Упр.400 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
Популярные решебники 11 класс Все решебники
Гольцова 10-11 класс
Гольцова, Шамшин
Рымкевич 10-11 класс
Мордкович, Семенов
Рудзитис, Фельдман
Мякишев, Буховцев
Котова, Лискова
©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
Какая из перечисленных точек лежит в xoz
Аксонометрические проекции применяются в качестве вспомогательных к чертежам в тех случаях, когда требуется поясняющее наглядное изображение формы детали. В ГОСТ 2.317-69 стандартизованы прямоугольные и косоугольные аксонометрические проекции с различным расположением осей.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
Изометрическая проекция
Положение аксонометрических осей приведено на рис. 1. Коэффициент искажения по осям x , y , z равен 0,82. Для упрощения изометрическую проекцию, как правило, выполняют без искажения, т.е. приняв коэффициент искажения равным 1.
Линии штриховки сечений в аксонометрических проекциях наносят параллельно одной из диагоналей проекций квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны аксонометрическим осям. Для изометрической проекции вариант штриховки по плоскостям приведен на рис. 2.
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эллипсы (рис. 3).
1, 2, 3 – эллипсы, их большые оси расположены под углом 90 ° к осям y , z , x соответственно и равны (при коэффициенте искажения – 1) 1,22 d , а малые оси – 0,71 d , где d – диаметр окружности.
Построение эллипсов в изометрической проекции окружности можно заменить построением овалов, Следует отметить, что очертание любого циркульного овала не совпадает с очертанием эллипса, имеющего такие же оси, хотя и приближается к нему. Один из способов построения овала приведен на рис. 4.
Пример изображения детали в прямоугольной изометрии приведен на рис. 5.
Диметрическая проекция
Положение аксонометрических осей приведено на рис. 6. Коэффициент искажения по оси y равен 0,47, а по осям x и z – 0,94. Диметрическую проекцию выполняют, как правило, упрощенно с коэффициентом искажения, равным 1, по осям x и z и с коэффициентом искажения 0,5 по оси y .
Штриховка сечений в прямоугольной диметрической проекции показана на рис.7, а пример изображения детали – на рис. 9.
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эллипсы (рис. 8).
1 – эллипс, его большая ось расположена под углом 90 ° к оси y и равна (при коэффициенте искажения – 1) 1,06 d , а малая ось – 0,95 d , где d – диаметр окружности;
2, 3 – эллипсы, их большие оси расположены под углом 90 ° к осям z и x соответственно и равны 1,06 d , а малая ось – 0,35 d (при коэффициенте искажения – 1).
КОСОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
Фронтальная изометрическая проекция
Положение аксонометрических осей приведено на рис. 10. Допускается применять проекции с углом наклона оси y 30 и 60 градусов. Фронтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям x , y , z .
Штриховка сечений в косоугольной фронтальной изометрической проекции показана на рис. 11, а пример выполнения изображения детали – на рис.13.
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекций, – в эллипсы (рис. 12).
1 – окружность d ; 2, 3 – эллипсы, большая ось расположена под углом 22 ° 30 ¢ к осям x и z соответственно и равна 1,3 d , а малая ось – 0,54 d .
Горизонтальная изометрическая проекция
Положение аксонометрических осей приведено на рис.14. Допускается применять горизонтальные изометрические проекции с углом наклона оси y 45 и 60 градусов, сохраняя угол между осями x и y равным 90 градусов. Горизонтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям x , y и z .
Штриховка сечений в косоугольной горизонтальной изометрической проекции показана на рис.15, а пример изображения детали – на рис. 17.
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной и профильной плоскостям проекций, – в эллипсы (рис.16).
1 – эллипс, большая ось расположена под углом 15 ° к оси z и равна 1,37 d , а малая ось – 0,37 d ;
2 – окружность d ;
3 – эллипс, большая ось расположена под углом 30 ° к оси z и равна 1,22 d , а малая ось – 0,71 d ;
Фронтальная диметрическая проекция
Положение аксонометрических осей приведено на рис. 18. Допускается применять фронтальные диметрические проекции с углом наклона оси y 30 и 60 градусов. Коэффициент искажения по оси y равен 0,5, а по осям x , z – 1.
Штриховка сечений в косоугольной фронтальной диметрии показана на рис.19, а пример изображения детали – на рис.21
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной или профильной плоскости проекций, – в эллипсы (рис.20). 1 – окружность d ; 2, 3 – эллипсы, большая ось расположена под углом 7 ° 14 ¢ к осям x и z соответственно и равна 1,07 d , а малая ось – 0,33 d .
Какая из перечисленных точек лежит в xoz
Основные определения, термины
и понятия по военно-технической подготовке
- Военно-техническая подготовка
- Тактитка зенитных ракетных войск
- Боевое применение зенитного ракетного комплекса
5.13. Системы координат, используемые в РЛС
5.13.1. Необходимость использования нескольких систем координат в современных РЛС
Знать местоположение цели в пространстве и параметры ее движения необходимо для последовательного выполнения следующих основных задач:
- поиска и обнаружения целей;
- выдачи целеуказания с КПС на ЗРК и выдачи обратной информации с ЗРК на КПС;
- измерения текущих координат и параметров движения целей и ракет станцией сопровождения целей и наведения на них ракет;
- выработки команд управления и наведения ракет на цели.
Решение вышеперечисленных задач, возможно только с использованием различных систем координат, таких как:
- прямоугольная система координат;
- местная земная система координат;
- биконическая система координат;
- сферическая система координат;
- параметрическая (курсовая) система координат;
- стартовая система координат;
- связанная система координат;
- стартовая система координат.
Рис. 1. Системы координат применяемые в современных ЗРС и их взаимосвязь (вариант)
В местной земной системе координат (рис. 1), представляющей собой правую декартову прямоугольную систему координат ( ), может осуществляться получение целеуказания с КПС и выдача обратной информации на КПС от ЗРК. Это связано с тем, что, как правило, КПС и ЗРК постоянно ведут обмен информацией о целях и регулярно пересчитывают координаты от точки стояния одного ЗРК к точке стояния другого. Такой пересчет удобнее вести в местной системе координат.
За начало отсчета этой системы координат может приниматься точка стояния антенного поста РЛС (например, проекция на поверхность земли центра антенного полотна радиолокатора обнаружения или станции сопровождения целей и наведения на них ракет).
В биконической системе координат ( ) может осуществляться измерение текущих координатах и параметров движения целей и ракет.
В этой системе координат начало отсчета совпадает с центром антенного полотна РЛС.
Измеренные текущие координаты целей и ракет в биконической системе координат, для выдачи их на КПС с ЗРК, преобразуются в итоге в местную земную систему координат в ЦВК ЗРК
Эти, вычисленные в ЦВК ЗРК, прямоугольные координаты целей и ЗУР используются на КПС для решения задач целераспределения и целеуказания (ЦР и ЦУ) и контроля боевых действий.
Сферическая система координат ( 
, 
, 
) может использоваться для решения задач автономного поиска целей как в радиолокационных средствах КПС, так и в радиолокационных средствах ЗРК, при их самостоятельном ведении боевых действий (без выдачи ЦУ с КПС).
В параметрической (курсовой) системе координат ( L,P,H) может осуществляться определение границ зоны поражения ЗРК и точки встречи ракеты с целью (решение задачи пуска).
Положение начала координат этой системы, как правило, совпадает с точкой стояния антенного поста станции наведения ракет.
Для определения ориентации ЗУР в пространстве вводят неподвижную относительно ее конструкции систему координат, которую называют связанной системой координат ( OXсв , OYсв , OZсв ).
В стартовой системе координат ( OXст , OYст , OZст ), как правило, производятся расчеты, необходимые для выведения ракеты после старта на кинематическую траекторию метода наведения.
Начало стартовой и связанной систем координат совпадает с центром масс ракеты.
В скоростной системе координат ( OXv, OYv, OZv ) определяются относительные координаты ЗУР в полете, оцениваются ошибки наведения ЗУР для выработки команд управления ракетой. Начало координат этой системы также находится в центре масс ракеты.
В итоге, измеренные относительные координаты ЗУР в полете, в дальнейшем используются в станции сопровождения целей и наведения на них ракет совместно с прямоугольными координатами цели и ракеты для выработки команд управления ЗУР.
5.13.2. Сферическая система координат.
В сферической системе координат ( 
, 
, 
) (рис.) угол 
называется азимутом (угол в горизонтальной плоскости) и образован осью ОХ , направленной на север, и проекцией линии визирования цели на горизонтальную плоскость XOZ , а угол 
называется углом места (угол в вертикальной плоскости) и образован плоскостью XOZ и направлением на цель; координата 
— наклонная дальность до цели.
Таким образом, для определения наклонной дальности в биконической и сферической системах координат достаточно измерить время, называемое временем запаздывания t з , за которое радиолокационный сигнал распространяется до цели и обратно. Так как за это время электромагнитная волна проходит расстояние, равное удвоенной дальности до цели, то:
.
Определение угловых координат ( 
, 
или 
, 
) основывается на прямолинейности распространения радиоволн, которые, отразившись от цели, принимаются РЛС с определенного углового направления.
Зная угловые координаты и наклонную дальность до цели, можно при необходимости определить ее высоту Нц , например:
Нц = Дн cos 
или Нц = Дн cos 
.
Рис. Сферическая система координат
5.13.3. Биконическая система координат.
В биконической системе координат ( ) (рис. 1.) начало отчета совпадает с центром антенного полотна РЛС, что позволяет относительно легко пересчитывать биконические координаты в прямоугольные. Ось ОХа направлена по нормали к плоскости антенного полотна, ось ОУа направлена перпендикулярно оси ОХа , ось OZа расположена в плоскости антенного полотна и направлена вправо от оси ОХа .
Местоположение цели в этой системе координат определяется координатами:
— наклонной дальностью до цели;
— наклонным углом между проекцией линии визирования цели на плоскость 
и вертикальной плоскостью 
;
— вертикальным углом между линией визирования цели и ее проекцией на плоскость 
.
Рис. 1. Биконическая система координат
5.13.4. Прямоугольная система координат.
Местная земная система координат , представляет собой правую декартову прямоугольную систему координат ( ) (рис.).
За начало отсчета этой системы координат, как уже было сказано, может приниматься точка стояния РЛС (проекция на поверхность земли центра антенного полотна). Ось ОХ , как правило, ориентирована в направлении на север, ось ОУ направлена вертикально вверх, а ось OZ направлена на восток.
Плоскость XOZ – горизонтальная, то есть совпадает с плоскостью местного горизонта.
Рис. Местная земная система координат
5.13.5. Параметрическая система координат
В параметрической (курсовой) системе координат ( Lц, Pц, Hц ) (рис.) положение цели в пространстве определяется следующими координатами:
Оси координат системы ориентированы следующим образом:
- ось OL лежит в горизонтальной плоскости и всегда параллельна проекции вектора скорости цели на эту плоскость, а направление возрастания координаты L противоположно проекции вектора скорости цели;
- ось OP лежит в горизонтальной плоскости и перпендикулярна оси OL ;
- ось ОН перпендикулярна плоскости LOP и направлена вертикально вверх.
Положение начала координат системы совпадает с точкой стояния РЛС.
Рис. Параметрическая (курсовая) система координат
Параметр движения цели Pц есть кратчайшее расстояние от начала координат до точки пересечения проекции курса цели в горизонтальной плоскости с осью ОР .
Параметр цели может быть правым, либо левым относительно начала координат.
Курсовым углом движения цели qц называется угол в горизонтальной плоскости между направлением проекции курса цели и направлением на РСЛ. Курсовой угол изменяется от 00 до 1800. Изменение курсового угла от 00 до 900 означает приближение цели, а изменение от 900 до 1800 – ее удаление.
При маневре цели меняется ее курс, и оси курсовой системы координат разворачиваются таким образом, чтобы ось OL всегда оставалась параллельной курсу цели. При этом, как правило, изменяется положение меток границ зоны поражения и точки встречи на индикаторах РЛС.
В общем виде переход от системы прямоугольных координат к другим может осуществляться по формулам аналитической геометрии.
Например, переход от прямоугольной к сферической системе координат может происходить по следующим соотношениям:
X = r cos ε cos β ;
Y = r sin ε ;
Z = r cos ε sin β,
где r – радиус наклонной дальности до цели Дн .
А переход от параметрической к сферической системе, например, может происходить следующим образом:
Р = r cos ε sin q ;
S = r cos ε cos q ;
H = r sin ε ,
где r – радиус наклонной дальности до цели Дн .
5.13.6. Связанная система координат
Положение ЗУР в пространстве в любой момент времени должно определяться шестью координатами: тремя координатами центра масс ракеты и тремя углами, характеризующими ориентацию ракеты относительно земной прямоугольной системы координат. Поэтому для определения ориентации ЗУР в пространстве вводят неподвижную относительно ее конструкции систему координат, которую называют связанной системой координат (рис.).
Начало связанной системы координат совпадает центром масс ракеты. Ось OXсв направлена вдоль продольной оси ракеты, OYсв перпендикулярна оси OXсв и расположена в вертикальной плоскости, а ось OZсв перпендикулярна осям OXсв и OYсв , образуя правую систему осей координат.
Для обеспечения неподвижности относительно планера ЗУР этой системы координат, ее оси связаны с осями рамок гироскопов гиростабилизированной платформы ракеты. Такое расположение осей гироскопов обеспечивает измерение углового положения гироплатформы по трем координатам 
, 
, 
относительно осей связанной системы координат, что обеспечивает необходимую стабилизацию ракеты в полете и управление ее полетом.
Рис. Связанная система координат
Угол (угол крена) возникает при вращении ЗУР вокруг оси OХсв и представляет собой угол между вертикальной плоскостью, проходящей через реальное положение продольной оси ЗУР, и осью O Y св .
Угол (угол курса или угол рысканья) – это угол между проекцией реального положения продольной оси ЗУР на горизонтальную плоскость и исходным направлением оси OХсв . Данный угол получается путем вращения ЗУР вокруг оси O Y св .
Угол (угол тангажа) – это угол в вертикальной плоскости ЗУР, получаемый путем ее вращения вокруг оси OZсв . Угол образован реальным положением продольной оси ракеты и горизонтальной плоскостью, проходящей через исходное направление оси OХсв .
5.13.7. Стартовая система координат
Необходимые для выведения стартующей ЗУР на кинематическую траекторию метода наведения, могут осуществляться в связанной ( OXсв, OYсв, OZсв ) и стартовой ( OXст, OYст, OZст ) системах координат (рис.).
Рис. Стартовая система координат
Начало стартовой системы координат также совпадает с центром масс ракеты, ось OYст совпадает с осью OXсв , оси OXст и OYст взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости склонения, проходящей через точку встречи ракеты с целью. Ось OZст перпендикулярна плоскости склонения и является осью, определяющей отработку ракетой угла 
(угол склонения ракеты в вертикальной плоскости). Положение оси OXст в плоскости горизонта относительно оси OYсв ракеты определяется углом приведения 
(угол склонения ракеты в горизонтальной плоскости), изменяющимся в пределах ±180º.
Таким образом, после пуска, ракета летит автономно, отрабатывая углы 
и 
, записанные перед ее стартом в бортовую аппаратуру наведения. Это позволяет ЗУР в дальнейшем наводиться на цель, после захвата ее на сопровождение станцией сопровождения целей и наведения на них ракет.
5.13.8. Скоростная система координат
В скоростной системе координат ( OXv,OYv,OZv ) (рис.) определяются относительные координаты ЗУР в полете, оцениваются ошибки наведения ЗУР для выработки команд управления ракетой.
Рис. Скоростная система координат
Начало координат этой системы находится в центре масс ракеты.
Ось OXv направлена вдоль вектора скорости ЗУР, ось OYv — вверх в вертикальной плоскости симметрии ракеты, а ось OZv дополняет их до правой системы координат.
Положение скоростной системы относительно связанной системы координат характеризуется углом атаки 
и углом скольжения 
.
Угол атаки 
— это угол между проекцией вектора скорости 
на вертикальную плоскость симметрии ракеты и осью OXсв ( 
> 0, когда ось OXсв расположена на проекции вектора скорости ракеты).
Угол скольжения 
— это угол между вектором скорости 
и вертикальной плоскостью симметрии ракеты (плоскостью OXсвYсв ). Угол 
принято считать положительным в случае, когда вектор скорости 
относительно вертикальной плоскости симметрии повернут вправо.
Аналитическая геометрия
симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости xOz , yOz и координатная ось Oz . Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью xOy . На этой плоскости z 0 , поэтому
| x 2 | y | 2 | 0 . | |||||||
| a 2 | b | 2 | ||||||||
| Это уравнение определяет на плоскости | xOy пару прямых y | b | x , | |||||||
| изображенных на рисунке 4.5.5. | a | |||||||||
| Найдем линию пересечения с плоскостью | yOz . На этой плоскости x 0 , | |||||||||
| поэтому | ||||||||||
| z | y 2 | . | ||||||||
| b 2 | ||||||||||
Это уравнение на плоскости yOz задает параболу, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 13.23). Сечение плоскостью xOz также является параболой z x 2 , a 2 но ее ветви направлены вверх. Нарисуем и ее (рис. 4.5.5). Рис. 4.5.5. Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью z h , h 0 . Уравнения этой линии
| x 2 | y 2 | |||||||||
| h ; | ||||||||||
| a 2 b 2 | ||||||||||
| z | h . | |||||||||
| Первое уравнение преобразуем к виду | ||||||||||
| x 2 | y 2 | 1 , | ||||||||
| a 2 h b 2 h | ||||||||||
| то есть к виду | y 2 | 2 | ||||||||
| x | 1 , | (4.5.4) | ||||||||
| b 2 | a | 2 | ||||||||
| 1 | 1 | |||||||||
где a 1 a 
h , b 1 b 
h . Уравнение (4.5.4) является уравнением гиперболы. Ее действительная ось параллельна оси Oy , а мнимая – оси Ox . Полуоси равны соответственно a 1 и b 1 . Нарисуем полученное сечение, но чтобы не перегружать рисунок линиями, асимптоты изображать не будем (рис. 4.5.6). Найдем линии пересечения с плоскостями x m , параллельными плоскости yOz . Уравнения этих линий имеют вид
| m 2 | y 2 | ||
| z | ; | ||
| a 2 | b 2 | ||
| x m . | |||
Первое из этих уравнений является уравнением параболы, такой же, как и в сечении плоскостью yOz , только сдвинутой вдоль оси Oz на величину m 2 вверх. Эти параболы изображены на рисунке 4.5.6. a 2 Рис. 4.5.6. Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений
Так как m – произвольное число, то вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости yOz . Передвигать параболу нужно так, чтобы ее плоскость оставалась параллельной плоскости yOz , а вершина скользила по параболе в плоскости xOz . Плоскость z h , h 0 , пересекает поверхность по гиперболе, но в отличие от гиперболы (4.5.4), ее действительная ось параллельна теперь оси Ox , а мнимая – оси Oy (рис. 4.5.7). Рис. 4.5.7. Дополнительное сечение Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 4.5.8. Рис. 4.5.8. Гиперболический параболоид 21
§4.6. Цилиндры ( Цилиндрические поверхности ) Определение. Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей , а параллельные прямые – образующими . Рассмотрим уравнение вида
| F ( x , y ) 0 | (4.6.1) |
и покажем, что оно определяет цилиндрическую поверхность с – некотораяобразующими, параллельными оси 0 0 0 0 точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (4.6.1). Поскольку в это уравнение не входит явно переменная z , ему будут удовлетворять координаты всех точек M x 0 ; y 0 ; z , где z – любое число. Следовательно, при любом z точка M лежит на поверхности, определяемой уравнением (4.6.1). Отсюда следует, что на поверхности целиком лежит прямая, проходящая через точку M 0 параллельно оси Oz . А это означает, что поверхность, определяемая уравнением (4.6.1), составлена из прямых, параллельных оси Oz , то есть она является цилиндрической поверхностью. Заметим, что на плоскости xOy уравнение (4.6.1) определяет направляющую рассматриваемой цилиндрической поверхности. Итак, делаем вывод, что если уравнение поверхности не содержит в явном виде какой-либо переменной, то это уравнение определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси отсутствующего переменного и направляющей, которая в плоскости двух других переменных имеет то же самое уравнение. Нас будут интересовать только те цилиндрические поверхности, которые являются поверхностями второго порядка, а это значит, что уравнение (4.6.1), их задающее будет частным случаем уравнения (4.6.1): a 11 x 2 a 22 y 2 2 a 12 xy b 1 x b 2 y c 0 . Определение . Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением
| x 2 | y 2 | 1 , | (4.6.2) |
| a 2 | b 2 |
называется эллиптическим цилиндром . Определение. Поверхность, которая задается уравнением
| x 2 | y 2 | 1 , | (4.6.3) | ||
| a 2 | b 2 | ||||
| называется гиперболическим цилиндром . | |||||
| Определение . Поверхность, которая задается уравнением | |||||
| y 2 2 px , | (4.6.4) | ||||
называется параболическим цилиндром . Для того чтобы построить поверхность, задаваемую уравнением (4.6.2), или уравнением (4.6.3), или (4.6.4), достаточно нарисовать на плоскости xOy направляющую, уравнение которой на этой плоскости совпадает с уравнением самой поверхности, и затем через точки направляющей провести образующие параллельно оси Oz . Для наглядности следует построить также одно-два сечения плоскостями, параллельными плоскости xOy . В каждом таком сечении получим такую же кривую, как и исходная направляющая. Изображения этих цилиндров сечениями приведены на рисунках 4.6.1, 4.6.3 и 4.6.5, а их объемные изображения – на рисунках 4.6.2, 4.6.4 и 4.6.6. Рис. 4.6.1. Изображение эллиптического цилиндра с помощью сечений Рис. 4.6.2. Эллиптический цилиндр
Рис. 4.6.3. Изображение гиперболического цилиндра с помощью сечений Рис. 4.6.4. Гиперболический цилиндр 24
Рис. 4.6.5. Изображение параболического цилиндра с помощью сечений Рис. 4.6.6. Параболический цилиндр §4.7. Параллельный перенос системы координат Так же как и на плоскости, в пространстве можно выполнить параллельный перенос системы координат. Формулы и их доказательства для пространственного случая аналогичны плоскому случаю (ссылка). Пусть в пространстве заданы две декартовы прямоугольные системы координат: «старая» с началом в точке O и осями Ox , Oy , Oz и «новая» с началом в точке O 1 и осями O 1 ~ x , O 1 ~ y , O 1 ~ z причем оси одной системы координат соответственно параллельны осям другой системы и одинаково с ними направлены. Будем говорить, что вторая система координат получена из первой параллельным переносом. Пусть начало O 1 новой системы координат имеет в старой системе координаты x 1 ; y 1 ; z 1 . Пусть M – некоторая точка пространства с координатами x ; y ; z в старой системе координат и ~ x ; ~ y ; ~ z – в новой системе координат. Тогда связь между «старыми» и «новыми» координатами точки задается формулами: 25
| ~ | x x 1 ; | |
| x | ||
| ~ | y y 1 ; | (4.7.1) |
| y | ||
| ~ | z z 1 . | |
| z |
Утверждение 1 . Пусть некоторая поверхность задана уравнением F x x 1 ; y y 1 ; z z 1 0 . Тогда в системе координат с началом в точке O 1 x 1 ; y 1 ; z 1 и осями O 1 ~ x , O 1 ~ y , O 1 ~ z , полученной параллельным переносом, уравнение поверхности будет иметь вид F ~ x ; ~ y ; ~ z 0 . Пример. Нарисуйте поверхность 4 x 2 y 2 z 2 8 x 4 y 2 z 3 . Решение . Выделим полные квадраты по переменным x , y , z : 4 x 2 8 x y 2 4 y z 2 2 z 3 ; 4 x 2 2 x y 2 4 y z 2 2 z 3 ; 4 x 2 2 x 1 1 y 2 4 y 4 4 z 2 2 z 1 1 3 4 x 2 2 x 1 4 y 2 4 y 4 4 z 2 2 z 1 1 3 . Отсюда 4 x 1 2 y 2 2 z 1 2 4 .
| Разделим обе части на 4: | |||||||
| x 1 2 | y 2 2 | z 1 2 | |||||
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 . | ||
| 1 | |||||||
| Введем новую систему координат | с | началом в точке O 1 1; 2;1 , | |||||
получающуюся из старой параллельным переносом. По утверждению 1 получим, что в новой системе поверхность задается уравнением
| ~ 2 | ~ 2 | ~ 2 | ||||
| x | y | z | 1 . | |||
| 2 | 2 | 2 | ||||
| 1 | 2 | 2 | ||||
| Данное уравнение отличается от канонического уравнения однополостного | |||||||||||||||
| ~ | |||||||||||||||
| гиперболоида тем, что поменялись ролями оси ординат ( O 1 y ) и аппликат | |||||||||||||||
| ~ | осей, | произведем | построение | поверхности | с | ||||||||||
| ( O 1 z ). Не переобозначая | |||||||||||||||
| помощью сечений. В сечении плоскостью | ~ | ~ | получаем | эллипс | с | ||||||||||
| xO 1 z | |||||||||||||||
| уравнением | ~ 2 | ~ | 2 | ||||||||||||
| x | z | 1 . | |||||||||||||
| 2 | 2 | ||||||||||||||
| 1 | 2 | ~ | ~ | ||||||||||||
| Его полуоси равны 1 и 2 и лежат соответственно на осях | |||||||||||||||
| O 1 x | и O 1 y . В | ||||||||||||||
| ~ ~ | получаем гиперболу с уравнением | ||||||||||||||
| сечении плоскостью xO 1 y | |||||||||||||||
| ~ 2 | ~ 2 | ||||||||||||||
| x | y | 1 . | |||||||||||||
| 2 | 2 | ||||||||||||||
| 1 | 2 | ||||||||||||||
Ее мнимая ось лежит на оси O 1 ~ y , а действительная ось лежит на оси O 1 ~ x , полуоси соответственно равны 2 и 1. В сечении плоскостью ~ xO 1 ~ z получаем равностороннюю гиперболу с уравнением ~ y 2 ~ z 2 1 . 2 2 2 2 Ее мнимая ось лежит на оси O 1 ~ y , а действительная ось лежит на оси O 1 ~ z , обе полуоси равны 2. Для большей наглядности нарисуем еще два сечения плоскостями параллельными плоскости ~ xO 1 ~ z . В сечениях получим эллипсы, подобные эллипсу в плоскости ~ xO 1 ~ z . По рассмотренным сечениям можно представить себе форму гиперболоида и его расположение в пространстве (рис. 4.7.1). Объемное изображение приведено на рис. 4.7.2. Рис. 4.7.1. Изображение поверхности с помощью сечений
Рис. 4.7.2. Объемное изображение поверхности § 4.8. Задачи к главе 4. 4.1. Привести уравнение поверхности к каноническому виду и изобразить поверхность в новой системе координат. 4.1.1. 4 x 2 y 2 16 z 2 16 0 4.1.2. 3 x 2 y 2 9 z 2 9 0 4.1.3. 5 x 2 10 y 2 z 2 20 0 4.1.4. 4 x 2 8 y 2 z 2 24 0 4.1.5. x 2 6 y 2 z 2 0 4.1.6. x 2 4 y 2 z 8 0 4.1.7. 4 x 2 6 y 2 24 z 2 96 4.1.8. 4 x 2 5 y 2 5 z 2 40 0 4.1.9. x 2 81 y 2 z 2 4.1.10. 10 x 2 y 2 5 z 2 4.1.11. x 2 7 y 2 14 z 2 21 0 4.1.12. 6 x 2 y 2 3 z 2 12 0 4.1.13. 16 x 2 y 2 4 z 2 32 0 4.1.14. 5 x 2 y 2 15 z 2 15 0 28