Определение измеримой функции
Будем рассматривать пространство [math] (X, \mathcal A, \mu) [/math] , считаем, что мера [math] \mu [/math] — [math] \sigma [/math] -конечная, полная, то есть:
[math] X = \bigcup\limits_p X_p : \mu X_p \lt + \infty [/math]
[math] \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 [/math]
Пусть [math] E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R [/math] , будем обозначать как [math] E (f [/math] обладает свойством [math] P )[/math] совокупность точек из [math]E[/math] , для которых свойство [math] P [/math] верно.
| Определение: |
| [math] a \in \mathbb R [/math] , [math] E(f \lt a), E(f \le a), E(f \gt a), E(f \ge a) [/math] — множества Лебега функции [math] f [/math] . |
| Определение: |
| [math] f : E \rightarrow \mathbb R [/math] называется измеримой по Лебегу, если для любого [math] a \in \mathbb R [/math] множества Лебега всех четырех типов измеримы (то есть, принадлежат сигма-алгебре). |
Функция измерима по Лебегу на [math] E [/math] [math] \iff [/math] для любого [math] a [/math] измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа.
Пусть [math] E(f \lt a) [/math] — измеримо для любого [math] a [/math] . Установим измеримость остальных:
Используя ту же технику, легко установить, что из измеримости [math]f[/math] на [math]E[/math] следует и измеримость самого [math]E[/math] , [math]E = \bigcup\limits_^\infty E(f \lt n)[/math]
Пример измеримой функции — [math]f(x) = C[/math] на измеримом [math]E[/math] .
[math]E(f\lt a) = \left\ < \beginE &, C \lt a \\ \varnothing &, C \geq a \end \right. [/math]
Так как [math]E[/math] измеримо, то постоянная функция на нём измерима.
Всё это распространяется на [math]E = \bigcup\limits_p E_p[/math] , [math]E_p \in \mathcal, E_p [/math] — дизъюнктны.
Аналогично, измерима на [math]E[/math] функция [math]f : E \to \mathbb R [/math] , [math]f(x) = a_p, x\in E_p[/math] .
Пусть [math]F \subset \mathbb
Установим измеримость [math]F(f\leq a)[/math] .
Проверим, что оно замкнуто.
Рассмотрим последовательность [math]\bar x_j \in F(f\leq a)[/math] , пусть она сходится к [math] \bar x [/math] . По определению множества Лебега, [math]f(\bar x_j) \leq a[/math] .
Так как [math] F [/math] — замкнутое, и [math]\bar x_j \in F[/math] , то предел тоже принадлежит [math]F[/math] . Значит, по непрерывности, [math]f(\bar x_j) \to f(\bar x)[/math] .
По непрерывности [math] f [/math] , из того, что [math] f(\bar x_j) \le a [/math] , следует [math]f(\bar x)\leq a [/math] , то есть, [math] \bar x \in F(f\leq a)[/math] .
Вывод: класс непрерывных функций содержится в классе измеримых.
Следует обратить внимание, что столь простые рассуждения проходят по той причине, что мы не интересуемся тем, как устроены множества Лебега. Нас интересует только одно их свойство — принадлежность [math]\mathcal[/math] . Природа этих множеств может быть крайне сложной.
Пусть [math]f[/math] и [math]g[/math] измеримы на [math]E[/math] . Тогда
1) [math]|f|[/math] — измерим
1.5) [math]kf[/math] — измерима ( [math]k \in \mathbb[/math] )
2) [math]f^2[/math] — измерим
3) [math]f + g[/math] — измерима
4) [math]f \cdot g[/math] — измеримо
1 и 2) доказываются одинаково. Рассмотрим, например, [math]E(f^2\lt a)[/math] .
При [math]a\geq 0[/math] оно может быть непустым. Но это равносильно [math]E(-\sqrt \lt f \lt \sqrt) = E(-\sqrt \lt f) \cap E(f\lt \sqrt)[/math] .
Это пересечение двух измеримых множеств Лебега [math]\Rightarrow[/math] измеримо.
1.5) Если [math] k = 0 [/math] , то [math] f = 0 [/math] и она измерима как постоянная.
3) Доказывается чуть сложнее
[math]f(x) + g(x) \gt a \iff g(x) \gt a — f(x)[/math]
Базируясь на том,что [math]\mathbb[/math] всюду плотно на оси, [math]\exists r \in \mathbb : g(x) \gt r \gt a — f(x)[/math]
Тогда [math]E(f + g\gt a) = \bigcup\limits_
Это объединение пересечений измеримых множеств Лебега функций [math]f[/math] и [math]g[/math] , операций — счётное число. Значит, [math]f+g[/math] тоже измеримо.
Доказательство измеримости функций по Лебегу: примеры
В математике измеримость функций является одним из основных понятий теории измерения. Оно возникает в связи с рассмотрением особых классов функций, для которых можно корректно определить понятие площади под графиком. Одним из наиболее известных критериев измеримости функций является критерий Лебега.
Критерий Лебега утверждает, что функция является измеримой тогда и только тогда, когда для любого множества B из некоторого борелевского пространства справедливо следующее утверждение: принадлежность образа B по заданной функции является борелевским множеством. То есть, для измеримости функции необходимо, чтобы прообраз всех борелевских множеств был борелевским множеством.
Приведем несколько примеров доказательства измеримости функций по Лебегу. Возьмем, например, показательную функцию f(x) = e^x. Чтобы доказать измеримость этой функции, необходимо показать, что для любого борелевского множества B образ множества B по функции f является борелевским множеством.
Понятие измеримости по Лебегу
В теории меры и интеграла, измеримость функции представляет собой одно из центральных понятий. Функция считается измеримой, если её множество точек, на которых она принимает значения, имеет меру нуль.
Формально, пусть задано измеримое пространство X с мерой м. Функция f: X -> R называется измеримой, если её предобразование f^-1(A) также измеримо для любого измеримого множества A в R.
Существует несколько способов доказательства измеримости функций по Лебегу:
- Использование свойств арифметических операций над измеримыми функциями.
- Использование свойств пределов и непрерывности измеримых функций.
- Использование свойств интеграла Лебега для доказательства измеримости функции.
- Использование критерия измеримости по Лебегу, основанного на последовательностях.
- Применение различных методов и теорем из теории меры и интеграла.
Эти методы позволяют доказывать измеримость как простых функций, так и более сложных. Измеримость функций по Лебегу является фундаментальным понятием, используемым в многих областях математики, включая теорию вероятностей и математическую статистику.
Свойства измеримых функций
Измеримые функции являются основным объектом исследования в теории измеримости. В данном разделе мы рассмотрим несколько свойств измеримых функций.
- Замкнутость относительно арифметических операций: Если функции $f$ и $g$ измеримы, то их сумма $f+g$, разность $f-g$ и произведение $fg$ также являются измеримыми функциями.
- Замкнутость относительно линейных преобразований: Если функция $f$ измерима, а $a$ и $b$ — константы, то функция $af+b$ также является измеримой.
- Непрерывность относительно предельного перехода: Если последовательность измеримых функций $\$ сходится п.в. к функции $f$, то функция $f$ также является измеримой.
- Состояние измеримости сохраняется при ограниченных преобразованиях: Если функция $f$ измерима, а $A$ — ограниченное подмножество области определения функции $f$, то функция $f|_A$, ограниченная на $A$, также является измеримой.
Эти свойства позволяют проводить различные операции с измеримыми функциями и считать их измеримыми, что упрощает их анализ и исследование.
Пример 1: Индикаторная функция
Рассмотрим функцию f(x), определенную на некотором множестве X. Функция f(x) называется индикаторной функцией множества A, если она равна 1 на элементах множества A и равна 0 на остальных элементах множества X.
Примером индикаторной функции может быть функция f(x), определенная на множестве вещественных чисел X, такая что:
f(x) = 1, если x принадлежит интервалу (0, 1)
f(x) = 0, во всех остальных случаях
Для доказательства измеримости данной функции по Лебегу необходимо использовать определение измеримости функций.
Определение: Функция f(x) называется измеримой по Лебегу, если прообраз любого измеримого множества при отображении функции f(x) также является измеримым множеством.
Для данной индикаторной функции можно показать, что прообраз любого измеримого множества будет являться или пустым множеством, или множеством X. Таким образом, прообраз любого измеримого множества будет являться измеримым множеством, что означает измеримость функции f(x) по Лебегу.
Таким образом, приведенный пример демонстрирует измеримость индикаторной функции по Лебегу.
Пример 2: Монотонная функция
Для доказательства измеримости монотонной функции воспользуемся следующими свойствами измеримых функций:
- сумма, разность и произведение измеримых функций также являются измеримыми;
- композиция измеримых функций также является измеримой.
Пусть функция f(x) монотонна на интервале [a, b]. Мы можем представить монотонную функцию в виде разности двух монотонных неубывающих функций:
Таким образом, f(x) представлена как сумма двух измеримых функций: f(x) — f(a) и f(a), которые являются монотонными неубывающими функциями.
Так как измеримые функции замкнуты относительно операций суммы и разности, то f(x) также является измеримой функцией.
В результате, мы доказали, что монотонная функция f(x) является измеримой функцией.
Пример 3: Предельный переход в теореме
В данном примере рассмотрим предельный переход в теореме о измеримости функций по Лебегу.
Пусть даны измеримые функции fn(x), f(x) на измеримом множестве E. Если fn(x) сходится к f(x) почти всюду на E, то функция f(x) также будет измеримой на множестве E.
Для доказательства данной теоремы необходимо использовать определение измеримой функции по Лебегу и показать, что функция f(x) удовлетворяет этому определению.
- Для начала, рассмотрим простые функции на множестве E. Простой функцией называется функция, принимающая конечное число значений на измеримом множестве.
Простые функции измеримы по Лебегу, так как они принимают конечное число значений и множества, на которых они принимают различные значения, измеримы. - Затем, мы можем представить каждую измеримую функцию f(x) в виде предела последовательности простых функций fn(x). Для этого необходимо разбить область значений функции на конечное число подмножеств, на которых функция принимает различные значения. Затем, строятся простые функции, принимающие значения только на этих подмножествах.
- Так как последовательность простых функций fn(x) сходится к функции f(x) почти всюду на E, то все эти функции будут измеримыми на множестве E. А так как они сходятся к функции f(x), то функция f(x) также будет измеримой на множестве E.
Таким образом, предел последовательности измеримых функций почти всюду на измеримом множестве также будет измеримой функцией. Этот результат является важным примером использования предельного перехода в доказательствах измеримости функций по Лебегу.
Вопрос-ответ
Как доказать измеримость функции по Лебегу?
Для доказательства измеримости функции по Лебегу необходимо показать, что множество ее точек разбивается на две части: одну, где функция принимает значения, удовлетворяющие определению измеримости, и другую, где функция принимает значения, не удовлетворяющие этому определению.
Какие функции можно считать измеримыми по Лебегу?
Измеримые функции по Лебегу — это функции, которые принимают значения, удовлетворяющие определению измеримости, то есть множество их точек разбивается на две части: одну, где функция принимает значения, удовлетворяющие определению измеримости, и другую, где функция принимает значения, не удовлетворяющие этому определению.
Какие примеры доказательства измеримости функций по Лебегу можно привести?
Примеры доказательства измеримости функций по Лебегу могут включать использование определения измеримости и свойств борелевских множеств, а также применение теорем о пределах и операциях над измеримыми функциями.
Какие свойства борелевских множеств используются при доказательстве измеримости функций по Лебегу?
При доказательстве измеримости функций по Лебегу используются такие свойства борелевских множеств, как замкнутость относительно операций объединения, пересечения и дополнения, а также относительно предельных переходов.
Какие операции можно выполнять над измеримыми функциями?
Над измеримыми функциями можно выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления, а также предельные переходы и композиции функций.
Интеграл Лебега
Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа — интеграл Лебега.
Понятие интеграла Лебега
Чтобы понять принцип устройства этого интеграла, рассмотрим следующий пример. Пусть имеется большое количество монет различного достоинства и требуется сосчитать общую сумму денег, заключенную в этих монетах. Это можно сделать двумя способами. Можно откладывать монеты подряд и прибавлять стоимость каждой новой монеты к общей стоимости всех ранее отложенных. Однако можно поступить и иначе: сложить монеты стопочками так, чтобы в каждой стопочке были монеты одного достоинства, затем сосчитать число монет в каждой стопочке, умножить это число на стоимость соответствующей монеты, а затем сложить полученные числа. Первый способ счета денег соответствует процессу интегрирования Римана, а второй — процессу интегрирования Лебега.
Переходя от монет к функциям, мы можем сказать, что для вычисления интеграла Римана производится деление на мелкие части области задания функции (оси абсцисс, рис. 2а), а для вычисления интеграла Лебега производится деление области значений функции (оси ординат, рис. 2б). Последний принцип применялся практически задолго до Лебега при вычислении интегралов от функций, имеющих колебательный характер, однако Лебег впервые развил его во всей общности и дал его строгое обоснование при помощи теории меры.
Рассмотрим, как связаны между собою мера множеств и интеграл Лебега. Пусть . Построим функцию равную 1 для
Функцию принято называть характеристической функцией множества
Мы уже привыкли считать, что интеграл равен площади фигуры и кривой . Так как в данном случае «высота» фигуры
Именно так и определяет Лебег интеграл от функции .
Мы должны твердо уяснить себе, что равенство (1) является определением интеграла как интеграла Лебега. Может случиться, что интеграл .
В качестве примера подсчитаем интеграл от функции Дирихле , равной 0 в рациональных точках отрезка [0, 1] и равной 1 в иррациональных точках этого отрезка. Так как, согласно (5), мера множества иррациональных точек отрезка [0, 1] равна 1, то интеграл Лебега равен 1. Нетрудно проверить, что интеграл Римана от этой функции не существует.
Пусть теперь — произвольная ограниченная измеримая функция, заданная на отрезке . Покажем, что всякую такую функцию можно сколь угодно точно представить в виде линейной комбинации характеристических функций множеств. Чтобы убедиться в этом, разобьем отрезок оси ординат между нижней и верхней гранями значений функции , на отрезки длины меньшей , где — произвольное фиксированное положительное число. Далее, если в точке
то положим в этой точке
а если в точке б то положим . Построение функции показано на рис. 3.
Согласно построению функции , в любой точке отрезка
Кроме того, так как функция принимает лишь конечное число значений , то её можно записать в виде
где — характеристическая функция того множества, где , т. е. (в каждой точке лишь одно слагаемое в правой части формулы (2) отлично от нуля!).
Определение интеграла Лебега
Переходим к определению интеграла Лебега от произвольной ограниченной измеримой функции. Так как функция мало отличается от функции , то в качестве приближенного значения интеграла от функции можно принять интеграл от функции . Но, замечая, что функции являются характеристическими функциями множеств, и пользуясь формально обычными правилами вычисления интеграла, получаем
где есть мера множества тех .
Итак, приближенным значением интеграла Лебега от функции является интегральная сумма Лебега
В соответствии с этим интеграл Лебега определяется как предел интегральных сумм Лебега , когда
что соответствует равномерной сходимости функций к функции .
Можно показать, что интегральные суммы Лебега имеют предел для любой ограниченной измеримой функции, т. е. любая ограниченная измеримая функция интегрируема по Лебегу. Интеграл Лебега можно также распространить на некоторые классы неограниченных измеримых функций, но мы не будем этим заниматься.
Свойства интеграла Лебега
Интеграл Лебега обладает всеми хорошими свойствами обычного интеграла, именно, интеграл от суммы равен сумме интегралов, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла и т. д. Однако интеграл Лебега обладает еще одним замечательным свойством, которым обычный интеграл не обладает : если измеримые функции ограничены в совокупности:
для любого и любого и последовательность сходится почти всюду к функции , то
Иными словами, интеграл Лебега допускает безотказный переход к пределу. Именно это свойство интеграла Лебега делает его весьма удобным, а часто и неизбежным инструментом во многих исследованиях. В частности, интеграл Лебега совершенно необходим в теории тригонометрических рядов, в теории функциональных пространств и других разделах математики.
Приведем пример. Пусть — периодическая функция с периодом — ее ряд Фурье.
Если, например, функция непрерывна, то, как нетрудно показать,
Это тождество носит название равенства Парсеваля .
Рассмотрим такой вопрос: для какого класса периодических функций справедливо равенство Парсеваля (3)? Ответ на этот вопрос гласит: равенство Парсеваля (3) выполняется в том и только в том случае, если функция измерима на отрезке и функция интегрируема по Лебегу на этом отрезке.
Измеримые функции: понятие и свойства — все, что нужно знать
Здравствуйте! Сегодня мы говорим о понятии и свойствах измеримых функций. Измеримая функция – это функция, которая может быть измерена, то есть описана числами или числовыми характеристиками. Она играет важную роль в математическом анализе и статистике, а также во многих научных и прикладных областях.
Одно из основных свойств измеримых функций – их возможность быть представленными в виде отрезка. Это означает, что значения функции принимаются из некоторого числового интервала.
Измеримые функции имеют множество применений. Они могут быть использованы для анализа данных, прогнозирования трендов, моделирования систем и многое другое. Изучение измеримых функций поможет нам лучше понять мир вокруг нас и принимать обоснованные решения на основе числовых данных.
Таким образом, измеримые функции являются важным инструментом в науке и предоставляют нам возможность анализировать и понимать различные явления и процессы при помощи математических методов.
Что такое измеримая функция
Основные свойства измеримых функций:
- Измеримая функция должна иметь определенное значение для каждого элемента из области определения.
- Она должна быть определена своими правилами и не зависеть от внешних факторов.
- Измеримая функция должна быть согласована с другими функциями и операциями.
Измеримые функции позволяют нам моделировать и предсказывать различные явления в реальном мире. Они помогают нам понять и объяснить законы природы и общества. Например, измеримые функции используются для описания физических законов, в экономических моделях или для анализа данных.
Изучение измеримых функций имеет большое значение для развития науки и технологий. Они помогают нам прогнозировать и контролировать различные процессы, а также оптимизировать наши решения и принимать более обоснованные решения.
Классы измеримых функций
В теории измеримых функций существует несколько классов, которые объединяют функции с определенными свойствами. Некоторые из них:
- Измеримые почти всюду функции: это функции, значение которых может отличаться на множестве меры нуль, но на всех остальных точках они имеют одинаковое значение.
- Счетно-значные функции: это функции, значения которых конечны или счетны. Например, функция, принимающая значения из множества натуральных чисел.
- Измеримые ограниченные функции: это функции, которые ограничены сверху и снизу и измеримы на заданном множестве.
Измеримые функции являются основой для многих теоретических и практических расчетов, таких как интегралы, вероятность и многое другое. Понимание и умение работать с классами измеримых функций позволяет нам более точно анализировать и описывать процессы, которые зависят от переменных и функций.
Свойства измеримых функций
- Счетная аддитивность: Если функция измерима на множестве A, то она будет счетно-прибавляемой на A. Это означает, что если вы разделили множество A на счетное количество неперекрывающихся множеств, то измерение функции на A будет равно сумме измерений функции на этих подмножествах.
- Непрерывность снизу и сверху: Если функция измерима на множестве A, то она будет непрерывной сверху и непрерывной снизу на A. Это означает, что если вы уменьшаете или увеличиваете множество A, измерение функции на A будет уменьшаться или увеличиваться соответственно.
- Предельные свойства: Если последовательность функций измерима и сходится к функции, то эта функция также будет измерима.
- Арифметические операции: Если функции измеримы на множестве A, то их сумма, разность, произведение и частное также будут измеримы на A.
- Переход к пределу: Если функции измеримы на множестве A, и есть предел, к которому сходится эта последовательность функций, то предел также будет измерим на A.
- Неотрицательность: Если функция неотрицательна на множестве A, то ее измерение на A неотрицательно.
Это лишь некоторые из свойств измеримых функций. Они помогают нам понимать и работать с этими функциями в математических исследованиях и приложениях, таких как теория вероятностей и интегральное исчисление.
Мера и меряемое пространство
Вы когда-нибудь задумывались, как можно измерить что-то абстрактное или неорганизованное? Например, как можно измерить количество жидкости в стакане или количество времени, которое вы затратили на выполнение задания? Ответ на эти вопросы заключается в понятии «меры» и «меряемого пространства».
Мера — это инструмент, который позволяет выразить количество или степень какого-либо значения. Она может быть использована для измерения различных аспектов, таких как объем, площадь, масса и другие характеристики. Например, если вы хотите измерить длину стола, вы можете использовать метры или футы в качестве меры.
Меряемое пространство является основой для определения меры. Это пространство, в котором можно определить понятие «измеримости» и выполнить измерения. Например, для измерения длины стола вам нужно иметь линейку или другой инструмент, который может быть использован для измерения.
Измеряемое пространство может быть различным. Например, в физической науке часто используется трехмерное евклидово пространство, где можно измерить длину, ширину и высоту объекта. В математике также существуют другие типы меряемых пространств, такие как вероятностные пространства, где можно измерить вероятности различных событий.
Важно отметить, что измеряемость связана с тем, насколько точными могут быть измерения. Некоторые величины, такие как время или масса, могут быть измерены с высокой точностью, в то время как другие величины, такие как любовь или счастье, являются более субъективными и трудномеряемыми.
Итак, мера и меряемое пространство — это ключевые понятия, которые помогают нам понять и измерить различные аспекты нашего мира. Они позволяют нам ставить цели, следить за прогрессом и оценивать результаты. Благодаря этим понятиям мы можем лучше понять и изучить окружающую нас реальность.
Измеримость по Лебегу
Измеримость по Лебегу связана с понятием меры Лебега, которая позволяет измерить длину, площадь, объем и другие характеристики геометрических объектов. Мера Лебега основана на понятии разбиения множества на более мелкие подмножества и суммировании их мер. Измеримость по Лебегу означает, что множество может быть разбито на такие подмножества, для которых можно рассчитать меру их объединения.
Измеримость по Лебегу обладает несколькими свойствами. Во-первых, множества, ограниченные и замкнутые, всегда измеримы. Во-вторых, объединение и пересечение измеримых по Лебегу множеств также являются измеримыми. Кроме того, существуют мера нуля и мера полной меры, которые также являются измеримыми.
Понимание измеримости по Лебегу позволяет более точно анализировать и понимать геометрические и физические объекты. На практике это позволяет решать задачи связанные с вычислением площади, объема, вероятности и других величин, а также строить математические модели, учитывая их геометрические свойства.
Теорема Каратеодори о продолжении измеримых функций
Теорема Каратеодори — это гладкая интерлейсная связь между измеримыми множествами и измеримыми функциями. Она говорит, что если у нас есть функция, которая является измеримой по отношению к некоторому множеству, мы можем продолжить ее до функции, которая будет измерима по отношению к более широкому множеству. Это полезно, когда мы имеем функцию, которая, допустим, измерима только на ограниченном интервале или в некотором подмножестве пространства, и мы хотим продолжить ее до функции во всем пространстве.
Но как мы можем продолжить функцию до более широкого множества? Ответ заключается в понятии граничных частей множеств. Мы определяем граничные части некоторого множества, а затем продолжаем функцию на эти части. Таким образом, мы получаем функцию, определенную на объединении изначального множества и его граничных частей. Эта функция будет измеримой по отношению к более широкому множеству.
Заключение
Приведены примеры различных типов измеримых функций, включая простые функции, ступенчатые функции и непрерывные функции. Простые функции — это функции, которые принимают конечное число значений на измеримых множествах. Ступенчатые функции — это функции, которые принимают конечное число значений на разбиении измеримого множества. Непрерывные функции — это функции, которые имеют непрерывные значения на измеримом множестве.
Измеримые функции являются важным объектом изучения в математическом анализе и теории меры. Они используются для описания различных физических явлений, например, в теории вероятностей и статистике. Понимание свойств и примеров измеримых функций помогает решать разнообразные задачи и достичь более точных результатов в работе с измеримыми множествами.
Вопрос-ответ:
Можете привести пример характеристической функции?
Конечно! Например, пусть задано множество A = и рассмотрим функцию f(x), которая равна 1, если x принадлежит множеству A, и равна 0, если x не принадлежит множеству A. Такая функция будет являться характеристической функцией множества A.
Какая функция считается измеримой?
Функция считается измеримой, если мера множества ее значений относительно любого измеримого пространства равна нулю.