Как спектр связан с длительностью импульса

11.4. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ СИГНАЛА И ШИРИНОЙ ЕГО СПЕКТРА. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ, ЕЕ СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Анализ спектра прямоугольного импульса (см. рис. 11.5) показывает, что хотя он, как и любой сигнал конечной длительности, имеет бесконечный спектр, наиболее существенная его часть &#151 центральный лепесток &#151 заключена в области частот от – 2 p / T до 2 p / T ( T &#151 длительность импульса). Поэтому с уменьшением длительности сигнала T ширина его спектра Dw = 4p / T увеличивается. Подобную связь можно получить и для других сигналов и их спектров, существующих в неограниченном интервале времени и частоты, вводя тем или иным образом понятие эффективной длительности сигнала D T и ширины полосы частот Dw. Произведение D T &middot Dw для любого сигнала сохраняет постоянное значение и имеет порядок единиц.

Рассмотрим, как изменяется спектр прямоугольного сигнала с амплитудой F 0 (рис. 11.6) при сокращении его длительности T . Для того чтобы его спектральная плотность F ( j w ) = (2 F 0 / w ) sin w T /2 сохраняла конечное значение, будем при предельном переходе T ® 0 рассматривать сигналы с постоянной площадью, равной единице: F * = F 0 T = F k T k = const = 1 (см. рис. 11.6).

Переходя к пределу при T ® 0 в выражении для спектральной плотности прямоугольного сигнала в указанных условиях, получим = 1. Таким образом, сигнал с бесконечно малой длительностью, бесконечно большой амплитудой и площадью, равной единице, имеет постоянную спектральную плотность, равную единице, во всем диапазоне частот от — ¥ до ¥ . Такой идеализированный импульсный сигнал называется дельта функцией и обозначается d ( t ). Он обладает свойствами:

В последнем интеграле по смыслу определения d ( t ) пределы интегрирования можно заменить конечными (– e , e ). Все содержащиеся в спектре d -функции синусоидальные составляющие с частотами от 0 до 4 имеют одинаковые амплитуды. Этим определяется полезность d -сигнала в качестве тестирующего при исследованиях динамических систем. Исследование системы при подаче на ее вход весьма короткого импульса дает такую же информацию о поведении системы на любых частотах, как и исследование ее частотных характеристик при питании от источника синусоидального сигнала переменной частоты. Заметим, что использование для тестирования более продолжительного сигнала столь полной информации не дает. Так, в спектре прямоугольного сигнала не содержатся частоты, кратные 2 p /T (см. рис. 11.5).

Хотя реальные физические системы неспособны генерировать d -импульсы, такая идеализация при описании свойств коротких импульсов весьма распространена. Помимо сказанного выше, это описание упрощает анализ поведения систем при импульсных воздействиях малой длительности. В последующем будет показано, что реакция системы на такой импульс от конкретного вида его временной зависимости f ( t ), а определяется главным образом площадью импульса . Такой идеализированный подход предполагает, что анализ цепи под действием короткого импульса сводится к определению ее поведения при действии входного сигнала f ₁( t ) = f ₁ * d ( t ).

При графическом изображении d -сигнала будем пользоваться символическим обозначением в виде вертикальной стрелки (рис. 11.7), высота которой определяет площадь импульса f * . Функция d ( t – T ) выражает импульс такого же характера, возникающий в момент времени t = T .

Произведение d ( t – T ) f ( t ), где f ( t ) &#151 непрерывная при t = T функция, можно записать в эквивалентной форме: d ( t – T ) f ( T ). Это соотношение определяет выборочное свойство d -функции.

Закончим сводку основных правил операций с d -функциями выражением интеграла:

Таким образом, вычисление интегралов, содержащих d -функцию в качестве подынтегрального сомножителя, фактически не требует интегрирования.

2.4.9 Ширина спектра и длительность сигнала

При рассмотрении вопроса о сжатии и растяжении сигнала стало ясно, что чем уже сигнал, тем более широкий у него спектр. Обычно как сигнал, так и его спектр, не бывают строго ограничены по времени или по частоте. Поэтому необходимо определить понятия длительность сигнала и ширина его спектра. При этом обычно используют два подхода:

энергетический;
информационный.

При энергетическом подходе длительность сигнала или ширину его спектра определяют по заданной доле от полной энергии сигнала. Так, например, для сигнала в виде прямоугольного импульса длительностью t спектральная плотность имеет бесконечно широкий спектр, однако анализ показывает, что первый лепесток спектра содержит 90% от полной энергии импульса, а сумма первого и второго уже 95%. Аналогично можно рассуждать и о длительности бесконечно длящегося сигнала с конечной энергией.

При информационном подходе важное значение имеет форма сигнала: чем шире взята за основу условная ширина его спектра, тем ближе по форме к исходному может быть воспроизведенный по ограниченному спектру сигнал. Иногда ширину спектра определяют по уровню от максимального значения. Для колоколообразных импульсов принята величина е -1/2 =0,606 от максимума. Ширина спектра и длительность сигнала взаимосвязаны. Для выявления этой связи определяют так называемые эффективные длительность и ширину спектра, которые вычисляют с помощью следующих соотношений:

где середина импульса;

Полная длительность сигнала равна 2, а полная ширина спектра , включая и отрицательные частоты, 2, Произведение длительности на полосу равно:

Произведение *зависит от формы сигнала, но не может быть меньше 0.5(только для импульсов гауссовой формы это произведение равно 0.5). Не для всех сигналов данные интегралы имеют смысл(сходятся). Для определения и необходимо, чтобы функция s(t) убывала бы быстрее, чем 1/t, а функция S( w ) быстрее, чем 1/ w .

Для сигналов, не удовлетворяющих этим условиям, и применяют энергетический, либо информационный критерий, но следует помнить, что с уменьшением длительности сигнала ширина его спектра увеличивается, т.е. произведение длительности на ширину спектра для данного типа сигнала величина постоянная.

Связь между длительностью импульса и шириной его спектра

Из спектра одиночного импульса ясно, что чем меньше , тем шире спектр. При ® 0 – спектр равномерный; а при = – имеем на спектре одну постоянную составляющую.

Эта связь вытекает непосредственно из общего свойства преобразования Фурье.

Пусть ƒ(t) соответствует спектр F(ω).

Изменим масштаб функции ƒ(t) по оси времени в a раз и рассмотрим спектр функции aƒ(at):

заменим переменные at = z; adt = dz; t = z/a, то есть длительность функции ƒ(t) уменьшится в a раз, во столько же раз возрастет ширина ее спектра.

Вопрос о соотношении между длительностью импульса и шириной его спектра имеет громадное практическое значение. В вычислительной технике необходимы короткие и мощные импульсы и в тоже время требуется, чтобы спектр импульса был как можно уже, так как широкие спектры вызывают трудности при создании аппаратуры.

Эти требования противоречивы.

Возникает вопрос: нельзя ли найти такие сигналы, которые обладали бы ограниченным спектром и одновременно ограниченной длительностью? Формализм преобразования Фурье этого не позволяет, однако для реальных сигналов могут быть введены разумные ограничения, которые позволяют ограничить либо Δt, либо Δƒ, либо и то и другое.

Наиболее удобным в этом смысле, как мы уже говорили ранее, является энергетический критерий. При этом можно представить себе следующие модели сигналов:

1. Сигналы ограничены во времени. Спектр – неограничен теоретически; физически он всегда ограничен и учитывается только та часть спектра, где сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала.

2. Сигналы имеют ограниченный спектр, то есть математически это периодические, неограниченные во времени сигналы. Фактически, реальный процесс всегда ограничен во времени, поэтому учитывается только интервал времени, в котором сосредоточена подавляющая часть всей энергии сигнала.

где t₀ – часто задается естественно: для симметричного импульса t₀ = 0; для одиночного так же t₀ = 0 и формула имеет вид:

3. Сигналы, у которых и длительность (Δt) и ширина спектра (Δƒ) ограничены как интервалы, в которых сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала. Математический аппарат преобразования Фурье дает в этом случае приближенные разультаты.

При ограничениях по Δt и Δƒ можно поставить следующую задачу – отыскать такую форму сигнала, для которой произведение Δt · Δƒ достигает min.

Такому условию соответствует импульс, имеющий колоколообразную форму, которая описывается кривой Гаусса (кривой нормального распределения).

Рис. 10.17. Кривая Гаусса

Произведение Δt · Δƒ может быть уменьшено только до определенного предела:

Δt · Δƒ ≈ const > 0,

где const зависит от выбора определения Δƒ и Δt.

Приведем значения Δt · Δƒ для различных видов сигналов в предположении, что

Δt · Δƒ – max для импульсов с разрывом (экспонента, прямоугольник); меньше для импульсов с разрывом в первой производной (треугольник и косинусоидальный) и наименьшее значение у колоколообразного импульса, у которого функция непрерывна со всеми своими производными. http://peredacha-informacii.ru/

Наиболее плодотворной и близкой к реальной действительности является модель с ограниченным спектром.

Этому способствует тот факт, что спектр мощности реального сигнала достаточно быстро спадает вне интервала частот, на который приходится основная часть мощности.

В инженерной практике принимают (в первом приближении независимо от формы сигнала):

Практически, независимо от формы сигнала содержится > 90% энергии.

1. Если T_имп = 3млсек, то какая требуется полоса частот, чтобы пропустить основную долю энергии?

2. Какова длительность телевизионных импульсов, если F_TVmax = 6мггц?

3. Какова min длительность импульсов, проходящих по телефонному каналу?

4. При передаче трансцоидального импульса происходит его искажение. Чаще всего это сглаживание (показано пунктиром). На рис. 10.18. показаны длительность импульса и длительности фронтов (переднего и заднего). Из приведенных соотношений видно, что для сохранения фронтов требуется значительно более широкий спектр, чем для передачи основной энергии импульса.

Если сохранить фронт, то:

Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

В предыдущих разделах мы рассмотрели разложение периодических сигналов в ряд Фурье, а также изучили некоторые свойства представления периодических сигналов рядом Фурье. Мы говорили, что периодические сигналы можно представить как ряд комплексных экспонент, отстоящих друг от друга на частоту рад/c, где — период повторения сигнала. В результате мы можем трактовать представление сигнала в виде ряда комплексных гармоник как комплексный спектр сигнала. Комплексный спектр, в свою очередь, может быть разделен на амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала.

В данном разделе мы рассмотрим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, как одного из важнейших сигналов, используемого в практических приложениях.

Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , длительности секунд следующих с периодом секунд, как это показано на рисунке 1

Рисунок 1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Единица измерения амплитуды сигнала зависит от физического процесса, который описывает сигнал . Это может быть напряжение, или, сила тока, или любая другая физическая величина со своей единицей измерения, которая меняется во времени как . При этом, единицы измерения амплитуд спектра , , будут совпадать с единицами измерения амплитуды исходного сигнала.

Тогда спектр , , данного сигнала может быть представлен как:

Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов представляет собой множество гармоник с огибающей вида .

Свойства спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов

Рассмотрим некоторые свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Постоянная составляющая огибающей может быть получена как предел:
Для раскрытия неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя [1, стр. 257]:

где называется скважностью импульсов и задает отношение периода повторения импульсов к длительности одиночного импульса.

Таким образом, значение огибающей на нулевой частоте равно амплитуде импульса деленной на скважность. При увеличении скважности (т.е. при уменьшении длительности импульса при фиксированном периоде повторения) значение огибающей на нулевой частоте уменьшается.

Используя скважность импульсов выражение (1) можно переписать в виде:

Нули огибающей спектра последовательности прямоугольных импульсов можно получить из уравнения:

Знаменатель обращается в ноль только при , однако, как мы выяснили выше , тогда решением уравнения будет

Тогда огибающая обращается в ноль если

На рисунке 2 показана огибающая спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (пунктирная линия) и частотные соотношения огибающей и дискретного спектра .

Рисунок 2. Cпектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Также показаны амплитудная огибающая , амплитудный спектр , а также фазовая огибающая и фазовый спектр .

Из рисунка 2 можно заметить, что фазовый спектр принимает значения когда огибающая имеет отрицательные значения. Заметим, что и соответствуют одной и той же точке комплексной плоскости равной .

Пример спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов

Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , следующих с периодом секунды и различной скважностью . На рисунке 3а показаны временные осциллограммы указанных сигналов, их амплитудные спектры (рисунок 3б), а также непрерывные огибающие спектров (пунктирная линия).

Рисунок 3. Cпектр периодической последовательности прямоугольных импульсов при различном значении скважности
а — временные осциллограммы; б — амплитудный спектр

Как можно видеть из рисунка 3, при увеличении скважности сигнала, длительность импульсов уменьшается, огибающая спектра расширяется и уменьшается по амплитуде (пунктирная линия). В результате, в пределах главного лепестка увеличивается количество гармоник спектра .

Спектр смещенной во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов

Выше мы подробно изучили спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов для случая, когда исходный сигнал являлся симметричным относительно . В результате спектр такого сигнала является вещественным и задается выражением (1). Теперь мы рассмотрим, что произойдет со спектром сигнала если мы сместим сигнал во времени,как это показано на рисунке 4 .

Рисунок 4. Сдвинутая во времени периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Смещенный сигнал можно представить как сигнал , задержанный на половину длительности импульса . Спектр смещенного сигнала можно представить согласно свойству циклического временного сдвига как:

Таким образом, спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, смещенной относительно нуля, не является чисто вещественной функцией, а приобретает дополнительный фазовый множитель . Амплитудный и фазовый спектры показаны на рисунке 5.

Рисунок 5. Амплитудный и фазовый спектры сдвинутой во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов

Из рисунка 5 следует, что сдвиг периодического сигнала во времени не изменяет амплитудный спектр сигнала, но добавляет линейную составляющую к фазовому спектру сигнала.

В данном разделе мы получили аналитическое выражение для спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Мы рассмотрели свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов и привели примеры спектров при различном значении скважности.

Также был рассмотрен спектр при смещении во времени последовательности прямоугольных импульсов и показано, что смещение во времени изменяет фазовый спектр и не влияет на амплитудный спектр сигнала.

Вопросы, замечания и пожелания вы можете оставить на странице обсуждения статьи
Программная реализация в библиотеке DSPL

Данные для построения рисунков данного раздела были просчитаны при использовании библиотеки DSPL-2.0

Ниже приведён исходный код программы расчета данных для построения рисунка 3: fourier_series_pimp_q.c

 #include #include #include "dspl.h" /* Размер векторов входных сигналов и огибающей спетра */ #define N 1000 /* Период повторения импульса. Для изменения скважности мы будем менять * длительность импульса при фиксированном периоде повторения */ #define T 4.0 /* Амплитуда */ #define A 2.0 /* Количество спектральных гармоник разложения в ряд Фурье */ #define M 41 /* длина команды Gnuplot */ #define PLOTCMD_LEN 256 int main(int argc, char* argv[]) < double t1[N]; /* время (сек) на одном периоде повторения */ double t4[N]; /* время (сек) на четырех периодах повторения */ double s[N]; /* входной сигнал */ complex_t S[M]; /* комплексный спектр периодического сигнала */ double Smag[M]; /* амплитудный спектр периодического сигнала */ double w[M]; /* частота (рад/c) дискретного спектра */ double wc[N]; /* частота (рад/с) огибающей спектра */ double Sc[N]; /* огибающая спектра */ double tau; /* длительность импульса */ /* скважность */ double Q[3] = ; int q, m, n; char fname[64]; /* имя файла данных */ char plotcmd[PLOTCMD_LEN]; /* Команда Gnuplot */ void* hdspl; /* DSPL handle */ void* hplot; /* GNUPLOT handle */ hdspl = dspl_load(); if(!hdspl) < printf("Cannot to load libdspl!\n"); return 0; >/* Вектор частот непрерывной огибаюхей вида sin(w/2*tau) / (w/2*T) */ linspace(-M_PI*(double)M/(double)T, M_PI*(double)M/(double)T, N, DSPL_SYMMETRIC, wc); /* заполнение массива временных отсчетов */ /* на одном периоде повторения сигнала */ linspace(-T/2.0, T/2.0, N, DSPL_PERIODIC, t1); /* заполнение массива временных отсчетов * на 4-x периодах повторения сигнала * для отображения на осциллограмме */ linspace(-T*2.0, T*2.0, N, DSPL_PERIODIC, t4); /* Построение графиков пакетом GNUPLOT */ gnuplot_create(argc, argv, 800, 640, "img/fourier_series_rec.png", &hplot); gnuplot_cmd(hplot, "unset key"); gnuplot_cmd(hplot, "set multiplot layout 3,2 rowsfirst"); gnuplot_cmd(hplot, "set yrange [0:2.2]"); for(q = 0; q < 3; q++) < tau = T/Q[q]; /* 4 периода повторения п-импульса скважности Q[q] */ signal_pimp(t4, N, A, tau, 0.0, T, s); /* сохранение в текстовый файл временных осциллограмм */ sprintf(fname, "dat/pimp_time_%.2lf.csv", Q[q]); writetxt(t4, s, N, fname); /* Построение временнОй осциллограммы */ sprintf(plotcmd, "plot '%s' with lines", fname); gnuplot_cmd(hplot, plotcmd); /* один период повторения п-импульса скважности Q[q] */ signal_pimp(t1, N, A, tau, 0.0, T, s); /* разложение в ряд Фурье */ fourier_series_dec(t1, s, N, T, M, w, S); /* Рассчет амплитудного спектра */ for(m = 0; m < M; m++) < /*printf("S[%d] = %f %f\n", m, RE(S[m]), IM(S[m]));*/ Smag[m] = ABS(S[m]); >/* Сохранение в файл амплитудного спетра для скважности Q[q] */ sprintf(fname, "dat/pimp_freq_discrete_%.2lf.csv", Q[q]); writetxt(w, Smag, M, fname); /* Построение на график амплитудного спектра для заданной скважности */ sprintf(plotcmd, "plot '%s' with impulses lt 1 ,\\", fname); printf("%s\n", plotcmd); gnuplot_cmd(hplot, plotcmd); sprintf(plotcmd, "'%s' with points pt 7 ps 0.5 lt 1 ,\\", fname); printf("%s\n", plotcmd); gnuplot_cmd(hplot, plotcmd); /* Расчет огибающей */ for(n = 0; n < N; n++) Sc[n] = (wc[n] == 0.0) ? A/Q[q] : fabs( A * sin(0.5*wc[n]*tau) / (0.5*wc[n] * T)); /* сохранение огибающей в файл для скважности Q[q] */ sprintf(fname, "dat/pimp_freq_cont_%.2lf.csv", Q[q]); writetxt(wc, Sc, N, fname); /* Построение на график непрерывной огибающей амплитудного спектра для заданной скважности */ sprintf(plotcmd, "'%s' with lines", fname); printf("%s\n", plotcmd); gnuplot_cmd(hplot, plotcmd); >gnuplot_cmd(hplot, "unset multiplot"); gnuplot_close(hplot); /* remember to free the resource */ dspl_free(hdspl); return 0; >

Как спектр связан с длительностью импульса