Дана функция z=f(x, y).
Находим частные производные:
При нахождении ∂z/∂x считаем аргумент y постоянным:
Найдем смешанные частные производные:
Для того, чтобы найти ∂ 2 z/∂x∂y дифференцируем ∂z/∂x по у:
∂ 2 z/∂x∂y =
Пример 2:
Решение от преподавателя:
Пример 3:
Дана функция z=f(x, y). Требуется:
1) найти частные производные
2) найти полный дифференциал dz;
3) показать, что для данной функции справедливо равенство:
Решение от преподавателя:
Находим частные производные:
При нахождении считаем аргумент y постоянным:
При нахождении считаем аргумент x постоянным:
Полный дифференциал функции.
Находим вторые частные производные:
Найдем смешанные частные производные:
Пример 4:
Дана функция z=f(x, y).
Требуется:
1) найти полный дифференциал dz;
2) найти частные производные второго порядка;
3) показать, что для данной функции справедливо равенство:
Решение от преподавателя:
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Дана функция z = f(x,y). Показать, что
Из 1000 ламп 730 принадлежат первой партии, 100 второй партии. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа бракованная.
Разложить в ряд Фурье функцию
Найти выборочные оценки: среднее значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Три работника получают по 10 тыс. руб., пять работников – по 15 тыс. руб., два – по 30 тыс. руб.
Кампус Библиотека
Материалы со всех ВУЗов страны
1 000 000+ полезных материалов
Это примеры на которых можно разобраться
Учись на отлично с библиотекой
Экосистема Кампус
Набор самых полезных инструментов, работающих на искусственном интеллекте для студентов всего мира.
Экосистема сервисов для учебы в удовольствие
Твой второй пилот в учебе, быстрые ответы на основе ИИ-шки
ТОП-эксперты помогут решить и объяснят тебе любой вопрос по учебе онлайн
Сообщество, где ты найдешь знакомства и получишь помощь
Мультифункциональный умный бот, который всегда под рукой
База знаний из 1 000 000+ материалов для учебы
Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению?
На дворе начало апреля 2015 и эти солнечные, но ещё холодные деньки навеяли ностальгические воспоминания о своих первых, во многом любительских заметках по высшей математике. Но время шло, тараканы взрослели, и мой стиль становился всё более и более академичным, а статьи – всё более объёмными и обстоятельными. Однако, не зря говорят, что всё возвращается на круги своя, и, видимо, поэтому сегодня появилось желание вернуться к той же лёгкости и непринуждённости изложения материала. По крайне мере, я попытаюсь =)
Задание, сформулированное в заголовке статьи, оказалось обойдено вниманием в теме «обычных» производных (производных функции ), и, прежде чем перейти к примерам с функциями нескольких переменных, наверстаем упущенное:
Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению
! Примечание: в условии таких задач производную нередко обозначают через , и это не должно сбивать с толку!
Решение: поскольку в предложенное уравнение входит не только функция, но и её производная, то сначала следует найти производную:
Далее решение можно оформить двумя эквивалентными способами:
Стиль №1. Подставим и в левую часть уравнения и проведём упрощения:
– в результате получена правая часть, таким образом, данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Что это, кстати, значит? Грубо говоря, функция является корнем уравнения .
Стиль №2. Подставим и в уравнение и выполним упрощения (в данном случае только левой части):
Получено верное равенство.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Аналогичную проверку, разумеется, можно выполнить и для других функций. Так, например, подставим и её производную в левую часть уравнения (Стиль №1):
– получена правая часть, значит, функция тоже удовлетворяет данному уравнению.
А вот, скажем, функция «не подходит». И действительно, подставляя в уравнение (Стиль №2):
– получаем неверное равенство.
Совершенно понятно, что таких «неудовлетворительных» функций – великое множество.
Многие читатели уже давно интуитивно чувствуют нечто знакомое, и это неспроста! Всем с раннего детства знакома ситуация, когда, широко разинув рот, с интересом слушаешь взрослого, после чего там оказывается невкусная таблетка…, а то и вообще шприц в попе =) Вот и сейчас вы побывали в похожей ситуации! – неожиданно так, чтобы испугаться никто не успел, познакомил я вас с одной ужасной вещью:))
– это не что иное, как дифференциальное уравнение, а функция – одно из его решений. Дифференциальные уравнения мы научимся решать позже, а пока что проведём «артподготовку» к этой теме. Самостоятельно:
Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению
Здесь решение чуть выгоднее провести первым способом, т.е. найти производную и подставить в левую часть уравнения с дальнейшими преобразованиями.
Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению
В этом же задании подстановка осуществляется в обе части уравнения и по этой причине удобнее использовать 2-й способ, получив верное либо неверное равенство.
Следует отметить, что функция вовсе не обязана удовлетворять уравнению, и иногда приходится давать противоположный ответ: «данная функция НЕ удовлетворяет данному уравнению». Но такой исход всегда неприятен, поскольку начинает мерещиться, что где-то допущена ошибка, после чего следует тщательная проверка, а зачастую и параноидальная перепроверка решения.
Примерные образцы чистового оформления примеров внизу страницы.
Как я уже намекнул в самом начале, рассматриваемое задание значительно чаще формулируется для функции нескольких, а точнее – для функции двух переменных; поэтому данный урок и оказался в разделе ФНП. Предполагается, что на данный момент вы умеете находить частные производные функции двух переменных:
Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению
И сразу обращаю внимание на запись частных производных – в подавляющем большинстве подобных примеров вы встретите именно громоздкие обозначения. В принципе, уравнение можно переписать в виде и это ни в коем случае не будет ошибкой, но я буду придерживаться традиционного стиля, с которым вы вероятнее всего столкнётесь на практике.
Решение: в предложенное уравнение входит как сама функция, так и её частные производные первого порядка, что сподвигает к естественным действиям:
Решение, напоминаю, можно оформить двумя способами, и, на мой взгляд, здесь проще подставить найденные частные производные в левую часть:
– «на выходе» получена правая часть нашего уравнения.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Пара примеров для самостоятельного решения:
Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению
Тут сподручнее выполнить подстановку в обе части и получить верное или неверное равенство.
То же задание для функции и уравнения
А здесь удобнее упростить левую часть и выяснить, получится ли в итоге .
Предостерегаю от мысли «Да чего тут решать, и так всё понятно». Добросовестно прорешивая примеры, вы не только отрабатываете тематическую задачу, но и шлифуете свою технику нахождения частных производных. И это тем более важно, поскольку я предлагаю вам не абы какие-то задачки, а связный, методически продуманный курс статей – чтобы полученные знания и навыки остались с вами надолго. Таким образом, наш урок вовсе не закончился – он в самом разгаре!
Решения и ответы в подвале.
Помимо частных производных 1-го порядка, в уравнении могут присутствовать и частные производные более высоких порядков, как правило – второго:
Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению
Здесь вместо буквы «зет» использована буква «у», что является весьма распространённым вариантом обозначения функции.
Решение: сначала найдём частные производные 1-го порядка:
Затем входящие в уравнение частные производные 2-го порядка:
Подставим и в левую часть уравнения:
– в результате НЕ получена правая часть данного уравнения.
Ответ: данная функция не удовлетворяет данному уравнению.
Так действительно бывает!
Интересное задание для самостоятельного решения:
Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению
Краткое решение и ответ в конце урока.
И заключительные примеры посвящены тому же заданию, но с функцией трёх переменных. Следует отметить, что в «реальном» практическом примере вам вряд ли напишут, скольких переменных дана функция, и этот момент всегда следует прояснять самостоятельно:
Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению
Симметрия это не только красиво – но ещё и очень удобно!
Теперь важно не перепутать квадраты производных с производными второго порядка. Подставим найденные производные в левую часть уравнения:
– получена правая часть данного уравнения.
Ответ: дфуду
Вот так и рождаются новые ругательства =)
Симметрия по вашу душу:
Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению
Подумайте, как рациональнее оформить решение.
Дополнительные задания по теме можно найти в задачнике Рябушко (ИДЗ 10.2), ну а я в лучших традициях своего «раннего творчества» отпускаю вас пораньше =) Сейчас ещё раз перечитаю текст и постараюсь избавить его от излишней наукообразной лексики…, хотя наставление в середине статьи всё-таки оставлю, что делать – старею =)
Надеюсь, мои уроки удовлетворяют вашим ожиданиям, и после перемены я жду вас на странице Частные производные неявно заданной функции.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: найдём производную:
Подставим и в левую часть уравнения:
– в результате получена правая часть данного уравнения.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Пример 3: Решение: найдём производную:
Подставим и в уравнение :
Получено верное равенство.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Пример 5: Решение: используя свойства логарифмов, преобразуем функцию:
Найдём частные производные первого порядка:
Подставим и в уравнение :
Получено неверное равенство.
Ответ: данная функция не удовлетворяет данному уравнению.
Пример 6: Решение: найдём частные производные первого порядка:
Подставим функцию и найденные производные в левую часть уравнения:
– получена правая часть данного уравнения.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Пример 8: Решение: найдём частную производную по «икс»:
(т.к. константой считается «игрек», то производная берётся от степенной функции)
Найдём смешанную частную производную 2-го порядка:
(т.к. константой считается «икс», то производная берётся как производная от показательной функции)
Подставим и в уравнение:
Получено верное равенство.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Пример 10: Решение: преобразуем функцию:
Найдем частные производные первого порядка:
Подставим найденные производные в уравнение :
Получено верное равенство
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено
Производная функции в точке в направлении вектора
Решение получаем, решая через калькулятор.
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
grad(z)=(10xy+3y²) i +(5x²+6xy) j
Найдем градиент в точке А(1;1): grad(z)A=(10·1·1+3·1²) i +(5·1²+6·1·1) j или grad(z)A=13 i +11 j
Модуль grad(z):
Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:
Найдем производную в точке А по направлению вектора а(6;-8).
Найти направление вектора — значит найти его направляющие косинусы: 
Модуль вектора |a| равен:
тогда направляющие косинусы:
Для вектора a имеем:
Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.
Если ∂z/∂a Пример №2 . Даны z=f(x; y), А(х0, у0).
Найти а) градиент функции z=f(x; y) в точке А.
б) производную в точке А по направлению вектора а.
Пример №3 . Найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль вектора l(1;2) .
z = ln(sqrt(x^2+y^2))+2^x
Решение.
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.: 
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем производную в точке А по направлению вектора а(1;2). 
Найти направление вектора — значит найти его направляющие косинусы:
Модуль вектора |a| равен:
тогда направляющие косинусы:
Для вектора a имеем:
Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.
Если ∂z/∂a Пример №4 . Дана функция . Найти:
1) gradu в точке A(5; 3; 0) ;
2) производную в точке А в направлении вектора a = i -2 j + k .
Решение.
1. .
Найдем частные производные функции u в точке А.
;;
, .
Тогда
2. Производную по направлению вектора a в точке А находим по формуле
Частные производные в точке А нами уже найдены. Для того чтобы найти cos α, cos β, cos γ, найдем единичный вектор a 0 вектора a .
, где .
Пример №5 . Даны функция z=f(x) , точка А(х0, у0) и вектор a . Найти: 1) grad z в точке А ; 2) производную в точке А по направлению вектора a .
Решение.
Находим частные производные:
Тогда величина градиента равна:
Найдем градиент в точке А(1;1)
или
Модуль grad(z):
Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:
Найдем производную в точке А по направлению вектора а(2;-5).
Найти направление вектора — значит найти его направляющие косинусы:
Модуль вектора |a| равен:
тогда направляющие косинусы:
Для вектора a имеем:
Поскольку ∂z/∂a , то заданная функция в направлении вектора a убывает.