Как понять что число оканчивается на 6
Перейти к содержимому

Как понять что число оканчивается на 6

  • автор:

Как понять что число начинается и заканчивается одной и той же цифрой?

Натолкните пожалуйста на мысль. Я немного запутался с задачей: Дано натуральное число. Верно ли, что оно начинается и заканчивается одной и той же цифрой? Сначала пробовал читать в массив, потом считать элементы в массиве, чтобы найти первое и последнее число и потом сравнить. Но не смог до конца допилить с массивом и мне кажется это усложнение с массивом. Какая логика должна быть в решении?

Отслеживать
задан 10 ноя 2021 в 16:18
723 5 5 серебряных знаков 25 25 бронзовых знаков

1 ответ 1

Сортировка: Сброс на вариант по умолчанию

зачем вам массивы? в школах вполне себе арифметику пока еще преподают.

последняя цифра — остаток от деления на 10. первая — деление числа на 10 до упора и взятие последнего остатка

int mynumber=123456; int last=mynumber%10; int first=mynumber; for(first=mynumber;first>=10;first=first/10); first = first%10; printf("%d - %d",first,last); 

Отслеживать
ответ дан 10 ноя 2021 в 16:33
Sergey Tatarintsev Sergey Tatarintsev
6,145 2 2 золотых знака 6 6 серебряных знаков 14 14 бронзовых знаков

    Важное на Мете
Похожие

Подписаться на ленту

Лента вопроса

Для подписки на ленту скопируйте и вставьте эту ссылку в вашу программу для чтения RSS.

Дизайн сайта / логотип © 2024 Stack Exchange Inc; пользовательские материалы лицензированы в соответствии с CC BY-SA . rev 2024.4.30.8412

Определить, является ли число кратно 3 и оканчивается ли на 6

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Определить является ли число целым и оканчивается ли оно цифрой 7
Доброго времени суток! Помогите пожалуйста решить задачку. Дано целое число. Определить является.

Определить, является ли число четным или оканчивается цифрой 7
1)Дано натуральное число. Определить, является ли оно четным или оканчивается цифрой 7.

Записать условие, которое является истинным, когда целое А не кратно трем и оканчивается нулем
Помогите плиз срочно нужно Добавлено через 29 минут var a, b: integer; n, i: real; begin.

Записать условие, которое является истинным, когда целое А не кратно трем и оканчивается нулем
Записать условие, которое является истинным, когда целое А не кратно трем и оканчивается нулем.

Почетный модератор
64300 / 47595 / 32743
Регистрация: 18.05.2008
Сообщений: 115,181

Лучший ответ

Сообщение было отмечено Памирыч как решение

Решение

if (a mod 3=0)and(a mod 10=6) then write('да') else write('нет');

5079 / 2651 / 2349
Регистрация: 10.12.2014
Сообщений: 10,028

Лучший ответ

Сообщение было отмечено Памирыч как решение

Решение

Можно использовать массив для ответа:

1 2 3 4 5 6
const answer : array [Boolean] of String = ('нет', 'да'); var n : Integer; begin ReadLn(n); WriteLn(answer[(n mod 3 = 0) and (n mod 10 = 6)]); end.

87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Определить, правда ли, что заданное натуральное число N является двузначным и кратно K
1. Составление программ разветвляющейся структуры: Проверить, попадает ли число a в промежуток .

Определить истинность высказывания: Заданное натуральное число N является двузначным и кратно К
Составить линейную программу, печатающую значение true,если указанное высказывание является.

Дано натуральное число. Определить, является ли оно четным, или оканчивается цифрой 3
Дано натуральное число. Определить, является ли оно четным, или оканчивается цифрой 3. Выделить.

Дано натуральное число. Определить, является ли оно четным, или оканчивается цифрой 3
Дано натуральное число. Определить, является ли оно четным, или оканчивается цифрой 3. c++ и java

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Как понять что число оканчивается на 6

Начнём с того, для чего вообще нужны признаки делимости? Пожалуй это самое интересное в математике, когда мы можем подсчитать большие цифры без калькулятора. Начнём по порядку и разберём на примерах.

1. Признак делимости на 2. Если число оканчивается чётной цифрой, т.е. одной и цифр: 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2. Например: 12; 28; 336 — последние цифры оканчиваются чётной цифрой, то значит они делятся на 2.

2. Признак делимости на 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Например: 372; 3 + 7 + 2 = 12 — сумма делится на 3, значит и само число делится на 3.

3.Признак делимости на 4. Число, содержащее не менее трёх цифр, делится на 4 тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа. Например: 1692 : 4 = 423; Разберём, последние две цифры у нас 92, тогда 92 : 4 = 23. Можно сделать вывод, что число делится на 4.

4.Признак делимости на 5. Если число оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, то оно делится на 5. Например 65; 175 ; 433210;

5. Признак делимости на 6. Если число делится на 2 и 3, то оно также делится на 6. Например: 18; 48;

6. Признак делимости на 7. Из данного числа берут цифру, находящуюся в десятичном разряде и вычитают число, полученное умножением цифры взятой из единичного разряда на 2. Если разность делится на 7, то данное число также делится на 7. Например: 91. 9 — 2*1 = 7 ; 1134. 1134 * 113 — 2 * 4 = 7 * 15.

7.Признак делимости на 8. Число, содержащее не менее четырёх цифр, делится на 8 тогда, когда делится на 8 трёхзначное число, образованное последними тремя цифрами заданного числа. Если у числа последние три цифры 0, то оно также делится на 8. Например: 2048 ; 2000;

8.Признак делимости на 9. Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Например: 5058. 5 + 0 + 5 + 8 = 18; 78804. 7 + 8 + 8 + 0 + 4 = 27.

9.Признак делимости на 10. Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.

10.Признак делимости на 11. Число делится на 11, если у него сумма цифр, занимающих чётные места, либо равна сумме цифр, занимающих нечетные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11. Например: 50457. (5 + 4 + 7) — (0 + 5 ) = 16 — 5 = 11.

11.Признак делимости на 25. Если последние два числа заканчиваются нулем или делятся на 25, то заданное число также делится на 25. Например: 500; 1625; 2875;

12.Признак делимости на 13. Число делится на 13, если разность между число, выраженным тремя последними цифрами числа n, и числом, выраженным остальными цифрами n, делится на 13.

Это основные признаки делимости чисел, делимость остальных чисел определяется разложением их на простые множители. Например 12=3 * 2^2 = 3 * 4. Значит, если число делится на 3 и 4, то оно делится на 12.

Признак делимости на 6, примеры, доказательство

Данная статья раскрывает смысл признака делимости на 6 . Будет введена его формулировка с примерами решений. Ниже приведем доказательство признака делимости на 6 на примере некоторых выражений.

Признак делимости на 6, примеры

Формулировка признака делимости на 6 включает в себя признак делимости на 2 и на 3 : если число оканчивается на цифры 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , а сумма цифр делится без остатка на 3 , значит, такое число делится на 6 ; при отсутствии хотя бы одного условия заданное число на 6 не поделится. Иначе говоря, число будет делиться на 6 , когда оно поделится на 2 и на 3 .

Применение признака делимости на 6 работает в 2 этапа:

  • проверка делимости на 2 , то есть число должно оканчиваться на 2 для явной делимости на 2, при отсутствии цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 в конце числа деление на 6 невозможно;
  • проверка делимости на 3 , причем проверка производится при помощи деления суммы цифр числа на 3 без остатка, что означает возможность делимости всего числа на 3 ; исходя из предыдущего пункта видно, что все число делится на 6 , так как выполняются условия для деления на 3 и на 2 .

Проверить, может ли число 8 813 делиться на 6 ?

Решение

Очевидно, что для ответа нужно обратить внимание на последнюю цифру числа. Так как 3 не делится на 2 , отсюда следует, что одно условие не выполняется. Получаем, что заданное число на 6 не поделится.

Узнать, возможно ли деление числа 934 на 6 без остатка.

Решение

Обращаем внимание на последнюю цифру заданного числа. Так как 4 удовлетворяет первому признаку, то есть делится на 2 , то следует проверить на выполнимость второе условие. В данном случае сумма цифр должна поделиться на 6 . Получаем, что из числа 934 полагается сумма 9 + 3 + 4 = 16 . Так как 16 на 3 не делится, то отсюда делаем вывод, что заданное число на 6 не поделится.

Проверить делимость на 6 числа − 7 269 708 .

Решение

Переходим к последней цифре числа. Так как ее значение равняется 8 , то первое условие выполнимо, то есть 8 делится на 2 . Переходим к проверке на выполнимость второго условия. Для этого складываем цифры заданного числа 7 + 2 + 6 + 9 + 7 + 0 + 8 = 39 . Видно, что 39 делится на 3 без остатка. То есть получаем ( 39 : 3 = 13 ) . Очевидно, что оба условия выполняются, значит, что заданно число разделится на 6 без остатка.

Ответ: да, делится.

Чтобы проверить делимость на 6 , можно выполнить непосредственно деление на число 6 без проверки признаков делимости на него.

Доказательство признака делимости на 6

Рассмотрим доказательство признака делимости на 6 с необходимыми и достаточными условиями.

Для того, чтобы целое число a делилось на 6 , необходимо и достаточно, чтобы это число делилось на 2 и на 3 .

Доказательство 1

Для начала необходимо доказать, что делимость числа a на 6 обуславливает его делимость на 2 и на 3 . Использование свойства делимости: если целое число делится на b , тогда произведение m·a с m, являющимся целым числом, также делится на b .

Отсюда следует, что при делении a на 6 можно использовать свойство делимости для того, чтобы представить равенство в виде a = 6 · q , где q является некоторым целым числом. Такая запись произведения говорит о том, что наличие множителя дает гарантию деления на 2 и на 3 . Необходимость доказана.

Для полного доказательства делимости на 6 , следует доказать достаточность. Для этого нужно доказать, что если число делится на 2 и на 3 , то оно делится и на 6 без остатка.

Необходимо применение основной теоремы арифметики. Если произведение нескольких целых положительных и не равных единицам множителей делится на простое число p , тогда хотя бы один множитель делится на p .

Имеем, что целое число a поделится на 2 , тогда существует такое число q , когда a = 2 · q . Это же выражение делится на 3 , где 2 · q делится на 3 . Очевидно, что 2 на 3 не делится. Из теоремы следует, что q должно делиться на 3 . Отсюда получим, что имеется целое число q 1 , где q = 3 · q 1 . Значит, полученное неравенство вида a = 2 · q = 2 · 3 · q 1 = 6 · q 1 говорит о том, что число a будет делиться на 6 . Достаточность доказана.

Другие случаи делимости на 6

В данном пункте рассматриваются способы доказательств делимости на 6 с переменными. Такие случаю предусматривают другой метод решения. Имеем утверждение: если один из целых множителей в произведении делится на заданное число, то и все произведение поделится на это число. Иначе говоря, при представленном заданном выражении в виде произведения хотя бы один из множителей делится на 6 , то все выражение будет делиться на 6 .

Такие выражения проще решать при помощи подстановки формулы бинома Ньютона.

Определить, будет ли выражение 7 n — 12 n + 11 делиться на 6 .

Решение

Представим число 7 в виде суммы 6 + 1 . Отсюда получаем запись вида 7 n — 12 n + 11 = ( 6 + 1 ) n — 12 n + 11 . Применим формулу бинома Ньютона. После преобразований имеем, что

7 n — 12 n + 11 = ( 6 + 1 ) n — 12 n + 11 = = ( C n 0 · 6 n + C n 1 · 6 n — 1 + . . . + + C n n — 2 · 6 2 · 1 n — 2 + C n n — 1 · 6 · 1 n — 1 + C n n · 1 n ) — 12 n + 11 = = ( 6 n + C n 1 · 6 n — 1 + . . . + C n n — 2 · 6 2 + n · 6 + 1 ) — 12 n + 11 = = 6 n + C n 1 · 6 n — 1 + . . . + C n n — 2 · 6 2 — 6 n + 12 = = 6 · ( 6 n — 1 + C n 1 · 6 n — 2 + . . . + C n n — 2 · 6 1 — n + 2 )

Полученное произведение делится на 6 , потому как один из множителей равняется 6 . Отсюда следует, что n может быть любым целым натуральным числом, причем заданное выражение поделится на 6 .

Когда выражение задается при помощи многочлена, тогда следует произвести преобразования. Видим, что требуется прибегнуть к разложению многочлена на множители. получим, что переменная n примет вид и запишется как n = 6 · m , n = 6 · m + 1 , n = 6 · m + 2 , … , n = 6 · m + 5 , число m является целым. Если делимость при каждом n будет иметь смысл, то делимость заданного числа на 6 при любом значении целого n будет доказана.

Доказать, что при любом значении целого n выражение n 3 + 5 n поделится на 6 .

Решение

Для начала разложим на множители заданное выражение и получим, что n 3 + 5 n = n · ( n 2 + 5 ) . Если n = 6 · m , тогда n · ( n 2 + 5 ) = 6 m · ( 36 m 2 + 5 ) . Очевидно, что наличие множителя числа 6 говорит о том, что выражение делится на 6 для любого целого значения m .

Если n = 6 · m + 1 , получаем

n · ( n 2 + 5 ) = ( 6 m + 1 ) · 6 m + 1 2 + 5 = = ( 6 m + 1 ) · ( 36 m 2 + 12 m + 1 + 5 ) = = ( 6 m + 1 ) · 6 · ( 6 m 2 + 2 m + 1 )

Произведение будет делиться на 6 , так как имеет множитель, равняющийся 6 .

Если n = 6 · m + 2 , то

n · ( n 2 + 5 ) = ( 6 m + 2 ) · 6 m + 2 2 + 5 = = 2 · ( 3 m + 1 ) · ( 36 m 2 + 24 m + 4 + 5 ) = = 2 · ( 3 m + 1 ) · 3 · ( 12 m 2 + 8 m + 3 ) = = 6 · ( 3 m + 1 ) · ( 12 m 2 + 8 m + 3 )

Выражение будет делиться на 6 , так как в записи имеется множитель 6 .

Таким же образом выполняется и для n = 6 · m + 3 , n = 6 · m + 4 и n = 6 · m + 5 . При подстановке придем к тому, что при любом целом значении m эти выражения будут делиться на 6 . Отсюда следует, что заданное выражение поделится на 6 при любом целом значении n .

Теперь рассмотрим на примере решения при помощи задействования метода математической индукции. Будет произведено решение по условию первого примера.

Доказать, что выражение вида 7 n — 12 n + 11 будет делиться на 6 , где примет любые целые значения выражения.

Решение

Данный пример решим по методу математической индукции. Алгоритм выполним строго пошагово.

Произведем проверку делимости выражения на 6 при n = 1 . Тогда получаем выражение вида 7 1 — 12 · 1 + 11 = 6 . Очевидно, что 6 поделится само на себя.

Возьмем n = k в исходном выражении. Когда оно будет делиться на 6 , тогда можно считать, что 7 k — 12 k + 11 будет делиться на 6 .

Перейдем к доказательству деления на 6 выражения вида 7 n — 12 n + 11 при n = k + 1 . Отсюда получим, что необходимо доказать делимость выражения 7 k + 1 — 12 · ( k + 1 ) + 11 на 6 , причем следует учитывать то, что 7 k — 12 k + 11 делится на 6 . Преобразуем выражение и подучим, что

7 k + 1 — 12 · ( k + 1 ) + 11 = 7 · 7 k — 12 k — 1 = = 7 · ( 7 k — 12 k + 11 ) + 72 k — 78 = = 7 · ( 7 k — 12 k + 11 ) + 6 · ( 12 k — 13 )

Очевидно, что первое слагаемое будет делиться на 6 , потому как 7 k — 12 k + 11 делится на 6 . Второе слагаемое также делится на 6 , потому как один из множителей равен 6 . Отсюда делаем вывод, что все условия соблюдены, а значит, что вся сумма будет делиться на 6 .

Метод математической индукции доказывает, что заданное выражение вида 7 n — 12 n + 11 будет делиться на 6 , когда n примет значение любого натурального числа.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *