Во сколько раз уменьшится средняя кинетическая энергия

Средняя кинетическая энергия

1. Среднюю кинетическую энергию теплового движения молекул
разреженного газа уменьшили в 2 раза и концентрацию молекул газа
уменьшили в 2 раза. Чему равно отношение конечного давления к
начальному?
2. Концентрацию молекул одноатомного идеального газа уменьшили в
5 раз. Одновременно в 2 раза увеличили среднюю энергию хаотичного
движения молекул газа. Чему равно отношение конечного давления к
начальному?
3. Во сколько раз изменится давление идеального газа, если среднюю
кинетическую энергию теплового движения молекул газа увеличить в 2
раза и концентрацию молекул газа увеличить в 2 раза?
4. При неизменной концентрации молекул идеального газа средняя
квадратичная скорость теплового движения его молекул увеличилась в
4 раза. Во сколько раз изменилось давление газа?
5. При неизменной концентрации молекул идеального газа средняя
квадратичная скорость теплового движения его молекул уменьшилась
в 2 раза. Найти отношение конечного давления к начальному?

10.

6. Во сколько раз изменится давление разреженного одноатомного
газа, если абсолютная температура газа уменьшится в 2 раза, а
концентрация молекул увеличится в 2 раза?
7. Во сколько раз изменится давление разреженного одноатомного
газа, если при увеличении концентрации молекул газа в 3 раза его
абсолютная температура увеличится в 2 раза?
8. Во сколько раз изменится давление разреженного газа, если при
его нагревании и сжатии абсолютная температура газа и
концентрация молекул увеличатся в 2 раза?
9. При неизменной плотности одноатомного идеального газа
давление этого газа увеличивают в 4 раза. Во сколько раз
изменяется при этом среднеквадратичная скорость движения его
атомов?
10. При увеличении абсолютной температуры средняя кинетическая
энергия хаотического теплового движения молекул разреженного
одноатомного газа увеличилась в 2 раза. Начальная температура
газа 250 К. Какова конечная температура газа? (Ответ дайте в
градусах Кельвина.)

11.

Если при сжатии объём идеального газа уменьшился в 2
раза, а давление газа увеличилось в 2 раза, то во сколько
раз изменилась при этом абсолютная температура газа?
Во сколько раз изменяется давление идеального газа при
уменьшении объёма идеального газа в 2 раза и
увеличении его абсолютной температуры в 4 раза?
В баллоне объёмом 1.66 м3 находится 2 кг
молекулярного кислорода при давлении 10 000 Па. Какова
температура кислорода? Ответ выразите в градусах
Кельвина и округлите до целых.

12.

1. Идеальный газ получил количество теплоты 300 Дж и совершил
работу 100 Дж. Чему равно изменение внутренней энергия газа?
Ответ дайте в джоулях.
2. Идеальный газ получил количество теплоты 300 Дж и при этом
внутренняя энергия газа увеличилась на 100 Дж. Какова работа,
совершенная газом? (Ответ дать в джоулях.)
3. Идеальный газ отдал количество теплоты 300 Дж и при этом
внутренняя энергия газа увеличилась на 100 Дж. Какова работа,
совершенная газом? (Ответ дать в джоулях.)
4. Идеальный газ отдал количество теплоты 300 Дж и при этом
внутренняя энергия газа уменьшилась на 100 Дж. Какова работа,
совершенная газом? (Ответ дайте в джоулях.)
5. Идеальный газ получил количество теплоты 100 Дж и при этом
внутренняя энергия газа уменьшилась на 100 Дж. Какова работа,
совершенная газом? (Ответ дать в джоулях.)

13.

6. Если идеальный газ получил количество теплоты
100 Дж, и при этом внутренняя энергия газа увеличилась
на 100 Дж, то какую работу совершил газ в этом процессе?
(Ответ дайте в джоулях.)
7. Если идеальный газ отдал количество теплоты 100 Дж и
при этом внутренняя энергия газа уменьшилась на
100 Дж, то какова работа, совершенная газом? (Ответ
дайте в джоулях.)
8. Идеальный газ получил количество теплоты 100 Дж и
при этом внутренняя энергия газа уменьшилась на
100 Дж. Какова работа, совершенная внешними силами
над газом? (Ответ дайте в джоулях.)
9. Каково изменение внутренней энергии газа, если ему
передано количество теплоты 300 Дж, а внешние силы
совершили над ним работу 500 Дж? (Ответ дайте в
джоулях.)

Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул

Идеальный газ. Если потенциальной энергией взаимодействия молекул в газе можно пренебречь по сравнению с кинетической энергией их хаотического движения, то можно считать, что вся внутренняя энергия газа – это сумма кинетических энергий его молекул. Такую упрощенную модель реального газа называют идеальным газом.

Молекулярно-кинетическая теория идеального газа объясняет свойства газов, рассмотренные в предыдущем параграфе.

Согласно этой теории давление газа обусловлено частыми ударами молекул.

Поставим опыт
Будем сыпать на лист тонкого картона песок (рис. 41.1).

Мы увидим, что лист картона согнется, будто на него действует постоянная сила, хотя его деформация обусловлена ударами отдельных песчинок. Таким образом, частые удары мелких частиц создают постоянную силу.

Исходя из того, что давление газа создается ударами молекул, немецкий физик Рудольф Клаузиус вывел соотношение

где p – давление газа, n – концентрация его молекул, m₀ – масса молекулы, – среднее значение квадрата скорости молекул, которое определяется формулой

Здесь N – число молекул в газе.

Уравнение (1) называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа.

Запишем это уравнение с учетом того, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы связана со средним квадратом ее скорости соотношением

(Если молекула состоит более чем из одного атома, у нее есть также кинетическая энергия вращательного движения. Расчет, выходящий за рамки нашего курса, показывает, что при нахождении давления газа ее учитывать не нужно.)

Отсюда следует, что m₀ = 2. Подставляя это выражение в формулу (1), получаем другую форму записи основного уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа:

Значение основного уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа состоит в том, что оно выражает макроскопический параметр (давление газа) через микроскопические параметры – концентрацию молекул, массу молекулы и средний квадрат скорости или среднюю кинетическую энергию молекул.

Вывод основного уравнения

План наших действий таков.

• Найдем число ударов молекул о стенку сосуда за короткий промежуток времени ∆t.
• Найдем импульс, передаваемый стенке одной молекулой при ударе.
• Найдем импульс, передаваемый стенке молекулами за промежуток времени ∆t.
• Найдем силу давления, используя второй закон Ньютона в импульсной форме.
• Найдем давление.

Направим ось x перпендикулярно стенке сосуда, давление на которую мы рассматриваем. Ее площадь обозначим S. Предположим сначала для простоты, что у всех молекул одинаковое по модулю значение проекции скорости на ось x.

Сколько молекул ударятся о стенку за коротким промежуток времени ∆t? За этот промежуток времени молекулы пролетают по направлению к стенке или от нее расстояние, равное v_x∆t (рис. 41.2). Следовательно, успеет долететь до стенки и удариться о нее половина молекул, находящихся у стенки в слое толщиной v_x∆t (см. рис. 41.2).

Почему только половина? Потому, что со стенкой столкнутся только молекулы, у которых проекция скорости vx положительна – они движутся к стенке. А к стенке и от стенки летит примерно равное число молекул.

? 1. Докажите, что в объеме слоя толщиной v_x∆t и площадью S находится nSv_x∆t молекул, а число Z ударов молекул о стенку за время ∆t выражается формулой

Какой импульс передает стенке при ударе одна молекула? Перед ударом проекция скорости молекулы равна v_x, а после дара она равна –v_x (молекула летит от стенки). Поэтому для одуля импульса, переданного стенке одной молекулой, получаем:

Чему равен импульс, переданный стенке молекулами за время ∆t? Для ответа на этот вопрос надо просто умножить число Z ударов молекул на импульс, передаваемый одной молекулой. Мы получим:

В этой формуле мы учли, что на самом деле молекулы движутся с различными скоростями, поэтому в ней стоит среднее значение квадрата проекции скорости.

С какой силой газ давит на стенку? Согласно второму закону Ньютона, записанному в виде (см. § 25), сила давления газа равна отношению импульса, переданного стене за время ∆t, к этому промежутку времени. Следовательно,

Чему равно давление газа на стенку? По определению, давление p равно силе давления F, деленной на площадь поверхности S, на которую действует эта сила. Следовательно,

По теореме Пифагора (в трехмерном пространстве) квадрат модуля скорости равен сумме квадратов проекций скорости:

Учтем, что все направления скоростей молекул равновероятны. Поскольку молекул очень много и их движение хаотично, то средние значения квадратов проекций скорости молекул на оси координат x, y и z равны:

Выполнив усреднение (см. формулу (2)), получим:

Из формул (6) и (7) следует, что

Подставляя это выражение в формулу (5), получаем:

Это и есть основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа.

2. Связь между температурой и средней кинетической энергией молекул

Напишем теперь рядом основное уравнение молекулярно-кинетической теории и уравнение состояния идеального газа в удобной для сравнения форме

Левые части этих уравнений совпадают. Значит, их правые части равны. Приравнивая их, получаем:

Эта формула раскрывает физический смысл абсолютной температуры:
абсолютная температура является мерой средней кинетической энергии движения молекул.

Таким образом, температура является энергетической характеристикой газа.

Обратите внимание: средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа зависит только от абсолютной температуры. Она не зависит ни от массы молекул, ни от давления газа. Например, молекулы кислорода и водорода при одинаковой температуре имеют одинаковые средние кинетические энергии поступательного движения (независимо от того, равны ли давления этих газов).

? 2. В воздухе содержится небольшое количество аргона (молярная масса 40 * 10 -3 кг/моль) и неона (молярная масса 20 * 10 -3 кг/моль). Чему равна средняя кинетическая энергия молекул каждого из этих газов при нормальных условиях? Есть ли в условии задания лишние данные? (Это одноатомные молекулы)

3. Скорости молекул

Среднеквадратичной скоростью молекул называют корень квадратный из среднего квадрата скорости молекул:

Ее можно использовать для оценки среднего значения модуля скорости молекул. (Расчет, выходящий за рамки нашего курса, показывает, что среднее значение модуля скорости примерно равно среднеквадратичной скорости.)

Среднеквадратичную скорость молекул газа можно выразить через микроскопические параметры газа: абсолютную температуру T и молярную массу M, а также через давление p и плотность ρ.

? 3. Объясните, почему справедлива формула

? 4. Чему равны среднеквадратичные скорости молекул водорода, кислорода и радона при комнатной температуре?

Обратите внимание: при одной и той же температуре среднеквадратичные скорости молекул разных газов не равны это следствие того, что у них одинаковая средняя кинетическая энергия. Чем меньше масса молекулы, тем больше ее среднеквадратичная скорость при той же температуре.

? 5. Объясните, почему справедлива формула

? 6. В сосуде объемом 10 л находится 14 г азота. Давление в сосуде 2 * 10 5 Па. Чему равна среднеквадратичная скорость молекул газа? Есть ли в условии лишние данные?

Выполнив это задание, вы убедитесь, что молекулы действительно движутся со скоростями артиллерийских снарядов!

Измерение скоростей молекул

Значения скоростей молекул, предсказываемые молекулярно-кинетической теорией, казались некоторым ученым слишком большими, что было одним из возражений против этой теории.

В начале 20-го века немецкий физик Отто Штерн поставил опыт, в котором скорости молекул были измерены непосредственно. Вдоль общей оси двух жестко соединенных цилиндров А и В расположена покрытая серебром проволока (рис. 41.3). Воздух из пространства между цилиндрами откачан. Проволоку нагревают электрическим током, вследствие чего атомы серебра начинают испаряться. Из цилиндра А они могут вылететь только через узкую щель. В результате через некоторое время на внутренней поверхности цилиндра В появлялась узкая серебряная полоса 1 точно напротив щели.

Затем ток выключали, раскручивали соединенные цилиндры вокруг их общей оси и снова включали ток. На этот раз вместо узкой полосы напротив щели возникала довольно широкая и к тому же смещенная полоса 2.

Чем же обусловлены смещение полосы и ее расширение?

Смещение полосы было обусловлено тем, что за то время, пока атомы серебра пролетали от щели в цилиндре А до поверхности цилиндра В, сами цилиндры успевали повернуться на заметный угол.

Расширение же полосы было обусловлено тем, что скорости атомов при одной и той же температуре различны. Поэтому можно говорить только о средних значениях модуля скорости или о среднеквадратичной скорости.

Результаты опыта Штерна полностью подтвердили предсказания молекулярно-кинетической теории.

Дополнительные вопросы и задания

7. Температура воздуха повысилась от 0 ºС до 20 ºС. На сколько процентов увеличилась при этом:
а) средняя кинетическая энергия молекул в воздухе?
б) среднеквадратичная скорость молекул?

8. При нагревании водорода от 300 К до 1350 К все его молекулы распались на атомы.
а) Во сколько раз увеличилась средняя кинетическая энергия частиц?
б) Во сколько раз увеличилась среднеквадратичная скорость частиц?

9. При повышении температуры газа на 900 К среднеквадратичная скорость молекул газа увеличилась в 2 раза. Чему равна начальная температура газа?

10. На Луне есть атмосфера, хотя и очень разреженная. Когда поверхность Луны не освещена Солнцем, концентрация газа вблизи поверхности Луны составляет 2 * 10 5 м -3 . Температура газа при этом равна -150 ºС.
а) Чему равно давление газа?
б) Во сколько раз это давление меньше земного атмосферного давления?
в) Во сколько раз средняя кинетическая энергия молекул этого газа меньше средней кинетической энергии молекул при нормальных условиях?
г) Во сколько раз среднеквадратичная скорость молекул газа на поверхности Луны меньше среднеквадратичной скорости молекул того же газа при нормальных условиях?

11. В первом сосуде содержится гелий, а во втором – кислород. Температура гелия равна –100 ºС. При какой абсолютной температуре кислорода:
а) средняя кинетическая энергия молекул кислорода равна средней кинетической энергии молекул гелия?
б) среднеквадратичная скорость молекул кислорода равна среднеквадратичной скорости атомов гелия?

3.16. Кинетическая и потенциальная энергия

Под энергией понимают способность тела совершать работу. Если система тел может совершать работу, то она обладает энергией.

Кинетическая энергия – это энергия, которой обладает тело вследствие своего движения

Важно! Кинетическая энергия зависит только от массы и скорости, т.к. скорость тела в различных системах отсчета может быть разной, то и кинетическая энергия тела в разных системах отсчета может быть различной. Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий отдельных тел, входящих в эту систему.

Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия и взаимного расположения тел или частей одного и того же тела.

Потенциальная энергия тела в поле тяжести Земли $E_\Pi =mgh$.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела $E_\Pi =\frac$.

Важно! Величина потенциальной энергии зависит от выбора нулевого уровня. Нулевым уровнем называется состояние тела, при котором потенциальная энергия равна нулю. Нулевой уровень выбирается произвольно, исходя из удобства решения задачи.

Решение заданий Открытого банка заданий ФИПИ

1. Три металлических шара одинаковых размеров, свинцовый, цинковый и алюминиевый, подняты на одну и ту же высоту. Потенциальная энергия какого шара минимальна?

1) свинцового
2) алюминиевого
3) цинковый
4) энергии шаров одинаковы

Нажмите, чтобы увидеть решение

Поскольку все шары находятся на одинаковой высоте, то разница в значении потенциальной энергии шаров будет определяться их массой. Масса шаров, в свою очередь, зависит от плотности веществ, из которых изготовлены тела. При одинаковом объеме наименьшей массой, а значит и наименьшей потенциальной энергией, будет обладать шар из алюминия, т.к. его плотность меньше плотности цинка и свинца.

Ответ: 2

2. В инерциальной системе отсчёта брусок скользит с ускорением вниз по наклонной плоскости. Действующие на него силы изображены на рисунке. Как изменяются по мере спуска ускорение бруска и его потенциальная энергия?

Установите соответствие между физическими величинами и их возможными изменениями в процессе скольжения бруска. Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличивается
2) уменьшается
3) не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Ускорение бруска

Потенциальная энергия бруска

Нажмите, чтобы увидеть решение

На тело действуют постоянные по модулю и направлению силы, значит в процессе движения равнодействующая сил меняться не будет, т.е. тело будет двигаться с неизменным по модулю и направлением ускорением (это следует из второго закона Ньютона). Договоримся, что за нулевой уровень энергии будет выбрано нижнее ребро наклонной плоскости. Тело движется вниз, поэтому его высота относительно выбранного нулевого уровня потенциальной энергии уменьшается, следовательно и уменьшается его потенциальная энергия.

Ответ: 32

3. Мяч массой 100 г, упав без начальной скорости с высоты 2 м, ударился о пол и отскочил от него вертикально вверх. На какую высоту поднялся мяч, если известно, что работа силы тяжести на всём пути мяча равна 0,5 Дж?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Согласно теореме об изменении потенциальной энергии, работу силы тяжести можно найти так

$A=-\Delta E_\Pi =-\left(mgh_2-mgh_1 \right)=mgh_1-mgh_2$.

Найдем отсюда искомую высоту

Ответ: 1,5 м.

4. Пуля массой 9 г, движущаяся со скоростью 800 м/с, пробила доску толщиной 2,5 см и при выходе из доски имела скорость 200 м/с. Определите среднюю силу сопротивления, воздействующую на пулю в доске.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: скорость пули в момент попадания в доску $v_1=800$ м/с; скорость пули при вылете из доски $v_2=200$ м/с; толщина доски $h=2,5 \cdot 10^$ м; масса пули — $m=9 \cdot 10^$.

Найти: сила сопротивления при движении пули в доске $F$.

Решение. Согласно теореме об изменении потенциальной энергии, работа силы сопротивление будет равна изменению кинетической энергии пули

Работа силы сопротивления равна $A=-Fs$. Приравниваем два выражения, стоящие в правой части

Путь, пройденный пулей в доске равен толщине доски $s=h$, поэтому

Ответ: 108 кН.

5. Летящая пуля пробивает тонкую деревянную стенку. В момент удара о стенку скорость пули была равна 400 м/с, в момент вылета из стенки 300 м/с. На сколько градусов нагреется пуля, если считать, что всё количество теплоты, выделяемое при торможении в стенке, поглощается пулей? Удельная теплоёмкость вещества, из которого изготовлена пуля, равна 140 Дж/кг ºС.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: скорость пули, до попадания в стенку — $v_1=400$ м/с; скорость пули при вылете из стенки — $v_2=300$ м/с; удельная теплоемкость вещества пули — $c=140$ Дж/кг⋅ºС.

Найти: изменение температуры пули — $\Delta t$.

Решение. Количество теплоты, которое выделяется при торможении пули в стенке равно разности кинетической энергии пули до попадания в стенку и кинетической энергии пули при вылете из нее (происходит превращение части механической энергии во внутреннюю за счет совершения работы против сил сопротивления при движении в стенке)

Согласно условию задачи, вся выделившаяся энергия идет на нагревание пули. Эту энергию можно рассчитать по формуле $Q=cm\Delta t$. Распишем формулы для вычисления кинетической энергии и получим уравнение

Уравнение после сокращения одинакового множителя $m$ не будет содержать других неизвестных, кроме $\Delta t$. Поэтому проведем несложные преобразования и найдем искомую величину

Ответ: пуля нагреется на 250 ºС.

6. На рисунке представлен график зависимости модуля скорости υ от времени t для тела, движущегося прямолинейно в инерциальной системе отсчёта.

Используя данные графика, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номера.

1) На участке АВ тело двигалось равномерно.
2) Наибольшее ускорение тело имело на участке CD.
3) В интервале времени от 6 до 8 с тело прошло путь 3 м.
4) На участке CD кинетическая энергия тела не изменялась.
5) В интервале времени от 0 до 2 с тело прошло путь 3 м.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Утверждение 1 — неверно. На участке АВ скорость тела меняется, характер графика говорит о том, что тела на участке АВ двигается равноускоренно.

Утверждение 2 — верно. Тело движется равноускоренно на участках АВ и CD. Угол наклона графика на участке CD больше, чем на участке АВ, значит модуль ускорения на участке DC также больше.

Утверждение 3 — неверно. В интервале времени от 6 до 8 с тело движется равномерно со скоростью 3 м/с. За 2 секунды движения оно пройдет 6 м.

Утверждение 4 — неверно. На участке CD скорость тела увеличивается, значит и растет его кинетическая энергия.

Утверждение 5 — верно. Пройденный путь на данном участке можно найти как площадь под графиком скорости. График скорости на данном участке ограничивает прямоугольный треугольник, значит, $s=\frac \cdot 3 \cdot 2=3$ м.

Ответ: 25

7. Два одинаковых медных шара получили одинаковую энергию, в результате чего первый шар нагрелся на 8 °С, оставаясь неподвижным, а второй, не нагреваясь, приобрёл некоторую скорость. Какова эта скорость?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: массы шаров одинаковы — $m_1=m_2=m$; удельная теплоемкость меди — $c=400$ Дж/кг⋅°С; изменение температуры первого шара — $\Delta t=8$ °С.

Найти: скорость второго шара — $v$.

Решение. Энергия, полученная первым шаром, пошла на его нагревание. А энергия, полученная вторым — на изменение его кинетической энергии. На основании этого можем записать

Ответ: второй шар приобретет скорость 80 м/с.

8. Какую по величине работу должна совершить сила трения для полной остановки тела массой 1000 кг, движущегося по горизонтальной поверхности со скоростью 10 м/с?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Согласно теореме об изменении кинетической энергии, эта работа будет равна изменению кинетической энергии тела, т.к. другие силы при движении тела работы не совершают

Вопрос задачи сформулирован как «Какую по величине работу…», т.е. мы можем сказать что сила трения совершила работу по величине равную 50 кДж.

Ответ: 50 кДж.

9. Камень, подброшенный вверх в точке 1, совершает падение в тормозящей его движение атмосфере. Траектория движения камня изображена на рисунке.

Потенциальная энергия камня имеет

1) минимальное значение в положении 1
2) минимальное значение в положении 2
3) минимальное значение в положении 4
4) одинаковое значение в положениях 1 и 3

Нажмите, чтобы увидеть решение

Условимся за нулевой уровень потенциальной энергии принять состояние тела при котором оно находится в точке 4 (наименьшая высота). Тогда в этом положении потенциальная энергия будет принимать наименьшее значение. С другой стороны, находясь в положении 1 и 3, высота тела относительно выбранного нулевого уровня (а значит и потенциальная энергия) одинакова.

Ответ: 3 или 4 в данной формулировке задания оно имеет два правильных ответа.

10. Два шара разной массы подняты на разную высоту относительно поверхности стола (см. рисунок). Сравните значения потенциальной энергии шаров Е₁ и Е₂. Считать, что потенциальная энергия отсчитывается от уровня крышки стола.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Пусть нулевой уровень потенциальной энергии — поверхность стола. Тогда по формуле нахождения потенциальной энергии

$E_1=m \cdot g \cdot 2h=2mgh$,

$E_2=2m \cdot g \cdot h=2mgh$.

Ответ: 1

11. На рисунке представлен график зависимости скорости υ велосипедиста от времени t. За первые 4 с движения кинетическая энергия велосипедиста увеличилась

1) в 4 раза
2) в 5 раз
3) в 16 раз
4) в 25 раз

Нажмите, чтобы увидеть решение

Кинетическая энергия прямо пропорциональна квадрату скорости. Скорость тела в начальный момент времени 1 м/с. В момент времени 4 секунды скорость тела равна 5 м/с. Так как скорость тела увеличилась в 5 раз, то кинетическая энергия увеличивается в 25 раз.

Ответ: 4

12. Два свинцовых шара массами m₁ = 100 г и m₂ = 200 г движутся навстречу друг другу со скоростями $v_1=4$ м/с и $v_2=5$ м/с. Какую кинетическую энергию будет иметь первый шар после абсолютно неупругого соударения шаров?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: массы шаров $m_1=0,1$ кг и $m_2=0,2$ кг; скорость первого шара $v_1=4$ м/с; скорость второго шара $v_2=5$ м/с.

Найти: кинетическую энергию первого шара после столкновения $E_-?$.

Решение. При взаимодействии тел (неупругий удар) справедлив закон сохранения импульса. С учетом того, что тела будут двигаться вместе, закон сохранения импульса в векторной форме будет иметь вид

После взаимодействия шары продолжат двигаться в сторону, в которую двигался шар с большим импульсом, т.е. шары будут двигаться в сторону движения второго шара. С учетом знаков проекций векторов (с учетом направлений векторов) перепишем уравнение из векторного вида в модулях

Найдем скорость, с которой будут двигаться шары

Находим кинетическую энергию первого шара после столкновения

Ответ: 0,2 Дж.

13. Шар массой 5 кг, движущийся с некоторой скоростью, соударяется с неподвижным шаром, после чего шары движутся вместе. Определите массу второго шара, если при ударе потеряно 50% кинетической энергии.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса первого шара — $m_1=5$ кг; потеря кинетической энергии — $\eta =0,5$.

Найти: массу второго шара — $m_2$.

Решение. Запишем закон сохранения импульса

где $v$ — скорость первого тела до соударения, а $v_1$ — скорость с которой движутся тела вместе после соударения. Так как скорости направлены одинаково, то закон сохранения импульса в модулях будет иметь вид

$m_1 v= (m_1+m_2)v_1$.

Согласно условию, при ударе теряется 50% кинетической энергии, значит кинетическая энергия шаров после удара ($E_2$) будет составлять 50% от первоначальной кинетической энергии первого шара ($E_1$)

$(m_1+m_2) v_1^2 = \eta m_1v^2$.

Выразим скорость шаров после столкновения из закона сохранения импульса и подставим в полученное выражение из закона сохранения энергии

$(m_1+m_2) \left(\frac \right)^2 = \eta m_1v^2$,

Сокращаем множитель $m_1+m_2$, а также множитель $mv^2$ в правой и левой части

$m_1 = \eta (m_1+m_2)$,

$m_1 = \eta m_1+ \eta m_2$,

$m_1 — \eta m_1 = \eta m_2$,

$m_1(1 — \eta) = \eta m_2$,

Ответ: масса второго шара равна 0,5 кг.

14. Тело опустили с высоты h₁ на высоту h₂ относительно земли. Как при этом изменится его потенциальная энергия и кинетическая энергия в точке h₂? Как изменится работа, совершаемая силой тяжести при падении тела на землю с высоты h₂ по сравнению с падением с высоты h₁? Установите соответствие между физическими величинами и их возможными изменениями при этом. Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами. Цифры в ответе могут повторяться.

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ	ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ
А) потенциальная энергия

Б) кинетическая энергия

Нажмите, чтобы увидеть решение

Согласно теореме об изменении потенциальной энергии, работу силы тяжести можно найти так

$A=-\Delta E_\Pi =-\left(mgh-mgh_0 \right)=mgh_0$,

т.к. на поверхности земли потенциальная энергия равна нулю. Поскольку первоначальная высота уменьшается, то уменьшается и первоначальная потенциальная энергия. Следовательно, и работа, совершаемая силой тяжести при падении тела на землю уменьшится.

Кроме силы тяжести, другие силы на тело не действуют. Значит, согласно теореме об изменении кинетической энергии работа илы тяжести также равна

Так как работа силы тяжести уменьшается, то и кинетическая энергия тела также уменьшается.

Ответ: 222

15. В некоторый момент времени тело массой m движется со скоростью υ над поверхностью Земли на высоте h. Чему равна потенциальная энергия тела относительно поверхности Земли?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Потенциальная энергия теля в поле тяжести Земли находится по формуле $E_\Pi =mgh$.

Ответ: 3

16. Высоту, на которой находится тело над поверхностью Земли, уменьшили в 2 раза. Потенциальная энергия тела относительно поверхности Земли

1) увеличилась в 2 раза
2) уменьшилась в 2 раза
3) увеличилась в 4 раза
4) уменьшилась в 4 раза

Нажмите, чтобы увидеть решение

Потенциальная энергия теля в поле тяжести Земли находится по формуле $E_\Pi =mgh$. При уменьшении высоты, на которой находится тело над поверхностью Земли, в 2 раза, потенциальная энергия также уменьшится в 2 раза.

Ответ: 2

17. Тело свободно падает на Землю. Как изменяются в процессе падения импульс тела и его потенциальная энергия?

1) импульс тела и потенциальная энергия уменьшаются
2) импульс тела уменьшается, потенциальная энергия увеличивается
3) импульс тела увеличивается, потенциальная энергия уменьшается
4) импульс тела не изменяется, потенциальная энергия уменьшается

Нажмите, чтобы увидеть решение

Потенциальная энергия теля в поле тяжести Земли находится по формуле $E_\Pi =mgh$. При уменьшении высоты, на которой находится тело над поверхностью Земли, потенциальная энергия также уменьшается. При падении тела его скорость увеличивается, следовательно увеличивается и импульс.

Ответ: 3

18. Мяч бросили вверх под углом к горизонту. Как изменяются по мере движения мяча к верхней точке траектории его кинетическая энергия и модуль ускорения мяча? Сопротивлением воздуха пренебречь. Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличивается
2) уменьшается
3) не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Кинетическая энергия мяча

Модуль ускорения мяча

Нажмите, чтобы увидеть решение

Так как сопротивлением воздуха при движении мяча можно пренебречь, то мяч движется только под действием силы тяжести. Это означает, что мяч будет двигаться с постоянным ускорением свободного падения. При подъеме мяча вверх, его скорость, а значит и кинетическая энергия уменьшается.

Ответ: 23

19. Пуля прошла по горизонтали сквозь фанерную мишень. Как при этом изменились кинетическая и внутренняя энергия пули?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличивается
2) уменьшается
3) не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Кинетическая энергия пули

Внутренняя энергия пули

Нажмите, чтобы увидеть решение

При движении пули через фанеру происходит превращение части кинетической энергии во внутреннюю за счет совершения работы против сил сопротивления при движении в фанере. При этом кинетическая энергия уменьшается, а внутренняя увеличивается.

Ответ: 21

20. С крыши гаража падает камень. Как при этом изменяются его скорость и потенциальная энергия относительно поверхности Земли?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличивается
2) уменьшается
3) не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Скорость камня

Потенциальная энергия камня

Нажмите, чтобы увидеть решение

Будем считать, что сопротивлением воздуха при движении камня можно пренебречь, т.е. камень движется только под действием силы тяжести. Это означает, что камень будет двигаться с постоянным ускорением свободного падения. При его падении скорость увеличивается, а потенциальная энергия, напротив, уменьшается, т.к. уменьшается высота камня относительно поверхности земли.

Ответ: 12

21. С поверхности Земли вертикально вверх бросают камень. Как будут изменяться потенциальная энергия и кинетическая энергия камня при его движении вверх? Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличивается
2) уменьшается
3) не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Потенциальная энергия камня

Кинетическая энергия камня

Нажмите, чтобы увидеть решение

Сопротивлением воздуха при движении камня можно пренебречь, т.е. камень движется только под действием силы тяжести. Это означает, что камень будет двигаться с постоянным ускорением свободного падения. При его движении вверх скорость уменьшается, а значит и уменьшается кинетическая энергия, а потенциальная энергия, напротив, увеличивается, т.к. увеличивается высота камня относительно поверхности земли.

Ответ: 12

22. Два шара одинакового объёма, алюминиевый (1) и медный (2), бросают с поверхности земли вертикально вверх с одинаковой скоростью. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Сравните максимальные высоты (h₁ и h₂), на которые поднимутся шары, и значения потенциальной энергии (Е₁ и Е₂) шаров на этих высотах. Потенциальная энергия шаров отсчитывается от поверхности земли.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Так как сопротивлением воздуха при движении камня можно пренебречь, то он движется только под действием силы тяжести. Согласно теореме об изменении потенциальной энергии, работу силы тяжести можно найти так

$A=-\Delta E_\Pi =-\left(mgh-mgh_0 \right)=-mgh$,

т.к. на поверхности земли потенциальная энергия равна нулю.

Согласно теореме об изменении кинетической энергии работа илы тяжести также равна

так как в верхней точке скорость тела равна нулю. Приравняем правые части

Последнее равенство показывает, что высота подъема не зависит от массы тела, а определяется начальной скоростью. Шары бросают с одинаковой скоростью, значит они поднимутся на одну и ту же высоту. Потенциальная энергия в верхней точке траектории определяется выражением $E_\Pi =mgh$. Масса медного шарика больше, т.к. плотность меди больше, значит и потенциальная энергия медного шара больше (помним, что высота подъема шариков одинакова).

Ответ: 2

23. Скорость движущегося тела уменьшилась в 3 раза. При этом его кинетическая энергия

1) увеличилась в 9 раз
2) уменьшилась в 9 раз
3) увеличилась в 3 раза
4) уменьшилась в 3 раза

Нажмите, чтобы увидеть решение

Кинетическая энергия прямо пропорциональна квадрату скорости. Раз скорость тела уменьшилась в 3 раза, то кинетическая энергия уменьшилась в 9 раз.

Ответ: 2

24. У машины, движущейся на горизонтальном участке дороги со скоростью 72 км/ч, выключается двигатель. В результате торможения машина проходит путь 100 м. Чему равен коэффициент трения машины о дорогу? (Сопротивление воздуха не учитывать)

Нажмите, чтобы увидеть решение

Согласно теореме об изменении кинетической энергии, работа силы трения при торможении будет равна изменению кинетической энергии тела, т.к. другие силы при движении тела работы не совершают

С другой стороны работа силы трения равна $ A = — F_ s=-\mu Ns=-\mu mgs$. Приравниваем правые части и находим

Ответ: 0,2

25. Установите соответствие между физическими величинами и единицами этих величин в Международной системе единиц: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ	ЕДИНИЦЫ
А) потенциальная энергия

Б) механическая работа

Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Нажмите, чтобы увидеть решение

А) Потенциальная энергия — джоуль (Дж).

Б) Механическая работа — джоуль (Дж).

В) Мощность — ватт (Вт).

Ответ: 221

26. Груз массой 2 кг упал без начальной скорости с высоты 4 м от пола на стол высотой 1 м, стоящий на полу. Работа силы тяжести при падении груза равна

1) – 80 Дж
2) – 60 Дж
3) 60 Дж
4) 80 Дж

Нажмите, чтобы увидеть решение

Согласно теореме об изменении потенциальной энергии, работу силы тяжести можно найти так

$A=-\Delta E_\Pi =-\left(mgh_2-mgh_1 \right)=mgh_1-mgh_2=mg(h_1-h_2)$,

$A=2 \cdot 10 \cdot (4-1)=60$ Дж.

Ответ: 3

27. По гладкой горизонтальной поверхности во взаимно перпендикулярных направлениях движутся две шайбы массами m₁ = 2 кг и m₂ = 1 кг со скоростями υ₁ = 1 м/c и υ₂ = 2 м/c соответственно. Суммарная кинетическая энергия этих шайб равна

1) 1 Дж
2) 3 Дж
3) $5\sqrt$ Дж
4) 6 Дж

Нажмите, чтобы увидеть решение

Кинетическая энергия находится по формуле $E_=\frac$. Найдем кинетическую энергию каждого тела

Суммарная кинетическая энергия шайб: 1 Дж+ 2 Дж =3 Дж.

Ответ: 2

28. Материальная точка движется горизонтально вдоль оси ОХ. Зависимость её координаты x от времени t показана на рисунке.

Она обладает наибольшей кинетической энергией

1) в момент времени 12,5 с
2) в интервале времени от 10 с до 12,5 с
3) в интервале времени от 0 с до 2,5 с
4) в момент времени 20 с

Нажмите, чтобы увидеть решение

Кинетическая энергия зависит от скорости тела, чем больше скорость, тем больше кинетическая энергия. Судя по графику, на всех участках, кроме интервала времени от 2,5 с до 5 с, тело двигалось равномерно. Чем больше скорость тела, тем больше угол наклона графика к горизонтальной оси. Видно, что самый большой угол наклона на первом участке от о до 2,5 с. Значит на этом участке у тела самая большая скорость и самая большая кинетическая энергия.

Ответ: 3

29. Тело, брошенное вертикально вверх с поверхности земли, достигает наивысшей точки и падает на землю. (Сопротивление воздуха не учитывать.) При этом кинетическая энергия тела

1) минимальна в момент падения на землю
2) минимальна в момент начала движения
3) одинакова в любые моменты движения тела
4) минимальна в момент достижения наивысшей точки

Нажмите, чтобы увидеть решение

Сопротивлением воздуха при движении камня можно пренебречь, т.е. камень движется только под действием силы тяжести. Это означает, что камень будет двигаться с постоянным ускорением свободного падения. При его движении вверх скорость уменьшается, а значит и уменьшается кинетическая энергия. В верней точке траектории, когда тело остановится, она будет равна нулю, т.е. будет минимальна.

Ответ: 4

Формула кинетической энергии в физике

Одним из важнейших понятий в физике является энергия, то есть способность тела совершать ту или иную работу. Механическая энергия подразделяется на кинетическую и потенциальную. Рассмотрим первый ее вид.

Кинетическая энергия – понятие и определение

Определение

Кинетическая энергия – это способность движущегося тела совершать определенную работу.

Например, движущийся автомобиль способен снести находящееся перед ним препятствие, а падающий камень – оставить вмятину на металлической пластинке.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Кинетическая энергия зависит от скорости движения и массы тела. Она описывается формулой:

Единицей измерения кинетической энергии является Джоуль (Дж).

Проведя простые преобразования, легко вывести формулы для вычисления массы тела и скорости движения:

Из основной формулы видно: во сколько раз изменяется масса тела, во столько раз изменяется и величина кинетической энергии. Например, если масса будет уменьшена или увеличена в 5 раз, то и величина кинетической энергии станет соответственно меньше или больше в 5 раз.

При увеличении скорости кинетическая энергия увеличивается в квадратичной зависимости. Допустим, скорость движения тела стала в 6 раз больше. Соответственно его кинетическая энергия возросла в 36 раз.

Формула кинетической энергии тела справедлива только для скоростей значительно меньших, чем скорость света. Если же скорость движения приближается к 300 000 км/с, то тут начинает действовать теория относительности, созданная Альбертом Эйнштейном.

Кинетическая энергия зависит от особенностей рассмотрения системы. Если тело принимают как макроскопический объект, то оно будет обладать внутренней энергией. В этом случае кинетическая энергия возникнет только в момент его движения.

Это же тело можно рассматривать и с микроскопической точки зрения. Тепловое движение атомов и молекул обуславливает внутреннюю энергию тела. В то же время средняя кинетическая энергия этого движения пропорциональна абсолютной температуре тела. Коэффициент этой пропорциональной зависимости называется постоянной Больцмана.

Кинетическая энергия атомов и молекул при рассмотрении тела на микроскопическом уровне описывается формулой:

\(E_k=\frac32kT\)

где \(k\) – это постоянная Больцмана.

Теорема об изменении кинетической энергии

Рассмотрим наиболее простой пример движения, при котором скорость движения и сила, действующая на тело имеют одинаковое направление. Тело совершает перемещение (S), так как сила (F) совершает работу (A). Также она изменяет и скорость движения, придавая телу некоторое ускорение. Это свидетельствует о наличии связи между работой силы и изменением скорости движения.

В данном случае работа силы будет описываться формулой:

Запишем второй закон Ньютона в стандартном виде:

При условии, что движение является равноускоренным (сила не зависит от координат и времени), работу можно записать так:

Вспомним формулу из курса кинематики, связывающую перемещение, ускорение, начальную и конечную скорости движения тела:

Подставляем ее в формулу работы:

Полученное равенство показывает, что разность между кинетической энергией в конечной и начальный момент времени равна работе силы. Это позволяет сформулировать теорему об изменении кинетической энергии.

Изменение кинетической энергии тела равна равнодействующей всех сил или работе силы:

Таким образом, сила будет совершать отрицательную работу, если она направлена в сторону, противоположную движению тела. В этом случае начальная кинетическая энергия будет больше, чем конечная:

Так как сила имеет противоположное скорости направление, то модуль скорости будет уменьшаться, что и становится причиной уменьшения величины кинетической энергии.

Если же сила будет направлена в сторону движения, то кинетическая энергия будет возрастать:

Фактически теорему об изменении кинетической энергии можно рассматривать как иную формулировку второго закона Ньютона. Поэтому ее использование возможно в различных случаях, например, при рассмотрении действия силы трения, тяжести или упругости.

Примеры решения задач, как найти кинетическую энергию

Рассмотрим примеры решения задач на нахождение кинетической энергии.

Задача 1

Тело, имеющее массу 2 кг движется поступательно со скоростью 36 км/ч. Найдите, какой кинетической энергией оно обладает.

Решение

Прежде чем приступить к вычислению необходимо перевести скорость тела в единицы СИ:

Подставим известные значения в формулу кинетической энергии и выполним расчет:

Ответ: кинетическая энергия тела составляет 100 Джоулей.

Задача 2

Груз массой 0,2 кг прикреплен к пружине, которая закреплена горизонтально. Максимальная скорость колебания 3 м/с. Вычислить максимальную кинетическую энергию тела.

Решение

Воспользуемся выражением определения кинетической энергии:

Ответ: максимальная кинетическая энергия пружины и груза составляет 0,9 Дж.

Задача 3

Найдите среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы водорода при температуре Т = 280 К.

Решение

Для решения задачи воспользуемся уравнением, связывающим температуру и энергию:

где k – это постоянная Больцмана

Ответ: средняя кинетическая скорость молекулы водорода составляет \(579,6\times10^\;Дж.\)