Свойства прямоугольного треугольника
Треугольник с прямым углом \(90°\) называют прямоугольным треугольником.
Самая длинная сторона треугольника называется гипотенузой, а две другие стороны — катеты.
Свойства прямоугольного треугольника — это свойства, определяющие прямоугольный треугольник.
- Если угол \(α\) равен \(30°\) градусов, то \(2a = c\) .
- Площадь прямоугольного треугольника можно измерить с помощью формулы:
где \(a\) и \(b\) можно рассматривать как две стороны треугольника. Эта формула используется только для прямоугольного треугольника.
- Теорема Пифагора утверждает, что если \(c\) — гипотенуза, а \(a\) и \(b\) — две стороны треугольника, то в соответствии с теоремой Пифагора:
Квадрат гипотенузы равен сумме квадрата двух других сторон треугольника.
- Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
- Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника можно рассчитать по формуле:
где \(c\) — гипотенуза прямоугольного треугольника.
- Проекции катетов треугольника на гипотенузу:
Дарим в подарок бесплатный вводный урок!
Репетиторы
- Репетитор по математике
- Репетитор по физике
- Репетитор по химии
- Репетитор по русскому языку
- Репетитор по английскому языку
- Репетитор по обществознанию
- Репетитор по истории России
- Репетитор по биологии
- Репетитор по географии
- Репетитор по информатике
Специализация
- Подготовка к ЕГЭ по математике (базовый уровень)
- Репетитор по алгебре
- Репетитор для подготовки к ОГЭ по физике
- Репетитор по русскому языку для подготовки к ОГЭ
- Репетитор по английскому языку для подготовки к ОГЭ
- Репетитор для подготовки к ЕГЭ по обществознанию
- Репетитор по географии для подготовки к ЕГЭ
- Подготовка к ОГЭ по литературе
- Программирование Pascal
- Scratch
Предметы по класам
- 1 класс
- 2 класс
- 3 класс
- 4 класс
- 5 класс
- 6 класс
- 7 класс
- 8 класс
- 9 класс
- 10 класс
- 11 класс
- Не школьник
Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы
Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы.
Поделиться в:
Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).
Прямоугольный треугольник (понятие, определение):
Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Гипотенуза (с греч. ὑποτείνουσα – «натянутая») – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу.
Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами. Катет (с греч. κάθετος – «перпендикуляр, опущенный, отвесный») – одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол .
Для непрямоугольного треугольника гипотенуза и катеты не существуют.
Рис. 1. Прямоугольный треугольник
АВ, АС – катеты прямоугольного треугольника, ВС – гипотенуза прямоугольного треугольника, ∠ ВАС = 90°
Равнобедренный треугольник может быть прямоугольным (равнобедренным прямоугольным треугольником).
Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый острый угол равен 45°.
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
Признаки равенства прямоугольных треугольников основаны и вытекают из общих признаков равенства треугольников.
1. Равенство по двум катетам.
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 2. Равенство прямоугольных треугольников по двум катетам
2. Равенство по катету и прилежащему острому углу.
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 3. Равенство прямоугольных треугольников по катету и прилежащему углу
3. Равенство по гипотенузе и острому углу.
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 4. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу
4. Равенство по гипотенузе и катету.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 5. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету
5. Равенство по катету и противолежащему острому углу.
Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 6. Равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу
Свойства прямоугольного треугольника:
1. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°.
2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.
И наоборот, если в прямоугольном треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.
Рис. 7. Прямоугольный треугольник с острым углом 30˚
3. Теорема Пифагора:
Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
c 2 = a 2 + b 2 ,
где a, b – катеты, c – гипотенуза.
4. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.
И соответственно радиус описанной окружности (R) равен половине гипотенузы.
,
где c – гипотенуза.
Рис. 9. Прямоугольный треугольник и описанная окружность
5. В прямоугольном треугольнике медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.
Рис. 10. Прямоугольный треугольник и медиана, падающая на гипотенузу
АМ – медиана прямоугольного треугольника, падающая на гипотенузу, АМ = ВМ = МС, АМ = ВС/2
6. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника подобные исходному.
Рис. 11. Прямоугольный треугольник и высота, проведенная из вершины прямого угла
АВ/ВС = АН/АС = ВН/АВ
Формулы прямоугольного треугольника:
Пусть a и b – длины катетов прямоугольного треугольника, с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника, h – высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе (АН), R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 9, 11, 12).
Формулы сторон прямоугольного треугольника (a, b, c) по теореме Пифагора:
c 2 = a 2 + b 2 ,
a 2 = c 2 – b 2 ,
b 2 = c 2 – a 2 .
Формула радиуса вписанной окружности (r):
.
Рис. 12. Прямоугольный треугольник и вписанная окружность
Формула радиуса описанной окружности (R):
.
Формулы площади (S) прямоугольного треугольника:
.
Формулы высоты (h)прямоугольного треугольника:
.
Прямоугольные треугольники: основные свойства и применение в геометрии
Прямоугольный треугольник – особый вид треугольника, в котором один из углов равен 90 градусам, и он имеет свойства, применяемые в геометрии и повседневной жизни, такие как теорема Пифагора и использование в строительстве и технических расчетах.
Прямоугольные треугольники: основные свойства и применение в геометрии обновлено: 12 сентября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру
Помощь в написании работы
Введение
Добро пожаловать на лекцию по геометрии! Сегодня мы будем изучать прямоугольные треугольники. Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов равен 90 градусам. Важно понимать свойства и особенности этого типа треугольников, так как они широко применяются в различных областях науки и повседневной жизни.
Нужна помощь в написании работы?
Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Свойства прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов равен 90 градусам. В прямоугольном треугольнике есть несколько важных свойств, которые помогают нам решать задачи и находить неизвестные значения.
Теорема Пифагора
Одно из самых известных свойств прямоугольного треугольника – это теорема Пифагора. Она гласит, что квадрат длины гипотенузы (стороны, противоположной прямому углу) равен сумме квадратов длин катетов (двух других сторон).
Математически это можно записать следующим образом:
где a и b – длины катетов, c – длина гипотенузы.
Соотношения между сторонами
В прямоугольном треугольнике существуют определенные соотношения между сторонами, которые помогают нам находить неизвестные значения. Например:
- Отношение длины гипотенузы к длине катета равно sqrt(2) или примерно 1.414.
- Отношение длины катета к длине гипотенузы равно 1/sqrt(2) или примерно 0.707.
Свойства углов
В прямоугольном треугольнике сумма всех трех углов равна 180 градусам. Также, угол противоположный гипотенузе является прямым углом (равным 90 градусам), а углы, прилегающие к гипотенузе, являются острыми углами (меньше 90 градусов).
Эти свойства прямоугольного треугольника помогают нам решать задачи, находить неизвестные значения сторон и углов, а также применять его в реальной жизни для измерений и построений.
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора – это одна из основных теорем в геометрии, которая устанавливает связь между длинами сторон прямоугольного треугольника.
Формулировка теоремы
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Математическая запись
Если a и b – длины катетов, а c – длина гипотенузы, то теорема Пифагора записывается следующим образом:
Пример
Допустим, у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами a = 3 и b = 4. Мы хотим найти длину гипотенузы c.
Используя теорему Пифагора, мы можем записать:
Теперь мы можем найти квадратный корень от обеих сторон, чтобы найти длину гипотенузы:
Таким образом, длина гипотенузы равна 5.
Теорема Пифагора имеет множество применений в геометрии, физике и других науках. Она позволяет нам находить неизвестные стороны и углы прямоугольных треугольников, а также использовать их в реальной жизни для измерений и построений.
Способы определения прямоугольного треугольника
Теорема Пифагора
Одним из способов определения прямоугольного треугольника является использование Теоремы Пифагора. Согласно этой теореме, в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Теорема Пифагора формулируется следующим образом:
В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c выполняется равенство:
Если известны длины двух сторон треугольника, мы можем использовать эту теорему, чтобы определить, является ли треугольник прямоугольным.
Свойства прямоугольного треугольника
Еще одним способом определения прямоугольного треугольника является использование его свойств. Прямоугольный треугольник имеет следующие характеристики:
- Угол между катетами равен 90 градусам.
- Длина гипотенузы больше длины каждого из катетов.
- Сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
Если треугольник удовлетворяет этим свойствам, то он является прямоугольным.
Использование углов
Третий способ определения прямоугольного треугольника – использование известных углов. Если в треугольнике есть прямой угол (90 градусов), то треугольник является прямоугольным.
Можно использовать инструменты, такие как угломер или геометрический компас, чтобы измерить углы треугольника и определить, является ли он прямоугольным.
Эти способы позволяют нам определить, является ли треугольник прямоугольным, и использовать его свойства для решения задач и применения в реальной жизни.
Примеры применения прямоугольных треугольников в реальной жизни
Строительство и архитектура
Прямоугольные треугольники широко используются в строительстве и архитектуре. Они помогают определить и измерить углы зданий, стен и крыш. Например, при строительстве крыши дома, прямоугольный треугольник используется для определения угла наклона крыши и расчета длины ее ската.
Геодезия и навигация
Прямоугольные треугольники также используются в геодезии и навигации. Они помогают определить расстояния и направления между точками на земле. Например, при проведении геодезических измерений, прямоугольные треугольники используются для определения высоты объектов и расчета расстояний между ними.
Инженерия и конструкция
В инженерии и конструкции прямоугольные треугольники используются для расчета сил и напряжений в различных конструкциях. Например, при проектировании мостов или зданий, прямоугольные треугольники используются для определения углов наклона опор и расчета необходимой прочности материалов.
Картография и география
Прямоугольные треугольники играют важную роль в картографии и географии. Они используются для создания карт и определения координат точек на земле. Например, при составлении карты местности, прямоугольные треугольники используются для определения широты и долготы точек и создания сетки координат.
Технические измерения
Прямоугольные треугольники также используются в технических измерениях. Они помогают определить расстояния, высоты и углы в различных технических процессах. Например, при измерении высоты здания или длины трубопровода, прямоугольные треугольники используются для точных и надежных измерений.
Это лишь некоторые примеры применения прямоугольных треугольников в реальной жизни. Их универсальность и простота использования делают их неотъемлемой частью различных областей науки и практики.
Таблица сравнения свойств прямоугольных треугольников
Свойство | Определение | Пример |
---|---|---|
Прямой угол | Угол, равный 90 градусам | Угол ABC в треугольнике ABC |
Гипотенуза | Самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу | Сторона AB в треугольнике ABC |
Катеты | Две стороны прямоугольного треугольника, прилегающие к прямому углу | Стороны AC и BC в треугольнике ABC |
Теорема Пифагора | В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов | В треугольнике ABC: AB^2 = AC^2 + BC^2 |
Способы определения | 1. По наличию прямого угла 2. По теореме Пифагора 3. По соотношению длин сторон |
1. Угол ABC равен 90 градусам 2. AB^2 = AC^2 + BC^2 3. AC = 3, BC = 4, AB = 5 |
Примеры применения | 1. Построение прямых углов 2. Расчет длин сторон треугольников 3. Использование в геодезии и архитектуре |
1. Построение перпендикуляров 2. Расчет длины забора вокруг прямоугольного участка 3. Построение прямоугольных фундаментов |
Заключение
Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов равен 90 градусам. Он имеет ряд свойств, таких как теорема Пифагора, которая устанавливает соотношение между длинами его сторон. Прямоугольные треугольники могут быть определены различными способами, например, по длинам сторон или по значениям углов. Они также имеют множество применений в реальной жизни, например, в архитектуре, инженерии и геодезии. Изучение прямоугольных треугольников поможет вам лучше понять геометрию и применять ее в практических задачах.
Прямоугольные треугольники: основные свойства и применение в геометрии обновлено: 12 сентября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру
Прямоугольный треугольник
Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, – гипотенузой.
Для прямоугольного треугольника справедливы следующие утверждения:
- Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна :