Как проверить булеву функцию на самодвойственность

Solver Title

Practice

Больше практики

Введите ответ

Удостоверьтесь

x^2	\left(\right)» data-moveleft=»3″> \log_	\nthroot[\msquare]	\le	\ge	\cdot	\div	\pi
\left(\square\right)^	\frac	\int		^<\infty>\:» data-moveleft=»0″> \sum	\infty	\theta	(f\:\circ\:g)	f(x)

Принять вызов

Подпишитесь, чтобы проверить ответ

Generating PDF.

Вы действительно хотите отказаться от этого вызова? Если вы закроете это окно, вы откажетесь от вызова

Решить Путем Факторизации
Завершение Площади
Квадратичная Формула

Трехчлены
Группирование
Квадрат Числа
Разница Квадратов
Разница Кубов
Сумма Кубов
Полиномы

Распределительное Свойство
Метод FOIL (ФОЛЬГИ/ПВВП — первый, внешний, внутренний, последний)
Разница Квадратов
Квадрат Числа
Точные Кубы
Трехчлены
Биномиальное Расширение

Сопряжение
Величина

Характеристики

Является полиномиальным
Ведущий Коэффициент
Старший Член
Степень
Стандартная Форма
Простой

Рационализировать Знаменатель
Рационализировать Числитель

Определение типа
Первый член
N-й член
Сумма
Сходимость

Булева Алгебра
Таблицы Истинности
Теория Множеств
Пересекать
Объединение Mножеств
Разница
Подмножество
Несовместимый
Mощность Множества
Степень Множества (Булеан)
Декартово Произведение

Развернутъ клавиатуру

x^2	\left(\right)» data-moveleft=»3″> \log_	\nthroot[\msquare]	\le	\ge	\cdot	\div	\pi
\left(\square\right)^	\frac		\int	\left(\right)» data-moveleft=»1″> \lim	\infty	\theta	(f\:\circ\:g)	f(x)

— \twostack	\lt	7	8	9	\div	AC
+ \twostack	\gt	4	5	6	\times	\square\frac
\times \twostack	\left(	1	2	3	—	x
	\right)	.	0	=	+	y

Наиболее часто используемые действия

\mathrm \mathrm \mathrm \mathrm \mathrm

Увидеть Все

критические точки

производная

собственные значения

собственные векторы

крайние точки

неявная производная

точки перегиба

обратный лаплас

частичные дроби

решить для

касательная

геометрический тест

переменный тест

телескопический тест

тест серии p

корневой тест

Решить

Проверить ответ

Подпишитесь, чтобы проверить ответ

Сохраните в блокнот!

Зарегистрируйтесь, чтобы сохранять записи

Удостоверьтесь

Показать Этапы

Скрыть Этапы

Номер Строки

Относящееся

булева алгебра \neg(A\wedge B)\wedge(\neg A\vee B)
булева алгебра (A\vee B\wedge C)\wedge(A\vee C)
булева алгебра \neg(A\wedge B)\wedge (\neg A\vee B)\wedge(\neg B\vee B)
булева алгебра (A\vee C)\wedge(A\wedge D\vee C\vee A\wedge\neg D)
Показать больше

Пошаговое вычисление логических выражений

Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab

Middle School Math Solutions – Equation Calculator

Welcome to our new «Getting Started» math solutions series. Over the next few weeks, we’ll be showing how Symbolab.

Формулы и суперпозиции булевых функций

Табличный способ задания булевой функции не является эффективным. Им практически нельзя воспользоваться при большом числе переменных. Помимо этого способа существует способ представления булевых функций в виде формул. Этот способ аналогичен аналитическому способу задания функций действительного переменного.

Как известно, в математическом анализе мы исходили из определенного множества элементарных функций и строили из них сложные функции, записывая их в виде формул, например: и т.п. Аналогично обстоит дело для булевых функций, но только вместо элементарных функций математического анализа мы используем элементарные булевы функции — главным образом, те функции от одной и от двух переменных, которые мы определили ранее.

Но в отличие от математического анализа в теории булевых функций ставится задача представления любой булевой функции такой формулой, которая содержала бы строго определенное конечное множество элементарных булевых функций. Эти функции назовем пока условно «базисными функциями». Множества таких базисных функций могут быть разными, но, так или иначе, мы хотим иметь нечто вроде функционального базиса (или множества таких базисов), через элементы которого можно было бы выразить любую булеву функцию. Аналогичная задача не может быть решена для функций действительного переменого. Для булевых же функций задача оказывается разрешимой, и это обусловлено прежде всего тем, что булева функция является конечной функцией.

Чтобы математически точно сформулировать и решить поставленную выше задачу, нам необходимо уточнить понятие формулы. В анализе, поскольку там не возникала задача подобного рода, мы могли ограничиться интуитивной идеей формулы как некоего способа представления функции. В теории булевых функций мы хотим доказывать утверждения вида «любая булева функция может быть представлена формулой над заданным множеством базисных функций есть функция от переменных, а булевы функции — произвольные (и не обязательно различные) функции от одного и того же числа переменных, которое обозначим называемую суперпозицией функций так, что для любого

Таким образом, суперпозиция есть не что иное, как композиция булевых операторов , где булев оператор задается семейством координатных функций .

Для суперпозиции используется также обозначение . Предположение о том, что все функции , — функции от одного и того же числа переменных, не ограничивает общности, поскольку, как было показано ранее, любое конечное множество булевых функции всегда можно рассматривать как множество функций от одного и того же числа переменных.

Замечание 6.4. Обратим внимание на то, что в общем случае «уравнивание» числа переменных функций , связано с добавлением фиктивных переменных, а его, как известно, можно осуществлять разными способами. Поэтому суперпозиция , вообще говоря, определена однозначно лишь с точностью до равенства булевых функций согласно определению 6.2.

Пусть дано некоторое множество булевых функций — формулы над множеством — функция из переменных, то выражение есть формула над множеством Замечание 6.5. 1. Строго говоря, в формуле фигурирует не сама булева функция из множества . Но мы, чтобы не усложнять терминологию, будем отождествлять обозначения базисных функций, т.е. функции из заданного множества .

Пример 6.6. а. Пусть . Это множество, состоящее из функций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, называют стандартным базисом. Формулами над стандартным базисом будет любое переменное: и т.д. Далее, из переменных как формул и функции или . Эти формулы, однако, естественно записывать несколько иначе. Поскольку каждая булева функция от двух переменных (каковы, в частности, дизъюнкция и конъюнкция) является одновременно бинарной операцией на множестве , то формулы с такими функциями обычно записывают в «инфиксной форме», т.е. как и т.п. Аналогично для отрицания используют запись , а не .

Кроме того, в формулах над стандартным базисом, во-первых, опускают скобки, используя ассоциативность булевых операций пишут ; во-вторых, опускают, как правило, внешние скобки, записывая формулу, аналогичную последней, просто как ; в-третьих, используют соглашение о «старшинстве» (или о приоритете) операций, полагая, что самый высокий приоритет имеет операция отрицания (т.е. она всегда выполняется перед конъюнкцией и дизъюнкцией), затем идет конъюнкция и после нее — дизъюнкция.

С учетом сказанного формула может быть переписана так:

Согласно определению формулы, можно представить процесс построения формулы (6.6) следующим образом. Из переменных и функции , затем из нее и функции отрицания получаем формулу , т.е. формулу . Далее из переменных и функции строим формулу , а из нее, переменного — формулу , которую записываем как . И наконец, из формул и функции , т.е. формулу (6.6).

Описанный процесс можно наглядно изобразить в виде ориентированного дерева (рис. 6.3). Листья этого дерева помечены переменными или константами формулы, а каждый узел, не являющийся листом, — одной из функций из множества

б. Рассмотрим множество булевых функций , которое называют базисом Жегалкина. При записи формул над базисом Жегалкина используют те же принципы, что и при записи формул над стандартным базисом. Приоритет операции конъюнкции считается выше приоритета операции сложения по модулю 2. Так как последняя ассоциативна, то при записи формул с этой операцией соответствующим образом опускают скобки. Так, формулами над базисом Жегалкина будут:

Процесс построения первых двух формул изображен в виде деревьев на рис. 6.4.

в. Пусть множество базисных функций не равна булевой функции . Поэтому при записи формул над множеством следует заботиться о расстановке скобок. Примеры формул над множеством

Внешние скобки мы опускаем и в этом случае. Дерево, показывающее процесс построения первой из записанных выше формул, изображено на рис. 6.5.

Мы будем использовать запись , указывая тем самым, что формула , и только их. Множество переменных формулы .

Нам понадобится также понятие подформулы.

Из определения и рассмотренных примеров следует, что процесс построения формулы есть процесс определения некоторой сложной булевой функции, т.е. суперпозиции. Формула «собирается» из «элементарных формул», т.е. переменных и базисных функций, так, что на каждом шаге из уже полученных формул строится новая, более сложная формула. Естественно назвать эти «промежуточные» формулы подформулами рассматриваемой формулы. Так, в примере б.б.а формулы (и, конечно, переменные и базисные функции) — это подформулы формулы (6.6).

Строго понятие подформулы может быть введено следующим образом. Пусть или , где — функция из переменных, а , суть формулы над 1) все формулы ;
2) для каждого все подформулы формулы .

В дереве, изображающем процесс построения формулы, каждое поддерево, все листья которого являются также и листьями всего дерева, определяет некоторую подформулу.

Каждому набору значений переменных, входящих в заданную формулу, можно определенным образом сопоставить значение этой формулы. Вычисление этого значения в точности соответствует процессу построения формулы из подформул (в конечном счете из переменных и базисных функций).

Пример 6.7. Полагая в формуле (6.6) , получим значение формулы (6.6), равное

Таким образом, по каждому набору значений переменных формулы можно по определенному алгоритму вычислить значение формулы. Это значит, что каждая формула определяет (или представляет) некоторую булеву функцию. Введем понятие функции, представляемой формулой над множеством представляет проектирующую функцию над множеством , a — функция из переменных , то формула представляет суперпозицию функций ;

4) других булевых функций, представляемых формулами над множеством , где , а каждая из функций есть либо элемент и называть замыканием множества представляется формулой , то будем писать , или, короче, .

Определение 6.3. Множество булевых функций 1) замкнутым, если любая формула над , и полно, если всякая булева функция есть некоторая суперпозиция над .

Замечание 6.6. Можно заметить, что определение формулы и суперпозиции над заданным множеством булевых функций похоже на определение Ω-замыкания множества в алгебрах. Эти определения, равно как и основанные на них определения замкнутости и полноты множеств булевых функций, могут быть переведены полностью на алгебраический язык. Тогда замкнутое множество булевых функций, согласно определению 6.3, окажется не чем иным, как замкнутым подмножеством некоторой алгебры булевых функций, а полное множество булевых функций — системой образующих этой алгебры. Однако при попытке чисто алгебраической интерпретации определения 6.3 возникают некоторые технические трудности, обсуждение которых выходит за рамки этого курса.

Пример 6.8. Для каждой из определенных в 6.1 функций от двух переменных мы можем записать следующие формулы над стандартным базисом:

Если мы пополним стандартный базис функцией (импликацией), то формула для эквивалентности примет вид

Тот факт, что одна и та же функция (в данном случае эквивалентность) может быть представлена по крайней мере двумя разными формулами над одним и тем же множеством, а именно над , показывает, что соответствие между формулами над фиксированным множеством и представляемыми ими функциями не является взаимно однозначным. Эта ситуация до некоторой степени аналогична разложению по базису векторов конечномерного линейного пространства. Формула, представляющая некоторую булеву функцию, выражает «разложение» этой функции по фиксированному «функциональному базису». Одна и та же функция может иметь несколько таких разложений. В отличие от линейной алгебры в этом случае возникает ситуация, когда возможны различные разложения заданной функции по одному и тому же базису. Например, формулы и над стандартным базисом представляют одну и ту же функцию.

Назовем эквивалентными формулы, которые представляют равные функции. Эквивалентным (или тождественным) преобразованием формулы ) называют выражение

где формулы и должно содержать все существенные переменные функций /(#1. жп) и g(yi. ym), представляемых формулами

Пример 6.9. В тождествах пересечение множеств переменных в левых и правых частях пусто, причем во втором тождестве правая часть вообще не содержит переменных. В тождестве указанное пересечение равно .

Все записанные в примере 6.8 выражения являются тождествами над множеством , причем во всех этих тождествах множества переменных в левой и правой частях тождества совпадают. Такого же рода тождества — аксиомы булевой алгебры* (кроме тождеств и ) и вытекающие из них тождества (подобные, например, законам де Моргана).

*Поскольку все переменные, фигурирующие в этих тождествах, есть булевы переменные, то речь здесь идет об аксиомах булевой алгебры применительно к частному случаю — двухэлементной булевой алгебре

Правила тождественных преобразований булевых функций

Без доказательства сформулируем следующие правила тождественных преобразований.

Теорема 6.1. 1. Если в тождестве (6.7) некоторые переменные заменить произвольными формулами (над множеством и булевыми функциями любому сложному высказыванию, составленному из некоторых «простых» высказываний с использованием указанных выше логических связок, однозначно сопоставляется формула над множеством , т.е. каждому простому высказыванию сопоставляется булево переменное (так что разным высказываниям сопоставляются и разные переменные), а связки заменяются соответствующими функциями из множества . Тогда, например, высказыванию (читается: «если , то , и если , то «) будет сопоставлена формула .

Таким образом, с логической точки зрения формула над множеством есть высказывание. Поскольку мы имеем возможность вычислять значения формул и проводить их эквивалентные преобразования (используя, в частности, аксиомы булевой алгебры), мы получаем алгебраический аппарат для упрощения сложных высказываний (путем эквивалентных преобразований) и вычисления их истинностных значений.

Но тогда возникают вопросы: как практически построить для любой наперед заданной булевой функции представляющую ее формулу над фиксированным множеством базисных функций Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

КАК ОПРЕДЕЛИТЬ МОНОТОННОСТЬ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ

Монотонность булевой функции — это свойство, которое позволяет определить, как меняется значение функции при изменении ее аргументов. Монотонная функция обладает следующим свойством: если значения аргументов возрастают, то и значения функции также возрастают, или если значения аргументов убывают, то и значения функции также убывают.

Для определения монотонности булевой функции необходимо проанализировать все ее возможные пары значений аргументов и соответствующие им значения функции. Если для каждой пары соседних значений аргументов значение функции возрастает или убывает, то функция является монотонной.

Существуют несколько способов проверки монотонности булевой функции. Один из них — метод анализа диаграммы Хассе. Для этого строится диаграмма, в которой каждой вершине соответствует набор значений аргументов, а ребра указывают на возможные переходы между значениями аргументов. При анализе диаграммы Хассе можно проследить, сохраняются ли порядок возрастания или убывания значений функции.

Другим способом проверки монотонности булевой функции является анализ ее булевого выражения. Если булева функция представлена в виде логического выражения, то можно проанализировать зависимость между аргументами и значениями функции. Если в выражении нет операций, меняющих порядок возрастания/убывания значений функции (например, отрицание), то функция считается монотонной.

Таким образом, для определения монотонности булевой функции необходимо проанализировать ее значения для всех пар соседних значений аргументов и проверить, сохраняется ли порядок возрастания или убывания. Это можно сделать с помощью анализа диаграммы Хассе или анализа булевого выражения функции.

Полные системы булевых функций Базисы

Важнейшие замкнутые классы. Теорема Поста

Дискретная математика. Видео 3. Полнота системы функций.

Монотонность функции — Математика

Математический анализ, 12 урок, Монотонность и экстремумы функции

Промежутки монотонности функции.

Алгоритм Форда — Фалкерсона

Монотонность булевых функций

Булевы функции. Функции алгебры логики. Что это?

КАК ПРОВЕРИТЬ НА ЛИНЕЙНОСТЬ БУЛЕВУ ФУНКЦИЮ

Булева функция называется линейной, если она может быть выражена как линейная комбинация своих переменных и их отрицаний. Для проверки линейности булевой функции существует несколько методов.

Один из таких методов — это проверка условия аффинности функции. Булева функция является аффинной, если она может быть представлена в виде суммы произведений переменных и их отрицаний, где каждое слагаемое является произведением переменной или ее отрицания.

Другой метод проверки линейности заключается в использовании алгебры Галуа. Для этого необходимо построить таблицу истинности булевой функции и записать ее в виде вектора значений функции. Затем можно применить различные линейные преобразования к вектору значений функции и проверить, будут ли все значения линейно зависимыми.

Также существуют специальные программы и инструменты, которые могут автоматически проверять булевые функции на линейность. Эти инструменты обычно используются в криптографии для анализа секретных ключей и построения безопасных систем.

A.2.19 Полином Жегалкина

Полные системы булевых функций