Как приравнять к нулю

Решение уравнений «дробь равна нулю», описание метода, примеры

Отдельного внимания заслуживают уравнения «дробь равна нулю», то есть, уравнения f(x)/g(x)=0 , где f(x) и g(x) – произвольные выражения с переменной x . В этой статье мы, во-первых, разберем, в чем состоит метод решения таких уравнений, на чем он базируется и как обосновывается. А во-вторых, запишем алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю» и решим несколько характерных примеров.

В чем состоит метод решения и на чем он базируется?

Метод решения уравнений «дробь равна нулю», то есть уравнений, имеющих вид f(x)/g(x)=0 , состоит в нахождении решения через решение уравнения «числитель равен нулю», то есть, через решение уравнения f(x)=0 . Пример для наглядности: решение уравнения можно найти через решения уравнения (x−1)·(x 2 −4)=0 .

Базируется метод на следующем утверждении:

Множество решений уравнения f(x)/g(x)=0 совпадает с множеством решений уравнения f(x)=0 на ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 . В частности, решением уравнения 0/g(x)=0 является любое число из ОДЗ для этого уравнения, а уравнение C/g(x)=0 , где С – отличное от нуля число, не имеет решений.

Докажем это утверждение в следующем пункте.

Обоснование метода

В основе доказательства утверждения из предыдущего пункта лежит хорошо известный факт: дробь a/b , b≠0 равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль. Этот факт вытекает из определения дроби (дробь a/b , b≠0 есть такое число c , что b·c=a ) и из того, что произведение двух чисел тогда и только тогда равно нулю, когда одно из чисел есть нуль.

Начнем с доказательства частных случаев.

Докажем, что решение уравнения 0/g(x)=0 есть ОДЗ для него. В силу того, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, равенство 0/g(x₀)=0 является верным для любого числа x₀ , при котором оно имеет смысл. Очевидно, что равенство 0/g(x₀)=0 имеет смысл тогда и только тогда, когда x₀ принадлежит ОДЗ для уравнения 0/g(x)=0 . Значит, решение уравнения 0/g(x)=0 есть ОДЗ для этого уравнения.

Докажем, что уравнение C/g(x)=0 , где С – отличное от нуля число, не имеет решений. Так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, то равенство C/g(x₀)=0 , C≠0 не может быть верным ни для какого числа x₀ . Следовательно, уравнение C/g(x)=0 , C≠0 не имеет решений.

Теперь будем считать, что числитель дроби f(x)/g(x) есть выражение с переменной, а не число, и докажем, что множество решений уравнения f(x)/g(x)=0 совпадает с множеством решений уравнения f(x)=0 на ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 . Для этого достаточно доказать два момента: первый — что любой корень уравнения f(x)/g(x)=0 является корнем уравнения f(x)=0 , второй — что любой корень уравнения f(x)=0 , принадлежащий ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 , является корнем уравнения f(x)/g(x)=0 .

Приступаем к доказательству первой части. Пусть x₀ – корень уравнения f(x)/g(x)=0 . Тогда f(x₀)/g(x₀)=0 – верное числовое равенство. Из этого неравенства и из того факта, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, следует, что f(x₀)=0 . А это равенство означает, что x₀ – корень уравнения f(x)=0 .

Первая часть доказана. Приступаем к доказательству второй части.

Пусть x₀ принадлежит ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 и при этом x₀ — корень уравнения f(x)=0 . Так как x₀ принадлежит ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 , то дробь f(x₀)/g(x₀) имеет смысл. Так как x₀ – корень уравнения f(x)=0 , то f(x₀)=0 – верное числовое равенство. Из этих результатов, а также из того факта, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, следует, что дробь f(x₀)/g(x₀) равна нулю, то есть, f(x₀)/g(x₀)=0 . А это равенство означает, что x₀ – корень уравнения f(x)/g(x)=0 .

Так доказана вторая часть и все утверждение в целом.

Алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю»

Доказанное утверждение позволяет записать алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю»:

Если уравнение имеет вид 0/g(x)=0 , то надо найти область допустимых значений для этого уравнения – она и есть искомое решение уравнения.
Если уравнение имеет вид C/g(x)=0 , C – отличное от нуля число, то сразу записываем ответ – нет решений.
Если уравнение имеет вид f(x)/g(x)=0 , где f(x) – выражение с переменной, а не число, то
- приравниваем числитель к нулю и решаем полученное уравнение f(x)=0 ,
- отсеиваем посторонние корни (отбрасываем все корни, не принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения, как посторонние).
Заметим, что записанный алгоритм находится в полном согласии с принципами решения дробно-рациональных уравнений, имеющих вид «дробь равна нулю». Принципы решения таких уравнений раскрываются на уроках алгебры в 8 классе. Оттуда нам известно, что для решения дробно-рационального уравнения, имеющего вид f(x)/g(x)=0 нужно приравнять к нулю числитель, решить полученное уравнение и отбросить те корни, при которых обращается в нуль знаменатель [1, с.26-30]. По сути, отбрасывание значений, при которых обращается в нуль знаменатель решаемого дробно-рационального уравнения f(x)/g(x)=0 , есть отсеивание посторонних корней по ОДЗ, так как в этом случае ОДЗ определяется условием g(x)≠0 .

Решение примеров

Рассмотрим решения трех характерных уравнений «дробь равна нулю»: с нулем в числителе, с отличным от нуля числом в числителе, и с выражением с переменной в числителе. Ими мы закроем все три типичные ситуации.

Сначала решим уравнение с нулем в числителе: .

Решите уравнение

Теперь решим уравнение , в числителе которого отличное от нуля число.

Решите уравнение

Осталось рассмотреть решение уравнения «дробь равна нулю» в случае, когда в числителе находится выражение с переменной, а не число. В этом случае, согласно алгоритму, нужно приравнять к нулю числитель, решить полученное уравнение и отсеять посторонние корни.

Решите уравнение

Private данные. Как приравнять переменную к нулю

Как приравнять значение поля к нулю если поле пустое или в нем буква
Имеется поле TEdit именованное Pk. double Pk; numPk=Pk->Text.ToDouble(); Если поле пустое.

приравнять к нулю
Есть определенный день с данными. Необходимо просумировать те строки в которых нет галочки. А если.

Можно ли как-то приравнять переменную одного типа к другому
К примеру если в интовому X вводом с клавиатуры будет присвоено не число, а тип char можно было бы.

476 / 448 / 158
Регистрация: 11.09.2011
Сообщений: 1,156

Сообщение было отмечено zss как решение

Решение

В конструкторе:
```
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
```
```
class Text { public: Text() { Quant = 0; } void AddText(); void Quantity(); private: vectorString> A; int Quant; };
```
или инициализировать
```
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
```
```
class Text { public: Text():Quant(0) { } void AddText(); void Quantity(); private: vectorString> A; int Quant; };
```
Дробь равна нулю

Дробная черта — это знак деления. При делении нуля на любое число, кроме нуля, получим нуль. На нуль делить нельзя.

Таким образом, дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Решение многих задач в алгебре сводится к решению дробно рациональных уравнений, которые, в свою очередь, сводятся к уравнению типа «дробь равна нулю».

Схематически решение уравнения типа «дробь равна нулю» можно изобразить так:

Таким образом, чтобы решить уравнение типа «дробь равна нулю», надо:

1) Найти значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль.

2) Приравнять к нулю числитель и решить получившееся уравнение.

3) Проверить, нет ли среди корней уравнения «числитель равен нулю» значений, при которых знаменатель обращается в нуль. Если есть, их следует исключить.

4) Записать ответ.

$1)\frac{{{x^2} - 10x + 21}}{{{x^2} - 49}} = 0$

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 10x + 21 = 0\\ {x^2} - 49 \ne 0 \end{array} \right.$

Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль:

Можно приравнять выражение, стоящее в левой части неравенства, к нулю, и решать как обычное неполное квадратное уравнение. Можно решать как уравнение, только вместо знака равенства каждый раз писать «≠».

$(x - 7) \cdot (x + 7) \ne 0$

$x - 7 \ne 0;x + 7 \ne 0$

При этих значениях переменной выражение, стоящее в левой части уравнения, не имеет смысла (так как на нуль делить нельзя).

Решаем уравнение, в котором числитель равен нулю.

$a = 1;b = - 10;c = 21$

Ищем дискриминант. Так как b= -10 — чётное число, здесь удобнее воспользоваться формулой для D/4:

$\frac{D}{4} = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac = {\left( {\frac{{ - 10}}{2}} \right)^2} - 1 \cdot 21 = 4$

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

${x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{ - 10}}{2} \pm \sqrt 4 }}{1} = 5 \pm 2$

${x_1} = 5 + 2 = 7;{x_2} = 5 - 2 = 3.$

Первый из корней — посторонний (он не удовлетворяет условию x≠7), поэтому в ответ записывает только корень 3. Ответ: 3.

$2)\frac{{4x - 8{x^2}}}{{2{x^2} - 5x + 2}} = 0$

Это уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} 4x - 8{x^2} = 0\\ 2{x^2} - 5x + 2 \ne 0 \end{array} \right.$

Его корни — значения переменной, при котором выражение, стоящее в левой части уравнения, не имеет смысла.

$a = 2,b = - 5,c = 2$

$D = {b^2} - 4ac = {( - 5)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9$

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - ( - 5) \pm \sqrt 9 }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{5 \pm 3}}{4}$

${x_1} = \frac{{5 + 3}}{4} = 2;{x_2} = \frac{{5 - 2}}{4} = 0,5$

Общий множитель 4x выносим за скобки

Второй корень не подходит (он не удовлетворяет условию x≠0,5).

Переходим к решению уравнения 3x-12=0. Это — линейное уравнение. Неизвестное — в одну сторону, известное — в другую с противоположным знаком:

Полученный корень является посторонним, так как не удовлетворяет условию x≠4. Значит, исходное уравнение типа «дробь равна 0» корней не имеет.

Ответ: нет корней.

$4)\frac{{{x^2} - x - 42}}{{16{x^2} - 8x + 1}} = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - x - 42 = 0\\ 16{x^2} - 8x + 1 \ne 0 \end{array} \right.$

Решаем квадратное уравнение

$a = 16;b = - 8;c = 1$

$\frac{D}{4} = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac = {\left( {\frac{{ - 8}}{2}} \right)^2} - 16 \cdot 1 = 0$

Так как D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень

$x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{8}{{2 \cdot 16}} = \frac{1}{4}$

Теперь решаем уравнение

$a = 1;b = - 1;c = - 42$

$D = {b^2} - 4ac = {( - 1)^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 42) = 169$

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - ( - 1) \pm \sqrt {169} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{1 \pm 13}}{2}$

${x_1} = \frac{{1 + 13}}{2} = 7;{x_2} = \frac{{1 - 13}}{2} = - 6.$

Посторонних корней нет (оба корня удовлетворяют условию x≠1/4).

Как приравнять к нулю

Нам нужно решить уравнение «дробь равна нулю». Схема решения таких уравнений следующая:
- приравнять к нулю числитель и решить полученное уравнение,
- отсеять корни, не принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения.
Приравняв к нулю числитель, получаем уравнение . Произведение в левой части уравнения и нуль в правой части подталкивают провести решение методом разложения на множители. Согласно этому методу, нам нужно перейти к совокупности двух уравнений и sinx=0 , решить ее, и взять корни, принадлежащие ОДЗ для решаемого уравнения .

Решение совокупности уравнений и sinx=0 будем вести стандартным путем: решим по очереди составляющие ее уравнения, и объединим полученные решения. Начинаем с решения показательного уравнения:
.

Теперь решаем второе уравнение совокупности sinx=0 . Это простейшее тригонометрическое уравнение, оно имеет следующее решение: .

Таким образом, решениями совокупности являются и .

Все найденные корни принадлежат ОДЗ для уравнения , которая, очевидно, есть множество всех действительных чисел.

Итак, мы решили уравнение, полученное в результате приравнивания к нулю числителя дроби из исходного уравнения. Оно имеет следующие корни: и . Остается отсеять корни, не принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения.

ОДЗ для исходного уравнения определяется системой . Решение системы в нашем случае сложностей не представляет, поэтому проведем его, чтобы дальше работать с ОДЗ в виде числового множества:

Очевидно, не принадлежит множеству (−5, −4)∪(−4, 1) , значит, это посторонний корень для исходного уравнения. Из корней множеству (−5, −4)∪(−4, 1) принадлежат лишь два: и 0 , значит, остальные являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Таким образом, уравнение имеет три корня: −4 , и 0 .

Решение уравнений «дробь равна нулю», описание метода, примеры

Отдельного внимания заслуживают уравнения «дробь равна нулю», то есть, уравнения f(x)/g(x)=0 , где f(x) и g(x) – произвольные выражения с переменной x . В этой статье мы, во-первых, разберем, в чем состоит метод решения таких уравнений, на чем он базируется и как обосновывается. А во-вторых, запишем алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю» и решим несколько характерных примеров.

В чем состоит метод решения и на чем он базируется?

Метод решения уравнений «дробь равна нулю», то есть уравнений, имеющих вид f(x)/g(x)=0 , состоит в нахождении решения через решение уравнения «числитель равен нулю», то есть, через решение уравнения f(x)=0 . Пример для наглядности: решение уравнения можно найти через решения уравнения (x−1)·(x 2 −4)=0 .

Базируется метод на следующем утверждении:

Множество решений уравнения f(x)/g(x)=0 совпадает с множеством решений уравнения f(x)=0 на ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 . В частности, решением уравнения 0/g(x)=0 является любое число из ОДЗ для этого уравнения, а уравнение C/g(x)=0 , где С – отличное от нуля число, не имеет решений.

Докажем это утверждение в следующем пункте.

Обоснование метода

В основе доказательства утверждения из предыдущего пункта лежит хорошо известный факт: дробь a/b , b≠0 равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль. Этот факт вытекает из определения дроби (дробь a/b , b≠0 есть такое число c , что b·c=a ) и из того, что произведение двух чисел тогда и только тогда равно нулю, когда одно из чисел есть нуль.

Начнем с доказательства частных случаев.

Докажем, что решение уравнения 0/g(x)=0 есть ОДЗ для него. В силу того, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, равенство 0/g(x₀)=0 является верным для любого числа x₀ , при котором оно имеет смысл. Очевидно, что равенство 0/g(x₀)=0 имеет смысл тогда и только тогда, когда x₀ принадлежит ОДЗ для уравнения 0/g(x)=0 . Значит, решение уравнения 0/g(x)=0 есть ОДЗ для этого уравнения.

Докажем, что уравнение C/g(x)=0 , где С – отличное от нуля число, не имеет решений. Так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, то равенство C/g(x₀)=0 , C≠0 не может быть верным ни для какого числа x₀ . Следовательно, уравнение C/g(x)=0 , C≠0 не имеет решений.

Теперь будем считать, что числитель дроби f(x)/g(x) есть выражение с переменной, а не число, и докажем, что множество решений уравнения f(x)/g(x)=0 совпадает с множеством решений уравнения f(x)=0 на ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 . Для этого достаточно доказать два момента: первый — что любой корень уравнения f(x)/g(x)=0 является корнем уравнения f(x)=0 , второй — что любой корень уравнения f(x)=0 , принадлежащий ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 , является корнем уравнения f(x)/g(x)=0 .

Приступаем к доказательству первой части. Пусть x₀ – корень уравнения f(x)/g(x)=0 . Тогда f(x₀)/g(x₀)=0 – верное числовое равенство. Из этого неравенства и из того факта, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, следует, что f(x₀)=0 . А это равенство означает, что x₀ – корень уравнения f(x)=0 .

Первая часть доказана. Приступаем к доказательству второй части.

Пусть x₀ принадлежит ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 и при этом x₀ — корень уравнения f(x)=0 . Так как x₀ принадлежит ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 , то дробь f(x₀)/g(x₀) имеет смысл. Так как x₀ – корень уравнения f(x)=0 , то f(x₀)=0 – верное числовое равенство. Из этих результатов, а также из того факта, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, следует, что дробь f(x₀)/g(x₀) равна нулю, то есть, f(x₀)/g(x₀)=0 . А это равенство означает, что x₀ – корень уравнения f(x)/g(x)=0 .

Так доказана вторая часть и все утверждение в целом.

Алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю»

Доказанное утверждение позволяет записать алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю»:
- Если уравнение имеет вид 0/g(x)=0 , то надо найти область допустимых значений для этого уравнения – она и есть искомое решение уравнения.
- Если уравнение имеет вид C/g(x)=0 , C – отличное от нуля число, то сразу записываем ответ – нет решений.
- Если уравнение имеет вид f(x)/g(x)=0 , где f(x) – выражение с переменной, а не число, то
 - приравниваем числитель к нулю и решаем полученное уравнение f(x)=0 ,
 - отсеиваем посторонние корни (отбрасываем все корни, не принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения, как посторонние).
 Заметим, что записанный алгоритм находится в полном согласии с принципами решения дробно-рациональных уравнений, имеющих вид «дробь равна нулю». Принципы решения таких уравнений раскрываются на уроках алгебры в 8 классе. Оттуда нам известно, что для решения дробно-рационального уравнения, имеющего вид f(x)/g(x)=0 нужно приравнять к нулю числитель, решить полученное уравнение и отбросить те корни, при которых обращается в нуль знаменатель [1, с.26-30]. По сути, отбрасывание значений, при которых обращается в нуль знаменатель решаемого дробно-рационального уравнения f(x)/g(x)=0 , есть отсеивание посторонних корней по ОДЗ, так как в этом случае ОДЗ определяется условием g(x)≠0 .
 
 Решение примеров
 
 Рассмотрим решения трех характерных уравнений «дробь равна нулю»: с нулем в числителе, с отличным от нуля числом в числителе, и с выражением с переменной в числителе. Ими мы закроем все три типичные ситуации.
 
 Сначала решим уравнение с нулем в числителе: .
 
 Теперь решим уравнение , в числителе которого отличное от нуля число.
 
 Осталось рассмотреть решение уравнения «дробь равна нулю» в случае, когда в числителе находится выражение с переменной, а не число. В этом случае, согласно алгоритму, нужно приравнять к нулю числитель, решить полученное уравнение и отсеять посторонние корни.
 
 Предложения со словосочетанием «приравнять к нулю»
 
 Однако было бы непростительной ошибкой приравнять к нулю значимость и вес всех остальных факторов поражения советских войск.
 
 Поэтому такое определение должно осуществляться следующим образом: нужно постоянный капитал приравнять к нулю, поскольку он не принимает участия в образовании стоимости, сложить прибыль, процент и ренту, ибо в совокупности они образуют прибавочную стоимость и разделить величину последней на заработную плату, представляющую собой денежное выражение стоимости рабочей силы (при этом предполагается, что цены равны стоимости).
 
 Но теперь понял, что по сравнению с теперешним моим знанием, давешнее можно приравнять к нулю.
 
 Не потому что ты слабей и тебе нужно как то усилиться, а потому, что ты затратишь много усилий, но на причину заболевания это не оказывает никакого влияния, разве что самую малость, но это можно приравнять к нулю.
 
 Уравнения равные нулю
 
 Если в левой части уравнения стоит сумма или разность одночленов или многочленов, а в правой части — нуль, то это может быть обычное линейное уравнение.
 
 Если левая часть уравнения представляет собой произведения двух или нескольких множителей, а правая часть — нуль, то это — уравнение типа «произведение равно нулю».
 
 В общем виде простейшие равные нулю уравнения можно записать как
 
 $ax(bx + c)(mx + n) = 0$
 
 (множителей может быть больше).
 
 Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:
 
 $ax = 0;bx + c = 0;mx + n = 0$
 
 и решаем каждое из полученных уравнений отдельно.
 
 $1)7x(2x - 3)(5x + 4) = 0$
 
 Это — уравнение типа «произведение равно нулю».
 
 Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:
 
 $7x = 0;2x - 3 = 0;5x + 4 = 0$
 
 $2)(12 - 4x)(7x + 2) = 0$
 
 $12 - 4x = 0;7x + 2 = 0$
 
 Если в уравнении, равном 0, левую часть можно разложить на множители, то такое уравнение также можно решить как уравнение типа «произведение равно 0».
 
 $\[3)<x^3> — 12 — 3 + 4x = 0\]» width=»194″ height=»22″ /> Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а четвёртое — со вторым: <img decoding=$ Word черный фон белые символы как убрать
- Xbl devicekey что это
- Как переместить чертеж в компасе
- Какие приложения можно скачать на айфон 4s