Получить вектор-столбец матрицы с++
Я могу легко получить вектор-строку этой матрицы, например a[1] вернет вектор, который содержит <5, 6, 7, 8>. Есть ли способ получить так же просто вектор-столбец матрицы? То есть, например, по индексу 2 получить вектор, который содержит .
Отслеживать
задан 17 фев 2019 в 10:10
719 6 6 серебряных знаков 21 21 бронзовый знак
Без копирования или введения новых абстракций — нет
17 фев 2019 в 10:11
@int3 А как это можно сделать копированием?
17 фев 2019 в 10:14
1 ответ 1
Сортировка: Сброс на вариант по умолчанию
vector> a = < , , >; vector b; for(const auto& e: a) b.push_back(e[2]); Отслеживать
ответ дан 17 фев 2019 в 10:31
222k 15 15 золотых знаков 120 120 серебряных знаков 234 234 бронзовых знака
- c++
- vector
- stl
-
Важное на Мете
Похожие
Подписаться на ленту
Лента вопроса
Для подписки на ленту скопируйте и вставьте эту ссылку в вашу программу для чтения RSS.
Дизайн сайта / логотип © 2024 Stack Exchange Inc; пользовательские материалы лицензированы в соответствии с CC BY-SA . rev 2024.4.30.8420
Собственные значения (числа) и собственные векторы.
Примеры решений
Второй урок о линейных преобразованиях будет посвящён собственным числам и собственным значениям их матриц, и для более интересного чтения я рекомендую ознакомиться с первой статьёй. Однако если у вас совсем нет времени/сил/желания, то задачи этой страницы можно освоить и чисто формально. С небольшой художественной формальности я, собственно, и начну:
Рассмотрим произвольную квадратную матрицу, например, . И умножим данную матрицу справа на какой-нибудь подходящий столбец. Мне пришёл в голову вектор :
Вроде ничего примечательного – умножили матрицу на вектор-столбец и получили другой вектор-столбец . Обычная векторная жизнь. Но в обществе таких векторов существуют особые представители, которые обладают внутренним стержнем и не желают изменять себе в трудные минуты.
Умножим ту же матрицу на :
На последнем шаге вынесли константу. Что произошло? В результате умножения матрицы на вектор , данный вектор птицей Феникс возродился с числовым коэффициентом :
Определение: ненулевой вектор , который при умножении на некоторую квадратную матрицу превращается в самого же себя с числовым коэффициентом , называется собственным вектором матрицы . Число называют собственным значением или собственным числом данной матрицы.
Поскольку каждой квадратной матрице соответствует определенное линейное преобразование (в некотором базисе), то, исходя из содержательного смысла, часто говорят о собственных значениях и собственных векторах линейного преобразования.
В Википедии есть удачный геометрический пример (взгляните!), иллюстрирующий рассматриваемые понятия – на репродукции Джоконды синий вектор не меняется в результате перекоса плоскости, а значит, является собственным вектором данного линейного преобразования с коэффициентом . И из комментария к иллюстрации можно сразу узнать, что любой коллинеарный ему вектор – тоже будет собственным вектором данного линейного преобразования. Я скуп на внешние ссылки, но здесь не удержался, пожалуйста, сообщите, если эту картинку вдруг удалят.
Примеры ещё будут, примеры интересные, ну а пока что продолжаем:
В первых абзацах статьи собственный вектор был выставлен «главным действующим лицом», но на самом деле всё немного не так: говорят, что собственный вектор соответствует собственному значению . И в практических заданиях сначала разыскиваются собственные числа и только потом соответствующие им собственные векторы.
Как найти собственные значения и собственные векторы матрицы?
Проведём исследование и получим алгоритм, по которому нужно решать данную задачу. Люди, которые не очень хорошо разбираются в математике (да и которые хорошо) обычно в страхе или отвращении захлопывают учебник, когда речь заходит о каком-либо доказательстве или выводе какой-нибудь формулы. Но это не тот случай – всё будет понятно даже полному чайнику:
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
Перед вами та же матрица, у которой я уже выдал одно собственное значение и один собственный вектор. Давайте научимся добывать их самостоятельно!
Обозначим через неизвестный собственный вектор. Тогда матричное уравнение запишется следующим образом:
В левой части по обычному правилу проведём матричное умножение, в правой части – внесём «лямбду»:
Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Приравниваем соответствующие элементы векторов-столбцов и получаем однородную систему линейных уравнений:
Перенесём всё налево:
В первом уравнении за скобки вынесем «икс», во втором уравнении – «игрек»:
По определению, собственный вектор не может быть нулевым , поэтому нас не устраивает тривиальное решение системы. А если однородная система имеет ненулевое решение, то её уравнения линейно зависимы и определитель матрицы равен нулю:
Это так называемое характеристическое уравнение матрицы , корни которого являются собственными числами данной матрицы.
На практике, как правило, не нужно расписывать подробный вывод формулы – вполне достаточно руководствоваться формальным алгоритмом, и решение задачи можно начать примерно так:
Сначала найдём собственные значения
Составим характеристическое уравнение. Смотрим на исходную матрицу и записываем её определитель, вычитая при этом «лямбду» из чисел главной диагонали:
Раскроем определитель и решим квадратное уравнение:
Таким образом, собственные значения:
Желательно располагать их в порядке возрастания, хотя это не принципиально.
Теперь найдём собственные векторы
В данном примере получены различные собственные числа и каждому из них соответствует свои собственные векторы.
1) Рассмотрим собственное число и подставим значение в однородную систему уравнений :
Для записи системы целесообразно запомнить формальный приём: мысленно либо на черновике подставляем в определитель :
– это и есть коэффициенты системы.
Из обоих уравнений следует:
Если в ходе решения выяснилось, что линейной зависимости нет (т.е. получается только тривиальное решение, в данном примере ) – ищите ошибку! Этот признак касается всех задач рассматриваемого типа.
Итак, в нашем распоряжении есть выражение , и, придавая переменной «игрек» (либо «икс») произвольные значения, мы получаем бесконечно много собственных векторов . Все они будут коллинеарны друг другу, и поэтому нам достаточно указать один из них. Обычно стараются выбрать «красивый» вектор – чтобы его «иксовая» координата была положительной, целой и минимальной, а «игрек» не дробным.Этому эстетическому критерию соответствует значение , тогда:
Теперь обязательно проверяем, что частное решение удовлетворяет каждому уравнению системы:
Таким образом: – первый собственный вектор.
2) Найдём собственные векторы, соответствующие числу . Для этого мысленно либо на черновике подставим его в определитель и запишем вторую однородную систему:
Из обоих уравнений следует, что .
В результате: – второй собственный вектор.
Повторим важные моменты решения:
– полученная система непременно имеет общее решение (уравнения линейно зависимы);
– «игрек» подбираем таким образом, чтобы он был целым и первая «иксовая» координата – целой, положительной и как можно меньше.
– проверяем, что частное решение удовлетворяет каждому уравнению системы.
Ответ: собственные числа: , собственные векторы: .
Промежуточных «контрольных точек» было вполне достаточно, поэтому проверка равенств , в принципе, дело излишнее.
В различных источниках информации координаты собственных векторов довольно часто записывают не в столбцы, а в строки, например: (и, если честно, я сам привык записывать их строками). Такой вариант приемлем, но в свете темы линейных преобразований технически удобнее использовать векторы-столбцы.
Возможно, решение показалась вам очень длинным, но это только потому, что я очень подробно прокомментировал первый пример.
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
Тренируемся самостоятельно! Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.
Иногда требуется выполнить дополнительное задание, а именно:
записать каноническое разложение матрицы
Если собственные векторы матрицы образуют базис, то она представима в виде:
, где – матрица составленная из координат собственных векторов, – диагональная матрица с соответствующими собственными числами.
Такое разложение матрицы называют каноническим или спектральным.
Рассмотрим матрицу первого примера. Её собственные векторы линейно независимы (неколлинеарны) и образуют базис. Составим матрицу из их координат:
На главной диагонали матрицы в соответствующем порядке располагаются собственные числа, а остальные элементы равняются нулю:
– ещё раз подчёркиваю важность порядка: «двойка» соответствует 1-му вектору и посему располагается в 1-м столбце, «тройка» – 2-му вектору.
По обычному алгоритму нахождения обратной матрицы либо методом Гаусса-Жордана находим . Нет, это не опечатка! – перед вами редкое, как солнечное затмение событие, когда обратная совпала с исходной матрицей.
Осталось записать каноническое разложение матрицы :
Желающие могут перемножить три матрицы и удостовериться, что произведение равно .
Разрешив матричное уравнение относительно диагональной матрицы, можно получить другое соотношение:
Диагональную матрицу также называют матрицей линейного преобразования в базисе из собственных векторов. Если не очень понятно, то давайте вспомним заключительную часть урока о линейных преобразованиях. В ней мы выяснили, что одному и тому же линейному преобразованию в разных базисах в общем случае соответствуют разные матрицы (в частности, матрицы и в нашем примере). И наиболее удобным из них как раз и является базис из собственных векторов (в случае его существования).
Более того, все матрицы конкретного линейного преобразования в одном и том же векторном пространстве имеют один и то же характеристический многочлен, из-за чего характеристическое уравнение, вероятно, и получило своё название.
Так, легко убедиться, что характеристическое уравнение матрицы :
– совпадает с характеристическим уравнением матрицы , которое мы получили в 1-м примере.
Однако такой удобный базис существует далеко не всегда:
Найти каноническое разложение матрицы
Решение: найдем собственные значения. Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены кратные собственные числа.
Мысленно либо на черновике подставим в определитель и запишем однородную систему линейных уравнений:
Очевидно, «игрек» равен нулю: (иначе в первом уравнении получится неверное равенство). За «икс» можно принять любое ненулевое значение, в хорошем стиле положим, что . Не ленимся и проверяем, что эта пара значений удовлетворяет каждому уравнению системы!
Таким образом, кратным собственным числам соответствует одно множество коллинеарных друг другу собственных векторов в «лице» вектора , и поэтому канонического разложения матрицы не существует.
Почему? Потому что невозможно записать матрицу , которая должна состоять из двух линейно независимых собственных векторов. Размерность вектора равна двум («икс» и «игрек»), но сам-то вектор – один-одинёшенек. Коллинеарный товарищ, например , в пару не годится (хотя бы по той причине, что и обратной матрицы попросту не существует).
У рассмотренного примера есть простое геометрическое объяснение: матрица определяет не что иное, как «перекос Джоконды», у которого существует лишь одно множество коллинеарных друг другу собственных векторов, которые это линейное преобразование переводит в коллинеарные исходным, причём равные векторы (коль скоро, )
Ответ: собственные векторы не образуют базиса, поэтому требуемое разложение неосуществимо.
Обратите внимание на корректность и точность ответа – нас никто не спрашивал о собственных значениях и собственных векторах. Кстати, об условии – его могут сформулировать и коварно: записать матрицу линейного преобразования в базисе из собственных векторов. Коварство состоит в том, что здесь можно найти собственные числа и машинально дать нелегальный ответ . Но базиса-то не существует!
И сейчас назрели важные вопросы:
Сколько у матрицы собственных чисел и собственных векторов?
Ну, во-первых (вроде не говорил), эти понятия определены только для квадратных матриц.
И с собственными числами всё просто:
у матрицы существует ровно собственных значений.
Могут ли они быть комплексными? Запросто. Простейший пример: – матрица поворота декартовой системы координат против часовой стрелки на угол , отличный от 180 и 360 градусов. Возьмём «школьный» угол в 30 градусов, запишем соответствующую матрицу поворота и составим характеристическое уравнение:
Оно имеет сопряжённые комплексные корни , и дальнейшее решение показывает, что у рассматриваемого преобразования нет действительных собственных векторов. И это очевидно – при повороте на 30 градусов любой ненулевой вектор отображается в неколлинеарный ему вектор.
Случай второй, самый распространённый. Собственные числа матрицы действительны и различны (как, например, в Примерах 1, 2). Такое линейное преобразование имеет ровно собственных линейно независимых векторов, и его недиагональную матрицу всегда можно записать в виде .
Случай третий, самый интересный. Среди собственных чисел есть кратные, или же только кратные, как в Примере 3. В этих случаях неколлинеарных собственных векторов может оказаться… сколько угодно! Меньше, чем собственных чисел (Пример 3). Может оказаться ровно штук, и тогда будет существовать разложение .
А может – вообще бесконечно много! Например, при повороте плоскости на 180 градусов. Ему соответствует матрица с характеристическим уравнением с кратными собственными числами ; и, продолжая стандартное решение, мы приходим к симпатичной системе , которой удовлетворяют координаты вообще любого вектора. Таким образом, любой ненулевой вектор этого преобразования является собственным! Оно и неудивительно – ведь при повороте на 180 градусов любой ненулевой вектор отображается в коллинеарный и противоположно направленный вектор, например:
, и, вынося собственное число из столбца: , мы окончательно убеждаемся, что – есть собственный вектор.
Следует отметить, что этот поворот – частный случай преобразования подобия, и у подобия, к слову, тоже любой ненулевой вектор собственный. Коэффициент же подобия – есть не что иное, как соответствующее собственное значение, в частности, при все геометрические объекты сохраняют свои размеры неизменными
Однако не будем слишком увлекаться геометрией – ведь в термины вектор, базис и др. вкладывается, прежде всего, алгебраический смысл. Собственные векторы и собственные значения используются во многих математических задачах, моделях, но мы не будем увлекаться и ими 🙂 – сейчас важно освоить техническую сторону вопроса.
И задачи с матрицей «три на три» отличаются бОльшей технической сложностью:
Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей
Решение: такая формулировка задачи смущать не должна – ведь это и есть «генеральная линия партии». Энтузиасты могут провести самостоятельные выкладки по аналогии с Примером № 1, я же ограничусь «рабочим» решением примера.
По условию требуется найти собственные векторы, но алгоритм таков, что в первую очередь всё равно нужно найти собственные числа.
Вычтем «лямбду» из всех чисел главной диагонали матрицы и составим её характеристическое уравнение:
Определитель раскроем по первому столбцу:
На этом месте немного притормозим и познакомимся с очень полезным техническим приёмом, который значительно упростит дальнейшую жизнь. Практически во всех методических пособиях вам будет предложено раскрыть все скобки, получить слева многочлен 3-й степени, затем подбором найти корень и стать жертвой долгих мытарств, описанных в Примере № 1 урока Сложные пределы. За годы практики я отработал рациональную схему, позволяющую избежать этих неприятностей:
Сначала представим в виде произведения «хвост» левой части:
Выполненное действие не привело к заметному результату.
Поэтому пробуем разложить на множители квадратный трёхчлен . Решив квадратное уравнение, получаем .
Вынесем за скобку и проведём дальнейшие упрощения:
Решаем ещё одно квадратное уравнение, в итоге:
Это была самая длинная ветка алгоритма, в большинстве случаев произведение получается значительно быстрее.
Собственные значения всегда стараемся расположить в порядке возрастания:
Найдем собственные векторы:
1) Мысленно либо на черновике подставим значение в определитель , с которого «снимем» коэффициенты однородной системы:
Систему можно решить с помощью элементарных преобразований и в следующих примерах мы прибегнем к данному методу. Но здесь гораздо быстрее срабатывает «школьный» способ. Из 3-го уравнения выразим: – подставим во второе уравнение:
Поскольку первая координата нулевая, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует, что .
И снова обратите внимание на обязательное наличие линейной зависимости. Если получается только тривиальное решение , то либо неверно найдено собственное число, либо с ошибкой составлена / решена система.
Компактные координаты даёт значение
И ещё раз – проверяем, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы. В последующих пунктах и в последующих задачах рекомендую принять данное пожелание за обязательное правило.
2) Для собственного значения по такому же принципу получаем следующую систему:
Из 2-го уравнения системы выразим: – подставим в третье уравнение:
Поскольку «зетовая» координата равна нулю, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует линейная зависимость .
Проверяем, что решение удовлетворяет каждому уравнению системы.
Таким образом, собственный вектор: .
3) И, наконец, собственному значению соответствует система:
Второе уравнение выглядит самым простым, поэтому из него выразим и подставим в 1-е и 3-е уравнение:
Всё хорошо – выявилась линейная зависимость , которую подставляем в выражение :
В результате «икс» и «игрек» оказались выражены через «зет»: . На практике не обязательно добиваться именно таких взаимосвязей, в некоторых случаях удобнее выразить и через либо и через . Или даже «паровозиком» – например, «икс» через «игрек», а «игрек» через «зет»
Проверяем, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы и записываем третий собственный вектор
Ответ: собственные векторы:
Геометрически эти векторы задают три различных пространственных направления («туда-обратно»), по которым линейное преобразование переводит ненулевые векторы (собственные векторы) в коллинеарные им векторы.
Если бы по условию требовалось найти каноническое разложение , то здесь это возможно, т. к. различным собственным числам соответствуют разные линейно независимые собственные векторы. Составляем матрицу из их координат, диагональную матрицу из соответствующих собственных значений и находим обратную матрицу .
Если же по условию нужно записать матрицу линейного преобразования в базисе из собственных векторов, то просто указываем матрицу . Внимательно читайте, что требует условие той или иной задачи!
Задача с более простыми вычислениями для самостоятельного решения:
Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей
При нахождении собственных чисел постарайтесь не доводить дело до многочлена 3-й степени. Системы можно решать разными путями – здесь нет однозначности, а векторы, которые вы укажите, могут отличаться от векторов в образце с точностью до пропорциональности их соответствующих координат. Например, и . Эстетичнее представить ответ в виде , но ничего страшного, если остановитесь и на втором варианте. Однако всему есть разумные пределы, версия смотрится уже не очень хорошо.
Примерный чистовой образец оформления задания в конце урока.
Как решать задачу в случае кратных собственных чисел?
Общий алгоритм остаётся прежним, но здесь есть свои особенности, и некоторые участки решения целесообразно выдержать в более строгом академичном стиле:
Найти собственные числа и собственные векторы
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
Конечно же, оприходуем сказочный первый столбец:
И, после разложения квадратного трёхчлена на множители:
В результате получены собственные числа , два из которых кратны.
Найдем собственные векторы:
1) С одиноким солдатом разделаемся по «упрощённой» схеме:
Из последних двух уравнений четко просматривается равенство , которое, очевидно, следует подставить в 1-е уравнение системы:
Лучшей комбинации не найти:
Собственный вектор:
2-3) Теперь снимаем пару часовых. В данном случае может получиться либо два, либо один собственный вектор. Невзирая на кратность корней, подставим значение в определитель , который приносит нам следующую однородную систему линейных уравнений:
Собственные векторы – это в точности векторы
фундаментальной системы решений
Собственно, на протяжении всего урока мы только и занимались тем, что находили векторы фундаментальной системы. Просто до поры до времени данный термин особо не требовался. Кстати, те ловкие студенты, которые в маскхалатах проскочили тему однородных уравнений, будут вынуждены вкурить её сейчас.
Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
Единственное действие состояло в удалении лишних строк. В результате получена матрица «один на три» с формальной «ступенькой» посередине.
– базисная переменная, – свободные переменные. Свободных переменных две, следовательно, векторов фундаментальной системы тоже два.
Выразим базисную переменную через свободные переменные: . Нулевой множитель перед «иксом» позволяет принимать ему совершенно любые значения (что хорошо видно и из системы уравнений).
В контексте данной задачи общее решение удобнее записать не в строку, а в столбец:
Паре соответствует собственный вектор:
Паре соответствует собственный вектор:
Примечание: искушенные читатели могут подобрать данные векторы и устно – просто анализируя систему , но тут нужны некоторые знания: переменных – три, ранг матрицы системы – единица, значит, фундаментальная система решений состоит из 3 – 1 = 2 векторов. Впрочем, найденные векторы отлично просматриваются и без этих знаний чисто на интуитивном уровне. При этом даже «красивее» запишется третий вектор: . Однако предостерегаю, в другом примере простого подбора может и не оказаться, именно поэтому оговорка предназначена для опытных людей. Кроме того, а почему бы не взять в качестве третьего вектора, скажем, ? Ведь его координаты тоже удовлетворяют каждому уравнение системы, и векторы линейно независимы. Такой вариант, в принципе, годен, но «кривоват», поскольку «другой» вектор представляет собой линейную комбинацию векторов фундаментальной системы.
Ответ: собственные числа: , собственные векторы:
Аналогичный пример для самостоятельного решения:
Найти собственные числа и собственные векторы
Примерный образец чистового оформления в конце урока.
Следует отметить, что и в 6-м и в 7-м примере получается тройка линейно независимых собственных векторов, и поэтому исходная матрица представима в каноническом разложении . Но такая малина бывает далеко не во всех случаях:
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
Определитель раскроем по первому столбцу:
Дальнейшие упрощения проводим согласно рассмотренной методике, избегая многочлена 3-й степени:
Найдем собственные векторы:
1) С корнем затруднений не возникает:
Не удивляйтесь, помимо комплекта в ходу также переменные – разницы тут никакой.
Из 3-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 2-е уравнения:
Из обоих уравнений следует:
2-3) Для кратных значений получаем систему .
Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2.
(2) Последние две строки одинаковы, одну из них удалили.
(3) Дальше пошла уместная доводка матрицы методом Гаусса-Жордана: к первой строке прибавили вторую строку.
(4) У первой строки сменили знак.
Переменные – базисные, переменная – свободная. Так как свободная переменная одна, то фундаментальная система решений состоит из одного вектора. И мы счастливые наблюдатели случая, когда кратным собственным числам соответствует единственный собственный вектор. Записываем в столбец общее решение системы: , и, задавая свободной переменной значение , получаем нашего героя:
Ответ: собственные числа: , собственные векторы: .
Здесь матрицу нельзя представить виде – по той простой причине, что «собственного» базиса не существует – хоть трёхмерные векторы-столбцы и линейно независимы, но самих-то их всего лишь два. Недобор.
Шестое чувство мне подсказывает, что многие воодушевились на задание повышенной сложности:
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
Можно ли записать каноническое разложение этой матрицы?
Не беда, если дело застопорилось, в психотерапевтических целях отложите тетрадь с решением на чёрный день. Когда заест скука – самое то =)
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: Найдем собственные значения. Составим и решим характеристическое уравнение:
– собственные значения.
Найдем собственные векторы:
1)
Пусть
– собственный вектор.
2)
Пусть
– собственный вектор.
Ответ: собственные значения: , собственные векторы: .
Пример 5: Решение: сначала найдем собственные числа. Составим и решим характеристическое уравнение:
Определитель раскроем по первой строке:
– собственные значения.
Найдем собственные векторы:
1)
Пусть
2)
Пусть
3)
Пусть
Ответ: собственные векторы:
Пример 7: Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
– собственные значения.
Найдем собственные векторы:
1-2)
Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
Выразим базисную переменную через свободные переменные: и запишем общее решение: . Найдём векторы фундаментальной системы, которые и являются собственными векторами матрицы:
Паре соответствует собственный вектор:
Паре соответствует собственный вектор:
Примечание: в качестве решения системы линейных уравнений напрашивается тройка , но вектор линейно выражается через векторы фундаментальной системы. Использование такого и подобных ему решений в качестве одного из собственных векторов корректно, но нестандартно.
3)
Пусть
Ответ: собственные числа: , собственные векторы:
Пример 9: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
Определитель вычислим понижением порядка. К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на –1. К четвёртой строке прибавим вторую строку, умноженную на :
Разложим определитель по 4-му столбцу:
К третьей строке прибавим первую строку:
Собственные значения:
Найдем собственные векторы:
1)
Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
(1) Первую и третью строку поменяли местами.
(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку, умноженную на –1 и –2 соответственно.
(3) Вторую строку разделили на 2.
(4) К 3-й и 4-й строкам прибавили вторую строку, умноженную на –1.
(5) Последние две строки пропорциональны, третью строку удалили. У первой строки сменили знак, вторую строку умножили на 2.
(6) К первой и второй строкам прибавили третью строку.
(7) У первой строки сменили знак, последние две строки разделили на 2.
Выразив базисные переменные через свободную, запишем общее решение: . Придаём свободной переменной значение и получаем собственный вектор
2-3)
Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
(1) Первая и четвёртая строки одинаковы. Вторая и третья строки одинаковы. Первую и вторую строку удалили из матрицы.
Выразим базисные переменные через свободные переменные :
Таким образом, общее решение: .
Фундаментальная система состоит из двух векторов:
при получаем ;
при получаем .
4)
Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
(1) Первую и третью строку поменяли местами.
(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку, умноженную на –1 и 2 соответственно.
(3) Вторую строку разделили на 2.
(4) К 3-й и 4-й строкам прибавили вторую строку.
(5) Последние две строки пропорциональны, третью строку удалили. Вторую строку умножили на –2.
(6) К первой и второй строкам прибавили третью строку.
(7) Последние две строки разделили на 2.
Общее решение: . Придаём свободной переменной значение и получаем собственный вектор .
Ответ: собственные значения: , собственные векторы:
. Перечисленные четыре четырехмерных вектора линейно независимы, и поэтому матрицу линейного преобразования можно записать в виде . Но не нужно =)
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
Векторы и матрицы — Детерминант
Разбираюсь с физическим и геометрическим смыслом матриц.
Векторы (1,3) и (3,1)
Вектор в координатной плоскости можно обозначать двумя цифрами — координатами Х и Y конца вектора, — при этом по умолчанию считается, что начало вектора находится в центре координат (0,0).
Соответственно, можно и длину такого вектора определить — по теореме Пифагора.
В других случаях вектор обозначается одной прописной буквой — а, b, с и т.д. Из-за этого происходит довольно много путаницы, особенно когда переходим от векторов к матрицам.
Векторы с координатами можно объединять в матрицы и производить с ними загадочные действия, в результате которых почему-то получаются правильные ответы. Загадочные эти действия потому, что смысл их не улавливается. Приходится довольно долго возиться, чтобы понять, откуда что берется.
Например, детерминант (определитель) матрицы.
Матрица первого порядка (одномерная) — это когда у вектора одна циферка, и эта циферка означает длину вектора.
Матрица второго порядка (двумерная): векторы на координатной плоскости, обозначаются двумя цифрами, и эти цифры обозначают длину проекций на оси Х и Y (первый рисунок поста).
А вот дальше — с определителем матрицы — уже не так просто понять, откуда взялось вот это выражение (ad-bc), которое равно площади параллелограмма, образованного векторами.
А взялась эта площадь из геометрических соображений. Пусть у нас два вектора ОА (3,4) и ОС (2,1) и матрица, составленная из координат этих векторов 
Из чертежа видно,
что, если из площади квадрата OHBD вычесть площади треугольников OCF, ABG, OAK, CEB и вычесть площадь прямоугольников FCED и KHGA, то как раз останется площадь параллелограмма ОАВС, образованного векторами ОА и ОС.
Площадь параллелограмма равна определителю матрицы.
А когда определитель матрицы равен нулю, векторы сливаются, площади нет, матрица вырождена.
Координаты вектора в базисе
Инструкция . Для онлайн решения необходимо задать количество векторов или размерность заданной матрицы.
Пример №1 . Даны векторы ε1(2;1;3), ε2(3;-2;1), ε3(1;-3;-4), X(7;0;7). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.
Решение. Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить, образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.
Вычислим определитель матрицы:
X = 2ε1 + ε2
В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
Пример №2 . В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
a1=(1;5;3), a2=(2;1;-1), a3=(4;2;1), a4=(17;13;4).