительных корня, среди которых нет нуля. Данному случаю соответствует Раздел I справочного материала. Изучив примеры 5-8 таблицы, приходим к выводу, что наш первоначальный вариант подбора нужно домножить на «икс». То есть частное решение дифференциального уравнения следует искать в виде:
, где – пока еще неизвестный коэффициент, который предстоит найти.
После того, как подобран корректный вид частного решения, алгоритм работает стандартно, единственное, вы должны уметь уверенно находить производные, в частности, использовать правило дифференцирования произведения . В ходе вычислений я не буду подробно расписывать производные.
Найдем первую и вторую производную:
Подставим , и в левую часть неоднородного уравнения:
Что сделано? Подстановка, упрощение, взаимоуничтожение слагаемых, и в конце – приравнивание к исходной правой части .
Здесь повезло: из последнего равенства автоматически получаем .
Найденное значение подставляем в наш исходный подбор .
Таким образом, частное решение:
3) Составляем общее решение неоднородного уравнения:
Ответ: общее решение:
Подчеркиваю, что всегда полезно выполнить «быструю» проверку, проверив, по крайне мере, подобранное частное решение .
Думаю, что после трёх разобранных примеров вы уже понимаете, как и на каком этапе надо использовать справочный материал Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? Теперь всем читателям, в том числе чайникам, рекомендую прочитать справку полностью.
Что произойдет, если мы неправильно подберём вид частного решения? Вот в только что разобранном примере мы искали частное решение в виде , а что будет, если попробовать искать частное решение в виде или в каком-то другом виде? Поначалу всё будет хорошо: удастся найти производные , провести подстановку. Но далее перед глазами возникнет грустный факт: у нас не получится красивого финального равенства , грубо говоря, «ничего не сойдётся»:
Взаимоуничтожилось вообще ВСЁ! Совершенно понятно, что в конце нельзя приписать правую часть: .
Для закрепления материала пара примеров для самостоятельного решения:
Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.
Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.
Полные решения и ответы в конце урока.
Коши шепчет, что пора рассмотреть его задачу.
Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,
Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавляется дополнительный пункт.
Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
– получены кратные действительные корни, поэтому общее решение:
2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение . Смотрим на правую часть неоднородного уравнения , и сразу появляется первая версия подбора: .
Далее смотрим на корни характеристического уравнения: – действительные кратные корни. Изучая Раздел III, примеры 24-26 справочных материалов, приходим к выводу, что «очевидное» частное решение нужно домножить на , то есть частное решение следует искать в виде:
Ищем неизвестный коэффициент .
Найдем первую и вторую производную:
Подставим , и в левую часть неоднородного уравнения и максимально упростим выражение:
В самом конце после упрощений приписываем исходную правую часть .
Из последнего равенства следует:
3) Составим общее решение неоднородного уравнения:
4) Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям ,
Как уже отмечалось, порядок нахождения частного решения немного рассматривался на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. Повторим.
Сначала берём найденное общее решение и применяем к нему первое начальное условие :
Согласно начальному условию: – получаем первое уравнение.
Далее находим производную от общего решения:
и применяем к найденной производной второе начальное уравнение :
Согласно второму начальному условию: – получаем второе уравнение.
Составим и решим систему:
Подставим найденные значения констант , в общее решение
Ответ: частное решение:
Выполним полную проверку:
Сначала проверяем, выполняется ли начальное условие :
– да, начальное условие выполнено.
Находим производную от ответа:
Проверяем, выполняется ли второе начальное условие :
– да, второе начальное условие тоже выполнено.
Берём вторую производную:
Подставим найденное решение и его производные , в левую часть исходного уравнения:
Получена правая часть исходного уравнения, значит, задание выполнено правильно.
Аналогично можно выполнить полную проверку любого общего решения с той лишь разницей, что не нужно проверять выполнение начальных условий.
Что важно? Важно уметь хорошо дифференцировать и быть внимательным.
Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,
Выполнить полную проверку.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
И еще пара примеров, что-то синусов с косинусами маловато было.
Найти общее решение неоднородного уравнения
Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
.
2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в «обычном» виде:
(при подборе не забываем посмотреть Раздел IV справочной таблицы).
Выясним, чему равны коэффициенты .
Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:
(после подстановки и максимальных упрощений приписываем правую часть: )
Из последнего равенства составим и решим систему:
Здесь первое уравнение умножено на 4, а затем проведено почленное вычитание: из второго уравнения я почленно вычел первое уравнение. Если метод не знаком или позабылся, смотрите урок Как решить систему линейных уравнений? Естественно, при решении системы не возбраняется применять «школьный» метод подстановки, другое дело, что в похожей ситуации это обычно не очень выгодно и удобно.
Таким образом, подобранное частное решение: .
3) Составим общее решение неоднородного уравнения:
Ответ: общее решение:
Найти общее решение неоднородного уравнения
Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны при подборе частного решения ! Полное решение и ответ в конце урока.
В конце урока обещанные новогодние подарки. Что в новогодние праздники приносит Дедушка Мороз студентам? На этот вопрос ответ знаю только я. В Новый год Дедушка Мороз принесёт вам большой мешок неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. У меня их много.
На самом деле очень хотелось рассмотреть и другие диффуры, но таки статья должна укладываться в разумные размеры, чтобы Коши действительно не зашептал не обиделись поисковики, Яшенька, бедный, и так у нас очень глючный. Поэтому предлагаю для самостоятельного решения еще несколько уравнений, которые показались мне интересными, но не вошли в «основную сетку» урока.
Для следующих примеров полного решения не будет, будут только готовые ответы в конце урока. Но, даже из одних ответов вы сможете «вытащить» информацию, например, в каком же виде надо выполнить подбор частного решения. Среди предлагаемых ДУ есть как несложные диффуры, так и уравнения повышенной сложности.
Придерживайтесь алгоритма, будьте внимательны и успешного вам дифференцирования!
Найти общее решение неоднородного уравнения
Найти общее решение неоднородного уравнения
Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,
Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,
Найти общее решение неоднородного уравнения
Найти общее решение неоднородного уравнения
Должен сказать, что примеры № 13-15 достаточно сложны в техническом плане, при подборе частного решения появляются громоздкие производные, которые еще и нужно подставлять в левую часть уравнения. Но, как оптимист, предполагаю, что данные уравнения сможет решить не такой уж маленький процент студентов!
Однако и это ещё не все! По многочисленным просьбам я написал статью о линейных неоднородных ДУ высших порядков, где раскрыл дополнительные и очень полезные приёмы решения. В частности, за какую-то пару минут вы научитесь… вообще обходиться без справочной таблицы!!
К слову, о таблице. Наверное, многие, ознакомившись этим справочным материалом, заметили, что в правой части рассматривается ограниченный класс функций : многочлены, экспоненты, синусы, косинусы.
Как быть, если в правой части находятся другие функции, например, тангенс или какая-нибудь дробь? И в таких случаях существует метод решения! Подбор не прокатывает, и приходится использовать очень мощный и универсальный метод вариации произвольных постоянных.
Вот это подарки, так подарки =)
Решения и ответы:
Пример 2. Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Составим и решим характеристическое уравнение:
, – различные действительные корни, один из которых равен нулю, поэтому общее решение:
2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (см. Раздел II Справки. ).
Найдем первую и вторую производную:
Подставим найденные производные в левую часть неоднородного уравнения:
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, составим и решим систему. Из последнего равенства:
Таким образом:
3) Общее решение неоднородного уравнения:
Ответ: общее решение:
Быстрая проверка: очевидно, что корни характеристического уравнения найдены правильно, поэтому с первой частью ответа всё хорошо. Проверим, правильно ли подобрано частное решение . Найдем первую и вторую производную:
Подставим и в левую часть исходного уравнения:
– получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение тоже найдено правильно
Пример 4. Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Составим и решим характеристическое уравнение:
– сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
.
2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (смотрим раздел IV справки).
Подставим , , в левую часть неоднородного уравнения:
Таким образом, частное решение:
3) Общее решение неоднородного уравнения:
Ответ: общее решение:
Пример 5. Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Составим и решим характеристическое уравнение:
– сопряженные, чисто мнимые комплексные корни, поэтому общее решение:
.
2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (смотрим раздел V справки).
Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях, составим и решим систему:
Таким образом: .
3) Запишем общее решение:
Ответ: общее решение:
Пример 7. Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
– кратные действительные корни
Общее решение:
2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (предварительно смотрим Раздел III справочной таблицы).
Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:
Составим и решим систему:
В ходе решения данной системы использован метод почленного сложения уравнений системы, освежить материал можно на странице Как решить систему линейных уравнений?
3) Общее решение неоднородного уравнения:
4) Найдем частное решение, соответствующее заданным начальным условиям:
Ответ: частное решение:
Проверка: я 10+ лет назад уже выполнил полную проверку на черновике =) Как дела у вас?
Пример 9. Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Характеристическое уравнение:
– сопряженные, чисто мнимые комплексные корни, поэтому общее решение:
.
2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (Смотрим Раздел V справочного материала).
Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:
Составим и решим систему:
Кстати, почему ? Потому что в правой части отсутствует синус, формально правую часть можно было записать так:
Таким образом: .
3) Составим общее решение неоднородного уравнения:
Ответ: общее решение:
Пример 10.
Ответ: общее решение:
Пример 11.
Ответ: общее решение:
Пример 12.
Ответ: частное решение:
Пример 13.
Ответ: частное решение:
Пример 14.
Ответ: общее решение:
Пример 15.
Ответ: общее решение:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено
Метод подбора частного решения системы дифференциальных уравнений
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения.
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения, т.е. уравнения с правой частью:
определяется следующей теоремой:
Если u = u (x) — частное решение неоднородного уравнения, а y1 , y2 , . . . , yn – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид y = u + C1y1 + C2y2 + . . . + Cnyn; иными словами, общее решение неоднородного уравнения равно сумме любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.
Следовательно, для построения общего решения неоднородного уравнения надо найти одно его частное решение (предполагая уже известным общее решение соответствующего однородного уравнения).
Метод подбора частного решения (метод неопределенных коэффициентов). Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и только в том случае, когда его правая часть имеет следующий вид:
(или является суммой функций такого вида). Здесь а и β — постоянные, Рп (х) и Qт(x) — многочлены от х соответственно n-й и т-й степени.
Частное решение уравнения n-го порядка
(где f (х) имеет указанный вид, а a1 , a2 , . . . , an — действительные постоянные коэффициенты) следует искать в виде
Здесь r равно показателю кратности корня α + βi в характеристическом уравнении
(если характеристическое уравнение такого корня не имеет, то следует положить r = 0);
Pl (x) и Ql (x) — полные многочлены от х степени l с неопределенными коэффициентами, причем l равно наибольшему из чисел п и т (1 = п≥т, или l = m≥n):
Неопределенные коэффициенты можно найти из системы линейных алгебраических уравнений, получаемых отождествлением коэффициентов подобных членов в правой и левой частях исходного уравнения после подстановки в него и (х) вместо у.
Проверку правильности выбранной формы частного решения дает сопоставление всех членов правой части уравнения с подобными им членами левой части, появившимися в ней после подстановки и (х).
Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких различных функций рассматриваемой структуры, то для отыскания частного решения такого уравнения нужно использовать теорему наложения решений: надо найти частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой части, и взять их сумму, которая и является частным решением исходного уравнения (т. е. уравнения с суммой соответствующих функций в правой части).
Частными случаями функции f (х) рассматриваемой структуры (при наличии которых в правой части уравнения применим метод подбора частного решения) являются следующие функции:
Видео: Видеоурок «Нахождение частных решений по виду правой части» Скачать
Системы дифференциальных уравнений с примерами решения и образцами выполнения
Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности. В частности, к ним относятся различного рода физические и химические процессы, процессы нефте- и газодобычи, геологии, экономики и т.д. Действительно, если некоторые физические величины (перемещение тела, пластовое давление жидкости в фиксированной точке с тремя координатами, концентрация веществ, объемы продаж продуктов) оказываются меняющимися со временем под воздействием тех или иных факторов, то, как правило, закон их изменения по времени описывается именно системой дифференциальных уравнений, т.е. системой, связывающей исходные переменные как функции времени и производные этих функций. Независимой переменной в системе дифференциальных уравнений может выступать не только время, но и другие физические величины: координата, цена продукта и т.д.
Видео: Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Скачать
Решение систем дифференциальных уравнений
К системе дифференциальных уравнений приводит уже простейшая задача динамики точки: даны силы, действующие на материальную точку; найти закон движения, т. е. найти функции выражающие зависимость координат движущейся точки от времени. Система, которая при этом получается, в общем случае имеет вид
Здесь x, у, z — координаты движущейся точки, t — время, f, g, h — известные функции своих аргументов.
Система вида (1) называется канонической. Обращаясь к общему случаю системы т дифференциальных уравнений с т неизвестными функциями аргумента t, назовем канонической систему вида
разрешенную относительно старших производных. Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от искомых функций,
Если 
в (2) принять за новые вспомогательные функции, то общую каноническую систему (2) можно заменить эквивалентной ей нормальной системой, состоящей из 
уравнений. Поэтому достаточно рассматривать лишь нормальные системы.
Например, одно уравнение
является мастным случаем канонической системы. Положив в силу исходного уравнения будем иметь
В результате получаем нормальную систему уравнений
эквивалентную исходному уравнению.
Определение:
Решением нормальной системы (3) на интервале (а, Ь) изменения аргумента t называется всякая система n функций
дифференцируемых на интервале а
Теорема:
Существования и единственности решения задачи Коши. Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений
и пусть функции 
определены в некоторой (n + 1) — мерной области D изменения переменных 
Если существует окрестность 
точки 
в которой функции fi непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по переменным 
то найдется интервал 
изменения t, на котором существует единственное решение нормальной системы (3), удовлетворяющее начальным условиям
Определение:
Система n функций
зависящих от t и n произвольных постоянных 
называется общим решением нормальной системы (3) в некоторой области существования и единственности решения задачи Коши, если
1) при любых допустимых значениях система функций (6) обращает уравнения (3) в тождества,
2) в области функции (6) решают любую задачу Коши.
Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных называются частными решениями.
Обратимся для наглядности к нормальной системе двух уравнений,
Будем рассматривать систему значений t, x1, х2 как прямоугольные декартовы координаты точки трехмерного пространства, отнесенного к системе координат Решение
системы (7), принимающее при 
значения 
определяет в пространстве некоторую линию, проходящую через точку 
Эта линия называется интегральной кривой нормальной системы (7). Задача Коши для системы (7) получает следующую геометрическую формулировку: в пространстве переменных t, x1, х2 найти интегральную кривую, проходящую через данную точку (рис. 1). Теорема 1 устанавливает существование и единственность такой кривой.
Нормальной системе (7) и ее решению можно придать еще такое истолкование: будем независимую переменную t рассматривать как параметр, а решение
системы — как параметрические уравнения кривой на плоскости 
Эту плоскость переменных х1х2 называют фазовой плоскостью. В фазовой плоскости решение 
системы (7), принимающее при t = to начальные значения изображается кривой АВ, проходящей через точку 
(рис. 2). Эту кривую называют траекторией системы (фазовой траекторией). Траектория системы (7) есть проекция интегральной кривой на фазовую плоскость. По интегральной кривой фазовая траектория определяется однозначно, но не наоборот.
Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений
Метод исключения
Один из методов интегрирования — метод исключения. Частным случаем канонической системы является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной
Введя новые функции заменим это уравнение следующей нормальной системой n уравнений:
т. е. одно уравнение n-го порядка эквивалентно нормальной системе (1)
Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система п уравнений первого порядка эквивалентна одному уравнению порядка n. На этом и основан метод исключения для интегрирования систем дифференциальных уравнений.
Делается это так. Пусть имеем нормальную систему
Продифференцируем первое из уравнений (2) по t. Имеем
Заменяя в правой части производные 
их выражениями 
получим
Уравнение (3) снова дифференцируем по t. Принимая во внимание систему (2), получим
Продолжая этот процесс, найдем
Предположим, что определитель
(якобиан системы функций 
отличен от нуля при рассматриваемых значениях 
Тогда система уравнений, составленная из первого уравнения системы (2) и уравнений
будет разрешима относительно неизвестных 
При этом выразятся через 
Внося найденные выражения в уравнение
получим одно уравнение n-го порядка
Из самого способа его построения следует, что если есть решения системы (2), то функция х1(t) будет решением уравнения (5).
Обратно, пусть Х1(t) — решение уравнения (5). Дифференцируя это решение по t, вычислим и подставим найденные значения как известные функции
от t в систему уравнений
По предположению эту систему можно разрешить относительно т. е найти как функции от t.
Можно показать, что так построенная система функций
составляет решение системы дифференциальных уравнений (2). Пример:
Требуется проинтегрировать систему
Дифференцируя первое уравнение системы, имеем
откуда, используя второе уравнение, получаем
— линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с одной неизвестной функцией. Его общее решение имеет вид
В силу первого уравнения системы находим функцию
Найденные функции x(t), y(t), как легко проверить, при любых значениях С1 и С2 удовлетворяют заданной системе.
Функции x(t), y(t) можно представить в виде
откуда видно, что интегральные кривые системы (6) — винтовые линии с шагом и с общей осью х = у = 0, которая также является интегральной кривой (рис. 3).
Исключая в формулах (7) параметр t, получаем уравнение
так что фазовые траектории данной системы суть окружности с центром в начале координат — проекции винтовых линий на плоскость хОу.
При А = 0 фазовая траектория состоит из одной точки х = 0, у = 0, называемой точкой покоя системы.
Замечание:
Может оказаться, что функции нельзя выразить через 
Тогда уравнения n-го порядка, эквивалентного исходной системе, мы не получим. Вот простой пример. Систему уравнений
нельзя заменить эквивалентным уравнением второго порядка относительно х1 или x2. Эта система составлена из пары уравнений 1-го порядка, каждое из которых интегрируется независимо, что дает
Метод интегрируемых комбинаций
Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений
иногда осуществляется методом интегрируемых комбинаций.
Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений (8), но уже легко интегрирующееся.
Пример:
Складывая почленно данные уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию:
Вычитая почленно из первого уравнения системы второе, получаем вторую интегрируемую комбинацию:
Мы нашли два конечных уравнения
из которых легко определяется общее решение системы:
Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно уравнение
связывающее независимую переменную t и неизвестные функции Такое конечное уравнение называется первым интегралом системы (8). Иначе: первым интегралом системы дифференциальных уравнений (8) называется дифференцируемая функция 
не равная тождественно постоянной, но сохраняющая постоянное значение на любой интегральной кривой этой системы.
Если найдено п первых интегралов системы (8) и все они независимы, т. е. якобиан системы функций отличен от нуля:
то задача интефирования системы (8) решена (так как из системы
определяются все неизвестные функции
Системы линейных дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных функций и их производных, входящих в уравнение. Система n линейных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме, имеет вид
или, в матричной форме,
Теорема:
Если все функции 
непрерывны на отрезке 
то в достаточно малой окрестности каждой точки 
где 
выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (1).
Действительно, в таком случае правые части системы (1) непрерывны по совокупности аргументов t, и их частные производные по 
ограничены, так как эти производные равны непрерывным на отрезке [а,b] коэффициентам 
Введем линейный оператор
Тогда система (2) запишется в виде
Если матрица F — нулевая, т. е. на интервале (а,b), то система (2) называется линейной однородной и имеет вид
Приведем некоторые теоремы, устанавливающие свойства решений линейных систем.
Теорема:
Если X(t) является решением линейной однородной системы
то cX(t), где с — произвольная постоянная, является решением той же системы.
Теорема:
двух решений однородной линейной системы уравнений является решением той же системы.
Следствие:
с произвольными постоянными коэффициентами сi решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений
является решением той же системы.
Теорема:
Если есть решение линейной неоднородной системы
a Xo(t) — решение соответствующей однородной системы
будет решением неоднородной системы
Действительно, по условию,
Пользуясь свойством аддитивности оператора получаем
Это означает, что сумма 
есть решение неоднородной системы уравнений
Определение:
называются линейно зависимыми на интервале a
при 
причем по крайней мере одно из чисел аi, не равно нулю. Если тождество (5) справедливо только при 
то векторы 
называются линейно независимыми на (а, b).
Заметим, что одно векторное тождество (5) эквивалентно n тождествам:
называется определителем Вронского системы векторов
Определение:
Пусть имеем линейную однородную систему
где 
матрица с элементами 
Система n решений
линейной однородной системы (6), линейно независимых на интервале а
с непрерывными на отрезке 
коэффициентами 
является линейная комбинация п линейно независимых на интервале а 
() — произвольные постоянные числа).
Пример:
имеет, как нетрудно проверить, решения
Эти решения линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля:
Общее решение системы имеет вид
(с1, с2 — произвольные постоянные).
Фундаментальная матрица
Квадратная матрица
столбцами которой являются линейно независимые решения системы (6), называется фундаментальной матрицей этой системы. Нетрудно проверить, что фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению
Если Х(t) — фундаментальная матрица системы (6), то общее решение системы можно представить в виде
— постоянная матрица-столбец с произвольными элементами. Полагая в (7) t = t0, имеем
Матрица называется матрицей Коши. С ее помощью решение системы (6) можно представить так:
Теорема:
О структуре общего решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Общее решение в области линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений
с непрерывными на отрезке коэффициентами aij(t) и правыми частями fi(t) равно сумме общего решения
соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения неоднородной системы (2):
Метод вариации постоянных
Если известно общее решение линейной однородной системы (6), то частное решение неоднородной системы можно находить методом вариации постоянных (метод Лагранжа).
есть общее решение однородной системы (6), тогда
причем решения Xk(t) линейно независимы.
Будем искать частное решение неоднородной системы
где 
неизвестные функции от t. Дифференцируя по t, имеем
Подставляя в (2), получаем
то для определения получаем систему
или, в развернутом виде,
Система (10) есть линейная алгебраическая система относительно определителем которой является определитель Вронского W(t) фундаментальной системы решений . Этот определитель отличен от нуля всюду на интервале a 
где — известные непрерывные функции. Интегрируя последние соотношения, находим
Подставляя эти значения в (9), находим частное решение системы (2)
(здесь под символом 
понимается одна из первообразных для функции 
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений
в которой все коэффициенты — постоянные. Чаще всего такая система интегрируется сведением ее к одному уравнению более высокого порядка, причем это уравнение будет также линейным с постоянными коэффициентами. Другой эффективный метод интегрирования систем с постоянными коэффициентами — метод преобразования Лапласа.
Мы рассмотрим еще метод Эйлера интегрирования линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Он состоит в следующем.
Метод Эйлера
Будем искать решение системы
где 
— постоянные. Подставляя Xk в форме (2) в систему (1), сокращая на 
и перенося все члены в одну часть равенства, получаем систему
Для того, чтобы эта система (3) линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:
Уравнение (4) называется характеристическим. В его левой части стоит многочлен относительно 
степени n. Из этого уравнения определяются те значения , при которых система (3) имеет нетривиальные решения . Если все корни 
характеристического уравнения (4) различны, то, подставляя их по очереди в систему (3), находим соответствующие им нетривиальные решения 
этой системы n, следовательно, находим п решений исходной системы дифференциальных уравнений (1) в виде
где второй индекс указывает номер решения, а первый — номер неизвестной функции. Построенные таким образом п частных решений линейной однородной системы (1)
образуют, как можно проверить, фундаментальную систему решений этой системы.
Следовательно, общее решение однородной системы дифференциальных уравнений (1) имеет вид
где произвольные постоянные.
Случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, мы рассматривать не будем.
Пример:
Ищем решение в виде
имеет корни
Система (3) для определения a1, а2 выглядит так:
Подставляя в (*) получаем
откуда а21 = а11. Следовательно,
Полагая в находим a22 = — a12, поэтому
Общее решение данной системы:
Матричный метод
Изложим еще матричный метод интегрирования однородной системы (1). Запишем систему (1) в виде
матрица с постоянными действительными элементами 
Напомним некоторые понятия из линейной алгебры. Вектор называется собственным вектором матрицы А, если
Число называется собственным значением матрицы А, отвечающим собственному вектору g, и является корнем характеристического уравнения
где I — единичная матрица.
Будем предполагать, что все собственные значения 
матрицы А различны. В этом случае собственные векторы g1, g2, …gn линейно независимы и существует 
матрица Т, приводящая матрицу А к диагональному виду, т. е. такая, что
Столбцами матрицы Т являются координаты собственных векторов g1, g2 …, gn матрицы А.
Введем еще следующие понятия. Пусть В(t) — матрица, элементы 
которой суть функции аргумента t, определенные на множестве . Матрица В(t) называется непрерывной на 
, если непрерывны на все ее элементы . Матрица В(t) называется дифференцируемой на , если дифференцируемы на все элементы этой матрицы. При этом производной матрицы 
называется матрица, элементами которой являются производные 
у соответствующих элементов матрицы В(t).
Пусть B(t) — n х n-матрица,
— вектор-столбец. Учитывая правила алгебры матриц, непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости формулы
В частности, если В — постоянная матрица, то
так как есть нуль-матрица.
Теорема:
Если собственные значения матрицы А различны, то общее решение системы (7) имеет вид
где g1, g2,…, gn — собственные векторы-столбцы матрицы А, произвольные постоянные числа.
Введем новый неизвестный вектор-столбец Y(t) по формуле
где Т — матрица, приводящая матрицу А к диагональному виду. Подставляя X(t) из (11) в (7), получим систему
Умножая обе части последнего соотношения слева на 
и учитывая, что 
придем к системе
Мы получили систему из n независимых уравнений, которая без труда интегрируется:
Здесь — произвольные постоянные числа.
Вводя единичные n-мерные векторы-столбцы
решение Y(t) можно представить в виде
В силу (11) Х(t) = TY(t). Так как столбцы матрицы Т есть собственные векторы матрицы собственный вектор матрицы А. Поэтому, подставляя (13) в (11), получим формулу (10):
Таким образом, если матрица А системы дифференциальных уравнений (7) имеет различные собственные значения, для получения общего решения этой системы:
1) находим собственные значения матрицы как корни алгебраического уравнения
2) находим все собственные векторы g1, g2,…, gn;
3) выписываем общее решение системы дифференциальных уравнений (7) по формуле (10).
Пример:
Матрица А системы имеет вид
1) Составляем характеристическое уравнение
Корни характеристического уравнения
2) Находим собственные векторы
Для = 4 получаем систему
откуда g11 = g12, так что
Аналогично для = 1 находим
3) Пользуясь формулой (10), получаем общее решение системы дифференциальных уравнений
Корни характеристического уравнения могут быть действительными и комплексными. Так как по предположению коэффициенты системы (7) действительные, то характеристическое уравнение
будет иметь действительные коэффициенты. Поэтому наряду с комплексным корнем оно будет иметь и корень *, комплексно сопряженный с . Нетрудно показать, что если g — собственный вектор, отвечающий собственному значению , то * — тоже собственное значение, которому отвечает собственный вектор g*, комплексно сопряженный с g.
При комплексном решение
системы (7) также будет комплексным. Действительная часть
этого решения являются решениями системы (7). Собственному значению * будет отвечать пара действительных решений X1 и -Х2, т. е. та же пара, что и для собственного значения . Таким образом, паре , * комплексно сопряженных собственных значений отвечает пара действительных решений системы (7) дифференциальных уравнений.
Пусть 
— действительные собственные значения, 
— комплексные собственные значения. Тогда всякое действительное решение системы (7) имеет вид
где сi — произвольные постоянные.
Пример:
1) Характеристическое уравнение системы
Его корни
2) Собственные векторы матриц
3) Решение системы
где а1, а2 — произвольные комплексные постоянные.
Найдем действительные решения системы. Пользуясь формулой Эйлера
Следовательно, всякое действительное решение системы имеет
где с1, с2 — произвольные действительные числа.
Видео: Системы дифференциальных уравнений Скачать
Понятие о системах дифференциальных уравнений
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
�� Видео
2215. ЛНДУ. Метод подбора Скачать