Как понять какая функция больше

Свойства функций

Область определения функции — это множество всех значений переменной x , которые имеют соответствующие им значения функции. Обозначают: D(f) . На графике область определения — это промежутки на оси ОX , над которыми (или под которыми) имеются части графика. Для нашего примера D(f) = [-8; 9,4] .
Область значений функции — это множество всех ее значений у . Обозначают: E(f) . На графике область значений функции — это промежутки на оси OY , слева или справа от которых (в горизонтальной полосе) находятся части графика. Для нашего примера Е(f) = [-4; 4,2] .
Функция y = f (x) называется возрастающей , если для любой пары значений аргументов x₁, x₂ из неравенства x₁< x₂ следует неравенство f (x₁) < f (x₂). Функцию можно назвать возрастающей на промежутке , если большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует большее значение функции. Для нашего примера функция возрастает при . Функция y = f (x) называется убывающей, если для любой пары значений аргументов x₁, x₂ из неравенства x₁< x₂ следует неравенство f (x₁) > f (x₂). Функцию можно назвать убывающей на промежутке, если из любых двух взятых из него чисел большему из них всегда соответствует меньшее значение функции. Для нашего примера функция убывает при .
Промежутки знакопостоянства — промежутки, на которых значения функции имеют постоянный знак (положительный или отрицательный). Промежуток положительного знака — это множество значений переменной x , у которых соответствующие значения функции больше нуля ( y > 0 ). На графике — это части оси абсцисс, у которых соответствующие кусочки графика выше оси ОХ . Без графика их тоже можно найти, составив и решив неравенство f (x) > 0 . Для нашего примера функция положительна при . Промежуток отрицательного знака — это множество тех значений переменной х , у которых соответствующие значения функции меньше нуля ( y .
Нули функции — это значения переменной х , при которых у (х) = 0 . Без графика нули функции тоже можно найти, составив и решив уравнение f (x) = 0 . По графику нули определяют как абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ . Для нашего примера нули функции это точки х₁ = -3, х₂ = 2, х₃ = 5.
Четность и нечетность функции . Функция называется четной , если ее график симметричен относительно оси ОУ и для любого x ϵ D(f) верно: -х ϵ D(f) и f (-x) = f (x) . Т.е. функция называется четной, если любым двум противоположным значениям аргумента, из области определения, соответствуют равные значения функции. На графике четная функция имеет ось симметрии OY . Функция называется нечетной , если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x ϵ D(f) верно: -х ϵ D(f) и f (-x) = -f (x). Т.е. функция называется нечетной, если любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции. На графике нечетная функция симметрична относительно начала координат. Произведение или частное двух четных функций — есть функция четная. Произведение или частное двух нечетных функций — есть функция четная. Произведение или частное двух функций, одна из которых четная, а другая нечетная — есть функция нечетная. Функция нашего примера — ни четная, ни нечетная.
Периодичность функции . Функция y = f (x) называется периодической с периодом Т > 0 , если для любого x ϵ D(f) верно: (х — Т) ϵ D(f), (х + Т) ϵ D(f) и f (х — Т) = f (х + Т) = f (x) . Если Т > 0 является периодом функции y = f (x) , то число — период функции y = f (kx + b) . Если Т₁ > 0 и Т₂ > 0 — периоды соответствующих функций y = f (x) и y = g (x) , причем , где m, n ϵ N, , то любая комбинация этих функций y = a • f (x) + b • g(x), a, b ϵ Z , также периодическая, период которой равен T = HOK(T₁, T₂) . Функция нашего примера не является периодической.
Точки экстремума функции ( точки максимума и минимума ). Точка х₀ называется точкой минимума , если для всех х ϵ D(f) в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство f (x) ≥ f (x₀) . На графике точки минимума — это абсциссы, в которых график выглядит как «ямка». Для нашего примера точки минимума — это х₁ = -4,5, х₂ = 3 . Точка х₀ называется точкой максимума , если для всех х ϵ D(f) в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство f (x) ≤ f (x₀ ). На графике точки максимума — это абсциссы, в которых график выглядит как «горка». Для нашего примера точки максимума — это х₁ = -7, х₂ = -1, х₃ = 7 .
Наименьшее и наибольшее значение функции . Число y = t называется наименьшим значением функции на промежутке [a, b] , если для любого значения аргумента х ϵ [a, b] из этого промежутка верно неравенство t ≥ f (x) . Для нашего примера наибольшее значение функции на промежутке [-8; 9,4] равно у_н/б = 4,2 . Число y = t называется наибольшим значением функции на промежутке [a, b] , если для любого значения аргумента х ϵ [a, b] из этого промежутка верно неравенство t ≤ f (x) . Для нашего примера наименьшее значение функции на промежутке [-8; 9,4] равно у_н/м = -4 .

Функция
Область определения	R	R
Вершина параболы	(0; 0)
Нули функции	x = 0
Экстремумы	если a < 0, то минимум в вершине если a > 0, то максимум в вершине
Область значений
Четность	четная	ни четная, ни нечетная

Функция
Область определения	R	R
Область значений	R	[0; +∞ )
Четность	нечетная	четная
Нули функции	х =0	х =0
Экстремумы	нет	х = 0 — точка минимума
Монотонность	возрастает при х ϵ R	при х ≤ 0 убывает при х > 0 возрастает

Функция
Область определения	R кроме х = 0	R кроме х = 0
Область значений	(-∞ ; 0) U (0; +∞ )	(0; +∞ )
Четность	нечетная	четная
Нули функции	нет	нет
Экстремумы	нет	нет
Монотонность	убывает при x ϵ D(f)	при х < 0 возрастает при х > 0 убывает

Функция
Область определения
Область значений
Нули функции	х = 0	х = 0
Экстремумы	нет	нет
Монотонность	возрастает при х ϵ D(f)	возрастает при х ϵ D(f)

Функция	y = a x , 0 < a < 1	y = a x , a > 1
Область определения	R	R
Область значений	( 0; +∞ )	( 0; +∞ )
Нули функции	нет	нет
Экстремумы	нет	нет
Монотонность	убывает при х ϵ D ( f )	возрастает при х ϵ D ( f )

Функция	y = log_ax, 0 < a < 1	y = log_ax, a > 1
Область определения	( 0; +∞)	( 0; +∞)
Область значений	R	R
Нули функции	нет	нет
Экстремумы	нет	нет
Монотонность	убывает при х ϵ D ( f )	возрастает при х ϵ D ( f )

Функция	y = sin x	y = cos x
Область определения	R	R
Область значений	[-1; 1 ]	[-1; 1 ]
Нули функции
Четность	нечетная	четная
Периодичность
Экстремумы
Монотонность	возрастает при убывает при	возрастает при убывает при

Функция	y = tg x	y = ctg x
Область определения	R кроме	R кроме
Область значений	R	R
Нули функции
Четность	нечетная	нечетная
Периодичность
Монотонность	возрастает при	убывает при

Функция	y = arcsin x	y = arcos x
Область определения	[-1; 1 ]	[-1; 1 ]
Область значений
Нули функции	x = 0	x = 1
Четность	нечетная	ни четная, ни нечетная
Монотонность	возрастает при x ϵ [-1; 1 ]	убывает при x ϵ [ -1 ; 1 ]

Функция	y = arctg x	y = arcctg x
Область определения	R	R
Область значений
Нули функции	x = 0	нет
Четность	нечетная	нечетная
Монотонность	возрастает при x ϵ R	убывает при x ϵ R

Функция
Область определения	R	[0; +∞ )
Область значений	R	[0; +∞ )
Нули функции	х = 0	х = 0
Экстремумы	нет	нет
Монотонность	возрастает при х ϵ D ( f )	возрастает при х ϵ D ( f )

Область значений функции f -1 (x) является областью определения функции f (x) . E(f -1 (x)) = D(f), E(f) = D(f -1 (x)) .
Графики функции f (x) и обратной к ней f -1 (x) симметричны относительно биссектрисы у = х .
Если функция f (x) монотонна на промежутке Х , то она обратима на этом промежутке.
Если функция f (x) возрастает (убывает) в своей области определения, то и обратная к ней f -1 (x) тоже возрастает (убывает).

Перейти к выполнению теста: Тест. Свойства функций

Графики и основные свойства элементарных функций

Данный методический материал носит справочный характер и относится к широкому кругу тем. В статье приведен обзор графиков основных элементарных функций и рассмотрен важнейший вопрос – как правильно и БЫСТРО построить график. В ходе изучения высшей математики без знания графиков основных элементарных функций придётся тяжело, поэтому очень важно вспомнить, как выглядят графики параболы, гиперболы, синуса, косинуса и т.д., запомнить некоторые значения функций. Также речь пойдет о некоторых свойствах основных функций.

Я не претендую на полноту и научную основательность материалов, упор будет сделан, прежде всего, на практике – тех вещах, с которыми приходится сталкиваться буквально на каждом шагу, в любой теме высшей математики. Графики для чайников? Можно сказать и так.

По многочисленным просьбам читателей кликабельное оглавление:

Как правильно построить координатные оси?
График линейной функции (прямая)
График квадратичной функции (парабола)
График кубической функции (кубическая парабола)
Графики функций-многочленов более высоких степеней
График функции
График гиперболы
График показательной функции на примере
График логарифмической функции на примере
Графики тригонометрических функций:
- синуса;
- косинуса;
- тангенса и котангенса.
- арксинуса;
- арккосинуса;
- арктангенса и арккотангенса;
Кроме того, есть сверхкраткий конспект по теме
– освойте 16 видов графиков, изучив ШЕСТЬ страниц!

Серьёзно, шесть, удивился даже я сам. Данный конспект содержит улучшенную графику и доступен за символическую плaту, демо-версию можно посмотреть здесь. Файл удобно распечатать, чтобы графики всегда были под рукой. Спасибо за поддержку проекта!

И сразу начинаем:

Как правильно построить координатные оси?

На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Ведь работу, в принципе, можно сделать и на листах А4. А клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей.

Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей.

Чертежи бывают двухмерными и трехмерными.

Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат:

1) Чертим координатные оси. Ось называется осью абсцисс, а ось – осью ординат. Чертить их всегда стараемся аккуратно и не криво. Стрелочки тоже не должны напоминать бороду Папы Карло.

2) Подписываем оси большими буквами «икс» и «игрек». Не забываем подписывать оси.

3) Задаем масштаб по осям: рисуем ноль и две единички. При выполнении чертежа самый удобный и часто встречающийся масштаб: 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева) – по возможности придерживайтесь именно его. Однако время от времени случается так, что чертеж не вмещается на тетрадный лист – тогда масштаб уменьшаем: 1 единица = 1 клеточка (чертеж справа). Редко, но бывает, что масштаб чертежа приходится уменьшать (или увеличивать) еще больше

НЕ НУЖНО «строчить из пулемёта» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Ибо координатная плоскость – не памятник Декарту, а студент – не голубь. Ставим ноль и две единицы по осям. Иногда вместо единиц удобно «засечь» другие значения, например, «двойку» на оси абсцисс и «тройку» на оси ординат – и эта система (0, 2 и 3) тоже однозначно задаст координатную сетку.

Предполагаемые размеры чертежа лучше оценить ещё ДО построения чертежа. Так, например, если в задании требуется начертить треугольник с вершинами , , , то совершенно понятно, что популярный масштаб 1 единица = 2 клеточки не подойдет. Почему? Посмотрим на точку – здесь придется отмерять пятнадцать сантиметров вниз, и, очевидно, что чертеж не вместится (или вместится еле-еле) на тетрадный лист. Поэтому сразу выбираем более мелкий масштаб 1 единица = 1 клеточка.

Кстати, о сантиметрах и тетрадных клетках. Правда ли, что в 30 тетрадных клетках содержится 15 сантиметров? Отмерьте в тетради для интереса 15 сантиметров линейкой. В СССР, возможно, это было правдой… Интересно отметить, что если отмерить эти самые сантиметры по горизонтали и вертикали, то результаты (в клетках) будут разными! Строго говоря, современные тетради не клетчатые, а прямоугольные. Возможно, это покажется ерундой, но, чертить, например, окружность циркулем при таких раскладах очень неудобно. Если честно, в такие моменты начинаешь задумываться о правоте товарища Сталина, который отправлял в лагеря за халтуру на производстве, не говоря уже об отечественном автомобилестроении, падающих самолетах или взрывающихся электростанциях.

К слову о качестве, или краткая рекомендация по канцтоварам. На сегодняшний день большинство тетрадей в продаже, плохих слов не говоря, полное гомно. По той причине, что они промокают, причём не только от гелевых, но и от шариковых ручек! На бумаге экономят. Для оформления контрольных работ рекомендую использовать тетради Архангельского ЦБК (18 листов, клетка) или «Пятёрочку», правда, она дороже. Ручку желательно выбрать гелевую, даже самый дешевый китайский гелевый стержень намного лучше, чем шариковая ручка, которая то мажет, то дерёт бумагу. Единственной «конкурентоспособной» шариковой ручкой на моей памяти является «Эрих Краузе». Она пишет чётко, красиво и стабильно – что с полным стержнем, что с практически пустым.

Дополнительно: вИдение прямоугольной системы координат глазами аналитической геометрии освещается в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов, подробную информацию о координатных четвертях можно найти во втором параграфе урока Линейные неравенства.

Трехмерный случай

Здесь почти всё так же.

1) Чертим координатные оси. Стандарт: ось аппликат – направлена вверх, ось – направлена вправо, ось – влево вниз строго под углом 45 градусов.

2) Подписываем оси.

3) Задаем масштаб по осям. Масштаб по оси – меньше, чем масштаб по другим осям. Также обратите внимание, что на правом чертеже я использовал нестандартную «засечку» по оси (о такой возможности уже упомянуто выше). С моей точки зрения, так точнее, быстрее и эстетичнее – не нужно под микроскопом выискивать середину клетки и «лепить» единицу впритык к началу координат.

При выполнении трехмерного чертежа опять же – отдавайте приоритет масштабу
1 единица = 2 клетки по осям и (чертеж слева) и 1 единица = диагональ одной клетки – по оси .

. Для чего нужны все эти правила? Правила существуют для того, чтобы их нарушать. Чем я сейчас и займусь. Дело в том, что последующие чертежи статьи будут выполнены мной в Экселе, и, координатные оси будут выглядеть некорректно с точки зрения правильного оформления. Я бы мог начертить все графики от руки, но ~~чертить их на самом деле жуть как неохота~~ Эксель их начертит гораздо точнее.

Графики и основные свойства элементарных функций

График линейной функции

Линейная функция задается уравнением . График линейной функций представляет собой прямую. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки.

Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.

Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.

При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:

А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе.

Две точки найдены, выполним чертеж:

При оформлении чертежа всегда подписываем графики.

Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции:

Обратите внимание, как я расположил подписи, подписи не должны допускать разночтений при изучении чертежа. В данном случае крайне нежелательно было поставить подпись рядом с точкой пересечения прямых , или справа внизу между графиками.

1) Линейная функция вида () называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.

2) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс».

3) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции также строится сразу. Запись следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1».

Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде или .

Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.

Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии, и желающие могут обратиться к статье Уравнение прямой на плоскости.

График квадратичной, кубической функции, график многочлена

Парабола. График квадратичной функции () представляет собой параболу. Рассмотрим знаменитый случай:

Вспоминаем некоторые свойства функции .

Область определения – любое действительное число (любое значение «икс»). Что это значит? Какую бы точку на оси мы не выбрали – для каждого «икс» существует точка параболы. Математически это записывается так: . Область определения любой функции стандартно обозначается через или . Буква обозначает множество действительных чисел или, проще говоря, «любое икс» (когда работа оформляется в тетради, пишут не фигурную букву , а жирную букву R).

Область значений – это множество всех значений, которые может принимать переменная «игрек». В данном случае: – множество всех положительных значений, включая ноль. Область значений стандартно обозначается через или .

Функция является чётной. Если функция является чётной, то ее график симметричен относительно оси . Это очень полезное свойство, которое заметно упрощает построение графика, в чём мы скоро убедимся. Аналитически чётность функции выражается условием . Как проверить любую функцию на чётность? Нужно вместо подставить в уравнение . В случае с параболой проверка выглядит так: , значит, функция является четной.

Функция не ограничена сверху. Аналитически свойство записывается так: . Вот вам, кстати, и пример геометрического смысла предела функции: если мы будем уходить по оси (влево или вправо) на бесконечность, то ветки параболы (значения «игрек») будут неограниченно уходить вверх на «плюс бесконечность».

При изучении пределов функций желательно понимать геометрический смысл предела.

Я не случайно так подробно расписал свойства функции, все вышеперечисленные вещи полезно знать и помнить при построении графиков функций, а также при исследовании графиков функций.

Построить график функции .

В этом примере мы рассмотрим важный технический вопрос: Как быстро построить параболу? В практических заданиях необходимость начертить параболу возникает очень часто, в частности, при вычислении площади фигуры с помощью определенного интеграла. Поэтому чертеж желательно научиться выполнять быстро, с минимальной потерей времени. Я предлагаю следующий алгоритм построения.

Сначала находим вершину параболы. Для этого берём первую производную и приравниваем ее к нулю:

Если с производными плохо, следует ознакомиться с уроком Как найти производную?

Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы. Почему это так, можно узнать из теоретической статьи о производной и урока об экстремумах функции. А пока рассчитываем соответствующее значение «игрек»:

Таким образом, вершина находится в точке

Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция – не является чётной, но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.

В каком порядке находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:

Данный алгоритм построения образно можно назвать «челноком» или принципом «туда-сюда» ~~с Анфисой Чеховой~~.

Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:

Для квадратичной функции () справедливо следующее:

Если , то ветви параболы направлены вверх.

Если , то ветви параболы направлены вниз.

Углублённые знания о кривой можно получить на уроке Гипербола и парабола.

Кубическая парабола

Кубическая парабола задается функцией . Вот знакомый со школы чертеж:

Перечислим основные свойства функции

Область определения – любое действительное число:.

Область значений – любое действительное число:.

Функция является нечётной. Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат. Аналитически нечётность функции выражается условием . Выполним проверку для кубической функции, для этого вместо «икс» подставим «минус икс»:
, значит, функция является нечетной.

Функция не ограничена. На языке пределов функции это можно записать так: ,

Кубическую параболу тоже удобнее строить с помощью алгоритма «челнока»:

Наверняка, вы заметили, в чем ещё проявляется нечетность функции. Если мы нашли, что , то при вычислении уже не нужно ничего считать, автоматом записываем, что . Эта особенность справедлива для любой нечетной функции.

А теперь поговорим о графиках функций-многочленов высоких степеней чуть более подробно. График функции () принципиально имеет следующий вид:

В этом примере коэффициент при старшей степени , поэтому график развёрнут «наоборот». Принципиально такой же вид имеют графики функций-многочленов 5-й, 7-й, 9-й и других нечетных степеней. Чем выше степень, тем больше промежуточных «загибулин».

Функции-многочлены 4-й, 6-й и других четных степеней имеют график принципиально следующего вида:

График функции

Он представляет собой одну из ветвей параболы. Выполним чертеж:

Основные свойства функции :

То есть, график функции полностью находится в первой координатной четверти.

Функция не ограничена сверху. Или с помощью предела:

При построении простейших графиков с корнями также уместен поточечный способ построения, при этом выгодно подбирать такие значения «икс», чтобы корень извлекался нацело:

На самом деле хочется разобрать еще примеры с корнями, например, , но они встречаются значительно реже. Сейчас я ориентируюсь на более распространенные случаи, и, как показывает практика, что-нибудь вроде приходиться строить значительно чаще. Однако унывать не нужно, в других статьях я рассмотрю самые разнообразные функции и их графики, корни в том числе.

График гиперболы

Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу .

Основные свойства функции :

Запись обозначает: «любое действительное число, исключая ноль»

В точке функция терпит бесконечный разрыв. Или с помощью односторонних пределов: , . Немного поговорим об односторонних пределах. Запись обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси к нулю слева. Как при этом ведёт себя график? Он уходит вниз на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси . Именно этот факт и записывается пределом . Аналогично, запись обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси к нулю справа. При этом ветвь гиперболы уходит вверх на плюс бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси . Или коротко: .

Такая прямая (к которой бесконечно близко приближается график какой-либо функции) называется асимптотой.

В данном случае ось является вертикальной асимптотой для графика гиперболы при .

Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой.

Также односторонние пределы , говорят нам о том, что гипербола не ограничена сверху и не ограничена снизу.

Исследуем функцию на бесконечности: , то есть, если мы начнем уходить по оси влево (или вправо) на бесконечность, то «игреки» стройным шагом будут бесконечно близко приближаться к нулю, и, соответственно, ветви гиперболы бесконечно близко приближаться к оси .

Таким образом, ось является горизонтальной асимптотой для графика функции, если «икс» стремится к плюс или минус бесконечности.

Функция является нечётной, а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически: .

График функции вида () представляет собой две ветви гиперболы.

Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях (см. рисунок выше).

Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях.

Указанную закономерность места жительства гиперболы нетрудно проанализировать с точки зрения геометрических преобразований графиков.

Построить правую ветвь гиперболы

Используем поточечный метод построения, при этом, значения выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:

Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь.

Детальную геометрическую информацию о рассмотренной линии можно найти в статье Гипербола и парабола.

График показательной функции

В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию , поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента.

Напоминаю, что – это иррациональное число: , это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит:

График функции пока оставим в покое, о нём позже.

Основные свойства функции :

Область значений: . Обратите внимание, что ноль не включается в область значений. Экспонента – функция положительная, то есть для любого «икс» справедливо неравенство , а сам график экспоненты полностью расположен в верхней полуплоскости.

Функция не ограничена сверху: , то есть, если мы начнем уходить по оси вправо на плюс бесконечность, то соответствующие значения «игрек» стройным шагом будут тоже уходить вверх на по оси . Кстати, график экспоненциальной функции будет «взмывать» вверх на бесконечность очень быстро и круто, уже при

Исследуем поведение функции на минус бесконечности: . Таким образом, ось является горизонтальной асимптотой для графика функции , если

Принципиально такой же вид имеет любая показательная функция , если . Функции , , будут отличаться только крутизной наклона графика, причем, чем больше основание, тем круче будет график.

Обратите внимание, что во всех случаях графики проходят через точку , то есть . Это значение должен знать даже «двоечник».

Теперь рассмотрим случай, когда основание . Снова пример с экспонентой – на чертеже соответствующий график прочерчен малиновым цветом? Что произошло? Ничего особенного – та же самая экспонента, только она «развернулась в другую сторону». Об этой метаморфозе можно получить подробную информацию в статье Построение графиков с помощью геометрических преобразований.

Принципиально так же выглядят графики функций , и т. д.

Должен сказать, что второй случай встречается на практике реже, но он встречается, поэтому я счел нужным включить его в данную статью.

График логарифмической функции

Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом .
Выполним поточечный чертеж:

Если позабылось, что такое логарифм, пожалуйста, обратитесь к школьным учебникам.

Основные свойства функции :

Функция не ограничена сверху: , пусть и медленно, но ветка логарифма уходит вверх на бесконечность.
Исследуем поведение функции вблизи нуля справа: . Таким образом, ось является вертикальной асимптотой для графика функции при «икс» стремящемся к нулю справа.

Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма: .

Принципиально так же выглядит график логарифма при основании : , , (десятичный логарифм по основанию 10) и т.д. При этом, чем больше основание, тем более пологим будет график.

Случай рассматривать не будем, что-то я не припомню, когда последний раз строил график с таким основанием. Да и логарифм вроде в задачах высшей математики ооочень редкий гость.

В заключение параграфа скажу еще об одном факте: Экспоненциальная функция и логарифмическая функция – это две взаимно обратные функции. Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это – та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому.

Графики тригонометрических функций

С чего начинаются тригонометрические мучения в школе? Правильно. С синуса

Построим график функции

Данная линия называется синусоидой.

Напоминаю, что «пи» – это иррациональное число: , и в тригонометрии от него в глазах рябит.

Основные свойства функции :

Данная функция является периодической с периодом . Что это значит? Посмотрим на отрезок . Слева и справа от него бесконечно повторяется точно такой же кусок графика.

Область определения: , то есть для любого значения «икс» существует значение синуса.

Область значений: . Функция является ограниченной: , то есть, все «игреки» сидят строго в отрезке .
Такого не бывает: или , точнее говоря, бывает, но указанные уравнения не имеют решения.

Синус – это функция нечетная, синусоида симметричная относительно начала координат, и справедлив следующий факт: . Таким образом, если в вычислениях встретится, например, , то минус терять здесь ни в коем случае нельзя! Он выносится:

Как ведет себя синус на бесконечности? Попробуем провести исследование с помощью пределов:
, Чему равны такие пределы? Запомните, данных пределов не существует. По вполне понятным причинам, график синуса ~~болтается как~~ как неприкаянный, то дойдет единицы, то уйдет к минус единице и так до бесконечности.

Вот вам пример, когда предела не существует. В высшей математике это можно встретить не очень часто, но такое понятие, как «предела не существует» – существует!

В практических вычислениях желательно (и даже обязательно) знать и помнить следующие значения синуса: , , . Другие значения синуса (а также остальных тригонометрических функций) можно найти в методическом материале Тригонометрические таблицы.

График косинуса

Построим график функции

График косинуса – это та же самая синусоида, сдвинутая вдоль оси на влево
(см. также Пример 8 урока о геометрических преобразованиях графиков).

Поэтому почти все свойства синуса справедливы и для косинуса. За некоторым, но существенным исключением.

Косинус – это функция четная, ее график симметричен относительно оси , и справедлив следующий факт: . То есть, минус перед аргументом косинуса можно безболезненно убирать (или наоборот, ставить). В отличие от синуса в косинусе минус «бесследно пропадает».

Для решения практических задач нужно знать и помнить следующие значения косинуса: , , .

Графики тангенса и котангенса

Построим график функции

Основные свойства функции :

Данная функция является периодической с периодом . То есть, достаточно рассмотреть отрезок , слева и справа от него ситуация будет бесконечно повторяться.

Область определения: – все действительные числа, кроме … , , , … и т. д. или коротко: , где – любое целое число. Множество целых чисел (… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) в высшей математике обозначают жирной буквой Z.

Область значений: . Функция не ограничена. В этом легко убедиться и аналитически:
– если мы приближаемся по оси к значению справа, то ветка тангенса уходит на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к своей асимптоте .
– если мы приближаемся по оси к значению слева, то «игреки» шагают вверх на плюс бесконечность, а ветка тангенса бесконечно близко приближается к асимптоте .

Тангенс – функция нечетная, как и в случае с синусом, минус из-под тангенса не теряется, а выносится: .

В практических вычислениях полезно помнить следующие значения тангенса: , , , а также те точки, в которых тангенса не существует (см. график).

График котангенса – это почти тот же самый тангенс, функции связаны тригонометрическим соотношением . Вот его график:

Свойства попробуйте сформулировать самостоятельно, они практически такие же, как и у тангенса.

Графики обратных тригонометрических функций

Построим график арксинуса

Перечислим основные свойства функции :

Область определения: , не существует значений вроде или

Область значений: , то есть, функция ограничена.

Арксинус – функция нечетная, здесь минус опять же выносится: .

В практических вычислениях полезно помнить следующие значения арксинуса: , , . Другие распространенные значения арксинуса (а также других «арков») можно найти с помощью таблицы значений обратных тригонометрических функций.

Построим график арккосинуса

Очень похоже на арксинус, свойства функции сформулируйте самостоятельно. Остановлюсь на единственном моменте. В данной статье очень много разговоров шло о четности и нечетности функций, и, возможно, у некоторых сложилось впечатление, что функция обязательно должна быть четной или нечетной. В общем случае, это, конечно, не так. Чаще всего, функция, которая вам встретится на практике – «никакая». В частности, арккосинус не является четной или нечетной функцией, он как раз «никакой».

Построим график арктангенса

Всего лишь перевернутая ветка тангенса.
Перечислим основные свойства функции :

Область значений: , то есть, функция ограничена.
У рассматриваемой функции есть две асимптоты: , .

Арктангенс – функция нечетная: .

Самые «популярные» значения арктангенса, которые встречаются на практике, следующие: , .

К графику арккотангенса приходится обращаться значительно реже, но, тем не менее, вот его чертеж:

Свойства арккотангенса вы вполне сможете сформулировать самостоятельно. Отмечу, что арккотангенс, как и арккосинус, не является четной или нечетной функцией.

Пожалуй, для начала хватит. К этой странице придется частенько обращаться в ходе изучения самых различных разделов курса высшей математики.

Ну что, смертнички, полетаем? =)

Тогда надеваем парашюты и готовимся к преобразованиям графиков.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Возрастающие и убывающие функции — Функции

Ранее в курсе мы уже рассматривали разные свойства функций. Сегодня мы разберем еще одно свойство — возрастание и убывание.

В этом уроке мы рассмотрим понятие возрастающей и убывающей функций, их свойства, графическое представление, теоремы для проверки возрастающих и убывающих функций, а также примеры для лучшего понимания.

Возрастающие и убывающие функции

Возрастающие и убывающие функции — это функции, для которых значение производной увеличивается и уменьшается соответственно с изменением значения x.

Рассмотрим подробнее, что значит это определение. Для проверки поведения возрастающих и убывающих функций используется производная функции
- Функция возрастает, если значение увеличивается с ростом значения
- Функция убывает, если значение уменьшается с ростом значения x
Давайте рассмотрим формальные определения возрастающей и убывающей функции, чтобы понять их смысл.

Во всех определениях выше соблюдаются общие условия. Возрастание и убывание функции рассматривается:
- На интервале
- Для любых двух значений и в
- Если значение
А теперь рассмотрим сами определения:
1. Возрастающая функция — функция возрастает, если
2. Убывающая функция — функция убывает, если
3. Строго возрастающая функция — функция строго возрастает, если
4. Строго убывающая функция — функция строго убывает, если
Правила проверки функций

Чтобы проверить возрастание и убывание, можно использовать производную функции. Посмотрим, как это работает на практике.

Предположим, что функция

дифференцируема на открытом интервале

, тогда она определяется так:
- Если на , то функция является возрастающей на
- Если на , то функция является убывающей функцией на
Чтобы разобраться подробнее, возьмем такой пример:
1. Рассмотрим , определенную для всех действительных чисел
2. Производная от имеет вид
3. Мы знаем, что квадрат числа всегда больше или равен , поэтому для всех
4. Следовательно, — возрастающая функция
Возрастание и убывание на графике

Теперь мы знаем значение и определение возрастающих и убывающих функций. Дальше давайте посмотрим на графическое представление возрастающих и убывающих функций, которое поможет нам понять поведение функций.

Кроме производной, есть еще один способ определить возрастание и убывание функции. Можно взглянуть на ее график:
- Функция возрастает, если график идет вверх по мере продвижения к правой стороне оси
- Функция убывает, график идет вниз по мере продвижения к правой стороне оси
Посмотрите на этот пример:

На приведенных выше графиках показано графически представлены все четыре типа функций:
- Строго возрастающая
- Строго убывающая
- Возрастающая
- Убывающая
Как видно из графиков, возрастающая функция ведет себя по-разному:
- В одних частях графика есть строго возрастающие интервалы
- В других частях графика есть интервалы, где функция постоянна
Аналогично, убывающая функция состоит из интервалов, где функция строго убывает и где функция постоянна.

Свойства возрастающих и убывающих функций

Выше вы научились проверять, является ли функция возрастающей или убывающей.

Теперь давайте рассмотрим алгебраические свойства возрастающих и убывающих функций. Они помогут вам проводить операции с функциями.

Есть два свойства, связанные с суммами:
- Если функции и являются возрастающими на открытом интервале , то сумма функций также возрастает на этом интервале
- Если функции и — убывающие функции на открытом интервале , то сумма функций также убывает на этом интервале
Еще два свойства связаны с произведениями:
- Если функции и — возрастающие функции на открытом интервале и , на , то произведение функций также возрастает на этом интервале
- Если функции и — убывающие функции на открытом интервале и на , то произведение функций также убывает на этом интервале
Еще несколько свойств связаны с обратными функциями:
- Если функция — возрастающая функция на открытом интервале , то обратная функция убывает на этом интервале
- Если функция — убывающая функция на открытом интервале , то противоположная функция — возрастающая на этом интервале
- Если функция — возрастающая функция на открытом интервале , то обратная функция убывает на этом интервале
- Если функция — убывающая функция на открытом интервале , то обратная функция возрастает на этом интервале
Открыть доступ

Курсы программирования для новичков и опытных разработчиков. Начните обучение бесплатно
- 130 курсов, 2000+ часов теории
- 1000 практических заданий в браузере
- 360 000 студентов
Наши выпускники работают в компаниях:

Используйте Хекслет по-максимуму!
- Задавайте вопросы по уроку
- Проверяйте знания в квизах
- Проходите практику прямо в браузере
- Отслеживайте свой прогресс
Задавайте вопросы, если хотите обсудить теорию или упражнения. Команда поддержки Хекслета и опытные участники сообщества помогут найти ответы и решить задачу

Для перемещения по курсу нужно зарегистрироваться
1. Введение ↳ теория
2. Функции как правила ↳ теория
3. Множества и функции ↳ теория
4. Рекурсия в функциях ↳ теория
5. Графики ↳ теория
6. Равенство ↳ теория
7. Частичные функции ↳ теория
8. Онто-функции ↳ теория
9. Возрастающие и убывающие функции ↳ теория
10. Композиция функций ↳ теория
11. Обратные функции ↳ теория

Поможем, если трудно

Порой обучение продвигается с трудом. Сложная теория, непонятные задания… Хочется бросить. Не сдавайтесь, все сложности можно преодолеть. Рассказываем, как

Не понятна формулировка, нашли опечатку?

Выделите текст, нажмите ctrl + enter и опишите проблему, затем отправьте нам. В течение нескольких дней мы улучшим формулировку или исправим опечатку

Что-то не получается в уроке?

Загляните в раздел «Обсуждение»:
1. Изучите вопросы, которые задавали по уроку другие студенты — возможно, ответ на ваш уже есть
2. Если вопросы остались, задайте свой. Расскажите, что непонятно или сложно, дайте ссылку на ваше решение. Обратите внимание — команда поддержки не отвечает на вопросы по коду, но поможет разобраться с заданием или выводом тестов
3. Мы отвечаем на сообщения в течение 2-3 дней. К «Обсуждениям» могут подключаться и другие студенты. Возможно, получится решить вопрос быстрее!
Подробнее о том, как задавать вопросы по уроку

Как определить, какая функция больше

Определение того, какая функция является более значимой, является важной задачей во многих сферах деятельности. Будь то разработка программного обеспечения, маркетинговые исследования или анализ данных, определение значимости функций может помочь улучшить эффективность и результативность работы. В данной статье мы рассмотрим несколько подходов к определению значимости функций и предоставим рекомендации по выбору наиболее подходящего метода.

Один из способов определить значимость функций — это анализ их вклада в общий результат или цель. Для этого необходимо проанализировать каждую функцию по отдельности и выяснить, насколько она влияет на достижение желаемого результата. Некоторые функции могут иметь более высокую значимость, поскольку они напрямую связаны с достижением цели, в то время как другие функции могут иметь меньшую значимость или даже быть лишними.

Другим подходом к определению значимости функций является анализ их влияния на другие функции или переменные. Если одна функция является основной и влияет на множество других функций, то она вероятно является более значимой. Например, если функция отвечает за обработку данных, которые затем используются другими функциями, то ее значимость может быть выше, поскольку она влияет на работу множества других функций.

Также стоит учитывать контекст и цель проекта или задачи при определении значимости функций. Некоторые функции могут быть важными в одном контексте и малозначимыми в другом. Поэтому необходимо учитывать специфику проекта и ожидания заказчика, чтобы определить, какая функция является более значимой в данном случае.

Критерии определения значимости функции

Когда мы имеем набор различных функций, полезно знать, как определить, какая из них является наиболее значимой. Определение значимости функции может быть важно для различных областей, включая математику, программирование и бизнес-аналитику.

Вот некоторые критерии, которые можно использовать для определения значимости функции:
1. Расчет сложности функции: Одним из основных критериев определения значимости функции является ее сложность. Функция, которая выполняет более сложные вычисления или требует больше ресурсов, может быть более значимой.
2. Зависимость от других функций: Функции, которые являются зависимыми от других функций, могут быть более значимыми. Например, функция, которая используется во множестве других функций или в основном является частью более крупного проекта, может быть более значимой.
3. Полезность функции: Если функция обладает высокой полезностью для конечного пользователя или является важной для достижения конечной цели, она может быть более значимой. Полезность функции может быть определена, например, на основе важности, которую она имеет для решения проблемы или удовлетворения потребностей пользователей.
4. Эффективность функции: Если функция выполняет свою задачу более эффективно или быстро, она может быть более значимой. Время выполнения функции и затраты ресурсов на ее выполнение могут быть использованы для определения ее значимости.
5. Распространенность использования функции: Если функция широко используется во множестве проектов или систем, она может быть более значимой. Чем больше функция используется, тем больше ее значение может быть для общей стратегии или деятельности.
Однако следует отметить, что определение значимости функций может быть субъективным и зависеть от контекста и требований проекта или области применения. Поэтому, важно учитывать и анализировать конкретные факторы, связанные с функциональностью функции и ее отношением к другим компонентам системы, чтобы определить, какая функция является наиболее значимой.

Влияние на конечный результат

Определение значимости функции может быть важной задачей при разработке программного обеспечения. Критерии оценки значимости могут различаться в зависимости от конкретных требований и контекста проекта. Однако одним из ключевых факторов является влияние функции на конечный результат работы программы.

Функция может считаться более значимой, если она прямо или косвенно влияет на основной функционал программы или на решение основных задач, поставленных перед программой. Например, функция, отвечающая за обработку и сохранение данных, может быть более значимой, чем функция, отвечающая за отображение данных на экране.

Определение значимости функции также может зависеть от ее частоты использования или частоты вызовов в программе. Функция, которая вызывается внутри цикла или в течение каждого шага выполнения программы, обычно является более значимой.

Еще одним фактором, который может влиять на значимость функции, является ее зависимость от других функций или модулей программы. Если функция является ключевой составной частью работы других функций или модулей, то она, скорее всего, будет иметь большое влияние на конечный результат программы.

Для определения значимости функции можно использовать различные методы, такие как анализ кода программы, анализ документации и обсуждение с командой разработчиков. Важно учитывать контекст проекта и специфические требования, чтобы сделать объективное решение о значимости функции.

Уровень сложности задачи

Для определения значимости функции необходимо учитывать ее уровень сложности задачи, которую она решает. Уровень сложности может быть разным в зависимости от контекста и целей разработки.

Следующие факторы могут повлиять на уровень сложности задачи:
- Технические требования. Если задача требует высокой скорости выполнения или определенных технологий, функция, способная решить ее, может быть более значимой.
- Функциональные требования. Если функция решает основные функциональные требования задачи, она, скорее всего, будет более важной.
- Критичность. Если функция решает критически важную задачу, то ее значимость будет выше.
- Частота использования. Чем чаще используется функция, тем более значимой она может быть.
- Сложность решения. Если функция сложна в реализации, ее значимость может быть выше.
Уровень сложности задачи может быть оценен субъективно или на основе объективных метрик, таких как количество строк кода, время выполнения и т.д. Разработчик должен учитывать все эти факторы и принимать во внимание потребности проекта и пользователей при определении значимости конкретной функции.

Частота использования функции

Одним из способов определить, какая функция является более значимой, является анализ частоты их использования в программе или системе. Частота использования функции может отражать ее важность и роль в решении задачи.

Чем чаще функция вызывается, тем вероятнее, что она выполняет важную функцию. Это может указывать на ее важность в рамках программы или системы. Кроме того, функции, которые вызываются в разных частях программы или системы, могут быть более значимыми, так как они могут выполнять общие задачи или быть необходимыми для работы других функций.

Для определения частоты использования функции можно использовать различные инструменты, такие как профилировщики, которые могут собирать статистику о вызовах функций во время исполнения программы. Эти инструменты могут показать, сколько раз функция была вызвана и сколько времени она занимает в общем времени исполнения программы.

Также можно анализировать исходный код программы или системы, чтобы найти места, где функции вызываются. Это может помочь выявить частые вызовы функций и их расположение в коде.

Другим способом определить частоту использования функции является анализ логов и отчетов об ошибках. Если функция вызывается часто или связана с возникновением ошибок, это может указывать на ее значимость.

В целом, анализ частоты использования функции позволяет определить ее значимость в рамках программы или системы. Частота использования может быть основой для принятия решений о том, какая функция является более значимой и требует большего внимания при оптимизации или изменении.

Вопрос-ответ

Как определить, какая функция является более значимой?

Для определения более значимой функции можно использовать различные методы. Один из подходов — сравнение значений функций в разных точках и анализ их поведения. Если одна функция имеет более высокие значения в большинстве точек, то можно сделать вывод, что эта функция является более значимой. Другой метод — сравнение производных функций. Если производная одной функции больше производной другой функции в большинстве точек, то можно сказать, что эта функция более значима. Также можно использовать методы статистического анализа для определения значимости функций. Например, можно провести t-тест, чтобы определить, есть ли значимая разница между значениями функций. Конечный выбор метода зависит от конкретной задачи и данных, которые нужно анализировать.

Как сравнивать значимость функций?

Для сравнения значимости функций можно использовать различные подходы. Один из них — сравнивать значения функций в разных точках и анализировать их поведение. Если одна функция имеет более высокие значения в большинстве точек, то можно сделать вывод, что эта функция является более значимой. Другой подход — сравнение производных функций. Если производная одной функции больше производной другой функции в большинстве точек, то можно сказать, что эта функция более значима. Кроме того, можно использовать методы статистического анализа, такие как t-тест, чтобы определить, есть ли значимая разница между значениями функций. Выбор конкретного метода зависит от цели и данных анализа.

Каким образом можно определить, какая функция является более значимой?

Определение более значимой функции может осуществляться несколькими способами. Один из них — сравнение значений функций в разных точках и анализ их поведения. Если одна функция имеет более высокие значения в большинстве точек, то можно предположить, что эта функция является более значимой. Также можно сравнить производные функций. Если производная одной функции больше производной другой функции в большинстве точек, то можно заключить, что эта функция более значима. Кроме того, можно использовать статистические методы для определения значимости функций. Например, провести t-тест, чтобы выяснить, есть ли статистически значимая разница между значениями функций. Выбор конкретного метода зависит от поставленной задачи и доступных данных для анализа.
Похожие публикации: