Как из матрицы вычесть число

Вычитание матриц онлайн

Вычитание матриц – это операция нахождения разности двух матриц одного и того же размера, которая определяется через сложение матриц и через умножение матрицы на число.

Разность матриц А и В – это матрица С = А – В такого же размера как исходные матрицы, получаемая из исходных путем прибавления к матрице А матрицы В , умноженной на -1.
Таким образом, разность матриц выглядит так:
А_m×n – В_m×n = А_m×n + (-1) × В_m×n = А_m×n + (-В_m×n) = С_m×n

Фактически при вычитании матриц от элементов a_ij матрицы А отнимают соответствующие элементы b_ij матрицы В :
a_ij – b_ij = a_ij + (-1) × b_ij = a_ij + (-b_ij) = с_ij
где i принимает значение от 1 до m , j имеет значения от 1 до n .

Рассмотрим пример вычитания матриц равного размера 3×3 .
Даны две матрицы:

Найти разность матриц А и В .
Решение:

Вы также можете

в качестве элементов матрицы вводить целые и дробные числа, а также выражения с переменной x (например, в ячейку матрицы можно ввести 2x , или sin(x) , или даже ((x+2)^2)/lg(x) ).
Полный список доступных функций можно найти в справке.

Действия с матрицами

Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>>.

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.

Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов:

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.

2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

– умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО:

Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы.

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Образно говоря, транспонировать – это значит взять матрицу за правый верхний угол и аккуратно повернуть её «на себя» по диагонали, «стряхивая» числа в столбцы транспонированной матрицы. Такая вот у меня ассоциация.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц.

Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

Как умножить матрицы?

Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.

Начнем с самого простого:

Умножить матрицу на матрицу
Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:

– попытайтесь сразу уловить закономерность.

Умножить матрицу на матрицу

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ ).

Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!

Таким образом, при умножении переставлять матрицы нельзя!

Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

Переходим к матрицам третьего порядка:

Умножить матрицу на матрицу

Формула очень похожа на предыдущие формулы:

А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

Умножьте матрицу на матрицу

Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

Данная тема достаточно обширна, и я вынес этот пункт на отдельную страницу.

А пока спектакль закончен.

После освоения начального уровня рекомендую отработать действия с матрицами на уроке Свойства операций над матрицами. Матричные выражения.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Сложение и вычитание матриц.

Складывать и вычитать можно матрицы одного размера в результате получается матрица того же размера.

Определение.

Сложение матриц (сумма матриц) A + B есть операция вычисления матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:

Определение.

Вычитание матриц (разность матриц) A — B есть операция вычисления матрицы C, все элементы которой равны попарной разности всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:

Свойства сложения и вычитания матриц

• Ассоциативность: (A + B) + C = A + (B + C)
• A + Θ = Θ + A = A, где Θ — нулевая матрица
• A — A = Θ
• Коммутативность: A + B = B + A

Примеры задач на сложение и вычитание матриц

Найти сумму матриц A = 4 2 9 0 и B = 3 1 -3 4 .

A + B = 4 2 9 0 + 3 1 -3 4 = 4 + 3 2 + 1 9 + (-3) 0 + 4 = 7 3 6 4

Найти разность матриц A = 4 2 9 0 и B = 3 1 -3 4 .

A — B = 4 2 9 0 — 3 1 -3 4 = 4 — 3 2 — 1 9 — (-3) 0 — 4 = 1 1 12 -4

Найти значение матрицы С = 2A + 3B, если A = 4 2 9 0 4 -6 и B = 3 1 -3 4 9 1 .

C = 2A + 3B = 2 4 2 9 0 4 -6 + 3 3 1 -3 4 9 1 = 2·4 + 3·3 2·2 + 3·1 2·9 + 3·(-3) 2·0 + 3·4 2·4 + 3·9 2·(-6) + 3·1 = 17 7 9 12 35 -9

Матрица минус число. Можно ли посчитать?

Отнимать от каждого элемента? Или просто записсать Матрица минус 3.?

Лучший ответ

просто вычитать число из матрицы бессмысленно.. . наверное имеется ввиду скалярная матрица 3E, т. е.
3 0
0 3

Остальные ответы
от каждого отнимать — а смысл?
Аристарх ТурляндскийМыслитель (5671) 14 лет назад

Это ответ?
т.е. в ответе получится
-8 4
1 5

Просто у меня есть пример. и я не могу врубиться..что должно быть в ответе.

нет, имеется в виду матрица 3 0
0 0, вот ее-то и надо отнимать.

Ну почему же смысла нет? Это всё равно, что сложить матрицу с минус тремя, тогда по определению к каждому элементу матрицы следует добавить минус три (или вычесть три).

ЮрикВысший разум (117885) 14 лет назад

Да, я ошибся. Михаил прав — сложение (вычитание) определено только для двух матриц одинакового размера.
Для справки можете посмотреть в этом справочнике http://www.pm298.ru/matr3.php.

НЕЛЬЗЯ ни в коем случае . Число и матрица — это тензоры разного ранга. От матрицы можно отнять только
матрицу.

CCCРМудрец (17422) 14 лет назад
. причем того же порядка.

и как же тогда решить уравнение f(X) = X — 3, где X — матрица 3х3?
Пример во вложении?
Как их решать, умножение и сложение матриц решил, а вот с числом затрудняюсь.