Докажите что неравенства верны

Доказательство неравенств

Как доказать неравенство? Рассмотрим некоторые способы доказательства неравенств.

1) Число a больше числа b, если разность a-b — положительное число:

a>b, если a-b>0.

2) Число a меньше числа b, если разность a-b — отрицательное число:

3)a≥b, если a-b>0 или a=b (то есть a-b≥0).

I. Доказательство неравенств с помощью определения.

Сводится к оценке разности левой и правой частей неравенства и сравнение её с нулём.

Оценим разность левой и правой частей неравенства:

Поскольку разность равна отрицательному числу,

Что и требовалось доказать.

2) Доказать, что при любом действительном значении переменной x верно неравенство:

Оцениваем разность левой и правой частей неравенства:

(3x-5)²≥0 при любом значении переменной x.

Следовательно, (3x-5)²+23>0 при любом x.

Значит, неравенство 9x²+48>30x выполняется при любом действительном значении x.

Что и требовалось доказать.

3) Доказать неравенство: x²+y²+16x-20y+190>0.

(x+8)²≥0 при любом значении x,

(y-10)²≥0 при любом значении y,

Следовательно, (x+8)²+(y-10)²+26>0 при любых действительных значениях переменных x и y.

А это значит, что x²+y²+16x-20y+190>0.

Что и требовалось доказать.

II. Доказательство неравенств методом «от противного».

Высказываем предположение, что доказываемое неравенство неверно, и приходим к противоречию.

Предположим, что неравенство, которое нам нужно доказать, неверно. Тогда

Раскрываем скобки и упрощаем:

Поскольку (a₁b₂-a₁b₁)²≥0 при любых действительных значениях переменных, то -(a₁b₂-a₁b₁)²≤0. Пришли к противоречию. Значит, наше предположение было неверно. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

III. Доказательство неравенств с помощью геометрической интерпретации.

Таким способом, например, можно доказать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (частный случай неравенства Коши).

IV. Доказательство неравенств с использованием очевидных неравенств.

Доказать неравенство: a²+b²+c²≥ab+bc+ac.

Так при любых действительных значениях переменных (a-b)²≥0, (b-c)²≥0 и (a-c)²≥0, то очевидно, что (a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0.

Раскрываем скобки по формуле квадрата разности и упрощаем:

Осталось перенести три слагаемые в правую часть:

Что и требовалось доказать.

V. Доказательство неравенств с помощью ранее доказанных неравенств.

Основные неравенства, на которые опираются при доказательстве других неравенств:

Неравенство Коши:

$\frac{{a_1 + a_2 + . + a_n }}{n} \ge \sqrt[n]{{a_1 a_2 . a_n }}$

При a₁= a₂= …= a_n неравенство превращается в равенство.

Сумма положительных взаимно-обратных чисел не меньше двух:

Применяется также аналог неравенства для отрицательных взаимно-обратных чисел:

Неравенство Коши-Буняковского

Равенство достигается лишь в случае, когда числа x_i и y_i пропорциональны, то есть существует число k такое, что для любого i=1,2,…,n выполняется равенство x_i=ky_i.

Неравенство Бернулли

где x>-1, n — натуральное число.

Равенство достигается лишь при x=0 и n=1.

Обобщённое неравенство Бернулли

Если x>-1, n — действительное число:

При n1
При 0

В обоих случаях равенство возможно лишь при x=0.

Модуль суммы не превосходит суммы модулей

Равенство достигается, если a и b имеют одинаковые знаки (a≥0 и b≤0 либо a≤0, b≤0).

Модуль разности больше либо равен модуля разности модулей

1) Доказать неравенство при x>0, a>0, b>0, c>0:

$(x + a)(x + b)(x + c) \ge 8x\sqrt {xabc} .$

Используем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

для каждого из множителей:

$\frac{{x + a}}{2} \ge \sqrt {xa} ,\frac{{x + b}}{2} \ge \sqrt {xb} ,\frac{{x + c}}{2} \ge \sqrt {xc} ;$

$x + a \ge 2\sqrt {xa} ,x + b \ge 2\sqrt {xb} ,x + c \ge 2\sqrt {xc} .$

Так как по условию x>0, a>0, b>0, c>0, то x+a>0, x+b>0, x+c>0 и

$\[ 2\sqrt {xa} > 0,2\sqrt {xb} > 0,2\sqrt {xc} > 0. \]» width=»243″ height=»21″ /> <img loading=$

$(x + a)(x + b)(x + c) \ge 8x\sqrt {xabc} .$

Что и требовалось доказать.

2) Доказать неравенство:

$3^{20} + 4^{20} < 4^{20} + 4^{20} ,$

Таким образом, для доказательства нашего неравенства надо показать, что

разделим обе части неравенства на 4 в двадцатой степени (при делении на положительное число знак неравенства не изменяется):

$\frac{{2 \cdot 4^{20} }}{{4^{20} }} < \frac{{5^{20} }}{{4^{20} }}, \Rightarrow 2 < \left( {\frac{5}{4}} \right)^{20} .$

$\left( {\frac{5}{4}} \right)^{20} = \left( {1 + \frac{1}{4}} \right)^{20} .$

Применим неравенство Бернулли:

$\left( {1 + \frac{1}{4}} \right)^{20} \ge 1 + 20 \cdot \frac{1}{4},$

Так как в неравенстве

правая часть больше либо равна 6, это равенство верно. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

Помимо перечисленных, существуют другие способы доказательства неравенств (метод математической индукции и т.д.).

Умение доказывать неравенства применяется во многих разделах алгебры (например, метод оценки решения уравнений сводится к доказательству неравенств).

Неравенства
статья по алгебре (8 класс)

Доказательства неравенств, применяя неравенство Коши.

Скачать:

Вложение	Размер
neravenstva.doc	110 КБ

Предварительный просмотр:

«Доказательство неравенств. Неравенство Коши»

«…основные результаты математики чаще выражаются не равенствами, а неравенствами».

Решением неравенств мы занимаемся на протяжении всего школьного курса. Неравенства можно решать графическим и аналитическим способом. Чтобы решить любое неравенство существует определенный алгоритм действий, поэтому данная задача является, скорее механическим действием, который не требует творческого подхода.

Напротив, доказательство неравенств требует неформального, вариативного подхода. Поэтому доказательство неравенств является наиболее интересным.

Однако, в школьном курсе математики доказательству неравенств уделяется очень мало внимания. Доказательство неравенств сводится к одному приему- оценке разности частей неравенства. Между тем, на математических олимпиадах часто встречаются задачи на доказательство неравенств с применением других способов и приемов (использование опорных неравенств, метод оценивания). На олимпиадах для школьников по математике также часто предлагаются неравенства, доказательство которых лучше выявляет способности и возможности учащихся, степень их интеллектуального развития. Кроме того, многие задачи повышенной сложности (из различных разделов математики) эффективно решаются с помощью неравенств.

Актуальность темы «Доказательство неравенств» бесспорна, так как неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни астрономия, ни химия. Теория вероятности, математическая статистика, финансовая математика, экономика – все эти взаимосвязанные и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях, постоянно используют неравенства.

Доказательства неравенств помогают развить навык осмысления и применения приемов доказательства неравенств; умение применять их при выполнении различных задач; умение анализировать, обобщать и делать выводы; логически излагать мысли; творчески относится к делу.

Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием «равенство» возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались еще древние греки. Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа π.

Применяемые для доказательства неравенств идеи почти столь же разнообразны, как и сами неравенства. В конкретных ситуациях общие методы часто приводят к некрасивым решениям. Но неочевидное комбинирование нескольких «базовых» неравенств удается лишь немногим. И, кроме того, ничто не мешает нам в каждом конкретном случае поискать более удобное, лучшее решение, нежели полученное общим методом. По этой причине доказательства неравенств нередко относят к области искусства

Одним из «базовых» неравенств является неравенство Коши, указывающее на соотношение двух средних величин – среднего арифметического и среднего геометрического. Среднее арифметическое изучается в школьном курсе пятого класса и выглядит таким образом Среднее геометрическое впервые появляется в курсе геометрии восьмого класса — . В прямоугольном треугольнике таким свойством обладают три отрезка: два катета и перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу.

Между этими двумя этими величинами существует удивительное соотношение, которое исследовали ученые. О. Коши, французский математик, пришел к выводу о том, что среднее арифметическое n неотрицательных чисел всегда не меньше среднего геометрического этих чисел.

Наряду с неравенством Коши полезно знать следствия из него:

Равенство достигается при a = b.

Неравенства верны, если выполняются условия a > 0, b > 0.

Алгебраическое доказательство этого не равенства довольно простое:

Применим формулу «квадрат разности»:

Прибавим к обеим частям неравенства 4ав :

Применим формулу «квадрат суммы»:

Разделим обе части неравенства на 4 :

;

Так как а и в – положительные по условию, то извлечём из обеих частей неравенства квадратный корень:

Это метод, основанный на получении (синтезировании) неравенства (которое требуется обосновать) из опорных (базисных) неравенств и методов их установления.

Решим задачу, используя метод синтеза

Задача 1. Докажите, что для любых неотрицательных a, b, c справедливо неравенство

Решение. Запишем три неравенства, устанавливающие зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел

; ;

Перемножим почленно полученные неравенства, так как их левая и правая части неотрицательны

Задача 2. Применим неравенство Коши к доказательству этого неравенства:

Метод использования тождеств .

Суть метода состоит в том, что данное неравенство путём равносильных преобразований приводится к очевидному тождеству.

Рассмотрим решение задачи этим методом.

Задача. Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство .

Решение. Выделим в левой части неравенства полный квадрат

При любых действительных a и b это выражение неотрицательно, значит и данное неравенство выполнимо, то есть .

Докажите что неравенства верны

ГДЗ учебник по математике 3 класс (часть 2) Рудницкая. Деление на однозначное число. Номер №6

Решение рисунок 1

725 : 5 900 : 2
1 )

2 )
0 ¯ 900 0 8 ¯ 0 ¯ 10 0 10 ¯ 00 0 ¯ 0 000 0 ¯ 000 0 2 450 ¯
Сравним полученные результаты: 856 > 450 − верно. Следовательно, и первоначальное неравенство 428 * 2 > 900 : 2 − верно.

Докажите,что неравенства верны. 29765:5>9248:8,20841*3

dffgryh

Новые вопросы в Математика

(45-x)×2-7=45 помогите пожалуйста
169323÷548 баған түрінде

помогите пожалуйстаа дам 20 баллов1.алгебралық өрнектің сандық өрнектен өзгешелігі неде?2.өрнектегі әріптердің қандай мәндері оның қабылдайтын мәндері … деп аталады?3.не себепті алгебралық өрнекті айнымалысы бар өрнек деп атауға болады?

562. Майстер виготовляє 12 деталей за годину. За скільки годин він виготовить 36 деталей? 48 деталей? 60 дета- лей? 72 деталі? 120 деталей?

Научный форум dxdy

Если одно неравенство верно, верны ли другие

Если одно неравенство верно, верны ли другие
19.02.2021, 02:26

Последний раз редактировалось Feldhamster 19.02.2021, 02:47, всего редактировалось 1 раз.

Олимпиадная задача по математике, 7 класс

Условие: На доске записано 100 натуральных чисел (не обязательно различных).

а) Докажите, что если сумма любых трех чисел на доске меньше суммы любых четырех из оставшихся, то сумма любых двух чисел на доске меньше суммы любых трех из оставшихся.

б) Верно ли, что если сумма любых двух чисел на доске меньше суммы любых трех из оставшихся, то сумма любых трех чисел на доске меньше суммы любых четырех из оставшихся?

Ответ: б) неверно.

а) Рассуждаем от противного: пусть сумма каких-то двух чисел на доске не меньше суммы каких-то трех из оставшихся чисел; тогда возьмем из остальных 95 чисел произвольные два числа $x, y$ , и пусть для определенности $x \leqslant y$ . Добавив $x$ к исходной тройке чисел, а $y$ – к исходной паре, получим противоречие с условием: сумма трех чисел оказалась не меньше суммы четырех.

б) Обратное утверждение неверно. Рассмотрим пример: 15, 15, 15, 11, …, 11 (три числа равны 15, остальные 97 чисел равны 11). Условие выполнено, т.к. , но расположены в порядке возрастания. Берем любые три числа, суммируем: $a_9_8+a_9_9+a_1_0_0$ . Из оставшихся чисел берем любые четыре числа, суммируем: $a_1+a_2+a_3+a_4$ .
Исходя из условия а) составляем верное неравенство:

. Убирая $a_4$ и $a_9_8$ из, соответственно, левой и правой частей неравенства, получаем новое неравенство:

, то «сила» неравенства не изменится, если , то неравенство «усилится»), что и требовалось доказать.

Авторское решение условия б) основано на контр-примере: достаточно найти одно сочетание чисел в неравенствах, чтобы отрицательно ответить на вопрос. Я попробовал решить условие б) по схеме решения условия а), но зашел в тупик.

1. Есть ли изъяны в моем решении условия а)?
2. Возможен ли иной способ решения условия б), отличный от авторского, в более «общем» виде?

Re: Если одно неравенство верно, верны ли другие
19.02.2021, 10:01
Feldhamster в сообщении #1505666 писал(а):

Пусть числа $a_1, a_2, a_3, . a_9_8, a_9_9, a_1_0_0$ расположены в порядке возрастания. Берем любые три числа, суммируем: $a_9_8+a_9_9+a_1_0_0$ .

Они не любые.
Re: Если одно неравенство верно, верны ли другие
20.02.2021, 02:18
Feldhamster в сообщении #1505666 писал(а):
получаем новое неравенство
Не получаем.
Re: Если одно неравенство верно, верны ли другие
22.02.2021, 18:17

Feldhamster
К вашему решению нужно добавить некое рассуждение — сказать, что любая другая сумма трех не меньше, а любая другая сумма четырех не больше получившихся у вас сумм. Если этот момент прописать, то решение годится.
По поводу б) понятно, что у вас не вышло — утверждение ведь неверно в общем случае. Для некоторых наборов верно, для некоторых неверно. Контрпример — самое то в такой ситуации.

Re: Если одно неравенство верно, верны ли другие
23.02.2021, 12:33

Последний раз редактировалось artempalkin 23.02.2021, 12:39, всего редактировалось 2 раз(а).

Feldhamster в сообщении #1505666 писал(а):
2. Возможен ли иной способ решения условия б), отличный от авторского, в более «общем» виде?

Давайте представим себе более «общее» решение. Как оно будет выглядеть?

Мы берем произвольный набор чисел и доказываем, что для него утверждение МОЖЕТ БЫТЬ неверно. Но даже если вы докажете принципиально, что оно МОЖЕТ БЫТЬ неверно, это не будет значить, что оно реально неверно в каком-то случае. Вы не сможете утверждать, что оно неверно, до тех пор, пока не найдете реальной ситуации, когда оно неверно. То есть контрпример ��

Поиск этого примера может быть более или менее систематичным, но, если задуматься об этом, это и есть самый общий способ, «общее» быть не может ��

Почему-то люди интуитивно чувствуют, что контрпримеры — не общий способ, но это не так.

Re: Если одно неравенство верно, верны ли другие
23.02.2021, 21:27

Последний раз редактировалось Feldhamster 23.02.2021, 21:30, всего редактировалось 1 раз.

marie-la в сообщении #1506033 писал(а):

К вашему решению нужно добавить некое рассуждение — сказать, что любая другая сумма трех не меньше, а любая другая сумма четырех не больше получившихся у вас сумм. Если этот момент прописать, то решение годится.

Да, я это хотел написать, примерно вот так:

Если в выражении левой части $a_1+a_2+a_3+a_4$ заменить от одного до всех чисел на любые другие из оставшихся, то сумма нового выражения будет не меньше суммы первоначального выражения, т.к. любое из оставшихся чисел (среди $a_5, . a_1_0_0$ ) не меньше любого числа из первоначального выражения $a_1+a_2+a_3+a_4$ , потому что числа расположены в порядке возрастания. А если в выражении правой части $a_9_8+a_9_9+a_1_0_0$ сделать то же самое, то сумма нового выражения будет не больше суммы первоначального выражения, т.к. любое из оставшихся чисел (среди $a_1, . a_9_7$ ) не больше любого числа из первоначального выражения $a_9_8+a_9_9+a_1_0_0$ , потому что числа расположены в порядке возрастания. Из этого следует вывод, что знак неравенства

Но потом подумал, что этот вывод просто подтвердил условие задачи а) и поэтому описанные выше рассуждения приводить бессмысленно. Но теперь вроде понятно, что рассуждения нужны. Как здесь написали, я взял не любые числа. Действительно, были взяты определенные числа: в левой части неравенства самые маленькие числа и самые большие в правой. Рассуждением было доказано, что «сумма трех любых меньше суммы четырех любых оставшихся» верно для любой комбинации чисел. И можно «с полным правом» использовать частный случай: (a_9_8+a_9_9+a_1_0_0)$» /> как общий.

marie-la в сообщении #1506033 писал(а):
Контрпример — самое то в такой ситуации.
artempalkin в сообщении #1506160 писал(а):

Почему-то люди интуитивно чувствуют, что контрпримеры — не общий способ, но это не так.

Да, всё верно, теперь понятно.

п.с.
В целом, авторское решение для обоих вариантов условия самое оптимальное из мне известных.

Re: Если одно неравенство верно, верны ли другие
23.02.2021, 22:33

$a_1, a_2, a_3, . a_9_8, a_9_9, a_1_0_0$

Пусть числа расположены в порядке возрастания.
Исходя из условия а) составляем верное неравенство:

(для такого сравнения числа и были расположены по возрастанию). Убирая $a_4$ и $a_9_8$ из, соответственно, левой и правой частей неравенства, получаем новое неравенство:

, то «сила» неравенства не изменится, если , то неравенство «усилится»), что и требовалось доказать.

Re: Если одно неравенство верно, верны ли другие
24.02.2021, 06:42

Feldhamster
А что вы поменяли? Все то же самое, что было.
Какой вы результат доказали? Что сумма первых трех больше суммы последних двух. А какой нужно? Что сумма любых трех больше суммы любых двух.

Re: Если одно неравенство верно, верны ли другие
24.02.2021, 12:04

Последний раз редактировалось artempalkin 24.02.2021, 12:11, всего редактировалось 4 раз(а).

marie-la в сообщении #1506291 писал(а):

Какой вы результат доказали? Что сумма первых трех больше суммы последних двух. А какой нужно? Что сумма любых трех больше суммы любых двух.

Я вот, кстати, тоже не понимаю, что в этом доказательстве неверно.

$b,\ c,\ d,\ e,\ f$

Возьмем три любых числа и два любых (назовем их ) из нашего набора. Тогда

наименьшие числа и

,\ a_$» /> — наибольшие.

ч.т.д.. Или дело в том, что автор пропускает эти очевидные действия?

Feldhamster в сообщении #1506268 писал(а):

Это неравенство тоже верное, т.к. в результате преобразования знак неравенства не поменяется (если $a_4 = a_9_8$ , то «сила» неравенства не изменится, если , то неравенство «усилится»), что и требовалось доказать.

Мне кажется, вам не хватает чуть-чуть здесь последовательности мысли. Слишком много слов.

(a_9_8-a_4)+a_9_9+a_1_0_0\geqslant a_+a_$» />, т.к. $a_9_8-a_4\geqslant 0$

Возьмем три любых числа и два любых (назовем их ) из нашего набора. Тогда

наименьшие числа и

,\ a_$» /> — наибольшие.

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 11 ]

Как доказать, что при любом значении переменной неравенства верны?

Голосование за лучший ответ

решить неравенства и сравнить

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Решение неравенств

Неравенством называется алгебраическое выражение, в котором функции связаны между собой знаками сравнения , .

Знаки > называются знаками строгого неравенства, а знаки — знаками нестрогого неравенства.

Если в неравенство входят только числовые величины, то такое неравенство называется числовым неравенством.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Решением неравенства называется значения переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство — это значит найти множество всех его решений

Неравенства называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Основные правила, применяемые при решении неравенств

Если какое-либо слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному.
Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Если требуется все общие решения двух или нескольких неравенств, то решают систему неравенств. Как и систему уравнений, систему неравенств записывают с помощью фигурной скобки. Решение системы неравенств есть пересечение решений всех входящих в нее неравенств.

Одним из основных методов решения неравенств является метод интервалов.

Примеры решения неравенств

Задание

Решить неравенство $x^{2} +3x+4>0″ width=»128″ height=»18″ /></td> </tr> <tr> <td >Решение</td> <td>Рассмотрим квадратное уравнение и найдем его дискриминант</table> <img loading=$

$x^{2} +3x+4> Поскольку дискриминант отрицательный, то парабола (рис. 1) лежит выше оси абсцисс и принимает только положительные значения, т.е. 0″ width=»128″ height=»18″ /> при любых значения . <img decoding=$

$x\in (-\infty ;-3)\bigcup (4;+\infty )$

Объединим полученные решения и запишем решение исходного неравенства .

Докажите что неравенства верны

Доказательство неравенств

Неравенства статья по алгебре (8 класс)

Скачать:

Предварительный просмотр:

Докажите что неравенства верны

ГДЗ учебник по математике 3 класс (часть 2) Рудницкая. Деление на однозначное число. Номер №6

Докажите,что неравенства верны. 29765:5>9248:8,20841*3

Новые вопросы в Математика

Научный форум dxdy

Если одно неравенство верно, верны ли другие

Как доказать, что при любом значении переменной неравенства верны?

Решение неравенств

Основные правила, применяемые при решении неравенств

Примеры решения неравенств

Добавить комментарий Отменить ответ

Неравенства
статья по алгебре (8 класс)