Как правильно открывать скобки c

Как правильно раскрывать скобки в математических выражениях

При раскрытии скобок в выражении используется сочетательное свойство сложения, которое гласит:

Если к числу нужно прибавить сумму двух чисел, то можно к этому числу прибавить сначала первое слагаемое, а затем второе.

a + (b +c) = a + b + c

Применяя это свойство, следует придерживаться следующего правила раскрытия скобок:

Если перед скобками стоит знак «+», все числа, которые стоят внутри скобок, сохраняют свой знак.

a + (b + c) = a + b + c

a + (b – c) = a + b – c

a + (-b + c) = a – b + c

a + (-b – c) = a – b – c

Это же правило применяется, когда в выражении встречается две или более скобки.

a + (b – c) + d + (-f) = a + b — c + d – f

Сложно с математикой? Не волнуйся, мы поможем! Регистрируйся на курс по математике для 6 класса и мы поможем понять предмет! Записаться ��

Правило раскрытия скобок при вычитании

Если перед скобками стоит знак «–», то при их раскрытии следует знаки слагаемых поменять на противоположные.

a – (b + c) = a – b– c

a – (b – c) = a – b + c

a – (-b + c) = a + b – c

a – (-b – c) = a + b + c

Когда в скобках перед первым слагаемым знак отсутствует, то это означает, что оно положительное и при раскрытии скобок становится отрицательным.

Решение подобных примеров состоит из действий:

• раскрываются скобки;
• меняется знак каждого слагаемого на противоположный.

x – (y + z) = x – y – z;

m – (-n – p) = m + n + p;

Случаи, когда в выражении присутствуют сложение и вычитание скобок.

10a + (19b – 34c) – 50 – (m + n)

В данном примере скобки раскрываются по алгоритму:

• к первой скобке применяется правило сложения;
• вторая скобка раскрывается правилом вычитания.

10a + 19b – 34 c – 50 – m – n

Раскрытие скобок в сложных выражениях.

Сложное выражение — это выражение, в котором используются скобки и знаки деление/умножение.

Раскрытие скобок при умножении

Действия по раскрытию скобок при умножении строятся на основании работы распределительного или сочетательного свойства умножения.

Применение того или иного свойства умножения зависит от действия внутри скобок. Если это сложение или вычитание, работает распределительное свойство. При умножении или делении применяется сочетательное свойство.

1. Раскрытие скобок, согласно распределительному свойству.

Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

a ∙ (b + c) = ab + ac

(a + b) ∙ c = ac + bc

Чтобы умножить разность на число, нужно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

a ∙ (b – c) = ab – ac

(a – b) ∙ c = ac − bc

Примечание 2

В математике для сокращения записей знак умножения перед числом и скобкой не ставится.

Если общий множитель является отрицательной величиной, то все значения в скобках умножаются на (–1) и меняют свои знаки на противоположные:

2. Раскрытие скобок, согласно сочетательному свойству:

Произведение трех и более множителей не изменится, если эту группу множителей заменить их произведением.

(a ∙ b) ∙ c = a ∙ b ∙ c

(b ∙ c ∙ d) ∙ a = b ∙ c ∙ d ∙ a

В случае, когда в скобках выполняется умножение, раскрытие происходит как при сложении — просто раскрываются скобки и все значения перемножаются:

a ∙ (b ∙ c) = a ∙ b ∙ c

(b ∙ c) ∙ а = b ∙ c ∙ a

Примечание 3

При раскрытии скобок необходимо учитывать правило знаков.

При делении внутри скобок, раскрытие происходит следующим образом:

Когда общий множитель находится перед скобками, то:

• общий множитель умножается на первое число в скобках и делится на второе число:

a ⋅ (b : с) = a ⋅ b : с;

• или общий множитель делится на второе число в скобках и умножается на первое число:

a ⋅ (b : с) = a : c ⋅ b.

Когда общий множитель находится после скобок, то:

• общий множитель умножается на первое число в скобках и делится на второе:

(a : b) ⋅c = с ⋅ a : b;

• общий множитель делится на второе число в скобках и умножается на первое:

(a : b) ⋅ c =с : b ⋅ a.

Скобка на скобку

Когда требуется перемножить несколько скобок друг на друга, нужно каждый член первой скобки умножить на каждый член второй скобки:

(a + b) ⋅ (c – d) = a ⋅ (c – d) + b ⋅ (c – d) = ac – ad + bc – bd

Алгоритм действий при раскрытии скобки на скобку:

1. Первая скобка раскрывается, каждое ее слагаемое умножается на вторую скобку.
2. Выполняется умножение числа на скобку, приводятся подобные слагаемые.

Скобка в скобке

В математике могут встречаться примеры, когда скобки входят в другие скобки.

Алгоритм действий такого типа примеров:

1. Последовательно раскрывается каждая скобка, начиная с внутренней.
2. Скобки раскрываются согласно принятым правилам раскрытия скобок при сложении, вычитании, умножении и делении.
3. Приводятся подобные слагаемые для дальнейшего решения математического выражения или уравнения

8x + y(4 – (2x – y)) = 8x + y(4 – 2x + y) = 8x + 4y – 2xy + y²

Раскрытие скобок при делении

1. Случаи, когда в скобках выполняется сложение или вычитание.

Если знак деления стоит после скобок — каждое число внутри скобок делится на делитель, который стоит после скобок:

(a + b) : c = a : c + b : c;

(a – b) : c = a: c – b : c.

Если знак деления стоит перед скобками, то делимое делится на каждое число в скобках:

c : (a + b) = c : a + c : b;

c : (a – b) = c : a – c : b.

1. В случае, когда в скобках выполняется умножение, то:

Если знак деления стоит перед скобкой:

• делимое делится на первое число в скобках и делится на второе:

a : (b ⋅ c) = a : b : c;

• или делимое делится на второе число в скобках, а потом делится на первое:

a : (b ⋅ c) = a : c : b.

Если знак деления стоит после скобки:

• первое число в скобках делится на делитель и умножается на второе:

(b ⋅ c) : a = (b : a) ⋅ c ;

• или второе число в скобках делится на делитель и умножается на первое:

(b ⋅ c) : a = (c : a) ⋅ b .

Если внутри скобок выполняется деление:

• делимое делится на первое число внутри скобки и умножается на второе:

a : (b : c) = a : b ⋅ c;

• первое число в скобках делится на делитель и делится на второе число:

(b : с) : a = b : c : a.

Не забываем, что при раскрытии скобок необходимо учитывать правило знаков, описанное выше:

Примеры решения задач

Сложение.

Формулы раскрытия скобок:

a + (b +c) = a + b + c

a + (b – c) = a + b – c

a + (-b + c) = a – b + c

a + (-b – c) = a – b – c

120 + (350 + 270) = 120 + 350 + 270

25 + (37a – 10b) = 25 + 37a – 10b

1000 + (-420 + 4) = 1000 – 420 + 4

268 + (-150 – 79) = 268 – 150 – 79

956 + (67 – 96 + 48) – 832 = 956 + 67 – 96 + 48 – 832

780 + (1348 + 290) + (420 – 100) = 780 + 1348 + 290 + 420 – 100

Вычитание.

a – (b + c) = a – b– c

a – (b – c) = a – b + c

a – (-b + c) = a + b – c

a – (-b – c) = a + b + c

45 – (-7 + 14) = 45 + 7 — 14

10 – (2 + 3) = 10 – 2 — 3

255 – (177 + 58 – 200) = 255 – 177 – 58 + 200

1375 – (-219a – 35b) + 27 = 1375 + 219a + 35b

390 + (734 – 220) – 79 – (100 + 657) = 390 + 734 – 220 – 79 – 100 – 657

Умножение.

Умножение, когда в скобках сложение.

(a + b) ∙ c = ac + bc

8 ∙ (2 + 3) = 8 ∙ 2 + 8 ∙ 3

(4 + 5) ∙ 7 = 4 ∙ 7 + 4 ∙ 7

Умножение, когда в скобках вычитание.

a ∙ (b – c) = ab – ac

(a – b) ∙ c = ac — bc

7 ∙ (8 – 6) = 7 ∙ 8 – 7 ∙ 6

(12 – 3) ∙ 5 = 12 ∙ 5 – 3 ∙ 5

Умножение, когда перед скобками стоит «-»

-9 ∙ (2 + 3) = -9 ∙ 2 – 9 ∙ 3

-4 ∙ (10 – 5) = -4 ∙ 10 + 4 ∙ 5

Умножение за скобками и внутри скобок.

a ∙ (b ∙ c) = a ∙ b ∙ c

(b ∙ c) ∙ а = b ∙ c ∙ а

2 ∙ (5 ∙ 7) = 2 ∙ 5 ∙ 7

(3 ∙ 4) ∙ 8 = 3 ∙ 4 ∙ 8

Умножение, когда внутри скобок деление.

a ∙ (b : с) = a ∙ b : с

a ∙ (b : с) = a : c ∙ b

(a : b) ∙ c = c ∙ a : b

(a : b) ∙ c = c : b ∙ a

6 ⋅ (9 : 3) = 6 ⋅ 9 : 3

6 ⋅ (9 : 3) = 6 : 3 ⋅ 9

(9 : 3) ⋅ 6 = 6 ⋅ 9 : 3

(9 : 3) ⋅ 6 = 6 : 3 ⋅ 9

Умножение скобки на скобку.

(a + b) ⋅ (c — d) = a ⋅ (c — d) + b ⋅ (c — d) = ac – ad + bc — bd

(7x + 3) ⋅ (8x – 5) = 7x ⋅ (8x – 5) + 3 ⋅ (8x – 5) = 7x ⋅ 8x – 7x ⋅ 5 + 3 ⋅ 8x – 3 ⋅ 5 = 56 x² – 35x + 24x – 15 =

Деление.

Деление, когда внутри скобок сложение или вычитание.

(a + b) : c = a : c + b : c

(a – b) : c = a : c – b : c

c : (a + b) = c : a + c : b

c : (a – b) = c : a – c : b

(12 + 6) : 3 = 12 : 3 + 6 : 3

(12 – 6) : 3 = 12 : 3 – 6 : 3

18 : (6 + 3) = 18 : 6 + 18 : 3

18 : (6 – 3) = 18 : 6 – 18 : 3

Деление, когда внутри скобок умножение или деление.

a : (b ⋅ c) = a : b : c

a : (b ⋅ c) = a : c : b

(b ⋅ c) : a = b : a ⋅ c

(b ⋅ c) : a = c : a ⋅ b

a : (b : c) = a : b ⋅ c

(b : с) : a = b : c : a

24 : (12 ⋅ 2) = 24 : 12 : 2

24 : (12 ⋅ 2) = 24 : 2 : 12

(12 ⋅ 2) : 24 = 12 : 24 ⋅ 2

(12 ⋅ 2) : 24 = 2 : 24 ⋅ 12

24 : (12 : 2) = 24 : 12 ⋅ 2

(24 : 6) : 2 = 24 : 6 : 2

Как правильно открывать скобки c

В программировании открывание скобок — это одно из основных требований для корректной работы кода. Как правильно открывать скобки, чтобы избежать ошибок и понять логику программы? В этой статье мы рассмотрим несколько полезных советов и примеров.

Первым важным правилом открытия скобок в программировании является соблюдение синтаксиса конкретного языка программирования. Каждый язык имеет свои правила и требования к использованию скобок. Например, в языке JavaScript скобки нужно открывать после условия в операторе if, while или for, а в языке Python скобки не используются для определения блоков кода, вместо них используется отступ.

«Корректное открывание и закрывание скобок — залог качественного и понятного кода.»

Кроме соблюдения синтаксиса, также важно понимать логику работы программы и правильно структурировать открываемые скобки. Например, при создании функции или метода необходимо открыть фигурную скобку перед телом функции и закрыть ее после. Также следует открывать и закрывать скобки внутри функции или метода при определении аргументов и выполнении операций внутри блока кода.

В результате правильного открывания скобок можно создать чистый, понятный и безошибочный код. Следуя правилам языка программирования и советам, описанным в этой статье, вы сможете легко открывать скобки в программировании и избегать ошибок в вашем коде.

Почему в программировании важно открывать скобки правильно?

В программировании открытие скобок является одним из важных элементов синтаксиса и имеет решающее значение при написании кода. Правильное использование скобок позволяет создавать функциональный и структурированный код, который легко читать и понимать.

Вот несколько причин, почему в программировании важно открывать скобки правильно:

1. Указание порядка операций: Открытие скобок позволяет явно указать порядок выполнения операций в выражениях или условных конструкциях. Например, использование скобок в математических выражениях определяет, какие операции должны быть выполнены первыми.
2. Создание блоков кода: Открывание и закрывание скобок позволяет создавать блоки кода, которые могут содержать определенные действия или инструкции. Это позволяет легче организовать и структурировать код, делая его более удобным для чтения и сопровождения.
3. Определение границ: Правильное открытие скобок помогает определить начало и конец определенных блоков кода, таких как функции, циклы или условные операторы. Это помогает избежать путаницы в коде и позволяет точно указать, какой код должен быть выполнен внутри блока и в каком порядке.
4. Проверка синтаксиса: Правильное использование скобок является частью правильного синтаксиса языка программирования. Ошибки в открывании и закрывании скобок могут привести к ошибкам выполнения кода или привести к неработоспособности программы.
5. Улучшение читаемости кода: Корректное использование скобок улучшает читаемость кода, делая его более понятным и легким для анализа другими разработчиками. Хорошо структурированный код, в котором скобки используются правильно, облегчает сопровождение кода и внесение изменений.

Важно отметить, что разные языки программирования могут иметь различные правила и соглашения относительно открывания скобок. Поэтому разработчикам необходимо быть внимательными и следовать синтаксису конкретного языка, чтобы избежать ошибок и создать чистый и функциональный код.

Общая суть правильного открытия скобок

Открытие скобок является важной частью программирования, поскольку оно определяет начало блока кода, который должен быть выполнен в определенном контексте. Правильное открытие скобок не только обеспечивает читаемость кода, но и уменьшает количество ошибок и упрощает его отладку.

Основными правилами открытия скобок в программировании являются следующие:

• Каждая открывающая скобка должна иметь соответствующую закрывающую скобку, и они должны быть расположены в правильном порядке.
• Скобки могут быть использованы для обозначения различных конструкций, таких как условия, циклы, функции и т.д.

Вот некоторые примеры правильного открытия скобок:

Для условных выражений:

if (условие) 
// код, который будет выполнен, если условие истинно
 
>
 

for (инициализация; условие; обновление) 
// код, который будет выполнен в каждой итерации цикла
 
>
 

function имя_функции(параметры) 
// код, который будет выполнен при вызове функции
 
>
 

Правильное открытие скобок также подразумевает использование отступов для создания читаемости кода. Каждый блок кода внутри открывающей и закрывающей скобок должен быть сдвинут на один уровень относительно контекста, в котором он находится. Это улучшает читаемость кода и позволяет быстрее определять ошибки в его структуре.

Общая суть правильного открытия скобок заключается в следующем: каждая открывающая скобка должна иметь соответствующую закрывающую скобку, они должны быть расположены в правильном порядке и отступы должны быть использованы для создания читаемости кода. При соблюдении этих принципов программист создаст код, который понятен, поддерживаем и более удобен для работы.

Последствия неправильного открытия скобок

Открытие и закрытие скобок — одна из самых важных и распространенных операций в программировании. При неправильном использовании скобок могут возникать различные проблемы, которые могут затруднить понимание и отладку кода.

Одной из основных проблем, которая может возникнуть при неправильном открытии скобок, является синтаксическая ошибка. Компилятор или интерпретатор языка программирования может сообщить об ошибке и прекратить выполнение программы. Это может произойти, если скобки не согласуются, например, если отсутствует закрывающая скобка или если присутствуют лишние скобки.

Еще одной проблемой, которая может возникнуть при неправильном открытии скобок, является некорректное поведение программы. Например, если отсутствует закрывающая скобка, то компилятор или интерпретатор может интерпретировать часть кода неправильно, что может привести к ошибкам выполнения программы или неправильным результатам.

Использование неправильных скобок или неправильное их подключение также может усложнить чтение и понимание кода другим разработчикам. Если коды скобок не согласуются или слишком сложны, то другим разработчикам может быть трудно понять, как работает код и какие операции выполняются. Кроме того, неправильное использование скобок может привести к необходимости тратить больше времени на отладку и исправление ошибок.

Чтобы избежать проблем, связанных с неправильным открытием скобок, необходимо следовать правилам и соглашениям языка программирования, которые определяют, какие скобки нужно использовать в разных ситуациях. Кроме того, нужно быть внимательным при написании кода и проверять открытие и закрытие скобок, чтобы убедиться, что они согласованы.

Различные способы открытия скобок в разных языках программирования

Один из основных элементов синтаксиса программирования — это использование скобок. Скобки используются для обозначения блоков кода, группировки выражений, параметров функций и других конструкций. В разных языках программирования существуют различные способы открытия скобок, и ниже представлены некоторые из них:

• Язык C и его производные: скобки в C открываются и закрываются фигурными скобками:
  < и >.
• Язык Python: в Python использование отступов для обозначения блоков кода — это особенность языка. Открытые скобки здесь не требуются.
• Язык Java: в Java открывающие и закрывающие скобки являются частью синтаксиса и обязательны во всех случаях. Открывающая скобка: < , закрывающая скобка: >.
• Язык JavaScript: в JavaScript используются фигурные скобки для обозначения блоков кода, как и в языке C. Открывающая скобка: < , закрывающая скобка: >.

Примеры использования скобок:

if (x > 0) 
// Действия, выполняемые при выполнении условия
 
>

if x > 0:
 
# Действия, выполняемые при выполнении условия

if (x > 0) 
// Действия, выполняемые при выполнении условия
 
>

if (x > 0) 
// Действия, выполняемые при выполнении условия
 
>

Правильное использование скобок важно для понимания и работы с кодом на различных языках программирования. Следует обратить внимание на синтаксические правила конкретного языка и придерживаться их, чтобы избежать ошибок и упростить дальнейшую разработку и отладку программных решений.

Полезные советы для правильного открытия скобок

Открытие скобок является очень важной частью программирования. Неправильное открытие скобок может привести к ошибкам в коде и затруднить отладку и чтение программы. Вот несколько полезных советов, которые помогут вам правильно открывать скобки:

1. Используйте одинаковые виды скобок. В программировании обычно используются несколько видов скобок, таких как круглые скобки (), фигурные скобки <>, и квадратные скобки []. Важно использовать один и тот же вид скобок для открытия и закрытия.
2. Соблюдайте правильную вложенность скобок. Если вам нужно использовать скобки внутри других скобок, убедитесь, что они правильно вложены. Например, круглые скобки могут содержать фигурные скобки, а фигурные скобки могут содержать квадратные скобки.
3. Используйте отступы для облегчения чтения кода. Отступы помогают визуально разделить блоки кода, содержащие скобки. Это улучшает читабельность программы и делает открытие скобок более очевидным.
4. Используйте комментарии для пояснений. Если у вас есть сложный код с множеством скобок, может быть полезно добавить комментарии, чтобы пояснить, какие скобки открываются и закрываются в конкретном блоке кода.
5. Проверяйте парность скобок. Обязательно проверьте, что каждая открытая скобка имеет соответствующую закрывающую скобку. Недостающие скобки могут привести к ошибкам в выполнении программы.

Следуя этим полезным советам, вы сможете правильно открывать скобки в своих программах и упростите их чтение и отладку.

Примеры правильного открытия скобок в разных ситуациях

В программировании существуют разные ситуации, когда необходимо правильно использовать скобки. Вот несколько примеров:

Условия в if-else Если у вас есть условное выражение в if — else блоке, необходимо открывать скобки после ключевого слова if и закрывать перед фигурной скобкой < .

if (условие)

// код, который будет выполнен, если условие истинно

> else

// код, который будет выполнен, если условие ложно

>

for (инициализация; условие; обновление)

// код, который будет выполнен в каждой итерации цикла

>

while (условие)

// код, который будет выполняться, пока условие истинно

>

function имяФункции(параметр1, параметр2)

// код функции

>

класс.имяМетода(параметр1, параметр2);

Вопрос-ответ

Если в программе используются различные виды скобок, как их правильно открывать?

В программировании следует придерживаться определенных правил, когда речь идет о правильном открытии скобок. Если в программе используются скобки разных видов – круглые, фигурные и квадратные –, следует открывать их поочередно, соответствуя семантике языка программирования и синтаксису использованных конструкций.

Как правильно расставлять пробелы при открытии скобок?

При открытии скобок следует соблюдать определенные правила относительно пробелов. Если открывающая скобка стоит сразу после ключевого слова или оператора, то перед скобкой не ставится пробел. В противном случае, перед открывающей скобкой следует поставить пробел. Это поможет сделать код более читабельным и понятным.

Какие варианты открытия скобок можно использовать в программировании?

В программировании обычно используются два варианта открытия скобок: на той же строке и на новой строке. Если скобка открывается на той же строке, то ее следует отделить от предыдущего кода пробелом или табуляцией. Если открывающая скобка располагается на новой строке, то следует выровнять ее с учетом отступов предыдущей строки кода, чтобы создать более структурированный и понятный вид программы.

Как можно избежать проблем с открытием скобок в программировании?

Чтобы избежать проблем с открытием скобок в программировании, рекомендуется следовать нескольким простым правилам. Во-первых, старайтесь открывать скобки сразу после ключевого слова или оператора, без дополнительных пробелов. Во-вторых, следите за правильным расположением скобок относительно других элементов кода, чтобы облегчить чтение и понимание программы. И, наконец, используйте отступы и переносы строк, чтобы создать более читабельный и структурированный вид кода.

Раскрытие скобок: правила, примеры, решения

Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.

Что называется раскрытием скобок?

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2 · ( 3 + 4 ) на выражение вида 2 · 3 + 2 · 4 без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

• знаки « + » или « — » перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
• произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5 + ( − 3 ) − ( − 7 ) к 5 − 3 + 7 . Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида ( a + b ) · ( c + d ) на сумму a · c + a · d + b · c + b · d . Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x 2 · 1 a — x + sin ( b ) будет соответствовать выражение без скобок вида x 2 · 1 a — x 2 · x + x 2 · sin ( b ) .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3 − ( 5 − 7 ) мы получаем выражение 3 − 5 + 7 . Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3 − ( 5 − 7 ) = 3 − 5 + 7 .

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5 − ( 3 − ( 2 − 1 ) ) = 5 − ( 3 − 2 + 1 ) = 5 − 3 + 2 − 1 или 5 − ( 3 − ( 2 − 1 ) ) = 5 − 3 + ( 2 − 1 ) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, ( − 4 ) и 3 + ( − 4 ) . Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а , + ( а ) на + а , — ( а ) на – а . Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число ( 5 ) запишется как 5 , выражение 3 + ( 5 ) без скобок примет вид 3 + 5 , так как + ( 5 ) заменяется на + 5 , а выражение 3 + ( − 5 ) эквивалентно выражению 3 − 5 , так как + ( − 5 ) заменяется на − 5 .

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. + ( − a ) мы заменяем на − a , − ( − a ) заменяется на + a . Если выражение начинается с отрицательного числа ( − a ) , которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо ( − a ) остается − a .

Приведем примеры: ( − 5 ) можно записать как − 5 , ( − 3 ) + 0 , 5 принимает вид − 3 + 0 , 5 , 4 + ( − 3 ) превращается в 4 − 3 , а − ( − 4 ) − ( − 3 ) после раскрытия скобок принимает вид 4 + 3 , так как − ( − 4 ) и − ( − 3 ) заменяется на + 4 и + 3 .

Следует понимать, что записать выражение 3 · ( − 5 ) как 3 · − 5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность a − b равна a + ( − b ) . На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств ( a + ( − b ) ) + b = a + ( ( − b ) + b ) = a + 0 = a , которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a + ( − b ) — это разность a − b .

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что − ( − a ) = a , a − ( − b ) = a + b .

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть − ( − ( ( − ( 5 ) ) ) ) . Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: − ( − ( ( − ( 5 ) ) ) ) = − ( − ( ( − 5 ) ) ) = − ( − ( − 5 ) ) = − ( 5 ) = − 5 . Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: − ( − ( ( − ( 5 ) ) ) ) = ( ( − ( 5 ) ) ) = ( − ( 5 ) ) = − ( 5 ) = − 5 .

Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком « + » впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

К примеру, после раскрытия скобок выражение − ( − 2 · x ) − ( x 2 ) + ( − 1 x ) − ( 2 · x · y 2 : z ) примет вид 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2 : z . Как мы это сделали? Мы знаем, что − ( − 2 · x ) есть + 2 · x , а так как это выражение стоит вначале, то + 2 · x можно записать как 2 · x , − ( x 2 ) = − x 2 , + ( − 1 x ) = − 1 x и − ( 2 · x · y 2 : z ) = − 2 · x · y 2 : z .

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел − a и − b вида ( − a ) · ( − b ) мы можем заменить на ( a · b ) , а произведения двух чисел с противоположными знаками вида ( − a ) · b и a · ( − b ) заменить на ( − a · b ) . Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел — 4 3 5 и — 2 , вида ( — 2 ) · — 4 3 5 . Для этого заменим исходное выражение на 2 · 4 3 5 . Раскроем скобки и получим 2 · 4 3 5 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел ( − 4 ) : ( − 2 ) , то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4 : 2

На месте отрицательных чисел − a и − b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении — 3 · x x 2 + 1 · x · ( ln 5 ) . Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования: — 3 · x x 2 + 1 · x · ( ln 5 ) = — 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 = 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 .

Выражение ( − 3 ) · 2 можно преобразовать в выражение ( − 3 · 2 ) . После этого можно раскрыть скобки: − 3 · 2 .

2 3 · — 4 5 = — 2 3 · 4 5 = — 2 3 · 4 5

Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок: ( − 5 ) : 2 = ( − 5 : 2 ) = − 5 : 2 и 2 3 4 : ( — 3 , 5 ) = — 2 3 4 : 3 , 5 = — 2 3 4 : 3 , 5 .

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два примера.

— 1 x + 1 : x — 3 = — 1 x + 1 : x — 3 = — 1 x + 1 : x — 3

sin ( x ) · ( — x 2 ) = ( — sin ( x ) · x 2 ) = — sin ( x ) · x 2

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Для примера, возьмем выражение 5 · ( − 3 ) · ( − 2 ) , которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как ( 5 · 3 · 2 ) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5 · 3 · 2 .

В произведении ( − 2 , 5 ) · ( − 3 ) : ( − 2 ) · 4 : ( − 1 , 25 ) : ( − 1 ) пять чисел являются отрицательными. поэтому ( − 2 , 5 ) · ( − 3 ) : ( − 2 ) · 4 : ( − 1 , 25 ) : ( − 1 ) = ( − 2 , 5 · 3 : 2 · 4 : 1 , 25 : 1 ) . Окончательно раскрыв скобки, получаем −2,5·3:2·4:1,25:1.

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и — 1 или — 1 заменяем на ( − 1 ) · a .

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные − 1 , в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1 , а нечетного – равно − 1 , что позволяет нам использовать знак минус.

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении — 2 3 : ( — 2 ) · 4 : — 6 7 выглядела бы следующим образом:

— 2 3 : ( — 2 ) · 4 : — 6 7 = — 2 3 · — 1 2 · 4 · — 7 6 = = ( — 1 ) · 2 3 · ( — 1 ) · 1 2 · 4 · ( — 1 ) · 7 6 = = ( — 1 ) · ( — 1 ) · ( — 1 ) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = ( — 1 ) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = — 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

x 2 · ( — x ) : ( — 1 x ) · x — 3 : 2 .

Его можно привести к выражению без скобок x 2 · x : 1 x · x — 3 : 2 .

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»

Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Для примера приведем выражение ( 12 − 3 , 5 ) − 7 . Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид ( 12 − 3 , 5 ) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как + 12 − 3 , 5 − 7 = 12 − 3 , 5 − 7 .

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x и проведем с ним действия x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x = = x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x

Вот еще один пример раскрытия скобок:

2 + x 2 + 1 x — x · y · z + 2 · x — 1 + ( — 1 + x — x 2 ) = = 2 + x 2 + 1 x — x · y · z + 2 · x — 1 — 1 + x + x 2

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « — », скобки со знаком « — » опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

— — 1 2 = 1 2 , — 1 x + 1 = — 1 x + 1 , — ( — x 2 ) = x 2

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

— — x + x 3 — 3 — — 2 · x 2 + 3 · x 3 · x + 1 x — 1 — x + 2 ,

получаем x — x 3 — 3 + 2 · x 2 — 3 · x 3 · x + 1 x — 1 — x + 2 .

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида ( a 1 ± a 2 ± … ± a n ) · b = ( a 1 · b ± a 2 · b ± … ± a n · b ) или b · ( a 1 ± a 2 ± … ± a n ) = ( b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n ) , где a 1 , a 2 , … , a n и b – некоторые числа или выражения.

Например, проведем раскрытие скобок в выражении ( 3 − 7 ) · 2 . Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: ( 3 − 7 ) · 2 = ( 3 · 2 − 7 · 2 ) . Получаем 3 · 2 − 7 · 2 .

Раскрыв скобки в выражении 3 · x 2 · 1 — x + 1 x + 2 , получаем 3 x 2 · 1 — 3 · x 2 · x + 3 · x 2 · 1 x + 2 .

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида ( a 1 + a 2 ) · ( b 1 + b 2 ) . Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение ( b 1 + b 2 ) как b . Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим ( a 1 + a 2 ) · ( b 1 + b 2 ) = ( a 1 + a 2 ) · b = ( a 1 · b + a 2 · b ) = a 1 · b + a 2 · b . Выполнив обратную замену b на ( b 1 + b 2 ) , снова применим правило умножения выражения на скобку: a 1 · b + a 2 · b = = a 1 · ( b 1 + b 2 ) + a 2 · ( b 1 + b 2 ) = = ( a 1 · b 1 + a 1 · b 2 ) + ( a 2 · b 1 + a 2 · b 2 ) = = a 1 · b 1 + a 1 · b 2 + a 2 · b 1 + a 2 · b 2

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

( a 1 + a 2 + . . . + a m ) · ( b 1 + b 2 + . . . + b n ) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Проведем раскрытие скобок в выражении ( 1 + x ) · ( x 2 + x + 6 ) Оно представляет собой произведение двух сумм. Запишем решение: ( 1 + x ) · ( x 2 + x + 6 ) = = ( 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6 ) = = 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение ( 1 − x ) · ( 3 · x · y − 2 · x · y 3 ) .

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: ( 1 + ( − x ) ) · ( 3 · x · y + ( − 2 · x · y 3 ) ) . Теперь мы можем применить правило: ( 1 + ( − x ) ) · ( 3 · x · y + ( − 2 · x · y 3 ) ) = = ( 1 · 3 · x · y + 1 · ( − 2 · x · y 3 ) + ( − x ) · 3 · x · y + ( − x ) · ( − 2 · x · y 3 ) )

Раскроем скобки: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении ( 2 + 4 ) · 3 · ( 5 + 7 · 8 ) .

В выражении содержится сразу три множителя ( 2 + 4 ) , 3 и ( 5 + 7 · 8 ) . Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: ( 2 + 4 ) · 3 · ( 5 + 7 · 8 ) = ( ( 2 + 4 ) · 3 ) · ( 5 + 7 · 8 ) .

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ( ( 2 + 4 ) · 3 ) · ( 5 + 7 · 8 ) = ( 2 · 3 + 4 · 3 ) · ( 5 + 7 · 8 ) .

Умножаем скобку на скобку: ( 2 · 3 + 4 · 3 ) · ( 5 + 7 · 8 ) = 2 · 3 · 5 + 2 · 3 · 7 · 8 + 4 · 3 · 5 + 4 · 3 · 7 · 8 .

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения ( a + b + c ) 2 . Его можно записать в виде произведения двух скобок ( a + b + c ) · ( a + b + c ) . Произведем умножение скобки на скобку и получим a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c .

Разберем еще один пример:

1 x + 2 3 = 1 x + 2 · 1 x + 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x + 1 x · 2 + 2 · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 · 2 · 2

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, ( x 2 — x ) : 4 = x 2 : 4 — x : 4 .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении ( x + 2 ) : 2 3 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число ( x + 2 ) : 2 3 = ( x + 2 ) · 2 3 . Умножим скобку на число ( x + 2 ) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Вот еще один пример деления на скобку:

1 x + x + 1 : ( x + 2 ) .

Заменим деление умножением: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 .

Выполним умножение: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

• первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
• на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
• заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения ( − 5 ) + 3 · ( − 2 ) : ( − 4 ) − 6 · ( − 7 ) . Намнем преобразование с выражений 3 · ( − 2 ) : ( − 4 ) и 6 · ( − 7 ) , которые должны принять вид ( 3 · 2 : 4 ) и ( − 6 · 7 ) . При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: ( − 5 ) + 3 · ( − 2 ) : ( − 4 ) − 6 · ( − 7 ) = ( − 5 ) + ( 3 · 2 : 4 ) − ( − 6 · 7 ) . Раскрываем скобки: − 5 + 3 · 2 : 4 + 6 · 7 .

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Как правильно открывать скобки c

В математике скобки — это важный инструмент, который помогает нам контролировать и указывать последовательность действий при вычислении числовых выражений. Они позволяют нам группировать числа и операции так, чтобы выражение было вычислено в правильном порядке. Понимание использования скобок важно как для решения простых, так и сложных математических задач. Если у нас есть выражение а плюс b в скобках, и мы добавляем знак плюс перед ним, открывая скобки, это не изменит знаки чисел внутри них. Вот так. Однако, если мы добавляем знак минус перед тем же выражением, то при открытии скобок знаки чисел внутри изменятся на противоположные. Вот так. Давайте рассмотрим это более подробно.

Как правильно открывать скобки в математике: практические советы и методы

Открываем скобки в математических выражениях — это не только основа для решения множества задач, но и важный навык, который помогает лучше понимать структуру математических вычислений. Понимая, как влияют знаки перед скобками на значения внутри них, мы можем научиться не только решать алгебраические выражения более эффективно, но и глубже понять саму природу математических операций.

Давайте посмотрим на некоторые дополнительные методы и примеры, которые помогут улучшить наше понимание этой темы:

• Метод обратного действия: Когда мы встречаемся с минус перед скобкой, это как бы приглашение действовать наоборот. Если помнить, что минус перед скобкой меняет каждый знак внутри на противоположный, можно легко решать задачи, где это необходимо.
• Использование цветов: Для визуального изучения того, как знаки влияют на числа в скобках, можно использовать разные цвета для обозначения положительных и отрицательных чисел. Это делает процесс восприятия более наглядным и понятным.
• Повседневные примеры: Применение понимания открытия скобок на практике, например, в планировании бюджета или в физике, помогает лучше усвоить этот материал. Рассмотрение, как добавление или вычитание расходов влияет на общий бюджет, может быть хорошим аналогом математического выражения с использованием скобок.

Использование этих методов и примеров поможет учащимся более глубоко понять, как работают скобки в математических выражениях, и научит их правильно раскрывать их для решения задач.