Определение выпуклого четырехугольника
Статья поможет разобраться в свойствах и видах выпуклых четырехугольников. Научит отличать их от невыпуклых фигур. Вы узнаете, как определить, равны фигуры друг другу или нет, найдете ссылки на подробные доказательства всех пунктов равенства.
Что такое выпуклый четырехугольник
Определение
Это почти любой знакомый нам четырехугольник. Потому что в обычной общеобразовательной школе изучают только выпуклые фигуры.
Основные свойства
Для начала проверьте наличие четырех вершин, из которых три не лежат на одной прямой. Также должно быть четыре отрезка, которые эти вершины последовательно соединяют. Если все это есть, значит перед нами четырехугольник.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Дальше нужно отличить выпуклый от невыпуклого. Сделать это очень легко — достаточно просто посмотреть на данную вам фигуру: вся она должна быть расположена с одной стороны от любой из своих сторон. На рисунке ниже видно, что для невыпуклой фигуры это условие невыполнимо.
Виды выпуклых прямоугольников
Существуют две большие группы.
1 вид — параллелограммы:
- квадрат,
- прямоугольник,
- ромб,
- параллелограмм.
2 вид — трапеции:
- произвольная,
- прямоугольная,
- равнобедренная.
Свойства диагоналей, признаки выпуклости
Можно сказать, что это, за небольшим исключением, одно и то же, поэтому объединим их в один блок.
1 свойство
Пересечение всех диагоналей.
Примечание
Точка пересечения должна быть общая. Если хотя бы одна диагональ не пересекается с остальными в одной точке, то этот четыреугольник невыпуклый.
В основе этого свойства лежит соответствующая теорема, но здесь мы ее подробно не рассматриваем.
2 свойство
Любая из диагоналей разделит четырехугольник на 2 треугольника. Можно воспользоваться рисунками, данными в первом блоке статьи, и мысленно провести одну диагональ в каждой из фигур. Результат будет подтверждением написанного в этом пункте.
Еще один признак выпуклости
Если сложить градусные меры всех углов фигуры, получится величина, равная 360º.
Признаки равенства
Выпуклые четырехугольники равны, если у них соответственно равны:
- четыре стороны и один угол;
- три стороны и два угла между ними;
- три стороны и два угла, которые не лежат между этими сторонами;
- три стороны и два противолежащих угла;
- три угла и две стороны между ними;
- три угла и две смежные сороны, которые не лежат между этими углами;
- три угла и две смежные стороны, причем одна из них лежит между этими углами;
- фигуры равны, если площадь одной равна площади другой.
Подробные доказательства по каждому пункту с иллюстрациями можно найти здесь: https://yadi.sk/i/V0X_9c1DY1Wehg
Сумма квадратов диагоналей
Если сумма квадратов диагоналей и сумма квадратов всех сторон фигуры равны, то это параллелограмм. Это свойство относится ко всем видам параллелограмма (ромб, квадрат, прямоугольник, собственно параллелограмм).
Насколько полезной была для вас статья?
Выпуклый четырехугольник
Что такое выпуклый четырехугольник? Чем он отличается от четырехугольника, который не является выпуклым?
Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.
Другими словами, четырехугольник — выпуклый, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей две его соседние вершины.
Например, четырехугольник ABCD является выпуклым.
Он лежит в одной полуплоскости относительно любой из прямых, проходящих через его стороны.
Четырехугольник FKMN не является выпуклым.
Прямые, проходящие его стороны FK и MK, разбивают FKMN на части, лежащие относительно этих прямых в разных полуплоскостях ( то есть по разные стороны от прямых).
Выпуклый четырехугольник
Что такое выпуклый четырехугольник? Чем он отличается от четырехугольника, который не является выпуклым?
Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.
Другими словами, четырехугольник — выпуклый, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей две его соседние вершины.
Например, четырехугольник ABCD является выпуклым.
Он лежит в одной полуплоскости относительно любой из прямых, проходящих через его стороны.
Четырехугольник FKMN не является выпуклым.
Прямые, проходящие его стороны FK и MK, разбивают FKMN на части, лежащие относительно этих прямых в разных полуплоскостях ( то есть по разные стороны от прямых).
Выпуклый четырехугольник
Подробнее
Подробнее
Подробнее
Определения
Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.
Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины.
Различают выпуклые и невыпуклые четырехугольники.
Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону.
В школьном курсе рассматриваются только выпуклые четырехугольники. Поэтому далее “выпуклый четырехугольник” будем сокращенно называть “четырехугольник”.
Теорема
Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\) .
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\) и проведем его диагональ \(AC\) . Она разбила четырехугольник на два треугольника. Сумма углов любого треугольника равна \(180^\circ\) , следовательно:
\[\begin 360^\circ=180^\circ+180^\circ=(\angle DAC+\angle D+\angle ACD) + (\angle CAB+\angle B+\angle ACB)=\\ =\angle D+\angle B +(\angle DAC+\angle CAB)+(\angle ACD+\angle ACB)=\angle D+\angle B+\angle A+\angle C \end\]
Теорема Вариньона
Выпуклый четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом.
Доказательство*
С доказательством данной теоремы рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Средняя линия треугольника”.
Проведем диагонали четырехугольника \(ABCD\) . Рассмотрим \(\triangle ABC\) : \(MN\) – средняя линия этого треугольника, следовательно, \(MN\parallel AC\) .
Рассмотрим \(\triangle ADC\) : \(PK\) – средняя линия этого треугольника, следовательно, \(PK\parallel AC\) .
Таким образом, \(MN\parallel AC\parallel PK\) .
Аналогичным образом доказывается, что \(MP\parallel BD\parallel NK\) .
Следовательно, по определению \(MNKP\) – параллелограмм.
Теорема
Если в четырехугольнике \(ABCD\) диагонали взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны: \[AB^2+CD^2=BC^2+AD^2\]
Доказательство
По теореме Пифагора:
Из равенств видно, что \(AB^2+CD^2=x^2+a^2+y^2+b^2=BC^2+AD^2\)
Замечание
Все известные четырехугольники, изучаемые в школьной программе, подчиняются следующей схеме:
Таким образом, любой четырехугольник из этой схемы обладает свойствами всех предыдущих четырехугольников, из которых он следует.
Например, прямоугольник обладает свойствами параллелограмма и произвольного выпуклого четырехугольника; квадрат обладает свойствами прямоугольника, параллелограмма, выпуклого четырехугольника.