В чем состоит принцип перестановочной двойственности уравнений максвелла

Основы теоретической физики/Первая пара уравнений Максвелла

2.4.5. Первая пара уравнений Максвелла править

Экспериментально доказанную связь электрических и магнитных полей, впервые удалось математически описать во второй половине XIX века британскому ученому Джеймсу Максвеллу. При выводе своих уравнений Максвелл пользовался гипотезой о существовании «светоносного эфира» — некоторой всепроникающей среды, колебания которой проявляют себя как электромагнитные волны. Общие формулы теории относительности позволяют получить уравнения Максвелла, не прибегая к дополнительным гипотезам.

Из определений (2.4.17) и (2.4.18) можно полностью исключить потенциал поля так, чтобы остались только напряженности:

U n d e f i n e d f o r m u l a формулы (2.4.33)

Полученные уравнения дают связь между напряженностями электрического и магнитного поля, это и есть «уравнения Максвелла». Эти уравнения можно записать в интегральной форме если воспользоваться теоремой Гаусса и теоремой Стокса:

1. По теореме Гаусса, от интеграла по объему V можно перейти к интегралу по замкнутой поверхности f, охватывающей этот объем:

U n d e f i n e d f o r m u l a формулы (2.4.34)

Интеграл вектора по поверхности называется «потоком». Подставив (2.4.33) в (2.4.34) , получим:

U n d e f i n e d f o r m u l a формулы (2.4.35)

Таким образом, поток магнитного поля через замкнутую поверхность равен нулю.

2. По теореме Стокса, от интеграла по поверхности можно перейти к интегралу по замкнутому контуру:

U n d e f i n e d f o r m u l a формулы (2.4.36)

Интеграл вектора по контуру называется «циркуляцией». Циркуляция вектора напряженности электрического поля называется «электродвижущей силой» или сокращенно «ЭДС». Подставив (2.4.33) в (2.4.36) , получим:

U n d e f i n e d f o r m u l a формулы (2.4.37)

То есть, ЭДС в замкнутом контуре равна взятой с обратным знаком производной по времени от потока магнитного поля через поверхность, ограниченную этим контуром.

Иногда бывает удобно записывать уравнения Максвелла в четырехмерном виде. Этот вид записи можно получить из определения тензора электромагнитного поля:

Принцип перестановочной двойственности уравнений Максвелла

khokku.ru

Уравнения Максвелла являются основой электродинамики и описывают электромагнитные явления в природе. Они состоят из четырех уравнений, которые связывают электрическое и магнитное поля, заряды и токи.

Однако, уравнения Максвелла можно рассматривать не только с физической точки зрения, но и с математической. Именно такой подход позволяет увидеть перестановочную двойственность уравнений Максвелла.

Перестановочная двойственность заключается в том, что каждому уравнению Максвелла можно сопоставить другое уравнение, полученное перестановкой электрического и магнитного поля. Так, электрическое поле в одном уравнении может стать магнитным полем в другом уравнении, и наоборот.

Эта перестановочная двойственность уравнений Максвелла имеет глубокие математические корни и позволяет существенно упростить решение системы уравнений. Более того, она позволяет получить новые законы природы и обнаруживать связи между различными физическими явлениями.

Важность уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла играют ключевую роль в физике и имеют большое значение для понимания электромагнитных явлений. Они описывают основные законы, которым подчиняются электрические и магнитные поля, а также взаимодействие этих полей с заряженными частицами.

Важность уравнений Максвелла проявляется в следующих аспектах:

Описание электромагнитных явлений: Уравнения Максвелла позволяют описывать и предсказывать поведение электромагнитных полей в различных ситуациях. Они объясняют явления, такие как электромагнитная индукция, электромагнитная волна, распространение света и другие.
Единая теория поля: Уравнения Максвелла синтезируют электромагнетизм и оптику, объединяя их в единую теорию поля. Эта теория позволяет объяснить, как электрические и магнитные поля взаимодействуют друг с другом, и предсказать различные физические явления.
Основа для развития технологий: Уравнения Максвелла основа для развития технологий, связанных с электромагнетизмом, таких как электрический ток, радиоволны, микроволны, оптические волны, радары, сотовая связь, телевидение и многое другое. Без понимания этих уравнений и их применения трудно представить себе современный мир и его технологические достижения.

Кроме того, уравнения Максвелла также являются важными для фундаментальной науки, так как они лежат в основе теории электромагнитного поля и могут быть использованы для исследования физических законов и принципов, связанных с электромагнетизмом.

Основные принципы

Перестановочная двойственность является глубоким математическим принципом, связанным с уравнениями Максвелла в области электродинамики. Она устанавливает взаимосвязь между двумя наборами уравнений Максвелла, называемыми прямыми и двойственными уравнениями.

Принцип перестановочной двойственности утверждает, что любое уравнение Максвелла можно перейти в его двойственное уравнение путем замены некоторых электрических векторов на магнитные, и наоборот. Это означает, что электромагнитные явления можно описывать как с помощью электрических, так и с помощью магнитных полей.

Принцип перестановочной двойственности имеет глубокие физические и математические причины. Он основывается на понятии двойственности, которая играет важную роль в различных областях науки и математики.

Основной идеей перестановочной двойственности является тот факт, что уравнения Максвелла содержат два независимых набора переменных — электрические и магнитные поля. Путем перестановки этих полей в уравнениях Максвелла получаются два независимых набора уравнений, которые описывают одни и те же физические явления.

Перестановочная двойственность нашла широкое применение в различных областях физики, включая электродинамику, оптику и квантовую механику. Она позволяет получать новые физические выводы и представлять физические явления в неожиданных формах.

Понятие перестановочной двойственности

Перестановочная двойственность — это концепция, которая является одной из основных идей в теории электромагнетизма. Она предлагает новый способ описания электромагнитных полей и связанных с ними величин.

В классическом подходе к электромагнетизму, уравнения Максвелла используются для описания поведения электрических и магнитных полей. Вместе с уравнениями Максвелла, принятыми граничными условиями, они образуют закономерность, известную как уравнения Максвелла. Эти уравнения играют ключевую роль в понимании электромагнитных явлений.

Однако, исследователи заметили, что уравнения Максвелла могут быть переписаны в другой форме, которая называется перестановочной двойственностью. Это означает, что электрические и магнитные поля могут быть представлены как взаимосвязанные величины, и уравнения Максвелла могут быть записаны в математической форме с использованием только одного типа поля.

Ключевая идея перестановочной двойственности заключается в том, что электрические и магнитные поля могут быть рассмотрены как две стороны одной и той же медали. Согласно этой концепции, электрическое поле и связанные с ним электрические заряды являются взаимозависимыми исключительно с магнитным полем, а магнитное поле и связанные с ним магнитные заряды взаимозависимы исключительно с электрическим полем.

Таким образом, перестановочная двойственность предлагает новый взгляд на электромагнетизм, который может быть полезен для упрощения математических выкладок и понимания взаимосвязи между электрическими и магнитными полями.

Определение

Перестановочная двойственность уравнений Максвелла – это принцип, связывающий электрические и магнитные поля в уравнениях Максвелла. Он устанавливает, что если известны электрические поля в некоторой области пространства, то существуют магнитные поля, которые могут быть вычислены на основе этих электрических полей, и наоборот.

В основе перестановочной двойственности лежит математическое преобразование, называемое двойственной операцией. Двойственная операция переводит векторное поле в его двойственное векторное поле. Двойственная операция является линейной и сопряженной.

Перестановочная двойственность уравнений Максвелла заключается в том, что если записать электромагнитные уравнения Максвелла в их исходной форме, а затем применить двойственную операцию к каждому уравнению, то полученная система уравнений также будет описывать электромагнитные поля. Этот принцип позволяет устанавливать взаимосвязь между электрическими и магнитными полями и использовать их в различных решениях и применениях.

Примеры

Ниже приведены несколько примеров, иллюстрирующих принцип перестановочной двойственности уравнений Максвелла.

Пример 1: Закон Фарадея и закон Ампера

Закон Фарадея утверждает, что электромагнитная индукция в проводнике пропорциональна изменению магнитного потока через этот проводник. Закон Ампера, с другой стороны, устанавливает, что интеграл от магнитного поля вдоль замкнутого контура равен сумме токов, протекающих через этот контур.

Переставив компоненты, можно получить следующую перестановочную двойственность:

Закон Фарадея — интеграл от электрического поля вдоль замкнутого контура равен изменению электромагнитного потока через этот контур.
Закон Ампера — электромагнитная индукция в проводнике пропорциональна интегралу от электрического поля вдоль этого проводника.

Пример 2: Закон Гаусса для электрического и магнитного поля

Закон Гаусса для электрического поля утверждает, что поток электрического поля через замкнутую поверхность равен заряду, заключенному внутри этой поверхности, деленному на электрическую постоянную. Закон Гаусса для магнитного поля устанавливает, что поток магнитного поля через замкнутую поверхность равен нулю.

С помощью перестановочной двойственности можно получить следующую перестановочную двойственность:

Закон Гаусса для электрического поля — поток магнитного поля через замкнутую поверхность равен нулю.
Закон Гаусса для магнитного поля — поток электрического поля через замкнутую поверхность равен заряду, заключенному внутри этой поверхности, деленному на электрическую постоянную.

Пример 3: Закон Био-Савара-Лапласа и закон Кулона

Закон Био-Савара-Лапласа устанавливает, что магнитное поле, создаваемое током в проводнике, пропорционально величине тока и обратно пропорционально расстоянию до проводника. Закон Кулона утверждает, что сила взаимодействия между двумя точечными зарядами пропорциональна величине зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Переставив компоненты, можно получить следующую перестановочную двойственность:

Закон Био-Савара-Лапласа — сила взаимодействия между двумя точечными зарядами пропорциональна величине зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Закон Кулона — магнитное поле, создаваемое током в проводнике, пропорционально величине тока и обратно пропорционально расстоянию до проводника.

Принцип перестановочной двойственности

Принцип перестановочной двойственности является важным свойством уравнений Максвелла и устанавливает взаимосвязь между электромагнитными полями и электрическими и магнитными зарядами.

Согласно этому принципу, существует связь между уравнениями Максвелла, полученными из уравнений Максвелла с использованием операции дуальности. Данная операция меняет электрическое поле на магнитное и магнитное — на электрическое. В результате перестановки можно получить новые уравнения Максвелла, которые будут описывать полностью аналогичные физические процессы, но с другими переменными.

Таким образом, если мы заменим электрическое поле на магнитное и магнитное — на электрическое в уравнениях Максвелла, то эти уравнения будут описывать ту же самую физическую систему. То есть, если у нас есть уравнение, описывающее распространение электромагнитных волн, посредством применения принципа перестановочной двойственности мы можем получить другое уравнение, описывающее аналогичный процесс, но с обращенными полями.

Вопрос-ответ

Что такое перестановочная двойственность уравнений Максвелла?

Перестановочная двойственность уравнений Максвелла — это свойство системы уравнений Максвелла в электродинамике, которое означает, что при замене электрического поля на магнитное и магнитного поля на электрическое, уравнения остаются справедливыми. Это связано с тем, что электрические и магнитные поля являются двойственными аспектами одной и той же физической величины — электромагнитного поля.

Какой принцип лежит в основе перестановочной двойственности уравнений Максвелла?

Принцип перестановочной двойственности уравнений Максвелла заключается в том, что электродинамические явления, описываемые этими уравнениями, не зависят от выбора системы координат и относительного положения измерительных приборов. Иными словами, если мы меняем электрическое поле на магнитное и магнитное поле на электрическое, то физические явления, воспроизводимые уравнениями Максвелла, остаются неизменными. Это показывает глубокую симметрию между электрическими и магнитными полями.

Какая сущность перестановочной двойственности уравнений Максвелла?

Сущность перестановочной двойственности уравнений Максвелла заключается в том, что она подтверждает фундаментальное единство электромагнитных явлений. Перестановочная двойственность говорит о том, что электрические и магнитные поля являются двумя сторонами одной и той же медали и сутью электромагнетизма является их взаимодействие и взаимная замена. Это принципиальное свойство позволяет нам лучше понять и описывать различные электромагнитные явления и использовать их в практических приложениях.

Уравнения Максвелла

Система уравнений Максвелла – это, пожалуй, основа электродинамики. Она описывает электромагнитное поле как единое целое, составленное электрическим и магнитным полем. Первое создается вокруг заряженной частицы, движущиеся заряженные частицы (как, например, в токопроводящем проводнике) дают рождение магнитному поле. В то же время магнитное поле воздействует на электрические заряды, находящиеся в движении, и даже тела.

Электрическое поле переносится электроном, а вот носителем магнитного поля является фотон.

Любые ЭМ-волны – микроволны, инфракрасные волны, рентгеновское излучение и даже видимый свет – это всё электромагнитные поля.

Уравнения Максвелла изначально были представлены в дифференциальном виде – для непрерывной среды. Однако в реальности приходится иметь дело с «разрывами» – к примеру, когда среда состоит из разных материалов, и её свойства в какой-то точке резко изменяются.

Первое уравнение Максвелла

Первое из уравнений Максвелла (его также называют законом Гаусса) имеет вид:

– это электрическая индукция. Её поток протекает через поверхность S, внутри которой в неком объеме заключен электрический заряд Q. Поток электрической индукции через эту поверхность пропорционален заряду внутри объема. Формула говорит нам о том, что электрическое поле «вытекает» из заряда. А электрическая индукция, по сути, характеризирует, насколько напряженное это поле, насколько сильно оно влияет на окружающие объекты.

Уравнения Максвелла

Второе уравнение Максвелла

Следующий закон Максвелла напоминает первый (это тоже гауссов закон), но предназначен для магнитного поля:

— это тоже индукция, но уже электромагнитная. Мы видим, что через замкнутую поверхность её поток нулевой – а это значит, что внутри поверхности нет источников магнитного заряда. Их нет в природе. Одиночные электрические заряды (электроны, позитроны, протоны) в природе существуют, а вот магнитных зарядов с разными полярностями не бывает.

Третье уравнение Максвелла

Третий закон Максвелла еще называют законом индукции Фарадея:

$\oint_{l}\overline{E}\cdot dl=- \frac{d}{dt} \int_{s}\overline{B}\cdot ds$

– это напряженность электрического поля, циркулирующего по контуру l. l – это граница поверхности s, сквозь которую проходит поток — магнитной индукции. В этом уравнении заложен принцип работы генератора: чем быстрее и сильнее изменяется магнитное поле (например, магнит вращается внутри катушки), тем быстрее раскручивается электрическое поле на границе контура (в случае с генератором – на обмотке индуцируется электрический ток).

Четвертое уравнение Максвелла

Четвертый закон Максвелла:

$\oint_{l}\overline{H}\cdot dl=I+ \frac{d}{dt} \int_{s}\overline{D}\cdot ds$

Здесь мы видим, как рождается магнитное поле. Если сквозь поверхность протекает электрический ток I и проходит поток электрической индукции, то по границе поверхности будет циркулировать магнитное поле напряженностью — и его циркуляция будет пропорциональна их сумма.

Уравнения Максвелла применяются не только в электротехнике (генераторы и трансформаторы, электрические машины и схемы) – они стали толчком для открытия радиоволн, а чуть позже – толчком для создания теории относительности.

Примеры решения задач

$\oint_{l}\overline{H}\cdot dl=I+ \frac{d}{dt} \int_{s}\overline{D}\cdot ds$

Применим к его левой части теорему Стокса:

$\oint_{l}\overline{H}\cdot dl =\iint \nolimits_{S}rot \overline{H}dS =\iint \nolimits_{S}\nabla \times \overline{H}dS$

Тогда уравнение примет вид:

$\iint \nolimits_{S}\nabla \times \overline{H}dS =I+\frac{d}{dt} \int_{s}\overline{D}\cdot ds$

Выделив подынтегральные выражения, получим:

Возьмем дивергенцию от обеих частей:

$\nabla (\nabla \times \overline{H})=\nabla (j+\frac{\partial \overline{D}}{\partial t} )$

$0=\nabla j+\frac{\partial \nabla \overline{D}}{\partial t} =\nabla j+\frac{\partial \rho}{\partial t}$

Примеры решения уравнений Максвелла

Задание	Как, зная интегральные уравнения Максвелла, получить их в дифференциальной форме?
Решение	1) Первое уравнение Максвелла имеет вид:

Применим к его левой части теорему Остроградского-Гаусса:

$\oint_{s}\overline{D}\cdot ds= \iiint \nolimits_{V}div \overline{D} dV$

А так как полный электрический заряд равен интегралу от его плотности по объему, закон Максвелла примет вид:

$\iiint \nolimits_{V}div \overline{D} dV= \iiint \nolimits_{V}\rho dV$

$\iiint \nolimits_{V}(div \overline{D} -\rho )dV=0$

2) Применим теорему Остроградского ко второму закону Максвелла:

$\oint_{s}\overline{B}\cdot ds= \iiint \nolimits_{V}div \overline{B} dV=0$

$\iiint \nolimits_{V}div \overline{B} dV =0$

3) Применим теорему Стокса к третьему закону Максвелла, преобразуем его левую часть:

$\oint_{l}\overline{E}\cdot dl=- \frac{d}{dt} \int_{s}\overline{B}\cdot ds$

$\oint_{l}\overline{E}\cdot dl= \iint \nolimits_{S}rot \overline{E}ds$

Тогда перепишем уравнение в виде:

$\iint \nolimits_{S}(rot \overline{E}+\frac{\partial \overline{B}}{\partial t} )ds =0$

Откуда, в силу произвольности интегрирования:

4) Применяя теорему Стокса, преобразуем левую часть четвертого уравнения Максвелла:

$\oint_{l}\overline{H}\cdot dl =\iint \nolimits_{S}rot \overline{H}dS$

Тогда всё уравнение перепишем в виде:

Принцип перестановочной двойственности уравнений максвелла

О чем говорят уравнения Максвелла? Видео 1/2

Предположим, что известен электромагнитный процесс, описываемый следующими уравнениями Максвелла:

Обращает на себя внимание симметрия этих двух уравнений. Действительно, уравнения переходят одно в другое при замене вида

Последние соотношения являются математическим выражением принципа перестановочной двойственности для электромагнитного поля, обоснованного впервые А. А. Пистолькорсом в 1944 г.

Физическое содержание этого принципа заключается в следующем. Если известно полное решение какой-либо электромагнитной задачи, то простая перестановка позволяет автоматически получить решение двойственной (дуальной) задачи, в которой конфигурация линий электрического поля повторяет аналогичную конфигурацию линий магнитного поля в исходном электромагнитном процессе и наоборот. При этом, поскольку в результате перестановки уравнения Максвелла не меняют своего вида, двойственный электромагнитный процесс действительно существует.

Естественно считать, что исходное электромагнитное поле возбуждается сторонними электрическими токами. В этом случае можно полагать, что двойственный процесс возбуждается сторонними магнитными токами, как это было показано в предыдущем разделе. Однако для сохранения симметрии уравнений Максвелла плотность стороннего магнитного тока должна быть введена во второе уравнение с обратным знаком. Таким образом, получаем систему уравнений Максвелла с учетом сторонних магнитных токов:

Дополнительное перестановочное соотношение для плотностей сторонник токов приобретает вид

Видео: Билеты №32, 33 «Уравнения Максвелла» Скачать

Билеты №32, 33

Магнитные токи. Магнитные заряды (определение, назначение). Уравнения Максвелла с учетом магнитных токов и зарядов. Принцип перестановочной двойственности

Магнитный ток— это два течения, одно течение сформировано единичными магнитами северного полюса другое магнитами южного полюса , и они создают один встречно-текущий закрученный подобно винту поток, обладающий высокой скоростью. Одно течение, если это будет течение магнитов северного полюса или течение магнита южного полюса, не может существовать отдельно. Чтобы сформировать поток, одно течение должно двигаться встречно другому.

Существуют магнитные заряды — монополи – квазичастицы, несущие на себе только положительный или только отрицательный магнитный заряд. Они не связаны в пары и могут передвигаться по отдельности. Магнитный заряд является источником статического магнитного поля совершенно так же, как электрический заряд является источником статического электрического поля. Магнитный монополь — гипотетическая элементарная частица, обладающая ненулевым магнитным зарядом — точечный источник радиального магнитного поля. Магнитный монополь можно представлять как отдельно взятый полюс длинного и тонкого постоянного магнита. Однако у всех известных магнитов всегда два полюса, то есть он является диполем. Если разрезать магнит на две части, то у каждой его части по-прежнему будет два полюса. Все известные элементарные частицы, обладающие электромагнитным полем, являются магнитными диполями.

Уравнения Максвелла — система дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах.

Принцип перестановочной двойственности- инвариантность однородной системы Максвелла уравнений относительно замены , , , , где -соответственно напряжённости и индукции электрич. и магн. полей. Отсюда вытекает правило замены для электрич. Принцип перестановочной двойственности уравнений максвелла и магн. поляризаций: , а также для диэлектрич. и магн. проницаемостей: . При наличии источников возникает асимметрия Д. п. п., связанная с тем, что электрич. зарядам Принцип перестановочной двойственности уравнений максвелла и токам сопоставляются нек-рые эфф. магн. заряды и токи : . Поскольку, однако, магн. монополи в природе не обнаружены, соответствующие магн. источники вводятся как совокупность магн. диполей, реализуемых с помощью кольцевых электрич. токов. Д. п. п. позволяет исходя из одного решения ур-ний Максвелла получать другое, минуя обращение к самим ур-ниям. Напр., по известному полю переменного во времени электрич. диполя в однородной среде получается поле магн. диполя (рамки с током); по известным Френеля формулам для одной поляризации падающей волны — аналогичные ф-лы для др. поляризации и т. п. Д. п. п. органически связан с дуальностью тензоров эл—магн. поля в четырёхмерном Минковского пространстве-времени, поэтому иногда его наз. принципом дуальности. В теории дифракции Д. п. п. устанавливает связь между эл—магн. полями, дифрагировавшими на отверстии S, прорезанном в бесконечно тонком идеально проводящем плоском экране, и на плоской пластине, совпадающей по форме с отверстием S. В этом случае его часто наз. обобщённым принципом Бабине (см. Бабине теорема)или просто принципом двойственности. Принцип двойственности позволил, в частности, развить теорию т. н. плоских дифракц. излучателей, в т. ч. узких щелей в плоском экране, эквивалентных тонкому электрич. вибратору. Получаем используя принцип:

Видео: Физика. Лекция 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны. Скачать

Физика. Лекция 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны.

Лабораторная работа № ВИ-104 Элементарные излучатели

Принцип перестановочной двойственности уравнений максвелла

К КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА

Институт радиоэлектроники и телекоммуникаций

Лаборатория «Электродинамика и распространение радиоволн»

Лабораторная работа № ВИ-104

Целью работы является изучение элементарных излучателей электромагнитного поля и исследование их свойств с помощью виртуальной лабораторной установки.

2. Подготовка к работе.

Перед выполнением работы необходимо изучить соответствующий лекционный материал, настоящее описание и, при необходимости, рекомендованную литературу [1, с.206-220; 2, с.126-136; 3, с.163-181; 4, с.106-129; 5, с.137-166].

3. Краткие теоретические сведения.

Устройство, предназначенное для излучения электромагнитных волн, называют излучателем или передающей антенной. Любую антенну можно представить в виде совокупности простейших элементарных излучателей. Различают элементарный электрический излучатель, элементарный магнитный излучатель и элемент Гюйгенса – элементарный поверхностный излучатель.

Элементарный электрический излучатель

Элементарным электрическим излучателем называют элемент электрического линейного гармонического тока, для которого известно, что: во-первых, его длина весьма мала по сравнению с длиной волны и, во-вторых, в каждый момент времени ток имеет одно и то же значение вдоль всего элемента.

Пусть ось направлена вдоль элементарного электрического излучателя, который занимает интервал Мгновенные значения тока излучателя от координаты не зависят, т. е.

Поскольку этот ток изменяет свое значение только в точках: и , то согласно закону сохранения заряда в этих точках должны существовать сосредоточенные электрические заряды, связанные с током (1) соотношениями:

и, следовательно, равные друг другу по величине и противоположные по знаку:

Элементарный электрический излучатель со строго неизменным вдоль его длины током практически неосуществим и представляет собой идеализированную излучающую систему, удобную для теоретического, анализа.

Пусть в однородной среде без потерь с параметрами и расположен элементарный электрический излучатель с известным током .

Комплексные амплитуды векторов поля этого излучателя определим через векторный потенциал.

Если поместить начало координат O в центре элементарного излучателя (рис.1) и обозначить расстояние r между точкой наблюдения и текущей точкой излучателя , то, учитывая, что и для элементарного излучателя , имеем векторный электрический потенциал в виде:

Рис.1. Элементарный электрический излучатель

Из (4) следует, что векторный потенциал элементарного электрического излучателя направлен в точке наблюдения параллельно его оси и зависит только от расстояния R, представляющего собой радиальную координату точки наблюдения в сферической системе координат, начало которой совмещено с центром излучателя. Поэтому дальнейшие преобразования целесообразно проводить в сферической системе, направление полярной оси которой совпадает с током излучателя (рис.2).

В точке наблюдения M орт-вектор разложим в сферической системе координат по двум взаимно перпендикулярным направлениям ( рис. 2):

Рис.2. Сферическая система координат

Тогда векторный электрический потенциал имеет в точке M следующие составляющие:

Векторный электрический потенциал определяет напряжённость магнитного поля

Для определения напряжённости электрического поля воспользуемся первым уравнением Максвелла:

Электромагнитное поле (8), (10) – (12) не зависит от азимутального угла , что является следствием осевой симметрии излучателя. Зависимость поля от координаты R точки наблюдения позволяет разбить окружающее излучатель пространство на три зоны — ближнюю, промежуточную и дальнюю. В ближней и дальней зоне справедливы более простые, но приближенные формулы для составляющих векторов поля. В промежуточной зоне, переходной между ближней и дальней зоной и характеризуемой условием , должны учитываться все слагаемые в (8), (10) – (12), так как они имеют один порядок.

Поле в ближней зоне

Ближняя зона, или зона индукции, характеризуется такими расстояниями R точки наблюдения от излучателя, для которых . Конечно, одновременно R должно удовлетворять и условию , при котором были получены исходные формулы (8), (10) – (12). Оставив в каждой из этих формул лишь один член, содержащий в высшей степени, и используя справедливое при приближенное соотношение , имеем:

Учитывая, что и переходя от (13) к мгновенным значениям, получаем:

В ближней зоне векторы поля в точке наблюдения в момент времени t определяются значениями тока в этот же момент времени. Таким образом, ближняя зона представляет собой область квазистационарного поля. Использованное нами приближенное соотношение и привело к пренебрежению временем запаздывания.

Вектор Пойнтинга в ближней зоне имеет две составляющие:

Компоненты напряженности электрического поля (14), (15) отстают по фазе от напряженности магнитного поля (16) на . Вследствие этого, обе составляющие вектора Пойнтинга изменяются во времени по закону , принимая как положительные, так и отрицательные мгновенные значения. При этом средние значения составляющих вектора Пойнтинга за период T равны нулю. Это означает, что движение энергии ближнего поля имеет колебательный характер — в течение четверти периода T энергия течет в одном направлении (положительные значения и ), в течение следующей четверти периода энергия течет в противоположном направлении, возвращается обратно (отрицательные значения и ). Таким образом, ближнее электромагнитное поле не участвует в процессе излучения. Электромагнитные волны, которые уносят с собой от излучателя энергию, существуют и в ближней зоне, но здесь их поля весьма малы по сравнению с рассмотренными выше полями.

Поле в дальней зоне

Дальняя зона характеризуется такими расстояниями R точки наблюдения от излучателя, для которых . Удерживая при этом в (8), (10) – (12) члены, содержащие в первой степени, имеем только две отличные от нуля составляющие поля:

где — характеристическое сопротивление среды.

Перейдя к мгновенным значениям, имеем:

Согласно (20), (21) в среде без потерь векторы и в любой точке дальней зоны имеют одинаковую фазу, в которую время t и расстояние R входят в виде линейной комбинации , где м/с. Уравнение постоянных значений фазы имеет вид:

Подставив в (22) два последовательных момента времени и , получим , откуда . Это означает, что с увеличением времени t постоянное значение фазы поля распространяется в направлении возрастающих значений R ее скоростью v. Таким образом, в дальней зоне распространяется электромагнитная волна в радиальных направлениях. Фаза постоянна при , значит поверхность равных фаз (фазовый фронт) – сфера. Скорость v движения точек с постоянной фазой называют фазовой скоростью.

Вектор направлен по касательной к дуге меридиана, — по касательной к дуге параллели, причем вектора поля и направление распространения волны взаимно перпендикулярны и образуют правую ортогональную тройку векторов (рис.3).

Рис.3. Вектора поля излучения элементарного электрического излучателя

При этом мгновенные значения векторов связаны между собой соотношениями:

Вектор Пойнтинга в дальней зоне имеет только одну радиальную составляющую:

Причем ее мгновенное значение всегда оказывается положительным вследствие того, что векторы поля имеют одинаковую фазу колебаний. Это означает, что энергия движется в направлении радиусов только от излучателя. Она не возвращается обратно к излучателю и представляет собой энергию излученной электромагнитной волны.

Это поле называют полем излучения, а дальнюю зону называют также зоной излучения или волновой зоной.

Рассмотрим зависимость амплитуд векторов поля излучения от сферических координат точки наблюдения. Согласно (20), (21) амплитуды векторов поля изменяются обратно пропорционально первой степени расстояния R, то есть значительно медленнее, чем в ближней зоне. Убывание по закону величин векторов поля сферических бегущих волн является следствием закона сохранения энергии для среды без потерь.

Входящая в выражения для амплитуд векторов поля излучения антенны функция угловых сферических координат , определяющая их зависимость от направления на точку наблюдения, носит название амплитудной характеристики направленности. Графическое изображение характеристики направленности называют диаграммой направленности.

Согласно (20), (21) характеристика направленности элементарного электрического излучателя . Она не зависит от азимутального угла вследствие осевой симметрии излучателя. Поле излучения максимально в экваториальной плоскости и равно нулю вдоль оси излучателя . В плоскости, которая проходит через ось излучателя, характеристика направленности, построенная в полярной системе координат, изображена на рис.4а. (Уравнение в полярных координатах представляет собой две соприкасающиеся окружности). Пространственная характеристика направленности есть тор, образованный вращением фигуры рис.4а вокруг вертикальной оси (рис.4б).

Рис.4. Характеристика направленности элементарного электрического излучателя

Элементарный магнитный излучатель

Если в некотором объеме известна напряженность стороннего магнитного поля , то она вводится во второе уравнение Максвелла:

В этом случае первичное возбуждение электромагнитного поля вызывается известной в каждой точке объема величиной:

которую по аналогии с плотностью стороннего электрического тока называют плотностью стороннего магнитного тока.

Напомним, что в природе не существует магнитных зарядов и магнитного тока, представляющего собой упорядоченное движение этих зарядов. Поэтому формулу (26) следует рассматривать как результат формального введения в теорию фиктивных магнитных зарядов и обусловленных ими фиктивных магнитных токов, благодаря которому приобретается удобство в описании магнитных полей.

Если монохроматическое поле обусловлено электрическими токами и фиктивными магнитными токами, то оно удовлетворяет симметричным уравнениям Максвелла следующего вида:

Из симметрии соотношений (27), (28) следует, что при известном решении задачи при заданных сторонних электрических токах , решение задачи при заданных сторонних магнитных токах получим, осуществив в известном решении перестановки:

Конечно, это возможно только в том случае, если в обеих задачах одинакова форма поверхности , на которой заданы граничные условия, и если перестановка (29) преобразует граничные условия исходной задачи в граничные условия новой задачи.

Этот прием называют принципом перестановочной двойственности уравнений Максвелла. Этот принцип широко используется при решении различных задач и имеет большое практическое значение.

Элементарным магнитным излучателем называют элемент фиктивного магнитного линейного гармонического тока, для которого известно, что: во-первых, его длина весьма мала по сравнению с длиной волны и, во-вторых, в каждый момент времени ток имеет одно и то же значение вдоль всего элемента.

Поле, которое создает элементарный магнитный излучатель в безграничной однородной среде без потерь, проще всего найти с помощью принципа перестановочной двойственности, позволяющего сразу перейти от известного нам поля элементарного электрического излуча, (21) к искомому полю:

По своей структуре формулы (30), (31) аналогичны (20), (21). Поэтому отмеченные выше особенности поля излучения электрического излучателя полностью присущи и полю излучения элементарного магнитного излучателя. Поверхностью равных фаз является сфера, вектора поля лежат по касательной к ней, они взаимно ортогональны и пропорциональны по величине, сохраняется форма диаграммы направленности. Различие между полями электрического и магнитного элементарных излучателей состоит в разной ориентировке в пространстве векторов (рис.5.42).

Рис.5. Вектора поля излучения элементарного магнитного излучателя

Простейшей физически осуществимой моделью элементарного магнитного излучателя является плоская проводящая рамка (одиночный виток провода) с электрическим током, периметр которой весьма мал по сравнению с длиной волны создаваемого ею поля. Такой излучатель называют элементарной электрической рамкой. Эквивалентный такой рамке фиктивный элементарный магнитный излучатель ориентирован перпендикулярно плоскости рамки. Следовательно, при расположении элементарного магнитного излучателя в центре сферической системы координат вдоль полярной оси элементарная электрическая рамка должна лежать в экваториальной плоскости .

Элемент Гюйгенса

Элементом Гюйгенса называют элемент волновой поверхности бегущей волны, линейные размеры которого много меньше , который поэтому можно считать плоским и в пределах которого касательные составляющие и поля сохраняют постоянные значения.

Совместим начало декартовой системы координат с центром прямоугольного элемента Гюйгенса, стороны и площадь которого равны , и , в пределах которого параллельна оси , — оси (рис.6).

Рис.6. Элемент Гюйгенса

При определении поля элемента Гюйгенса в полупространстве можно, в соответствии с теоремой эквивалентности, заменить касательные составляющие , плотностями поверхностных эквивалентных токов , и найти комплексные амплитуды эквивалентных сторонних электрического и магнитного токов, которые на равны соответственно:

Элемент электрического тока длиной и элемент магнитного тока длиной можно рассматривать как эквивалентные элементарные электрический и магнитный излучатели. Таким образом, элемент Гюйгенса можно представить совокупностью взаимно перпендикулярных элементарных электрического и магнитного излучателей.

Определим поле элемента Гюйгенса в дальней зоне, т. е. на расстояниях , для которых выполняется условие . Это поле проще всего найти суммированием в дальней зоне уже известных полей элементарных электрического и магнитного излучателей. При записи полей этих излучателей необходимо учесть связь их амплитуд (32) и изменённое положение элементов тока в пространстве. В итоге получаем две составляющих напряжённости электрического поля:

В дальней зоне электромагнитному полю элемента Гюйгенса присущи все основные особенности поля излучения элементарных излучателей. Это поле представляет собой сферические бегущие волны, расходящиеся в полупространстве от элемента Гюйгенса вдоль радиусов в бесконечность со скоростью и убывающие по амплитуде по закону .

Определим амплитуду поля элемента Гюйгенса:

Следовательно, амплитудная характеристика направленности, определяющая зависимость амплитуды поля от угловых координат, одинакова во всех меридиональных полуплоскостях и выражается формулой:

Выражение (36) является уравнением кардиоиды (рис.7).

Рис.7. Диаграмма направленности элемента Гюйгенса

Пространственная характеристика направленности представляет собой тело вращения кардиоиды рис.7 вокруг оси .

4. Описание лабораторной установки.

С помощью виртуальной лабораторной установки планируется изучать изменение продольной и поперечной компонент напряженности электрического поля от расстояния до элементарного электрического излучателя. Кроме того, должна иметься возможность наблюдать диаграммы направленности элементарных излучателей и определять их характеристики.

В верхней части лицевой панели лабораторной установки расположен заголовок «Исследование элементарных излучателей» и кнопка останова STOP (рис.8).

Виртуальная лабораторная установка состоит из двух частей, отображаемых в двух страницах на экране: «Компоненты поля элементарного электрического излучателя»(рис.8) и «Диаграммы направленности элементарных излучателей» (рис.9).

Принцип перестановочной двойственности уравнений максвелла

Рис.8. Лицевая панель ВИ «Элементарные излучатели». Страница «Компоненты поля элементарного электрического излучателя»

Работа с установкой начинается в закладке «Компоненты поля элементарного электрического излучателя». Справа на ней находится графический индикатор «Амплитуда компоненты поля», на котором отображаются зависимости продольной и поперечной составляющих поля от расстояния между излучателем и точкой наблюдения.

Под индикатором находится панель управления двумя курсорами, в которой имеются названия измеряемых компонент поля «Продольная компонента» и «Поперечная компонента» и окна с координатами курсоров.

В левой верхней части расположен регулятор, задающий значение угловой координаты «Угол от оси излучателя».

Ниже расположен регулятор размера шкалы расстояния (горизонтальная шкала экрана).

На странице «Диаграммы направленности элементарных излучателей» находится два графических индикатора. На левом индикаторе диаграмма направленности отображается в декартовой системе координат. Под индикатором есть панель управления курсором, позволяющая измерять графики на экране.

Принцип перестановочной двойственности уравнений максвелла

Рис.9. Лицевая панель ВИ «Элементарные излучатели». Страница «Диаграммы направленности элементарных излучателей»

На правом индикаторе диаграмма направленности отображается в полярных координатах.

Над экранами имеется переключатель на три положения: «Электрический», «Магнитный», «Площадка». Он осуществляет переключение на экране всех изучаемых элементарных излучателей.

Включение прибора осуществляется нажатием на двунаправленную стрелку в строке кнопок окна LabVIEW, расположенная правее заголовка кнопка STOP выключает виртуальную лабораторную установку.

5. Порядок выполнения работы.

1. Запустить лабораторную установку «Элементарные излучатели», ознакомиться с органами управления.

2. Перейти на страницу «Компоненты поля элементарного электрического излучателя». Выполнить исследования в соответствии с вариантом, выбранным в таблице 1.

Таблица 1. Исходные параметры для исследования элементарных излучателей радиоволн