Как проверить делится ли число на 4

Признак делимости на 4

100 делится на 4. Таким образом, любое число, которое заканчивается двумя нулями, делится на 4.

Например 500, 700, 300 делятся на 4, так как они заканчивается двумя нулями в конечном с двумя нулями. 6000 и 23 000, также делятся на 4..

Возьмем число, которое не заканчивается нулями, а любой другой цифрой. Например, 916. Это число может быть записано как сумма сотен и десятков: 916 = 900 + 16
Так как оба слагаемых делятся на 4, то их сумма 916 делится на 4

918 не делится на 4, потому что 918 = 900 + 18, одно из слагаемых (18) не делится на 4.

Из приведенных примеров видно, что второе слагаемое является двузначным числом, образованное из двух последних цифр. От этого числа зависит, делится ли первоначальное число на 4 или нет. Это верно для любого другого многозначного числа

Таким образом, число 13724 делится на 4, потому что его две последние цифры выражают число 24, которое делится на 4.

13722 не делится на 4, так как две его последние цифры выражают число 22, которое не делится на 4.

На 4 делятся только те числа, которые заканчиваются на два нуля или на две цифры, которые выражают число, которое делится на 4.

Например: 450, 2506, 15342, 20018 не делятся на 4;

540, 1256, 32424, 56300 делятся на 4

Электронная почта:
Об авторе

© 2005 — 2024
Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратится в компетентные органы.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

2, 8, 16, 24, 66, 150 — делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел четная;

3, 7, 19, 35, 77, 453 — не делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел нечетная.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

75 — делится на 3, так как 7+5=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);

471 — делится на 3, так как 4+7+1=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);

532 — не делится на 3, так как 5+3+2=10, а число 10 не делится на 3 (10:3=3 1 3 ).

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4.

4576 — делится на 4, так как число 76 делится на 4 (7·2+6=20, 20:4=5);

9634 — не делится на 4, так как число 34 не делится на 4 (3·2+4=10, 10:4=2 1 2 ).

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда, когда последняя цифра делится на 5, т.е. если она 0 или 5.

375, 5680, 233575 — делятся на 5, так как их последняя цифра равна 0 или 5;

9634, 452, 389753 — не делятся на 5, так как их последняя цифра не равна 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

462 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 4+6+2=12, 12:3=4);

3456 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 6 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 3+4+5+6=18, 18:3=6);

24642 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 2+4+6+4+2=18, 18:3=6);

861 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2;

3458 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 3;

34681 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

468, 4788, 69759 — делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);

861, 3458, 34681 — не делятся на 9, так как сумма их цифр не делится на девять (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нoль.

460, 24000, 1245464570 — делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел равна нулю;

234, 25048, 1230000003 — не делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел не равна нулю.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 если сумма цифр стоящих на четных местах равна сумме цифр стоящих на нечетных местах или отличается от нее на число кратное 11.

2 4 2 — делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S_2n+1 = 2 + 2 = 4 ; сумма цифр на четных позициях S_2n = 4 и S_2n+1 = S_2n .

3 1 9 — делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S_2n+1 = 3 + 9 = 12 ; сумма цифр на четных позициях S_2n = 1 , а их разность S_2n+1 — S_2n = 11 — делится на 11.

9 1 9 3 8 0 — делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S_2n+1 = 9 + 9 + 8 = 26 ; сумма цифр на четных позициях S_2n = 1 + 3 + 0 = 4 , а их разность S_2n+1 — S_2n = 22 — делится на 11.

2 8 3 8 — делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S_2n+1 = 2 + 3 = 5 ; сумма цифр на четных позициях S_2n = 8+ 8 = 16 , а их разность S_2n — S_2n+1 = 11 — делится на 11.

2 4 4 — не делится на 11, так как сумма цифр на нечетных позициях S_2n+1 = 2 + 4 = 6 ; сумма цифр на четных позициях S_2n = 4 и S_2n+1 — S_2n = 2 — не делится на 11.

Признаки делимости на 4

Общий признак делимости на 4 заключается в следующем: если последние две цифры исходного числа, составляют число, которое делится на 4 без остатка — то и все число делится на 4. Если предпоследней цифрой оказался 0 — его необходимо отбросить и смотреть на оставшуюся цифру.

Данный признак распространяется не только на положительные числа, но и на отрицательные.

Признак делимости двузначных чисел на 4

Для того, чтобы проверить на делимость двузначное число, необходимо удвоить разряд десятков и сложить с разрядом единиц. Если полученная сумма делится на 4 — значит и все число делится на 4.

Пример: есть числа 11, 12, 15, 36, определить какие из них делятся на 4 без остатка.

Руководствуясь признаком делимости двузначных чисел на 4, проверяем каждое число:

1. 11 — 1 * 2 + 1 = 3, 3 не делится на 4, значит 11 не делится на 4;
2. 12 — 1 * 2 + 2 = 4, 4 делится на 4 => 12 делится 4;
3. 15 — 1 * 2 + 5 = 7, 7 не делится на 4 => 15 не делится 4;
4. 36 — 3 * 2 + 6 = 12, 12 делится на 4 => 36 делится 4.

Общие примеры

Пример: определить делятся ли числа 166, 4784, 84795, 715404 на 4 без остатка.

1. 166 — две последние цифры составляют число 66. Применяя признак делимости двузначного числа на 4 проверяем 66 и получаем: 6 * 2 + 6 = 18. Пользуясь таблицей умножения видим, что 18 не делится на 4, значит и 166 не делится на 4.
2. 4784 — 84 = 8 * 2 + 4 = 20 — делится на 4 => 4784 — делится на 4;
3. 84795 — 95 = 9 * 2 + 5 = 23 — не делится на 4 => 84795 — делится на 4;
4. 715404 — 04 = 4 — делится на 4 => 715404 — делится на 4;

Смотрите также:

• Признаки делимости на 2
• Признаки делимости на 3

Признак делимости на 4: примеры, доказательство

Разберемся как определить, что число может делиться на 4, рассмотрим формулировку признака. Рассмотрим признак делимости на 4, правило и примеры использования признака при вычислении.

Для начала, чтобы узнать делится ли однозначное натуральное число на 4 без остатка, можно разделить его прямым путем на 4. Среди этих чисел только 4 и 8. Так же можно поступить с двузначными числами, трехзначными и т.п. Но по мере увеличения разрядов в числе проводить деление для проверки делимости на 4 становится все сложнее.

Тогда на помощь приходит Признак делимости на 4, с которым более подробно ознакомимся. Его суть заключается в проверке делимости на 4 одной или двух последних цифр многозначного натурального числа.

Рассмотрим, что это значит более подробно. Некоторое значение a может быть поделено на 4 только если одна или две крайние правые цифры в записи числа a могут быть поделены на 4 без остатка. Если же в записи некоторого числа a 2 цифры с правого края не могут быть поделены на 4 без остатка, то и все число a невозможно поделить на 4.

Примеры 1 — 2

Какие из натуральных чисел 484 788, 89 336, 53 869 делятся на 4?

Решение:У числа 484 788 две крайние правые цифры 88 делятся на 4 без остатка, значит и 484 788 может быть поделено на 4 без остатка.

89 336 имеет 2 крайние правые цифры 36, а 36 делится на 4, значит и 89 336 можно поделить на 4.

53 869 имея две крайние цифры 69, не делится на 4, так как 69 не делимо без остатка на 4.

Ответ: числа 484 788 и 89 336 делятся на 4.

В случае если в исходном числе предпоследняя цифра ноль, то необходимо отбросить его из рассмотрения и ориентироваться на последнюю цифру в числе.

Делится ли на 4 натуральные числа 888 709 и 79 508?

Решение: У числа 888 709 две крайние правые цифры 09, поэтому ноль отбрасываем и ориентируемся на цифру 9, которая на 4 не делится.

79 508 имеет две крайние цифры 08, поэтому ноль отбрасываем, рассматриваем только цифру 8, которая на 4 делится без остатка.

Ответ: 888 709 на 4 не делится, а 79 508 может быть поделено на 4.

Если рассматривать числа, в конце записи которых находятся сразу два ноля, то они делятся на 4. Это доказывается тем, что 100 делится без остатка на 4, получается 25. Это утверждение можно доказать с помощью правила умножения числа на сто.

Если а — это произвольное многозначное число, в записи которого справа находятся два ноля.

То есть оно равно а₁*100, где а₁ — это сумма а, если отбросить два ноля, расположенные справа в записи.

Например, 777 800= 7 778*100.

Полученное произведение а₁*100 имеет один из множителей цифру 100, она без остатка может быть поделена на 4, то есть 100:4=25. Это значит, что все произведение а₁*100 можно поделить на 4.

Доказательство и правило делимости на 4

Правило признака делимости на 4, можно сформулировать таким образом:
Натуральное число может быть разделено без остатка на 4, если:

• две правые цифры в числе могут быть поделены на 4;
• оканчивается на 00.

Рассмотрим такой момент, придумаем любое натуральное число а и представим его в виде суммы а=а₁*100+а₀, где а₁ — это сумма а, из записи которого откинуты две цифры с правой стороны, а₀ — это 2 цифры с правого края из записи числа а.

Если рассматривать одно или двузначные числа, то в данном случае а=а₀.

Свойства делимости

Вспомним и сформулируем свойства делимости:

1. При делении модуля числа a на модуль числа b достаточно и необходимо, чтобы само значние a возможно было разделить на b без остатка.
2. В равенстве a=s+t, при делении всех членов кроме одного на некоторое значение b, доказывает тот факт, что и последний член тоже можно поделить на некоторое значение b.

На основании данных свойств постараемся сформулировать теорему делимости на 4 и докажем ее правоту.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Нужна помощь

Теорема и доказательства

Доказательство

Поясним доказательство признака делимости на 4 в виде достаточного и необходимого условия делимости на 4.

Сформулируем теорему:

Необходимым и достаточным условием для делимости целого натурального числа а на 4 является факт делимости 2 цифр числа а, расположенных в конце записи, на 4.

Доказательство теоремы:

Предположим, что а равно 0, тогда теорема не нуждается в доказательстве. Для всех остальных натуральных чисел а, будем применять модуль числа а, которое является положительным:

\[|a|=a_ * 100+a_\]

Учитывая тот факт, что произведение a1*100 всегда делится на 4, при этом опираясь на свойства делимости можно сделать вывод о том, что если а делится на 4, то и модуль а можно поделить на 4.

Из равенства \[|a|=a_ * 100+a_\] следует, что а₀ делится на 4. Этим мы доказали необходимость.

Из равенства \[|a|=a_ * 100+a_\] можно сделать вывод, что модуль числа а делится на 4, а это означает, что и само а можно поделить на 4. Этим мы докажем достаточность.

Другие случаи делимости на 4

Иногда возникает необходимость проверить делится ли число на 4, если оно представлено в виде некоторого выражения, значение которого сначала надо вычислить. В этом случае необходимо:

1. Исходное выражение постараемся изменить, чтобы получилось произведение, один из множителей которого будет делиться на 4.
2. На основании полученных данных и свойств делимости необходимо сделать заключение о делимости всего исходного выражения на 4.

Формула бинома Ньютона поможет в решении таких задач.

Примеры 3 — 5

Необходимо вычислить делится ли на 4 выражение 9 n −12n+7, если n – это некоторое натуральное число?

Решение: Для начала необходимо представить 9 в виде суммы 8+1, далее мы сможем применить формулу бинома Ньютона:

\[\begin
&9^-12 n+7=(8+1)^-12 n+7= \\
&\left(C \stackrel * 8^+C \stackrel * 8^ * 1+\ldots+C \stackrel * 8^ * 1^+C\stackrel * 8 * 1^+C \stackrel * 1^\right)-12 n+7= \\
&\left(8^+C \stackrel * 8^ * 1+\ldots+C \stackrel * 8^+n * 8+1\right)-12 n+7= \\
&8^+C\stackrel * 8^ * 1+\ldots+C^ * 8^-4 n+8= \\
&4 *\left(2 * 8^+2 * C\stackrel * 8^+\ldots+2 * C\stackrel * 8^-n+2\right)
\end\]

Произведение, которое получилось в результате преобразований, имеет один из множителей 4, а выражение в скобках — это натуральное число. Поэтому можно сделать вывод о том, что это произведение без остатка можно поделить на 4.

Итак, мы сможем утверждать, что исходное выражение 9 n +12n+7 можно поделить на 4, при условии, что n – это любое натуральное значение.

Ответ: исходное выражение может быть поделено на 4 без остатка.

К решению данного выражения можно применить метод математической индукции.

Необходимо доказать, что выражение 9 n +12n−7 можно без остатка поделить на 4, при соблюдении условия, что n – это любое натуральное.

Решение: Предположим, что n=1, тогда мы сможем решить выражение таким образом

9 1 +12∗1−7=4, а это означает, что 4 делится на 4 без остатка.

Далее предположим, что n=k, и при этом значении выражение 9 n +12n−7, будет делиться без остатка на 4.

Получаем выражение 9 k +12k−7 и оно без остатка делится на 4.

Далее докажем, что выражение 9 n +12n+7 можно поделить на 4, при условии, что n=k+1, но с учетом того, что выражение 9 k +12k−7 делится на 4.

9 k+1 −12(k+1)+7=9∗9 k −12k−5=9∗(9 k −12k+7)+96k−68=9∗(9 k −12k+7)+4∗(24k−17)

В итоге преобразований получаем сумму, где первое слагаемое 9∗(9 k −12k+7) может быть поделено на 4 без остатка, имея ввиду наше предположение о том, что 9 k −12k+7 делится на 4, а второе слагаемое в выражении имеет вид 4∗(24k−17) и содержит множитель 4, исходя из этого можно сделать вывод, что оно тоже делимо на 4. Соответственно и вся исходная сумма может быть поделена на 4.

Ответ: с помощью математической индукции мы доказали, что 9 n −12n+7 можно поделить на 4, если n – это любое натуральное число.

Мы можем использовать еще один вариант для того, чтобы доказать делимость без остатка некоторого выражения на 4. Этот подход предполагает следующее:

• докажем, что значение выражения с переменной nможно поделить на 4, если n=4*m, n=4*m+1, n=4*m+2, n=4*m+3, с учетом того, что m – это целое значение;
• сделаем вывод о доказательстве делимости выражение на 4, при условии, что n – это целое.

Необходимо доказать, что значение выражения n*(n 2 +1)*(n+3)*(n 2 +4) при условии, что n это целое, делится на 4.

Решение: Предположим, что n=4*m, тогда получаем выражение:

4m*((4m) 2 +1)*(4m+3)*((4m) 2 +4)=4m*(16m 2 +1)*(4m+3)*4*(4m 2 +1)

Произведение, которое получилось в результате преобразований, содержит множитель 4, а все остальные множители – это целые числа, исходя из этого можно утверждать, что все выражение делится на 4.

Предположим, что n=4*m+1, тогда получаем выражение:

В полученном произведении есть множитель 4, что свидетельствует о том, что исходное выражение делится на 4.

Если же предположить, что n=4*m+2, то получаем:

(4m+2)*((4m+2) 2 +1)+(4m+2+3)*((4m+2) 2 +4)=2*(2m+1)+(16m 2 +16m+5)*(4m+5)*8*(2m 2 +2m+1)

В данном произведении получаем один из множителей 8, а 8 делится на 4, значит и все выражение делится на 4.

Рассмотрим вариант, если что n=4*m+3, то получаем следующее выражение:

(4m+3)*((4m+3) 2 +1)*(4m+3+3)*((4m+3) 2 +4)=(4m+3)*2*(8m 2 +12m+5)*2*(2m+3)*(16m 2 +24m+13)=4*(4m+3)*(8m 2 +12m+5)*(16m 2 +24m+13)