Как привести квадратичную форму к каноническому виду

Квадратичные формы канонического вида

не имеющую попарных произведений переменных, называют квадратичной формой канонического вида. Переменные x₁. х_n, в которых квадратичная форма имеет канонический вид, называют каноническими переменными.

Один из методов преобразования (или, как говорят, приве-дения) квадратичной формы к каноническому виду путем замены переменных состоит в последовательном выделении полных квадратов. Такой метод называют методом Лагранжа. Проиллюстрируем этот метод на простом примере.

Пример 8.3. Рассмотрим квадратичную форму x 2 ₁ — 4x₁x₂ от двух переменных. Для преобразования ее к каноническому виду выделим полный квадрат по x₁. Для этого соберем все слагаемые, содержащие x₁, и дополним до полного квадрата:

Введя новые переменные z₁ = х₁ — 2х₂, z₂ = 2х₂, получим квадратичную форму канонического вида: z 2 ₁ — z 2 ₂. #

Как применять метод Лагранжа в общем случае? Рассмотрим квадратичную форму от n переменных общего вида (8.1). Если а₁₁ ≠ 0, соберем все слагаемые формы, содержащие переменное x₁, и дополним их слагаемыми так, чтобы получился полный квадрат. В результате получим:

где a’₁ = а₁₁, α_1,j = a_1,j/а₁₁, j = 1,n , a f₁ — квадратичная форма, не содержащая переменного х₁.

С квадратичной формой f₁ можно поступить аналогичным образом, выделяя полный квадрат по переменной x₂ . Продолжая процесс, мы преобразуем квадратичную форму f(x) к виду

где коэффициенты a’_j являются ненулевыми, a α_jj = 1, j = 1,r .

Выполним линейную замену переменных

определяемую верхней треугольной матрицей U. Отметим, что диагональное элементы матрицы U равны единице, поэтому эта матрица невырождена. В результате замены переменных мы придем к; квадратичной форме

имеющей канонический вид.

Изложенная схема не применима, если на каком-либо ее этапе в квадратичной форме нет соответствующего переменного во второй степени. Например, может случиться, что а₁₁ = 0. Тогда мы вместо переменного х₁ можем остановить свой выбор на другом, квадрат которого присутствует в квадратичной форме. Но может быть так, что в квадратичной форме нет ни одного квадрата (например, f(x₁,x₂) = x₁x₂). Тогда перед выделением квадрата следует выполнить промежуточную замену переменных. Для этого выбираем любое слагаемое квадратичной формы. Пусть для определенности a₁₂ ≠ 0, так что присутствует слагаемое 2a₁₂x₁x₂. После замены переменных х₁ = х’₁ + х’₂, x₂ = х’₁ — х’₂, х₃ = x’₃, . х_n — х’_n получим квадратичную форму, у которой присутствует квадрат переменного х’₁, так как х₁x₂ = (x’₁ + x’₂)( x’₁ — x’₂) = (x’₁) 2 — (x’₂) 2 .

Отметим, что канонический вид, к которому приводится данная квадратичная форма, определяется неоднозначно. Так, в примере 8.3 после дополнительной замены переменных ω₁ = z₁/2, ω₂ = z₂/2 получим еще одну квадратичную форму канонического вида 4ω₂₁ — 4ω₂₂.

Квадратичные формы канонического вида

не имеющую попарных произведений переменных, называют квадратичной формой канонического вида. Переменные x₁. х_n, в которых квадратичная форма имеет канонический вид, называют каноническими переменными.

Один из методов преобразования (или, как говорят, приве-дения) квадратичной формы к каноническому виду путем замены переменных состоит в последовательном выделении полных квадратов. Такой метод называют методом Лагранжа. Проиллюстрируем этот метод на простом примере.

Пример 8.3. Рассмотрим квадратичную форму x 2 ₁ — 4x₁x₂ от двух переменных. Для преобразования ее к каноническому виду выделим полный квадрат по x₁. Для этого соберем все слагаемые, содержащие x₁, и дополним до полного квадрата:

Введя новые переменные z₁ = х₁ — 2х₂, z₂ = 2х₂, получим квадратичную форму канонического вида: z 2 ₁ — z 2 ₂. #

Как применять метод Лагранжа в общем случае? Рассмотрим квадратичную форму от n переменных общего вида (8.1). Если а₁₁ ≠ 0, соберем все слагаемые формы, содержащие переменное x₁, и дополним их слагаемыми так, чтобы получился полный квадрат. В результате получим:

где a’₁ = а₁₁, α_1,j = a_1,j/а₁₁, j = 1,n , a f₁ — квадратичная форма, не содержащая переменного х₁.

С квадратичной формой f₁ можно поступить аналогичным образом, выделяя полный квадрат по переменной x₂ . Продолжая процесс, мы преобразуем квадратичную форму f(x) к виду

где коэффициенты a’_j являются ненулевыми, a α_jj = 1, j = 1,r .

Выполним линейную замену переменных

определяемую верхней треугольной матрицей U. Отметим, что диагональное элементы матрицы U равны единице, поэтому эта матрица невырождена. В результате замены переменных мы придем к; квадратичной форме

имеющей канонический вид.

Изложенная схема не применима, если на каком-либо ее этапе в квадратичной форме нет соответствующего переменного во второй степени. Например, может случиться, что а₁₁ = 0. Тогда мы вместо переменного х₁ можем остановить свой выбор на другом, квадрат которого присутствует в квадратичной форме. Но может быть так, что в квадратичной форме нет ни одного квадрата (например, f(x₁,x₂) = x₁x₂). Тогда перед выделением квадрата следует выполнить промежуточную замену переменных. Для этого выбираем любое слагаемое квадратичной формы. Пусть для определенности a₁₂ ≠ 0, так что присутствует слагаемое 2a₁₂x₁x₂. После замены переменных х₁ = х’₁ + х’₂, x₂ = х’₁ — х’₂, х₃ = x’₃, . х_n — х’_n получим квадратичную форму, у которой присутствует квадрат переменного х’₁, так как х₁x₂ = (x’₁ + x’₂)( x’₁ — x’₂) = (x’₁) 2 — (x’₂) 2 .

Отметим, что канонический вид, к которому приводится данная квадратичная форма, определяется неоднозначно. Так, в примере 8.3 после дополнительной замены переменных ω₁ = z₁/2, ω₂ = z₂/2 получим еще одну квадратичную форму канонического вида 4ω₂₁ — 4ω₂₂.

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

определяет на плоскости кривую. Группа членов называется квадратичной формой, – линейной формой. Если в квадратичной форме содержатся только квадраты переменных, то такой ее вид называется каноническим, а векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называются главными осями квадратичной формы.
Матрица называется матрицей квадратичной формы. Здесь a 1 ₂=a 2 ₁. Чтобы матрицу B привести к диагональному виду, необходимо за базис взять собственные векторы этой матрицы, тогда , где λ₁ и λ₂ – собственные числа матрицы B.
В базисе из собственных векторов матрицы B квадратичная форма будет иметь канонический вид: λ₁x 2 ₁+λ₂y 2 ₁ .
Эта операция соответствует повороту осей координат. Затем производится сдвиг начала координат, избавляясь тем самым от линейной формы.
Канонический вид кривой второго порядка: λ₁x 2 ₂+λ₂y 2 ₂=a , причем:
а) если λ₁>0; λ₂>0 – эллипс, в частности, при λ₁=λ₂ это окружность;
б) если λ₁>0, λ₂12>0) имеем гиперболу;
в) если λ₁=0 либо λ₂=0, то кривая является параболой и после поворота осей координат имеет вид λ₁x 2 ₁=ax₁+by₁+c (здесь λ₂=0). Дополняя до полного квадрата, будем иметь: λ₁x₂ 2 =b₁y₂ .

Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

Характеристическое уравнение:
; λ₁=-2, λ₂=8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x₁ 2 -2y₁ 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x₁=1: x ₁=(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x ₁.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
x ₂=(1,1); .
Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i ₁, j ₁).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или

Вносим выражения x и y в исходное уравнение и, после преобразований, получаем: .
Выделяем полные квадраты: .
Проводим параллельный перенос осей координат в новое начало: , .
Если внести эти соотношения в (*) и разрешить эти равенства относительно x₂ и y₂, то получим: , . В системе координат (0*, i₁, j₁) данное уравнение имеет вид: .
Для построения кривой строим в старой системе координат новую: ось x₂=0 задается в старой системе координат уравнением x-y-3=0, а ось y₂=0 уравнением x+y-1=0. Начало новой системы координат 0 * (2,-1) является точкой пересечения этих прямых.
Для упрощения восприятия разобьем процесс построения графика на 2 этапа:
1. Переход к системе координат с осями x₂=0, y₂=0, заданными в старой системе координат уравнениями x-y-3=0 и x+y-1=0 соответственно.

2. Построение в полученной системе координат графика функции.

Окончательный вариант графика выглядит следующим образом (см. как построить график):

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x 2 + 12xy + 8y 2 — 20 = 0.
Решение.Пример 2

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение

Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 — 9y 2 -64x — 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Уравнение второго порядка вида a 1 ₁x 2 + 2a 1 ₂xy + a 2 ₂y 2 + 2a 0 ₁x + 2a 0 ₂y + a 0 ₀ = 0 определяет на плоскости кривую.
Канонический вид кривой второго порядка: λ₁x 2 + λ₂y 2 , причем:
а) если λ₁>0; λ₂>0 – эллипс, в частности, при λ₁=λ₂ это окружность;
б) если λ₁>0, λ₂12>0) имеем гиперболу;
в) если λ₁=0 либо λ₂=0, то кривая является параболой.

• Ввод данных
• Инструкция
• Оформление Word
• Типовые задания

Инструкция . Заполните коэффициенты при соответствующих переменных и нажмите кнопку Решение .
Видеоинструкция

Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.

Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.

Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду

1. Переход к системе координат с осями x₂=0, y₂=0.

2. Построение в полученной системе координат графика функции.

Окончательный вариант графика:

Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0

Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0

Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0

Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1

Налоговый вычет на обучение

√ 120 тыс. руб. — максимальная сумма расходов на обучение
√ вычет от государства
√ вычет от работодателя

Требуются авторы студенческих работ!

• регулярный поток заказов;
• стабильный доход

Учебно-методический

• курсы переподготовки и повышения квалификации;
• вебинары;
• сертификаты на публикацию методического пособия

• Задать вопрос или оставить комментарий
• Помощь в решении
• Поиск
• Поддержать проект