Как привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием

Ортогональные преобразования квадратичных форм

Как мы установили (см. 8.2), матрица А квадратичной формы при переходе к новому базису изменяется по формуле А’ = U T AU, где U — матрица перехода. Бели рассматривается евклидово пространство, а старый и новый базисы выбраны ортонормированными, то матрица перехода U является ортогональной и мы имеем дело с ортогональным преобразованием квадратичной формы, т.е, преобразованием А’ = U T AU, в котором матрица U ортогональна.

Теорема 8.1. При ортогональном преобразовании квадратичной формы характеристическое уравнение ее матрицы не изменяется.

◄ Пусть А — матрица заданной квадратичной формы. При ортогональном преобразовании эта матрица изменяется по формуле А’ = U T AU, где U — ортогональная матрица. Согласно свойству 7.2, ортогональная матрица U имеет обратную, причем U -1 = U T . Поэтому А’ = U T AU = U -1 AU, И мы видим, что матрицы А’ и А подобны. Согласно теореме 5.2, характеристи-ческие уравнения подобных матриц совпадают. ►

Теорема 8.2. Любую квадратичную форму ортогональным преобразованием можно привести к каноническому виду.

◄ Матрица А данной квадратичной формы является симме-трической. Но любая симметрическая матрица, согласно следствию 6.4, подобна диагональной, т.е. существует такая невырожденная матрица Р, что матрица А’ = Р -1 АР является диагональной. Нам надо лишь убедиться, что в качестве Р можно выбрать ортогональную матрицу. Тогда А’ = Р T АР и диагональная матрица А’ является матрицей квадратичной формы, полученной из исходной при помощи ортогонального преобразования. Диагональный вид А’ равнозначен каноническому виду квадратичной формы. Чтобы выяснить характер матрицы Р, нужно вспомнить теорему 6.5, из которой и было выведено упомянутое следствие 6.4.

Рассмотрим произвольное n-мерное евклидово пространство Ε (n — количество переменных в квадратичной форме) и некоторый ортонормированный базис b в этом пространстве. Матрица А является матрицей некоторого самосопряженного оператора А в базисе b. Согласно теореме 6.6, существует такой ортонормированный базис е, что матрица А’ оператора А в этом базисе является диагональной. Согласно формуле преобразования матрицы линейного оператора, имеем А’ = Р -1 АР (см. теорему 4.6), где Р — матрица перехода из базиса b в базис е. Так как оба базиса ортонормированные, матрица Р является ортогональной. ►

Теорема доказана, но подход, который мы использовали в доказательстве, позволяет сделать и другие выводы, о которых в формулировке теоремы речь не идет. Во-первых, диагональными элементами матрицы А’ квадратичной формы канонического вида, получающейся в результате ортогонального преобразования, являются собственные значения матрицы А квадратичной формы. Из этого следует, что мы можем записать матрицу А’ канонического вида, не находя соответствующего ортогонального преобразования.

Во-вторых, находя ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, мы фактически ищем базис из собственных векторов соответствующего самосопряженного оператора. Действительно, если квадратичная форма и самосопряженный оператор имели в исходном ортонормированием базисе одинаковую матрицу, то и в новом ортонормированием базисе их матрицы будут совпадать.

Мы предполагаем, что квадратичная форма представляет собой запись функции, заданной в евклидовом пространстве, через координаты вектора в некотором ортонормированном базисе. На самом деле такая интерпретация носит чисто вспомогательный характер, помогающий смотреть на процесс с геометрической точки зрения, но она никак не используется в самом алгоритме построения ортогонального преобразования. Достаточно лишь записать матрицу квадратичной формы и применить к этой матрице процедуру приведения к диаго-нальному виду (см. 7.4).

Проиллюстрируем на примерах процедуру практического вычисления ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду.

Пример 8.4. Квадратичную форму f(x,у) = х 2 ₁ — 4x₁x₂ от двух переменных мы приводили к каноническому виду методом Лагранжа (см. пример 8.3). Теперь попробуем привести ее к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Матрица нашей квадратичной формы имеет вид

Найдем характеристическое уравнение этой матрицы:

Вычисляем корни характеристического уравнения, они же собственные значения матрицы А:

Теперь можем записать канонический вид назраей квадратичной формы:

Пример 8.5. Найдем канонический вид квадратичной формы

к которому она приводится ортогональным преобразованием, и укажем одно из таких ортогональных преобразований.

Квадратичная форма имеет матрицу

с характеристическим уравнением матрицы

Собственными значениями матрицы квадратичной формы являются λ₁ = 1, λ₂ = 9, т.е. квадратичная форма приводится ортогональным преобразованием к каноническому виду

Для построения ортогонального преобразования найдем собственные векторы матрицы рассматриваемой квадратичной формы. Из однородной системы линейных алгебраических уравнений (А — λЕ)х = 0 при λ = 1 находим собственный вектор е₁ = (1 — 1) T . Тогда вектор e₂ = (1 1) T , ортогональный вектору e₁, будет собственным вектором с соответствующим собственным значением λ₂ = 9 (см. 7.4). Пронормировав эти векторы, составляем из столбцов их координат матрицу ортогонального преобразования

которой соответствует линейная замена переменных х = Ру. #

Единообразное поведение самосопряженных операторов и квадратичных форм при замене ортонормированного базиса объясняется следующей связью.

Теорема 8.3. Пусть А: Ε → Ε — самосопряженный oneратор, действующий в евклидовом пространстве Ε. Функция f(x) = (Аx, x), определенная на евклидовом пространстве, является квадратичной формой. Наоборот, для любой квадратичной формы f(x) на евклидовом пространстве Ε существует такой самосопряженный оператор А, что f(x) = (Аx, x). Этот оператор определен однозначно.

◄ Чтобы доказать первое утверждение теоремы, вспомним, как записывается скалярное произведение в ортонормированном базисе (см. 3.7). Используя такую запись и учитывая самосопряженность оператора, получаем

(Аx, x) = (x, Аx) = x 2 T Аx,

где х — столбец координат вектора x; А — матрица линейного оператора А. Мы пришли к координатной записи х T Ах некоторой квадратичной формы.

Пусть f(x) — квадратичная форма, которая в данном ортонормированном базисе е имеет вид f(x) = х T Ах. Взяв самосопряженный оператор А, который в базисе е имеет матрицу А, получаем

f(x) = х T Ах = х T (Ах) = (x, Аx) = (Аx, x).

Наконец, докажем, что если для Двух самосопряженных операторов А и В выполняется равенство (Аx, x) = (Вx, x) для любого вектора x ∈ Ε, то А = В. Записав указанное равенство в координатах (А, В — матрицы операторов, х — столбец координат вектора x), получаем х T Ах = х T Вх, т.е. равенство двух многочленов второй степени от n переменных. Такое равенство возможно лишь в том случае, когда все коэффициенты этих многочленов при одинаковых слагаемых равны, но это эквивалентно равенству матриц А = В и, следовательно, равенству самосопряженных операторов. ►

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Метод собственных векторов:

Рассмотрим квадратичную форму $A(x,x) =\sum\limits_^na_x_ix_j$ в евклидовом пространстве $R^n.$ Так как ее матрица $A=(a_ij)$ симметрична, то она может быть представлена в виде $A=UDU^,$ где $D -$ диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы, а $U -$ ортогональная матрица. Столбцы матрицы $U$ являются координатами некоторого ортонормированного базиса $B’=(e_1, . e_n),$ в котором матрица $A$ имеет диагональный вид $D,$ и, следовательно, квадратичная форма — искомый канонический вид. Соответствующие преобразования координат определяются соотношением $$\beginx_1\\\vdots\\x_n\end=U\beginx_1’\\\vdots\\x_n’\end.$$

Пример.

Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду, и написать этот канонический вид:

4.213. $11x_1^2+5x_2^2+2x_3^2+16x_1x_2+4x_1x_3-20x_2x_3.$

Решение.

Матрица квадратичной формы имеет вид $$\begin11&8&2\\8&5&-10\\2&-10&2\end.$$

Найдем собственные числа этой матрицы. Для этого запишем характеристическое уравнение:

$$det(A-\lambda E)=\begin11-\lambda&8&2\\8&5-\lambda&-10\\2&-10&2-\lambda\end=$$ $$=(11-\lambda)(5-\lambda)(2-\lambda)+2\cdot 8\cdot (-10)+2\cdot 8\cdot (-10)-$$ $$-2\cdot(5-\lambda)\cdot 2-(11-\lambda)\cdot(-10)\cdot(-10)-8\cdot 8\cdot(2-\lambda)=$$ $$=-\lambda^3+\lambda^2(2+5+11)-\lambda(10+22+55)+110-160-160-20+$$ $$+4\lambda-1100+100\lambda-128+64\lambda=$$ $$=-\lambda^3+18\lambda^2+81\lambda-1458=-\lambda(\lambda^2-81)+18(\lambda^2-81)=$$ $$=(\lambda-9)(\lambda+9)(-\lambda+18)=0.$$

Отсюда находим собственные числа:

$$\lambda_1=9,\quad \lambda_2=-9, \quad\lambda_3=18.$$

Далее находим собственные вектора:

Собственный вектор для собственного числа $\lambda_1=9$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A-9E)X=0, X\neq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin2&8&2\\8&-4&-10\\2&-10&-7\end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin2&8\\8&-4\end=-8-64=-72\neq 0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin2&8\\8&-4\end=-72\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\2x_1+8x_2+2c=0\\ 8x_1-4x_2-10c=0\end\right.\Rightarrow\left\2x_1+8x_2=-2c\\8x_1-4x_2=10c\end\right.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\beginc\\-c/2\\c\end.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin1\\-1/2\\1\end.$

Собственный вектор для собственного числа $\lambda_2=-9$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A+9E)X=0, X\neq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin20&8&2\\8&14&-10\\2&-10&11\end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin20&8\\8&14\end=280-64=216\neq 0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin20&8\\8&14\end=216\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\20x_1+8x_2+2c=0\\ 8x_1+14x_2-10c=0\end\right.\Rightarrow\left\20x_1+8x_2=-2c\\8x_1+14x_2=10c\end\right.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin-c/2\\c\\c\end.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin-1/2\\1\\1\end.$

Собственный вектор для собственного числа $\lambda=18$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A-18E)X=0, X\neq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin-7&8&2\\8&-13&-10\\2&-10&-16\end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin-7&8\\8&-13\end=91-64=27\neq 0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin-7&8\\8&-13\end=27\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\-7x_1+8x_2+2c=0\\ 8x_1-13x_2-10c=0\end\right.\Rightarrow\left\-7x_1+8x_2=-2c\\8x_1-13x_2=10c\end\right.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin-2c\\-2c\\c\end.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin-2\\-2\\1\end.$

Таким образом, мы нашли вектора

В базисе $B’=(e_1′, e_2′, e_3′)$ заданная квадратичная форма имеет вид $$A(x, x)=9x_1^2-9x_2^2+18x_3^2,$$ а соответствующее преобразование координат:

Ответ: $A(x, x)=9x_1^2-9x_2^2+18x_3^2;$

Как привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием

11.6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных

Теорема 11.9. Если существует ортогональное преобразование с матрицей С, приводящее действительную квадратичную формуК каноническому виду

То— характеристические числа матрицыКвадратичной формы

Теорема 11.10. Для любой действительной квадратичной формы существует ортогональное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.

Теорема 11.11. Для любой, действительной симметрической матрицыСуществует такая ортогональная матрицаЧто— диагональная матрица.

Следствие. Любая действительная симметрическая матрица может быть приведена к диагональному виду.

Теорема 11.12. Если линейное преобразование действительного линейного пространства имеет действительную симметрическую матрицу в некотором ортонормированном базисе, то существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого преобразования.

Из этих теорем следует правило нахождения ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму п переменных к каноническому вицу. Эго правило состоит в следующем: 1) записать матрицу данной квадратичной формы, найти ее собственные значения и п попарно ортогональных собственных векторов, пронормировать их; 2) составить матрицу из ортонормированных собственных вектор-сголбцов; 3) записать искомое ортогональное преобразование с помощью последней матрицы.

Пример 11.3. Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму двух переменных хи х,,

Характеристическое уравнение (5-А.)(7-А,)-24 = 0, или А1 -12А.+ +11 = 0, имеет корни X, =1, А., =11, которые янляются собственными значениями матрицы А.

Найдем собственные векторы, соответствующие полученным собственным значениям. Координаты (л, I) этих векторов определяются из системы уравнений (10.12), которая в данном случае имеет вид

(5-А)« + 2>/бг = 0,0 гЛв + (7-А) 1 = 0.

При А, = 1, А, = 11 имеем две системы

4л + 2>/бг = 0, — 65 + 2->[б1 = 0,

2^б5+6/ = 0, 2^6в-А1 = 0.

Из этих систем находим собственные векторы и = (- (л/б/2) I, I), V = ((-Уб/з) I, I),

Где 1Ф 0. Положив 1х=—2, 1г =3, получим м= (Л,-2), V = (Л, 3).’ Нормировав эти векторы, запишем их координаты в столбцы, составим матрицу В:

С помощью матрицыЗаписываем искомое ортогональное преобразование

Это преобразование приводит данную квадратичную форму к каноническому виду

• Главная
• Заказать работу
• Стоимость решения
• Варианты оплаты
• Ответы на вопросы (FAQ)
• Отзывы о нас
• Примеры решения задач
• Методички по математике
• Помощь по всем предметам
• Заработок для студентов

7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду

Теорема (о приведении действительной квадратичной формы к главным осям). Всякая действительная квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к каноническому виду. Доказательство. Применим метод индукции по числу n переменных. При n=1 утверждение очевидно. Допустим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы от n-1 переменных. Рассмотрим квадратичную форму от n переменных: . Пусть – нормированный собственный вектор матрицы С, соответствующий собственному значению . Примем за первый столбец ортогональной матрицы . Матрица преобразованной квадратичной формы есть . Так как первый столбец матрицы Т есть собственный вектор , то . Тогда так как столбцы матрицы Т ортогональны и нормированы. Матрица симметрична, поэтому имеет вид , где – симметричная матрица. Рассмотрим квадратичную форму с матрицей В. В силу индуктивного предположения найдется ортогональная матрица Q такая, что . Положим . Матрица Q₁ ортогональна, так как ее первый столбец нормирован и ортогонален остальным столбцам, а остальные столбцы попарно ортогональны и нормированы в силу ортогональности матрицы Q. Тогда . Теорема доказана. Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, определяется не однозначно. Однако из доказанной теоремы следует, что каково бы ни было ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму , коэффициенты этого канонического вида равны собственным числам матрицы С, причем каждое собственное число повторяется столько раз, какова его кратность как корня характеристического уравнения. Пример. Квадратичную форму привести к каноническому виду. Решение. Определяем собственные значения матрицы квадратичной формы . Характеристическое уравнение имеет вид , откуда . Таким образом, канонический вид квадратичной формы следующий: . Найдем ортогональное преобразование, осуществляющее приведение к каноническому виду. Решая уравнение , найдем собственные векторы Преобразуя данную систему векторов в ортонормируемую систему, получим . Данная система векторов определяет ортогональную матрицу преобразования переменных . Действительно, Х=ТY, откуда . Поэтому

7.4. Положительно определенные квадратичные формы

Определение. Квадратичная форма называется положительно определенной, если все ее значения при вещественных значениях переменных, не равных одновременно нулю, положительны. Очевидно, что квадратичная форма положительно определена. Определение. Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если все ее значения отрицательны, за исключением ненулевого значения при ненулевых значениях переменных. Определение. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если она не принимает отрицательных (положительных) значений. Квадратичные формы, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются неопределенными. При n=1 квадратичная форма либо положительно определена (при a₁₁>0), либо отрицательно определена (при a₁₁ 0 – против часовой стрелки) так, чтобы в уравнении исчез смешанный член . Как найти угол , т.е. как направить новые координатные оси? Новые оси направим вдоль собственных векторов , квадратичной формы, найдем матрицу перехода С к новому базису, и преобразуя координаты в с помощью матрицы С, получим в новых координатах уравнение в каноническом виде: , где ₁, ₂ – собственные числа матрицы (см. умение 5 и соответствующий пример тренинга и рисунок 8). Рассмотрим теперь случай, когда определитель , и мы имеем случай параболический, центра нет. Тогда следует действовать по плану: 1. Находим собственные числа ₁, ₂ (при этом одно из них равно нулю) и собственные векторы , квадратичной формы. Поворачиваем исходную координатную систему ХОУ вокруг начала (0,0), направляя новые координатные оси и по собственным векторам , . Новые координаты точек и старые (х,у) связаны формулами , где С – матрица перехода от исходного стандартного базиса к базису , . 2. После подстановки в уравнение (*) вместо х, у их выражений через получим или , где придется честно пересчитать. 3. Выделяя в полученном уравнении “полный квадрат” (см. юниту по аналитической геометрии), найдем вершину параболы . Перенесем начало координат в вершину параболы с помощью параллельного сдвига осей и . В новых координатах , где получим каноническое уравнение параболы или .

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид , если ее матрица диагональная, другими словами, в квадратичной форме имеются только члены с квадратами переменных, а все попарные произведения различных переменных отсутствуют (соответствующие коэффициенты равны нулю):

где — диагональная матрица, для которой условие симметричности матрицы квадратичной формы, разумеется, выполняется.

Задача приведения квадратичной формы к каноническому виду формулируется следующим образом. Для данной квадратичной формы (6.5) требуется найти такую линейную невырожденную замену переменных (6.8), при которой квадратичная форма принимает канонический вид (6.11). Как показывает следующая теорема, эта задача всегда разрешима. Заметим, что на практике нередко бывает достаточно определить только канонический вид квадратичной формы, не указывая замены переменных.

Теорема 6.1 о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду при помощи некоторой линейной невырожденной замены переменных.

Конструктивное доказательство этой теоремы составляет содержание метода Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Для приведения квадратичной формы переменных

к каноническому виду нужно выполнить следующие действия.

1. Выбрать такую переменную ( ведущую ), которая входит в квадратичную форму во второй и в первой степени одновременно (если в квадратичной форме есть член с квадратом переменной и с произведением этой переменной на другую переменную), и перейти к пункту 2.

Если в квадратичной форме нет ведущих переменных, то выбрать пару переменных, произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом, и перейти к п.3.

Если в квадратичной форме отсутствуют произведения различных переменных, то никаких преобразований делать не надо, так как она уже имеет канонический вид.

2. По ведущей переменной выделить полный квадрат: собрать в квадратичной форме все члены с ведущей переменной, дополнить сумму этих членов до полного квадрата (разумеется, добавленные члены нужно также и вычесть, чтобы не изменилась сумма). Получим сумму полного квадрата некоторой линейной формы (в которую входит ведущая переменная) и квадратичной формы, в которую ведущая переменная не входит. Сделать замену переменных: линейную форму, содержащую ведущую переменную, принять за одну из новых переменных, а все старые переменные, за исключением ведущей, принять за соответствующие новые. Продолжить преобразования с пункта 1.

3. Выбранную пару переменных заменить на разность и сумму двух новых переменных, а остальные старые переменные принять за соответствующие новые переменные. При этом произведение пары выбранных переменных преобразуется к разности квадратов двух новых переменных, т.е. в новой квадратичной форме будут квадраты переменных с отличными от нуля коэффициентами. Продолжить преобразования новой квадратичной формы с пункта 1.

Идея метода Лагранжа состоит в том, что прием, используемый в п.2 (выделение полного квадрата), исключает одну переменную из числа ведущих. Например, если переменная — ведущая (т.е. и хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля), то выделяем полный квадрат по переменной (собираем все члены с и дополняем их сумму до полного квадрата):

Выражение, стоящее в квадратных скобках, есть полный квадрат. Поэтому

где — квадратичная форма, в которую не входит ведущая переменная — линейная форма, содержащая ведущую переменную . Обозначим , или, что то же самое, сделаем линейную замену переменных:

Тогда данная квадратичная форма преобразуется к виду .

Заметим, что в результате этого преобразования все члены, содержащие ведущую переменную в первой и второй степени, заменены квадратом одной новой переменной . В дальнейших преобразованиях переменная ух уже никогда не будет ведущей.

Многократно применяя этот прием, исключаем одну за другой все ведущие переменные, получая тем самым канонический вид квадратичной формы. Однако выделение полного квадрата невозможно, если в квадратичной форме вообще отсутствуют члены с квадратами переменных. В этом случае применяется способ, описанный в п.3, который порождает члены с квадратами переменных.

Например, в п. 1 выделена пара переменных и , произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом . Тогда нужно сделать замену переменных

При этом получим новую квадратичную форму , в которой появятся квадраты новых переменных с отличными от нуля коэффициентами, так как в результате замены член преобразуется к виду

а других членов с в новой квадратичной форме не будет.

Заметим, что при помощи метода Лагранжа не только находится канонический вид, но и определяется искомая невырожденная замена переменных. В самом деле, замены переменных (6.12), (6.13), которые производятся в п.2, 3 алгоритма, это линейные замены с матрицами

Определители матриц отличны от нуля . Следовательно, эти замены переменных невырожденные. Выполняя п.2, 3 алгоритма, можно определить матрицы используемых замен переменных. В результате их перемножения (в порядке нахождения) получается матрица искомой замены (согласно свойству 2 линейных замен переменных).

Пример 6.8. Привести квадратичную форму к каноническому виду.

1(1). В данную квадратичную форму переменная входит в первой и второй степенях одновременно. Выбираем ее в качестве ведущей.

2(1). По ведущей переменной выделяем полный квадрат:

Обозначим , тогда получим новую квадратичную форму . Продолжим преобразования, переходя к п. 1 алгоритма.

1(2). В квадратичной форме нет ведущих переменных, поскольку каждая переменная входит в форму либо во второй степени, либо в первой, но не в первой и второй степенях одновременно. Однако имеется произведение разных переменных. Переходим к п.3 алгоритма.

3(1). Заменяем выбранную пару переменных . Оставшуюся старую переменную принимаем за соответствующую новую . Получаем квадратичную форму

Переходим к пункту 1 алгоритма.

1(3). В квадратичной форме нет ведущих переменных (все переменные входят в форму во второй степени), кроме того, нет произведений различных переменных. Следовательно, квадратичная форма имеет канонический вид диагональной матрицей .

Найдем теперь невырожденную линейную замену переменных, приводящую данную форму к каноническому виду. В пунктах 2(1) и 3(1) решения выполнялись замены и с матрицами

Следовательно, матрица искомой замены находится как произведение

Получим матрицу квадратичной формы, приведенной к каноническому виду по формуле (6.10):

то есть что соответствует найденному каноническому виду.

1. Канонический вид квадратичной формы определен неоднозначно, так как зависит от последовательности выбора ведущих переменных. Сделав, например, замену переменных в (6.11), получим другую квадратичную форму, которая тоже имеет канонический вид.

2. Элементы матрицы невырожденной линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду, вычисляются при помощи арифметических операций по коэффициентам квадратичной формы. Поэтому, если коэффициенты квадратичной формы рациональные, действительные, комплексные, то и коэффициенты линейной замены рациональные, действительные, комплексные соответственно.

Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду

Рассмотрим еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, который учитывает особенности преобразования (6.10) матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных.

Две квадратные матрицы конгруэнтными , если существует такая невырожденная матрица , что . Конгруэнтными, например, являются матрицы квадратичных форм, получающиеся при невырожденной замене переменных (6.8), так как они связаны равенством (6.10).

Напомним, что главными минорами квадратной матрицы называются миноры, составленные из ее элементов, стоящих на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Например, — главный минор k-го порядка квадратной матрицы n-го порядка. Угловыми минорами квадратной матрицы

где угловой минор k-го порядка составлен из элементов матрицы

Свойства конгруэнтных матриц

1. Конгруэнтные матрицы имеют равные ранги. В самом деле, ранг произведения матрицы и 2. Матрица, конгруэнтная симметрической матрице, также является симметрической. Действительно, если , то

3. Определители действительных конгруэнтных матриц имеют одинаковые знаки. В частности, если и . В самом деле, из равенства и свойства 1 определителя следует, что , т.е. знаки величин и совпадают. Если же .

4. Если квадратные матрицы , где матрица — верхняя треугольная с единицами на главной диагонали

то все угловые миноры матриц обозначаются любые числа.

Действительно, разобьем квадратные матрицы и

Здесь обозначаются блоки соответствующих размеров, значения элементов которых для доказательства не существенны и могут быть любыми. Получили, что . Учитывая, что для любого , по свойству 3 имеем

т.е. угловые миноры и матриц .

1. Линейная невырожденная замена переменных не изменяет ранга квадратичной формы. Это следует из свойства 1 конгруэнтных матриц.

2. Ранг квадратичной формы равен количеству отличных от нуля коэффициентов в ее каноническом виде (6.11). Действительно, согласно предыдущему пункту , но ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых ее элементов.

Теорема 6.2 Якоби о каноническом виде квадратичной формы. Если квадратичная форма имеет ранг и ее угловые миноры отличны от нуля:

то ее можно привести к каноническому виду

при помощи линейной замены переменных с верхней треугольной матрицей вида (6.15).

Действительно, применяя метод Лагранжа, выбираем первую переменную в качестве ведущей и выделяем по ней полный квадрат. Другими словами, делаем линейную замену переменных (6.12). Этой замене соответствует матрица в (6.14), которая является верхней треугольной вида (6.15). Получим квадратичную форму с матрицей

где звездочкой обозначены некоторые элементы матрицы — верхняя треугольная с единицами на главной диагонали. Тогда по свойству 4 конгруэнтных матриц, получаем , следовательно . Отсюда . Значит, вторую переменную можно взять в качестве ведущей и выделить по ней полный квадрат. Для этого делаем линейную замену переменных с матрицей вида (6.15) и т.д. Условия (6.16) обеспечивают возможность применения пункта 2 метода Лагранжа раз. В результате описанных действий получается канонический вид (6.17). Формулы (6.17) для вычисления следуют из свойства 4 конгруэнтных матриц. Так как угловые миноры матриц соответственно равны (по свойству 4 конгруэнтных матриц), то

Остальные угловые миноры равны нулю , так как .

Таким образом, для нахождения канонического вида квадратичной формы методом Якоби необходимо выполнить следующие действия.

1. Составить матрицу 2. Найти первые отличных от нуля угловых миноров матрицы квадратичной формы. Если , то перейти к пункту 3, положив , то процесс закончить, так как метод Якоби неприменим. Если и , где , то найти отличный от нуля минор (r+l)-порядка, окаймляющий минор . Если такого минора нет, то перейти к пункту 3, иначе процесс закончить, так как метод Якоби неприменим.

3. Записать искомый канонический вид (6.17) квадратичной формы

1. Алгоритм метода Якоби можно модифицировать, дополнив его перенумерацией переменных. Например, замена на и, одновременно, на (короче, перенумерация ) приводит к перестановке i-й и j-й строк, а также i-го и j-го столбцов матрицы квадратичной формы. Такая замена является линейной невырожденной и не нарушает симметричности матрицы квадратичной формы. При помощи таких двойных перестановок можно любой главный минор симметрической матрицы переместить в левый верхний угол, т.е. сделать его угловым. Например, для матрицы квадратичной формы метод Якоби неприменим, так как . Перенумеровав переменные , получаем матрицу , для которой условия (6.16) применимости метода Якоби выполняются.

2. При выполнении условий теоремы 6.2 метод Лагранжа (последовательного выделения полных квадратов) соответствует методу Гаусса приведения матрицы 3. При выполнении условий теоремы 6.2 для нахождения матрицы линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия:

1) Составить блочную матрицу , приписав к матрице . В результате получить блочную матрицу , где — искомая матрица замены переменных. Элементы главной диагонали матрицы

Пример 6.9. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Якоби

1. Составляем матрицу квадратичной формы (см. пример 6.8): .

2. Вычисляем угловые миноры . Получили . Ищем отличный от нуля минор 2-го порядка, окаймляющий минор . Например, . Следовательно, метод Якоби для рассматриваемой формы применить нельзя.

Воспользуемся перенумерацией переменных (см. пункт 1 замечаний 6.6). Сделаем замену , т.е. меняем местами 1-ю и 3-ю строки и 1-й и 3-й столбцы матрицы . Применяем для нее метод Якоби.

2(1). Вычисляем угловые миноры . Найдено отличных от нуля угловых миноров.

3(1). Записываем искомый канонический вид

Этот вид отличается от полученного в примере 6.8, что соответствует п.1 замечаний 6.4.

Пример 6.10. Найти матрицу линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду

Составим матрицу квадратичной формы (см. пример 6.9 после перенумерации переменных ). Применяем к этой матрице алгоритм, описанный в пункте 3 замечаний 6.6.

1. Составляем блочную матрицу .

2. Элементарными преобразованиями III типа, выполняемыми над строками блочной матрицы, приводим ее левый блок к ступенчатому виду:

Следовательно, искомая матрица , а коэффициенты квадратичной формы имеющей канонический вид, являются элементами главной диагонали матрицы , что совпадает с результатом примера 6.9. Нетрудно проверить равенство .