Системы счисления
Числа при письме заменяются специальными знаками. Метод представления числовых эквивалентов с помощью специальной знаковой системы называется системой счисления. Системы счисления, как один из важных разделов теоретической информатики, подробно рассматриваются в курсе информатики 9 класса.
Что такое системы счисления
Системой счисления называется система записи чисел с помощью знаков по определенным правилам.
Символы, с помощью которых записываются числовые значения, обычно называют цифрами, а все вместе знаки системы счисления образуют алфавит. Количество знаков, используемых для обозначения чисел, называется основанием системы счисления.
Приведем примеры чисел систем счисления с различным основанием.
Основная десятичная система, привычная и общеупотребимая, имеет десять символов для обозначения всех чисел, то есть ее основание равно 10. Символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 представляют собой цифры. После цифры 9 в числовом ряду идет двузначное 10. При этом происходит сдвиг разрядной сетки числа влево на один разряд.
Десятичная система использует арабские цифры. Предположительно арабская система записи чисел возникла в Индии. Индийскую систему записи чисел описал Аль Хорезми в своем трактате «Об индийском счете».
Системы счисления в информатике не ограничиваются применением десятичных цифр, самыми распространенными системами являются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.
В двоичной системе счисления все просто. Основание равно 2. Обозначение чисел выполняется только двумя символами 0 и 1.
И числовой ряд двоичных чисел выглядит так: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000 и так далее.
Восьмеричная система использует 8 знаков для обозначения чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. И числовой ряд восьмеричных чисел выглядит так: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12 … Следует обратить внимание, что после 7 идет двузначное число 10, так как знаков всего восемь и происходит сдвиг разрядной сетки.
Шестнадцатеричная система имеет основание 16. Она применяет в качестве символов арабские цифры от 0 до 9 и затем буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F. В числовом ряду шестнадцатеричных чисел после 9 идет А, а после F идет 10.
Тогда возникает вопрос, как определить, в какой системе счисления, например число 107. Цифры 0, 1, 7 используются как в восьмеричной, так и в десятичной и шестнадцатеричной системе счисления. Для того чтобы различать системы, существует специальное обозначение систем счисления. Числа помечаются индексом с основанием системы. Так, 1078 – это восьмеричное число, 10710 – десятичное число, 10716 – шестнадцатеричное число.
в истории существуют примеры использования и других систем счисления. Так, некоторые коренные культуры Африки и Австралии используют двоичные и троичные системы. Индейцы Юки пользуются четверичной системой счисления, пятеричная система счисления распространена больше (по количеству пальцев на руке), ее элементы встречаются у древних персов и ацтеков, у индейцев племени Таманакос. У древних Шумеров использовалась шестидесятеричная система счисления, разбивка часа на 60 минут и минуты на 60 секунд, вероятно, отголоски этой системы.
Позиционные системы счисления
Рассмотренные системы счисления относятся к классу позиционных систем. В них числовое значение каждой цифры зависит от положения в числе. Например, в десятичном числе 126 единица означает сотню, а в числе 216 единица уже на другом месте и обозначает десять.
Каждое число позиционной системы счисления можно представить как в свернутом виде, например, 126, так и в развернутом: 1*10 2 + 2*10 1 + 6*10 0 , то есть 100 + 20 +6 =126.
Аналогично, двоичное число 111001 = 1*2 5 + 1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0
Восьмеричное число: 247 = 2*8 2 + 4*8 1 + 7*8 0
Шестнадцатеричное число: 2A5F = 2*16 3 + A*16 2 + 5*16 1 + F*16 0
Используя развернутую форму, можно переводить числа из любой системы счисления в десятичную систему.
Непозиционные системы счисления
Кроме позиционных систем, существуют также непозиционные системы, в которых расположение цифры в числе не влияет на его числовое значение. Например, римская система цифр строится на основе символов I, V, X, L, C, D, M, которые означают соответственно 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Так, римское XVII означает 17. Получено путем суммирования 10 + 5 + 1 + 1.
Еще один пример: число 14 римскими цифрами записывается как XIV. Здесь использованы символы X, I, и V, которые обозначают 10, 1 и 5. Существует правило, согласно которому, меньшее число стоящее слева от большего следует вычитать из него. То есть I (1) меньше V (5), поэтому 5 – 1 = 4. И тогда число XIV получается как 10 + (5 – 1) = 14
Например, 1985 год в римской системе выглядит так MCMLXXXV: 1000 + (1000 – 100) + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 = 1985
Самой первой системой счисления в истории человечества была унарная система, в которой использовался только один знак, или точнее один камень, палочка или засечка. Конечно, с помощью такой системы записать большие числа практически невозможно. Поэтому древние люди стали заменять группы палочек другим символом.
Что мы узнали?
Числа для удобства записи представляются с помощью системы символов, которая называется системой счисления. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах количество используемых знаков называется основанием. В информатике используются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления.
Системы счисления
Система счисления — это набор символов и правила их применения для представления чисел.
Системы счисления могут быть позиционными и непозиционными. В позиционных системах значение цифры зависит от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, а в непозиционных — не зависит.
В качестве примера непозиционной можно привести римскую систему счисления, в которой были приняты семь базовых чисел. В следующей таблице символам римской системы сопоставлены числа в десятичной:
Символ | I | V | X | L | C | D | M |
Число | 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
Остальные числа получаются в результате сложения и вычитания по следующему правилу: если меньшее базовое число предшествует большему (стоит левее в записи), то оно вычитается, если же за базовым числом стоит меньшее или оно последнее — то складывается с результатом, при этом подряд не должно стоять больше трех одинаковых символов. Например,
MCDXCVIII: 1000 — 100 + 500 — 10 + 100 + 5 + 1 + 1 + 1 = 1498
Максимальным числом, которое можно представить в классической римской системе является 3999.
В нашей повседневной жизни мы пользуемся десятичной позиционной системой счисления. В ней десять цифр — от 0 до 9, а их значение зависит от позиции. Цифра, которая находится в самом младшем (правом) разряде записи числа, обозначает количество единиц в числе. Цифра в следующем, более старшем разряде (левее самого младшего), обозначает количество десятков, в следующем — количество сотен, и т.д..
Количество цифр, используемых в системе счисления, называется основанием системы. В таблице приведены примеры, распространенных в информатике систем счисления, их основания и наборы цифр (алфавит):
Система счисления | Основание | Используемые цифры |
Десятичная | 10 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
Двоичная | 2 | 0, 1 |
Восьмеричная | 8 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
Шестнадцате- ричная |
16 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F |
Так как обычных цифр всего десять, то для обозначения остальных цифр в шестнадцатеричной системе используются буквы латинского алфавита.
Основной системой в информатике является двоичная, потому что вычисления реализовать в электронных устройствах оказывается достаточно просто именно в этой системе. Современная компьютерная техника основана на электронных логических элементах, имеющих два уровня сигнала — низкий и высокий, соответствующих нулю и единице.
Ниже приведена таблица первых шестнадцати чисел в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления:
Основание системы | |||
10 | 2 | 8 | 16 |
0 | 0000 | 00 | 0 |
1 | 0001 | 01 | 1 |
2 | 0010 | 02 | 2 |
3 | 0011 | 03 | 3 |
4 | 0100 | 04 | 4 |
5 | 0101 | 05 | 5 |
6 | 0110 | 06 | 6 |
7 | 0111 | 07 | 7 |
8 | 1000 | 10 | 8 |
9 | 1001 | 11 | 9 |
10 | 1010 | 12 | A |
11 | 1011 | 13 | B |
12 | 1100 | 14 | C |
13 | 1101 | 15 | D |
14 | 1110 | 16 | E |
15 | 1111 | 17 | F |
Можно заметить, что во всех системах при последовательной записи чисел, сначала используется один разряд, в котором меняется цифра (символ алфавита системы), после того, как цифры исчерпаны, для представления следующего числа уже необходимо две цифры и оно обозначается как 10. В общем случае имеет место быть равенство:
где q — основание системы счисления, а 10q читается как один, ноль. Нижний индекс указывает в какой системе записано число. Для приведенных в таблице систем: 2=102, 8 = 108, 16 = 1016.
Также в таблице можно заметить, что трех-разрядному двоичному числу соответствует одноразрядное восьмеричное, а четырех-разрядному двоичному — одноразрядное шестнадцатеричное. Это значит, что зная эту таблицу, можно производить прямое преобразование между двоичным и восьмеричным, а также между двоичным и шестнадцатеричным числами.
Например, чтобы перевести 11010102 в шестнадцатеричного число, разделим условно число на группы по четыре разряда: 0110 1010, при этом отсчет ведем с младшего (правого) разряда, а группу, в которой разрядов меньше четырех, дополняем справа нулями. По таблице находим соответствие: 0110 — это 6, 1010 — A. Получилось — 6A16.
Переведем число 2738 в двоичный вид. 28 — 0102, 78 — 1112, 38 — 0112, записываем последовательно и получаем — 0101110112.
Перевод в десятичную систему счисления
Для n-разрядного целого числа в десятичной системе справедливо выражение:
где
Х10 — число, записанное в десятичной системе, в нижнем индексе указано основание системы,
Аn-1 .. А0 — цифры в соответствующих разрядах числа.
Это выражение — разложение десятичного числа по степеням десяти — основания системы. Например, для числа 7583:
758310 = 7⋅10 3 + 5⋅10 2 + 8⋅10 1 + 3⋅10 0
Аналогичное выражение справедливо для любой позиционной системы счисления:
где
q — основание системы счисления,
Xq— число, записанное в системе счисления с основанием q,
Аn-1 .. А0 — цифры в соответствующих разрядах числа.
2C416 = 2⋅16 2 + 12⋅16 1 + 4⋅16 0 = 2⋅256 + 12⋅16 + 4⋅1 = 512 + 192 + 4 = 70810
Для числа с дробной частью:
10011,1012 = 1⋅2 4 + 0⋅2 3 + 0⋅2 2 + 1⋅2 1 + 1⋅2 0 + 1⋅2 -1 + 0⋅2 -2 + 1⋅2 -3 =
= 16 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = 19,62510
Перевод числа из десятичной системы в другие
Для перевода из десятичной системы в другую применяется метод последовательного деления числа на основание системы, в которую переводят, до тех пор, пока частное не окажется меньше основания другой системы. Результат записывается слева направо следующим образом: первым записывается последнее полученное частное, затем записывается каждый остаток последовательного деления в обратном порядке.
Например, переведем число 16910 в двоичную систему:
169 | 2 | ||
-168 | 84 | 2 | |
1 | -84 | 42 | 2 |
0 | -42 | 21 | 2 |
0 | -20 | 10 | 2 |
1 | -10 | 5 | 2 |
0 | -4 | 2 | 2 |
1 | -2 | 1 | |
0 |
Результат записываем, как показано стрелками: 101010012. Заметим, что в результате первого деления, полученный остаток является самым младшим разрядом числа в другой системе счисления.
Чтобы перевести дробную часть числа, представленному в десятичной системе, надо применить другой метод — последовательное умножение дробной части на основание системы, в которую переводим. Допустим, нужно перевести 0,37510 в двоичную систему счисления.
0, | 375 | ⋅ 2 |
0 | 750 | ⋅ 2 |
1 | 500 | ⋅ 2 |
1 | 000 |
Вычисления метода удобно записывать в виде столбика, Проводится вертикальная черта, отделяющая дробную часть, Если в результате умножения дробной части получаем число, в котором количество разрядов совпадает с количеством разрядов дробной части, то в следующей строке слева от вертикальной черты пишем 0, если же больше, то старшие разряды полученного произведения, превышающие дробную часть по количеству разрядов. Справа от черты пишем младшие разряды полученного произведения в количестве равным количеству разрядов дробной части.
В нашем случае, 375 ⋅ 2 = 750, значит, во второй строке пишем слева от черты 0, а справа — 750. Снова умножаем на 2 полученную дробную часть — 750 ⋅ 2 = 1500. Число разрядов 4, поэтому в следующей строке 1 пишем слева от черты, а 500 — справа. Теперь умножаем 500 на 2, заметьте, что умножаем только часть полученного числа, стоящую справа от черты. 500 ⋅ 2 = 1000. В следующей строке пишем 1 слева от черты, 000 — справа. Дальнейшее умножение не имеет смысла, так как будем получать всегда 0. Результатом перевода будет левый столбик — 0,0112.
Не всегда последовательное умножение приводит к получению конечной дроби, тогда умножение проводят столько раз, сколько требуется по условиям задачи, т.е. сколько знаков требуется после запятой.
Переведем 3427,58 из десятичной системы в шестнадцатеричную с точностью дробной части 4 знака после запятой.
Переводим целую часть методом деления:
3427 | 16 | |
-32 | 214 | 16 |
22 | -16 | 13 |
-16 | 54 | |
67 | 48 | |
64 | 6 | |
3 |
Так как 13 в шестнадцатеричной системе — D, то результат — D6316.
Переведем дробную часть:
0, | 58 | ∗ 16 |
9 | 28 | ⋅ 16 |
4 | 48 | ⋅ 16 |
7 | 68 | ⋅ 16 |
10 | 88 |
Полученное число D63,947A16.
Арифметические операции с числами в двоичной системе счисления
Методы арифметических операций с двоичными числами точно такие, какие используются для операций с десятичными числами. Рассмотрим несколько примеров.
+ | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||||
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
Записываем числа один под другим, при этом числа должны быть «выровнены» по правому краю. Складываем поразрядно, начиная с младших (правых) разрядов. При этом, если сумма разрядов получается двух-разрядной — старший переносим на следующий разряд общего результата.
. | . | . | . | |||||
— | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 0 | 1 | ||||
1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
∗ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
1 | 0 | 1 | ||||||
+ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
1 | 0 | 1 | 0 | |||||
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
110010 | 101 |
-101 | 1010 |
101 | |
-101 | |
00 |
Свойства двоичных чисел
Число 2 N в двоичной системе счисления записывается как единица и N нулей, например
Аналогично, для любой другой системы счисления, число q N в q-ой системе счисления записывается как единица и N нулей, например
Число 2 N — 1 в двоичной системе счисления записывается как N единиц, например
Для любой системы счисления, число q N — 1 в q-ой системе счисления записывается как N цифр (q-1), например
2 5 — 2 2 = 111002.
Для системы счисления с основанием q, число q N — q K , при K < N записывается как (N - K) цифр (q-1) и K нулей, например
3 5 — 3 2 = 222003.
Имеют место быть выражения:
2 N + 2 N = 2 ∗ 2 N = 2 N+1 ,
— 2 N = — 2 N+1 + 2 N .
Система счисления
Система счисления — это способ, которым записывают и представляют числа. Самая распространенная в нашем обществе — десятичная система, в которой используют цифры от 0 до 9. Но есть и другие системы счисления, их чаще всего используют в информатике и программировании.
«IT-специалист с нуля» наш лучший курс для старта в IT
IT-специалист с нуля
Наш лучший курс для старта в IT. За 2 месяца вы пробуете себя в девяти разных профессиях: мобильной и веб-разработке, тестировании, аналитике и даже Data Science — выберите подходящую и сразу освойте ее.
Профессия / 8 месяцев
IT-специалист с нуля
Попробуйте 9 профессий за 2 месяца и выберите подходящую вам
У большинства используемых систем счисления есть основание. Так называют число, на котором начинается другой разряд. Например, для десятичной системы это число 10 — первое, которое начинают записывать двумя цифрами, а не одной. Потом разряд меняется на числе 100 — десять десяток. И так далее.
Еще у систем счисления есть алфавит — набор цифр, которые используют в той или иной системе. В той же привычной нам десятичной системе алфавит состоит из цифр от 0 до 9, а дальше уже приходится комбинировать несколько цифр. У систем с бо́льшим основанием алфавит может быть более длинным, поэтому для «дополнительных» цифр придумывают новые обозначения. Например, в шестнадцатеричной системе наравне с привычными цифрами используют буквы от A до F.
Считается, что десятичная система стала основной, потому что в древности люди для подсчета предметов загибали пальцы. Пальцев у человека десять, и это стало удобной основой — люди стали считать вещи десятками.
Зачем нужны системы счисления
По сути, система счисления — это просто способ, которым записывают число. Одно и то же число в разных системах может выглядеть по-разному, но при этом его суть останется прежней.
Например, в десятичной системе счисления число выглядит как 20. В шестнадцатеричной — как 14. А в римской записи — как XX. Да, римская запись чисел — тоже система счисления.
Изначально разные системы счисления появились в разных обществах в зависимости от их особенностей — те же римские и арабские цифры. В современном мире назначение у них немного другое. Дело в том, что люди привыкли мыслить десятками, а вот компьютеры — нет. Компьютеры изначально воспринимают числа в двоичной системе счисления, в которой существует только две цифры: 0 и 1. Всё, что больше единицы, уже считается числом из двух и более разрядов.
Для десятичной системы числовой ряд выглядит так: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6… А для двоичной — так: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110… Позже мы разберем, как это работает.
Еще для компьютеров удобны восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления, основания которых — 8 и 16 соответственно. Мы тоже рассмотрим их позже. Реже применяются другие системы: троичная, шестеричная, двенадцатеричная и так далее.
Курс для новичков «IT-специалист
с нуля» – разберемся, какая профессия вам подходит, и поможем вам ее освоить
Кто и для чего использует системы счисления
Для компьютеров двоичная, шестнадцатеричная и другие системы счисления естественнее, чем десятичная. Поэтому и людям иногда приходится пользоваться ими при работе с вычислительной техникой. Вот несколько примеров:
- цвета в формате RGB описывают числами в шестнадцатеричной системе. Например, белый — это #FFFFFF, а черный — #000000. Да, F в этом случае — тоже цифра;
- символы в разных кодировках, например ASCII или UTF-8, тоже описывают числами в шестнадцатеричном формате. Иногда их же представляют в виде двоичных чисел;
- в некоторых языках программирования, особенно в низкоуровневых вроде ассемблера, приходится работать с данными на уровне бит и байт — а способы хранения данных тесно связаны с двоичной и восьмеричной системами счисления.
Разработчики, которые имеют дело только с высокоуровневыми языками вроде JavaScript, как правило, редко сталкиваются с системами счисления. Но понимать, как они устроены, айтишнику всё равно нужно — чтобы лучше разбираться в том, как функционируют компьютеры.
Позиционные и непозиционные системы счисления
Системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные. Расскажем, что это значит и чем они различаются.
Непозиционные. Так называют системы, в которых не важна позиция цифры в числе. Где бы цифра ни находилась, она всегда имеет одно и то же значение. Самый яркий пример — унарная система счисления, она же единичная. Ее даже иногда выделяют в отдельный вид. В ней существует только одна цифра — 1. Поэтому, например, число 5 будет записываться как 11111. Если поменять единицы местами — ничего не изменится.
Непозиционные системы счисления считаются самыми древними. Они возникли, когда люди впервые начали что-то подсчитывать и использовали для этого палочки, узелки или собственные пальцы. Позже они начали «группировать» цифры в числа, и возникли позиционные системы счисления.
Второй пример непозиционной системы, менее очевидный, — римская запись. Символ X всегда будет означать десятку, а символ V — пятерку, в каком бы месте их ни поставили. Даже в числах вроде IV, где I перед V означает «-1», I всё равно будет единицей, а V — пятеркой. От положения цифры зависит только ее знак, но не ее вес.
Непозиционные системы используются редко. В них нет нуля, нет дробных чисел и других инструментов, которые бывают важны в современных вычислениях.
Позиционные. Сюда относятся десятичная, двоичная и большинство других современных систем счисления. В таких системах есть разряды, зависящие от позиции. Значение цифры меняется в зависимости от того, в каком месте она находится. Например, в числе 15 пятерка означает «пять единиц», а в числе 54 — «пять десятков».
Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная система тоже позиционные. В целом такие системы используют чаще, чем непозиционные, за исключением некоторых узких сфер. Например, в некоторых комбинаторных расчетах используют непозиционную биномиальную систему — она основана на биноме Ньютона.
Позиционные системы счисления в свою очередь делятся на две категории — однородные и смешанные.
- Однородные системы — такие, в которых правила записи одинаковые для всех разрядов. В каждом разряде можно использовать один и тот же алфавит. Десятичная система именно такая. И в единицах, и в десятках, и в сотнях или тысячах мы пользуемся цифрами от 0 до 9.
- Смешанные системы — такие, где у разных разрядов различаются правила записи или даже основание. Например, система подсчета времени. У разряда «минуты» основание 60, и минуты можно обозначать числами от 0 до 59. На 60 число переходит в разряд «часы». А у разряда «часы» основание 24, и количество часов можно обозначать цифрами от 0 до 23. На 24 число переходит в разряд «сутки». И так далее.
Смешанные системы используют реже, чем однородные — исключением можно назвать разве что подсчет времени. Но, например, смешанной системой считается факториальная: 2! — это 2, 3! — уже 6, а 4! — 24. Видно, что основание меняется, а сама система нелинейная.
Распространенные системы счисления в информатике
Практически все системы, которые используют в компьютерной технике, — позиционные и однородные. Как правило, у них четное основание, которое соответствует какой-либо из степеней двойки. Это связано с особенностями хранения данных в памяти компьютера. Рассмотрим три наиболее популярных в информатике системы счисления: двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.
Двоичная. Это система с основанием 2 и алфавитом, который состоит всего из двух цифр — 0 и 1. Необходимость использовать двоичную систему появилась из-за того, как компьютеры представляют информацию: в виде бит. Бит может принимать только значение «0» или «1» — «тут нет единицы информации» или «тут есть единица информации».
- 0 означает ноль, отсутствие информации.
- 1 означает единицу, например записанную в какую-то ячейку памяти.
- Цифры 2 в системе нет. Если число достигает значения 2, оно переходит в другой разряд и записывается как 10 — одна двойка и ноль единиц. Соответственно, число 3 будет записываться как 11 — одна двойка и одна единица.
- Дальше разряды увеличиваются по тому же принципу. Число 4 — это 100, то есть две двойки и 0 единиц. Число 8 — 1000, и так далее. Каждая новая степень двойки — новый разряд.
Напрямую работать с двоичным, или бинарным кодом разработчикам приходится редко. Но для общего понимания важно знать, как устроена двоичная система. Именно в таком виде на самом глубоком уровне хранятся данные в компьютере — как последовательности из нулей и единиц.
Восьмеричная. Эту систему используют чуть реже, чем двоичную и шестнадцатеричную. Чаще всего ее упоминание можно встретить при работе с низкоуровневыми языками программирования, которые близки к «железу» и способны обрабатывать данные напрямую. Компьютеры объединяют части бинарного кода в блоки по 8 двоичных цифр — байты. Отсюда появилась и необходимость работать с восьмеричной системой.
- Основа системы счисления — 8. Это значит, что от 0 до 7 цифры идут как обычно, а когда число доходит до 8, начинается другой разряд и число записывается как 10.
- Соответственно, число 9 будет записываться как 11, а число 10 — как 12.
- Число 16 в восьмеричной системе записывается как 20, потому что шестнадцать — это два раза по восемь. И так далее.
- Число 64 в восьмеричной системе будет выглядеть как 100, потому что это восемь раз по восемь.
Шестнадцатеричная. С этой системой счисления сталкиваются не только разработчики, но и, например, дизайнеры — в ней кодируются цвета RGB. Еще в этой системе записываются коды символов во многих кодировках. Основание шестнадцатеричной системы — число 16. Оно больше десяти, поэтому в алфавите появляются дополнительные цифры, которые обозначают буквами.
- От 0 до 9 цифры идут как обычно. Но на десяти разряд еще не меняется, поэтому для обозначения десятки нужна новая цифра. В качестве этой «цифры» используют латинскую букву A.
- Соответственно, «цифра» 11 — это B, 12 — C, и так далее до F, которая обозначает «цифру» 15.
- Когда счет доходит до шестнадцати, разряд меняется. Следующее число после F в шестнадцатеричной системе — 10.
- Числа в шестнадцатеричной системе выглядят меньше, чем в десятичной. Например, 100 в шестнадцатеричной системе — это 16 раз по 16, то есть 16 в квадрате. В десятичной системе это число 256.
- Цифры в виде букв могут встречаться в начале, конце или середине числа. Например, 1A — это 26. Единица обозначает один раз по шестнадцать, а A — «цифру» десять.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Иногда число в одной системе счисления нужно представить в другой. Для этого используют специальные алгоритмы, чтобы упростить задачу и не высчитывать разряды вручную.
Перевод из десятичной системы в другую. Алгоритм такой: нужно шаг за шагом делить число в десятичной системе на основание той системы, в которую мы его переводим. Это делается до тех пор, пока исходное число не станет равным 0. Остаток от деления — это цифра в новом числе. Остатки записывают начиная с последнего и заканчивая первым и так получают число в нужной системе счисления.
Например, число 13 в десятичной системе мы хотим перевести в двоичную.
- Мы делим 13 на 2 — получаем 6, остаток 1.
- Потом делим 6 на 2 — получаем 3, остаток 0.
- Потом делим 3 на 2 — получаем 1, остаток 1.
- Потом делим 1 на 2 — получаем 0, остаток 1.
- Исходное число стало равным нулю — значит, мы закончили. Теперь записываем остатки в обратном порядке: 1, 1, 0, 1. Выходит число в двоичной системе — 1101.
Перевод из любой системы в десятичную. Тут способ немного более запутанный, но на самом деле несложный. Нужно взять число в нужной системе счисления и пронумеровать его разряды с конца, начиная с 0. Самая последняя цифра — нулевой разряд, вторая с конца — первый разряд, и так далее. Затем каждую из цифр нужно умножить на основание системы счисления, которое предварительно возвели в степень номера разряда. Полученные числа нужно сложить.
Например, есть число 93 в шестнадцатеричной системе счисления. Мы хотим перевести его в десятичную.
- Нумеруем разряды числа. У цифры 9 номер 1, у цифры 3 номер 0.
- Основание системы — 16. 16 в первой степени — это 16, а 16 в нулевой степени — это 1.
- Цифру 9 мы умножаем на 16, а цифру 3 — на 1. Получаем числа 144 и 3.
- Складываем 144 и 3, получаем число 147 в десятичной системе счисления.
Еще существуют алгоритмы для перевода дробных чисел или для перевода между системами счисления, отличными от десятичной. Но мы пока остановимся на этих двух. Вы можете изучить способы перевода подробнее в туториалах и на курсах.
Как изучить системы счисления
Часто системы счисления проходят в школе на уроках информатики или математики. Но не всегда эту тему включают в программу. Тем не менее это одно из базовых понятий компьютерных наук — для успешной карьеры в IT лучше понимать, что такое системы счисления и как они работают. Вы можете воспользоваться онлайн-учебниками, статьями и туториалами или бесплатными курсами по основам информатики. Так как тема считается базовой, информации по ней много, в том числе ориентированной на новичков.
В какой системе счисления выполняется равенство
Система счисления — это математическая нотация, которая используется для представления чисел. В нашей повседневной жизни мы привыкли использовать десятичную систему счисления, в которой числа представляются с помощью цифр от 0 до 9. Однако существуют и другие системы счисления, в которых используются различные наборы цифр.
Вопрос о том, в какой системе счисления выполняется равенство, является достаточно интересным и необычным. В большинстве случаев равенство выполняется в той же системе счисления, в которой записаны исходные числа. Но существуют и исключения, когда равенство может выполняться в других системах.
Особенностью таких случаев является то, что числа в разных системах счисления могут иметь разное количество цифр и различную интерпретацию. Например, в двоичной системе счисления числа представляются с помощью двух цифр — 0 и 1, а восьмеричная система использует восемь цифр — от 0 до 7. При этом одно и то же число может быть записано в разных системах по-разному.
Пример:
Рассмотрим равенство 10 + 5 = 15. В десятичной системе счисления это равенство выполняется, так как 10 + 5 = 15. Однако, если перевести числа 10, 5 и 15 в двоичную систему счисления, то получим: 10 (2) + 101 (2) ≠ 1111 (2). То есть, в двоичной системе счисления данное равенство не выполняется.
Также стоит отметить, что равенство может выполняться в системах счисления, отличных от целочисленных. Например, в шестнадцатеричной системе счисления, где используются цифры от 0 до 9 и буквы от A до F, представление чисел более компактно. Поэтому равенство в какой-то определенной системе счисления может стать более очевидным, чем в других.
Таким образом, вопрос о том, в какой системе счисления выполняется равенство, имеет неоднозначный ответ. Он зависит от контекста и особенностей системы счисления, в которой записаны числа. В некоторых случаях равенство может выполняться только в определенных системах счисления, а в других может нарушаться.
Определение и принципы равенства в разных системах счисления
В разных системах счисления, таких как двоичная, десятичная и шестнадцатеричная, равенство имеет общие принципы и определение, но может выглядеть по-разному из-за различий в символах и структуре этих систем.
1. Определение равенства:
Равенство в системе счисления подразумевает совпадение чисел или выражений по значению. Другими словами, два числа или выражения считаются равными, если их значения одинаковы.
2. Принципы равенства:
- Символы и их значения: В разных системах счисления для представления чисел используются различные наборы символов. Например, в двоичной системе счисления применяются только два символа 0 и 1, в то время как в десятичной системе счисления применяются все десять цифр от 0 до 9.
- Позиционная система: Во всех системах счисления, кроме двоичной, используется позиционная система, где каждая цифра имеет свою позицию и вес. Например, в десятичной системе счисления число 324 состоит из цифр 3, 2 и 4, где цифра 3 находится в позиции с весом 100, цифра 2 — в позиции с весом 10 и цифра 4 — в позиции с весом 1.
- Структура чисел: В разных системах счисления числа могут быть представлены по-разному. Например, в восьмеричной системе счисления используются восемь символов от 0 до 7, в шестнадцатеричной — шестнадцать символов от 0 до 9 и от A до F.
Примеры равенства в разных системах счисления:
Система счисления | Примеры равенства |
---|---|
Двоичная | 1010 = 10 |
Десятичная | 123 = 123 |
Восьмеричная | 777 = 777 |
Шестнадцатеричная | ABC = ABC |
Во всех примерах числа слева и справа от знака равенства имеют одинаковое значение, просто представленное в разных системах счисления.
Особенности и свойства чисел в двоичной системе счисления
Двоичная система счисления является основой для работы с компьютерами, так как их основной элемент — транзистор — может быть представлен двумя состояниями: включено и выключено, что соответствует цифрам 0 и 1 в двоичной системе.
В двоичной системе числа записываются с использованием только двух цифр: 0 и 1. Каждая позиция в числе имеет свой вес, который равен степени числа 2. Например, число 101 в двоичной системе равно (1 * 2^2) + (0 * 2^1) + (1 * 2^0) = 5.
Основные особенности и свойства чисел в двоичной системе:
- Ограниченность: в двоичной системе нет десятичного разделителя, поэтому вещественные числа записываются с использованием экспоненты.
- Удобство работы с целыми числами: операции сложения и вычитания в двоичной системе счисления аналогичны операциям в десятичной системе, но выполняются быстрее.
- Удобство работы с отрицательными числами: для записи отрицательных чисел в двоичной системе используется дополнительный код. Первый бит числа является знаковым: 0 для положительных чисел и 1 для отрицательных. Остальные биты числа представляются с использованием дополнительного кода, который получается инвертированием битов числа и добавлением единицы.
- Битовые операции: в двоичной системе можно выполнять операции логического И, ИЛИ, исключающего ИЛИ, сдвига и др., которые широко используются при работе с компьютерными данными.
Двоичная система счисления имеет свои особенности и применение в различных областях, связанных с компьютеризацией, а также в теории информации и математике.
Примеры равенства чисел в восьмеричной системе счисления
Восьмеричная система счисления использует 8 цифр (от 0 до 7) для представления чисел. Здесь приведены некоторые примеры равенства чисел в восьмеричной системе.
-
10 (десятичная) = 12 (восьмеричная)
В десятичной системе число 10 записывается как 10, а в восьмеричной системе это число записывается как 12.
В десятичной системе число 25 записывается как 25, а в восьмеричной системе это число записывается как 31.
В десятичной системе число 100 записывается как 100, а в восьмеричной системе это число записывается как 144.
В десятичной системе число 500 записывается как 500, а в восьмеричной системе это число записывается как 764.
В десятичной системе число 1000 записывается как 1000, а в восьмеричной системе это число записывается как 1750.
Это лишь некоторые примеры равенства чисел в восьмеричной системе счисления. Однако, для большинства людей более привычна десятичная система счисления, где числа записываются с использованием 10 цифр (от 0 до 9).
Как выполняется равенство чисел в десятичной системе счисления
В десятичной системе счисления равенство чисел выполняется путем сравнения их цифр в разрядах. Все числа в десятичной системе имеют десять цифр — от 0 до 9.
При выполнении равенства чисел в десятичной системе следует соблюдать следующие правила:
- Сравниваются цифры чисел в одинаковых разрядах, начиная с самого левого разряда.
- Если цифры одинаковые, переходим к сравнению цифр следующего разряда.
- Если в каком-то разряде у чисел отличаются цифры, то меньшим считается число, у которого цифра в данном разряде меньше.
- Если все цифры чисел совпадают, то числа считаются равными.
Например, для выполнения равенства чисел 567 и 579:
Разряд числа | 5 | 6 | 7 |
---|---|---|---|
567 | 5 | 6 | 7 |
579 | 5 | 7 | 9 |
В данном случае, первые две цифры чисел совпадают, но третья цифра различается. Цифра 7 в третьем разряде числа 579 больше цифры 6 в третьем разряде числа 567, поэтому число 579 больше числа 567.
Равенство чисел в шестнадцатеричной системе счисления: особенности и примеры
Шестнадцатеричная система счисления (или шестнадцатиричная система) является позиционной системой счисления, основанной на числе 16. Она использует 16 различных цифр, включающих числа от 0 до 9 и буквы от A до F, чтобы представить числа.
В шестнадцатеричной системе счисления равенство чисел выполняется также, как и в десятичной системе счисления. Для того чтобы определить равенство двух чисел в шестнадцатеричной системе, нужно сравнить их цифры по каждому разряду.
Например, рассмотрим числа A3 и B5. В шестнадцатеричной системе А соответствует 10, а В — 11. Чтобы определить, равны ли эти числа, нужно сравнить их цифры по разрядам:
Разряд | A3 | B5 |
---|---|---|
16 1 | A | B |
16 0 | 3 | 5 |
Таким образом, можно увидеть, что A3 не равно B5, так как цифры в сотнях различаются. Однако, если сравнить числа A3 и A3, можно увидеть, что они равны, так как все их цифры совпадают.
Вопрос-ответ
Какая система счисления используется для выполнения равенств?
Для выполнения равенств можно использовать разные системы счисления, такие как двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.
Какие особенности имеет выполнение равенств в разных системах счисления?
В разных системах счисления имеются свои особенности при выполнении равенств. Например, в двоичной системе счисления единицей является только цифра 1, а в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления есть буквы, обозначающие числа больше 9. В десятичной системе счисления наиболее распространенной и понятной является запись чисел и выполнение равенств.
Какая система счисления наиболее удобна для выполнения равенств?
Понятие удобности системы счисления для выполнения равенств может быть субъективным и зависит от предпочтений каждого человека. Однако наиболее распространенной и понятной системой счисления является десятичная система, так как большинство людей привыкли работать и мыслить в десятичных числах.