Буклет «Повторим комбинаторику» 9 класс
В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые, приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Решать такие задачи помогает комбинаторика – раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам.
Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.
Определение. Перестановкой из элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Обозначается .
где называется факториалом числа . Это произведение натуральных чисел от 1 до , т.е.
Пример 1. Сколькими способами можно расставить на игровой площадке 6 волейболистов?
Ответ. Волейболистов можно расставить на площадке 720 способами.
Пример 2. Сколько различных последовательностей можно составить из букв слова (необязательно осмысленных)?
а) привет; б) задача.
Решение. а) В слове «привет» 6 букв, следовательно, чтобы найти, сколько последовательностей можно составить из букв этого слова, надо найти число перестановок из 6 элементов, т.е.
б) Если бы в слове «задача» все буквы были бы разными, то перестановок было бы 6! Но три одинаковых буквы «а» не дадут новых 3! перестановок, т.е. их будет в 3! раз меньше. Значит, ответ: .
Ответ: а) 720; б) 120 последовательностей.
Определение. Размещением из элементов по называется любое множество, состоящее из любых элементов, взятых в определенном порядке из данных элементов. Обозначается .
Пример 3. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять место в аудитории, в которой стоит 10 одноместных столов?
Решение. Для того чтобы посчитать количество способов воспользуемся формулой размещения из 10 элементов по 6:
Ответ: 151200 способов.
Замечание. Если , то . Т.е., перестановка – частный случай размещения.
Определение. Сочетанием из элементов по называется любое множество, составленное из элементов, выбранных из данных элементов. Обозначается .
Пример 4. В группе 25 студентов. Сколькими способами из 25 студентов выбрать 3 дежурных.
Решение. Выбор 3 дежурных из 25 студентов – это комбинация из 25 по 3. Т.е.,
Ответ: 2300 способами.
Комбинации, размещения и перестановки вместе называются сочетаниями. При решении простых комбинаторных задач сначала следует определить вид сочетания, учитывая, что:
¾ Перестановки отличаются друг от друга порядком размещения элементов;
¾ Размещения отличаются или выбором элементов, или порядком их размещения;
¾ Комбинации отличаются только выбором элементов (порядок размещения элементов не учитывается).
Как выбрать формулу
Комбинаторные задачи бывают разных видов, но большинство из них решают с помощью основных правил: правила суммы и правила произведения.
Пример 5. Сборы из 30 человек выбирают председателя, секретаря и трех членов редакционной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. В выборе председателя и секретаря порядок размещения элементов учитывается и не все элементы входят в соединение, следовательно, используем формулу размещение из 30 по 2; таким образом, в дальнейших выборах будут участвовать 30-2=28 человек. При выборе членов комиссии порядок размещения элементов не учитывается, следовательно используем формулу сочетаний из 28 по 3. Т.к. нам необходимо выбрать и председателя с секретарем и членов комиссии, следовательно, используем правило произведения:
Ответ: 2850120 способами.
Пример 6. Из 7 бегунов и 3 прыгунов надо собрать команду из 5 человек, в которую войдет хотя бы один прыгун. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Рассмотрим все варианты:
¾ в команде один прыгун и, соответственно, 4 бегуна ;
¾ 2 прыгуна и 3 бегуна ;
¾ 3 прыгуна и 2 бегуна .
Т.к. собрать команду можно или первым или вторым или третьим способом, то используем правило суммы:
Упр.1068 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1068 Сколько различных слов можно составить, переставляя местами буквы в слове: 1) гипотенуза; 2) треугольник?
*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
Популярные решебники 11 класс Все решебники
Габриелян, Остроумов, Сладков
Греков 10-11 класс
Греков, Крючков, Чешко
New Millennium
Казырбаева, Дворецкая
Мякишев, Буховцев
Власенков 10-11 класс
Власенков, Рыбченская
Погорелов 10-11 класс
©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
Формула числа сочетаний с повторениями
А сколько получится способов, если шары одинаковые (в ящике может быть любое число шаров)?
Поступим следующим образом. Обозначим шары нулями, их будет $k$, а также введем $n-1$ единиц, которые будут обозначать «перегородки». Тогда любая последовательность из $k$ нулей и $n-1$ единиц однозначно зафиксирует способ разложения шаров: число нулей до первой единицы — это число шаров в первом ящике, число нулей между первой и второй единицей — это число шаров во втором ящике и так далее. А расставить $k$ единиц в последовательности из $k+n-1$ объектов можно (мы уже знаем — это число сочетаний)
Эта формула носит название числа сочетаний с повторениями из $n$ объектов по $k$. Она описывает, сколькими способами можно составить комбинацию по $k$ элементов из элементов $n$ типов (элементы в комбинации могут повторяться, но порядок их не важен).
Примеры решений
Рассмотрим решение типовых задач.
Пример 1. В магазине продаются булочки трех видов: с маком, изюмом и повидлом. Мама послала Колю купить 6 булочек. Сколько возможных вариантов выбора у него есть?
Решение. По условию задачи требуется составить комбинацию из $k=6$ элементов, которые выбираются (возможны повторения) из объектов $n=3$ типов (с маком, изюмом, или повидлом). Всего возможных наборов булочек будет (по формуле сочетаний с повторенями):
Пример 2. Сколько решений в неотрицательных числах имеет уравнение $x+y+z+q=8?$
Решение. Переформулируем задачу в терминах шаров и ящиков (см. выше вывод формулы). Пусть у нас есть $k=8$ шаров/единичек, их нужно разместить в $n=4$ ящиках (каждый ящик — это слагаемое в выражении слева, вместе как раз шаров во всех ящиках будет 8, то есть равенство выполнится). Так как решение требуется в неотрицательных числах, то ящик в том числе может быть пустым (дополнительных ограничений нет). Применяем формулу числа сочетаний с повторениями:
Найти сочетания с повторениями из n по k
Чтобы вычислить число сочетаний с повторениями $\overline_n^k$ онлайн, используйте калькулятор ниже.
Видеоролик о сочетаниях с повторениями
Не все понятно? Посмотрите наш видеообзор для формулы сочетаний с повторениями: как использовать Excel для нахождения числа сочетаний, как решать типовые задачи.
Расчетный файл из видео можно бесплатно скачать
Понравилось? Добавьте в закладки
Полезные ссылки
- Онлайн учебник по теории вероятностей
- Основные формулы комбинаторики
- Примеры решений задач по теории вероятностей
- Заказать свои задачи на вероятность
Решебник с задачами по комбинаторике и теории вероятностей:
Конспект элективного курса по математике «Перестановки»(7 класс)
В настоящее время огромное внимание в обучении математике уделяется развитию логики, умению учащимися применять знания в нестандартных ситуациях, решать межпредметные задачи. Элементы -Теории вероятности и статистика являются одними из лучших компонентов для реализации этих задач. Вашему вниманию предлагается конспект занятия по теме «Перестановки»
Перестановки.docx
Картинками
Перестановки. Размещения. Сочетания.
Цель: изучение элементов комбинаторики
Задачи: — познакомить учащихся с элементами комбинаторики;
— учить решать задачи с помощью элементов комбинаторики ;
— развивать логическое мышление, кругозор, математическую речь, интерес к математике.
1. Сообщение темы и цели занятия
В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые, приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Решать такие задачи помогает комбинаторика – раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам.
Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.
Пример. Сколькими способами можно построить трех человек в шеренгу?
Решение: а в с, а с в, в а с, в с а, с а в, с в а.
Pn – число перестановок.
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.
где n ! называется факториалом числа n . Это произведение первых натуральных n чисел от 1 до n .
Задача 1. В автосервис приехали 5 машин для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание?
Задача 2. Сколько различных последовательностей можно составить из букв слова (необязательно осмысленных)?
Размещением из n элементов по k называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из n элементов.
Задача 1. Учащиеся 2 класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на 1 день, чтобы в нем было 4 различных предмета?
Задача 2. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять место в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов?
Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.
Задача 1 . Сколькими способами можно распределить между шестью различными лицами две одинаковые путевки?
Задача 2. В классе 25 учеников. Сколькими способами учитель может выбрать в этом классе для опроса:
а) 5 различных учеников;
б) 6 различных учеников;
в) 20 различных учеников.
2. Самостоятельная работа
На дверях четырех одинаковых кабинетов надо повесить таблички с фамилиями четырех заместителей директора. Сколькими способами это можно сделать?
Сколькими способами могут быть разделены первая, вторая и третья премии между 15 участниками конкурса?
Иван Николаевич купил билет лото «6 из 49». Он должен зачеркнуть 6 номеров из 49. сколько существует способов это сделать?
Перестановки. Размещения. Сочетания
Задача 2. Сколько различных последовательностей можно составить из букв слова (необязательно осмысленных)? а) учебник; б) автор; в) фонарь
Задача 2. В классе 25 учеников
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.