«Сакральный» смысл чисел в верованиях и учениях. Справка
С глубокой древности числа играют важную и многогранную роль в жизни человека. Древние люди приписывали им особые, сверхъестественные свойства; одни числа сулили счастье и успех, другие могли вызвать удар судьбы.
С глубокой древности числа играют важную и многогранную роль в жизни человека. Древние люди приписывали им особые, сверхъестественные свойства; одни числа сулили счастье и успех, другие могли вызвать удар судьбы. Во многих культурах, особенно в вавилонской, индуистской и пифагорейской, число — начало всех вещей. Признанными специалистами в области применения чисел были древние индийцы, египтяне, халдеи. У китайцев нечетные числа — это ян, небо, непреложность и благоприятность; четные числа — это инь, земля, изменчивость и неблагоприятность.
В христианстве до учений святых Августина и Александра символизм чисел был развит слабо.
Классическая или Пифагорейская школа.
Основоположником европейского учения о числах был Пифагор, которому приписывают высказывание: «Мир построен на силе чисел». В его школе познание свойств чисел являлось первой ступенью на пути к эзотерическому знанию. Числа, по Пифагору, имеют как количественные, так и качественные черты. Изучая свойства чисел, пифагорейцы первые обратили внимание на законы их делимости. Они разбили все числа на четные — «мужские» и нечетные — «женские», или иначе «гномоны» и, что очень важно, на простые и составные. Пифагорейцы называли составные числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, «плоскими числами» и изображали их в виде прямоугольников, а составные числа, представимые в виде произведения трех сомножителей, — «телесными числами» и изображали их в виде параллелепипедов. Простые числа, которые нельзя представить в виде произведений, они называли «линейными числами».
Совершенными числами пифагорейцы считали такие числа, которые были равны сумме своих делителей (исключая само число), как, например, 6=1+2+3 или 28=1+2+4+7+14. Совершенных чисел не много. Среди однозначных — это только 6, среди двузначных, трехзначных и четырехзначных — только 28, 496 и 8128 соответственно. Два числа, обладающие тем свойством, что сумма делителей одного из них равняется другому, назывались «содружественными».
В дальнейшем греческая нумерологическая система была заимствована европейцами, а позднее была перенесена в Россию.
Практически в каждой мировой религии есть свои «священные числа», а каждое число символизирует определенное значение.
ЦИФРА «0» имеет тот же символизм, что и пустой круг, указывающий как на отсутствие смерти, так и на абсолютную жизнь, находящуюся внутри круга.
Для Пифагора ноль — это совершенная форма.
В даосизме ноль символизирует пустоту и небытие.
В буддизме — это пустота и безвещественность.
В исламе — это символ Сущности Божества.
В ученье Каббалы — безграничность, свет беспредельный, единое.
ЦИФРА «1» означает первичное единство, начало, Создателя.
ЦИФРА «2» означает двойственность.
По Пифагору диада — разделенное земное существо.
В буддизме двойка — это двойственность сансары, мужское и женское, мудрость и метод, слепой и хромой, объединившиеся для того, чтобы видеть путь и идти по нему.
В Китае — это инь, женское, земное, неблагоприятное начало.
В христианстве — Христос имеет две природы: Бога и человека.
В еврейской традиции — жизненная сила.
В Каббале — мудрость и самосознание.
В индуизме — двойственность, шакта — шакти.
В исламе — дух.
ЦИФРА «3». Идея триендинства составляет основу многих древних философских и религиозных учений. С тройкой связывают трёхмерность пространства: длина-ширина-высота; трёхфазность вещества: твёрдое тело-жидкость — пар; триединство времени: прошлое — настоящее — будущее; человека (тело , душа и дух), а также рождение, жизнь и смерть; начало, середина и конец; прошлое, настоящее и будущее; три фазы Луны; триединство Мира; во многих религиях верхний Мир — это небо, средний — земля, нижний — вода.
Тройка — небесное число, символизирующее душу. Это — число удачи.
В христианстве: Святая Троица: Отец, Сын и Святой Дух; единство тела и души в человеке и Церкви. Три ипостаси — это догмат троицы, что является отличительной особенностью христианства от ислама и иудаизма. Поэтому число «3» — это священное число Христианства. В Библии говорится о трех дарах волхвов Христу как Богу, Царю и Искупительной Жертве, трех образах Преображения, трех искушениях, трех отречениях Петра, трех крестах на Голгофе, трех днях смерти Христа, трех явлениях после смерти, трех качествах, или богословских добродетелях: Вере, Надежде, Любви.
В Каббале тройка символизирует понимание, а также триединство мужского и женского начал и объединяющего их взаимопонимания.
В индуизме — Тримурти, троичная сила творения, разрушения и сохранения; разнообразные тройки божеств; у лунной колесницы три колеса .
В Японии Три Сокровища — это зеркало меч и самоцвет; истина, мужество и сострадание.
В китайском иероглифе «ван» (три горизонтальные черты соединённые вертикальной), что означает слово «князь», верхняя горизонтальная черта символизирует небо, нижняя — землю, средняя — человека, который от имени неба и управляет землёй.
В фольклоре встречаются три желания, три попытки, три царевича, три ведьмы, феи (две добрые, одна злая).
Трехкратными бывают здравицы. Тройка означает также исполнение. Бесчисленны тройки божеств и сил. Триединые лунные божества и троичные богини изобилуют в семитской, греческой, кельтской и древнегерманской религиях.
Основной символ тройки — треугольник. Три сцепленных кольца или треугольника символизируют нерасторжимое единстве трех ликов троицы. Другие символы: трезубец, геральдическая лилия, трилистник, три молнии, триграммы. Лунные животные часто треногие, олицетворяя три фазы Луны.
ЦИФРА «4» означает целость, совокупность, полноту; четыре стороны света, времени года, ветра, стороны квадрата.
В пифагорействе четверка означает совершенство, гармоничную пропорцию, справедливость, землю. Четыре — число клятвы пифагорейцев.
В христианстве число четыре — число тела, тогда как число три символизирует душу. Четыре реки рая, Евангелия, евангелиста, главных архангела, главных дьявола. Четыре отца церкви, великих пророка, главных добродетели (мудрость, твердость, справедливость, умеренность). Четыре ветра, несущие Единый Дух, четыре апокалиптических всадника, тетраморфы (синтез сил четырех стихий).
Четверка — символическое число Ветхого Завета. Четыре реки рая, образующие крест, четыре части земли и т. п. встречаются в символике почти повсеместно. Четверка может изображаться четырехлистником, а также квадратом или крестом.
В буддизме Древо Жизни Дамба имеет четыре ветви, от его корней текут четыре священных реки рая, символизирующие четыре безграничных желания: сострадание, привязанность, любовь, беспристрастность; четыре направления сердца.
В Китае четверка — число земли, которую символизирует квадрат. Четыре реки бессмертия. Четыре — четное, иньское число. В китайском буддизме четыре небесных стража, охраняющих каждую сторону света.
В Египте четверка — священное число времени, солнечная мера. Небесный свод покоится на четырех столбах. Четыре погребальных урны, помещаемые с четырех сторон вокруг покойного, охраняются четырьмя сыновьями Гора, которые связаны с четырьмя сторонами света.
В еврейской традиции это мера, благодеяние, понимание.
У американских индейцев это число используется чаще всего как четыре стороны света. Четыре ветра изображаются крестом и свастикой. Ритуальные и обрядовые действия повторяются четырежды.
В Каббале четверка означает память. Четыре мира каббалы, четыре направления в пространстве и четыре иерархических уровня Торы.
В индуизме четверка — совокупность, полнота, совершенство. Творец, Брахма , имеет четыре лица. Храм стоит на четырех сторонах квадрата, символизирующих порядок и окончательность. Четыре таттвы, четыре тела человека, четыре царства природы (животное, растительное, минеральное, царство ума), четыре юги. В игре в кости четверка означает выигрыш. Четыре касты, четыре пары противоположностей.
В исламскую четверку входит принцип — творец, мировой дух, мировая душа, изначальная материя. Они соответствуют четырем мирам Каббалы. Есть еще четыре ангельских существа, четыре дома смерти.
ЦИФРА «5» — число священного брака, поскольку является суммой женской (четной) двойки и мужской (нечетной) тройки.
В греко-римской традиции пятерка — число бракосочетания, любви, единения; число Венеры, причем годы Венеры образуют группы по пять лет. Аполлон как бог света обладает пятью качествами: он всемогущ, всеведущ, вездесущ, вечен, един.
В христианстве пятерка символизирует человека после грехопадения; пять чувств; пять точек, образующих крест; пять ран Христа; пять рыб, которыми насытились пять тысяч человек; пятикнижие Моисея.
В буддизме сердце имеет четыре направления, которые месте с центром образуют пятерку и символизируют универсальность. Существует пять Дхьяни-будд: Вайрочана -Сверкаюший, Акшобхья- Невозмутимый, Ратнасамбхава — Самоцвет, Амитабха -Безграничный Свет, Амогхасиддхи -Неизменная Удача.
У китайцев пять элементов, пять атмосферных субстанций, пять состояний, планет, священных гор, зерен, цветов, видов вкуса, ядов, могучих амулетов, основных добродетелей, посвящений, вечных идеалов, пять видов отношений внутри человечества. В еврейской традиции пять — это сила и суровость, понимание сути.
В Каббале пятерка означает страх.
В индуизме это пятичленные группы мира, пять элементов тонкого и грубого состояний, пять основных цветов, чувств, пять ликов Шивы и дважды пять воплощений Вишну.
В исламе пять столпов веры, пять божественных присутствий, пять основных догматов, пять действий, пятикратная ежедневная молитва.
ЦИФРА «6». Означает равновесие, гармонию. Самое плодовитое из всех чисел (Филон ).
В нумерологии цифра 6 означает союз двух треугольников — мужского и женского, один из которых стоит на основании, а другой перевернут вершиной вниз. Этот знак хорошо известен как щит Давида, шестиугольник, который изображен на флаге государства Израиль.
ЦИФРА «7» считается священной, и божественной, и магической, и счастливой. Семерку почитали за много столетий до нашей эры, в средние века, почитают и сегодня.
В Вавилоне в честь главных богов был выстроен семиступенчатый храм. Жрецы этого города утверждали, что люди после смерти, пройдя через семь ворот попадают в подземное царство, окруженное семью стенами.
В древней Греции число семь называли числом Аполлона, одного из важнейших богов олимпийской религии. Из мифологии известно, что человеко-быку Минотавру, обитавшему в лабиринте на острове Крит, жители Афин ежегодно в качестве дани посылали на съедение семерых юношей и семерых девушек; у дочери Тантала Ниобы было семь сыновей и семь дочерей; Нимфа острова Огигия Калипсо семь лет держала в плену Одиссея; всему миру знакомы «семь чудес света» и т. д.
Древний Рим также боготворил число семь. Сам город построен на семи холмах; река Стикс окружающая подземное царство, семь раз обтекает ад, разделенный у Вергилия на семь областей.
Ислам, христианство и иудаизм признают семиэтапный акт создания Вселенной. Однако, в исламе число «7» имеет особенный смысл. Согласно исламу, имеется семь небес; попадающие на седьмое небо испытывают высшее блаженство. Поэтому число «7» это священное число ислама.
В христианских священных книгах цифра семь упоминается много раз: «Всякому, кто убьет Каина, отомстится всемеро», «. и прошло семь лет изобилия. и наступили семь лет голода», «и насчитай себе семь субботних лет, семь раз по семи лет, чтоб было у тебя в семи субботних годах сорок девять лет», и т. д. Великий пост у христиан насчитывает семь недель. Известно семь чинов ангельских, семь смертных грехов. Во многих странах существует обычай ставить на рождественский стол семь блюд, название которых начинается на одну букву.
В браминском и буддийском верованиях и богослужениях число семь также священно. От индусов пошел обычай дарить на счастье семь слоников — фигурок из кости, дерева или другого материала.
Семерку очень часто применяли знахари, гадалки и колдуны: «Возьми семь пакетиков, с семью разными травами, настой на семи водах и пей семь дней во семи ложек. ».
С числом семь связано множество загадок, примет, пословиц, поговорок: «Семи пядей во лбу», «У семи нянек дитя без глазу», «Семь раз отмерь, один отрежь», «Один с сошкой, семеро с ложкой», «Для любимого дружка семь верст не околица», «За семь верст киселя хлебать», «Семь бед — один ответ», «За семью морями» и т. д.
ЦИФРА «8» — число вновь обретенного рая, а также возобновления, восстановления, счастья. Восьмой день породил нового, совершенного человека. После семи дней поста и покаяния на восьмой наступает духовное обновление.
У пифагорейцев восемь означает трехмерность и стабильность.
В шумеро-семитской традиции восемь — магическое число Неба.
У буддистов восьмерка — это полнота, совокупность всех возможностей. Восемь символов доброго предзнаменования.
У китайцев она означает целое, все возможности в проявленном виде, удачу. Ба-гуа — это восемь триграмм и пар противоположностей, обычно расположенных в виде круга, символизирующего время и пространство. Восемь радостей человеческого существования.
В христианстве означает восстановление и возрождение. Крестильня обычно бывает восьмиугольной, что символизирует место возрождения. Восемь заповедей блаженства.
В Египте восемь — число Тота.
У евреев — число Господа; восемь дней освящался Храм.
В индуизме 8х8 означает порядок небесного мира, установленный на земле. Строение храмов воспроизводит мандалу, которой свойственна та же символика — 8х8. Существует восемь областей мира, восемь солнц, частей дня, чакр.
В исламе престол, управляющий миром, поддерживают восемь ангелов, соответствующих восьми направлениям и восьми группам букв арабского алфавита.
У японцев восемь означает много; на небе восемь богов.
ЦИФРА «9» означает всемогущество, и представляет собой Тройную Триаду (3х3). Это число окружности, отсюда деление на 90 и 360 градусов.
У пифагорейцев девять — предел всех чисел, внутри которого существуют и обращаются все прочие. Это число небесное и ангельское, рай на земле.
Девять — священное число в скандинавской и древнегерманской символике.
В христианской символике девятка фигурирует редко. Есть тройные триады ангельских хоров, девять сфер и кругов вокруг ада.
У буддистов девятка — это высшая духовная сила, небесное число.
У китайцев 3х3 — самое благоприятное из всех чисел, означающее также восемь направлений плюс центр в качестве девятой точки, как в Зале Света. Есть девять основных общественных законов и девять классов чиновников.
В греко-римской традиции существует девять богов, а позднее девять муз.
У евреев девять — чистое понимание, истина, поскольку девятка воспроизводит себя при умножении.
В Каббале символизирует о снование.
ЦИФРА «10» — число космоса, она содержит все числа, а следовательно, все вещи и возможности, это основа и поворотный пункт всего счета. Означает нечто всеобъемлющее, закон, порядок, власть. 1+2+3+4=10 — символизирует божественное; единица означает точку, двойка — протяженность, тройка (треугольник) — плоскость, четверка — объемность или пространство.
У пифагорейцев десятка — это возобновление ряда, совершенство.
В Риме это число изображалось знаком X — совершенной фигурой, означающей полноту.
Десятка — это также число завершения путешествий и возвращения в исходную точку. Одиссей странствовал девять лет, а на десятый год вернулся. Троя была в осаде девять лет и на десятый год пала.
У китайцев десятка изображается в виде креста, центр которого образован иероглифом чи, что символизирует человеческое Я, перед которым лежат оба пути, инь и ян, это совершенная фигура. Десять Небесных Стеблей (Гань), возможно, связаны с десятидневной неделей наиболее распространенного цикла.
У христиан десять заповедей Десятикнижия, притчи о десяти лампадах, девах, талантах. Богу посвящалась десятина.
В Каббале десять — это числовое значение буквы J-йод — Вечного Слова, первой буквы имени Бога. Символизирует блестящую способность к пониманию, божественную поддержку.
В исламе большую роль играет ушр (десятина), налог с земельных владений, который должен идти на общие нужды мусульман.
ЦИФРА «11». Поскольку десятка — совершенное число и закон, одиннадцать символизирует выход за пределы того и другого и означает грех, нарушение закона, опасность.
ЦИФРА «12» олицетворяет космический порядок. Это число знаков Зодиака и месяцев в году (шесть мужских и шесть женских). Двенадцать часов дня и ночи. Двенадцать плодов на Космическом Древе. Кроме того, двенадцать дней возврата к хаосу во время зимнего солнцестояния, когда возвращаются мертвые, отмечались в Риме во время Сатурналий. Тот же символизм имеют двенадцать дней перед Рождеством.
Эта цифра встречается в ведической, китайской, языческой и европейской символике: 12 членов в совете Далай- Ламы, 12 паладинов (пэров) Карла Великого, 12 рыцарей Круглого Стола.
У христиан — 12 плодов духа, звезд, 12 колен Израилевых, 12 апостолов, 12 врат и камней в основании Святого Града, 12 дней празднования Рождества.
У египтян — 12 врат ада, в котором Ра проводит ночные часы.
У греков на Олимпе 12 богов и богинь, 12 титанов.
В еврейской традиции — 12 плодов Древа Жизни; 12 врат Небесного Града; 12 лепешек на столе храма, изображавших месяцы года; 12 драгоценных камней в нагруднике Аарона; 12 колен Израилевых, сыновей Иакова.
В исламе 12 имамов, потомков Али, управляют двенадцатью часами дня.
ЦИФРА «13». Отношение к этому числу всегда было особым: оно считалось либо несчастливым, либо, наоборот, приносящим удачу.
В христианстве во время вечерних служб последней недели Великого Поста тринадцать свечей (у католиков их называют tenebrae) гасят одну за другой, что символизирует тьму, наступившую на земле после смерти Христа. Число тринадцать считается несчастливым, поскольку это число Иуды вместе с Иисусом и апостолами. Кроме того, это число шабаша ведьм.
У ацтеков это таинственное число ассоциировалось с понятием времени, а именно, означало завершение временного цикла. Они же полагали, что цифра «13» каким-то образом связана с небесами. В шевелюре одного из их главных божеств насчитывалось тринадцать локонов, а в бороде — столько же прядей.
Древние китайцы возвели многочисленные храмы в честь бога Хуан Ди. Слуги императора делали в этих храмах жертвоприношения по 13-м числам первого и пятого месяцев каждого года.
Священная книга «Каббала» упоминает о тринадцати злых духах, число «13» обозначает змея, дракона, сатану и убийцу.
Тринадцатая глава Апокалипсиса касается Антихриста и Зверя.
Это число используется при гадании. С ним связано много суеверий. Во многих гостиницах США не существует ни тринадцатого этажа, ни тринадцатого номера. Кроме того, в самолетах американских авиакомпаний нет кресла №13. В ряде крупных городов Франции дома, которые должны иметь порядковый номер «13», обозначаются кодом 12-бис. Хозяйки остерегаются сажать за стол 13 гостей.
Предполагается, что это связано с воспоминаниями о Тайной вечере; когда во время последней трапезы Иисуса Христа помимо двенадцати окружающих его апостолов был и тринадцатый — предатель Иуда.
«40». Означает пробу, испытание, посвящение, смерть. Особое значение сорока дней восходит, видимо, к Вавилону, где сорокадневный период исчезновения Плеяд с небосклона было временем дождей, бурь и наводнений и считался опасным. Римляне сорок дней держали прибывающие суда в карантине, и само это слово произведено от слова «сорок».
Храмы у персов, татар, в Баальбеке, храмы друидов, храм Иезекииля имели сорок колонн. В христианстве сорок дней от Пасхи до Вознесения — период неприкосновенности и время права на убежище. В Ветхом Завете сорок дней провел Моисей на Синае; сорок дней скрывался Илия; сорок дней лил ливень Потопа; сорок дней испытания Ниневии при Ионе; сорок лет блуждали евреи в пустыне; сорок лет ходили под игом филистимлян; сорок лет царствовали Давид и Соломон; сорок лет Илия судил Израиль. В Книге пророка Иезекииля говорится о видении, в котором Бог повелел пророку за сорок лет беззакония дома Иудина сорок дней пролежать на правом боку.
В Египте сорок дней после смерти отсутствовал Озирис, это — период поста.
В исламе сорок — число изменения и смерти, но также примирения и возврата к принципу. Магомет был призван в сорок лет. Коран читают каждые сорок дней.
В митраизме сорок — число дней обряда инициации, празднеств и жертвоприношений.
«60». Число времени (60 минут и 60 секунд ).
В Египте оно символизировало долголетие.
В Китае это циклическое число, символизирующее шестидесятеричный цикл, известный в прошлом на Западе как китайский цикл. Взаимодействие чередующихся Десяти Небесных Стеблей и Двенадцати Земных Ветвей строится таким образом, что цикл завершается на шестидесятый год, когда исчерпываются все комбинации, а затем повторяется снова. Шесть циклов примерно равны тропическому году.
«70». В еврейской символике семьдесят ответвлений канделябров изображают Деканы — двенадцать зодиакальных подразделений семи планет на десятки. Семьдесят лет — это длительность человеческой жизни.
«666». В христианстве — знак Зверя, Антихриста.
В Каббале 666 — число Сората — солнечного демона, противостоящего Архангелу Михаилу.
«888». По числовому значению еврейских букв, это число Иисуса в противоположность 666 — числу Зверя.
a_les_sandro
Излишне напоминать, что тройка, семерка и туз в сумме дают 21 очко.
Читаю Пушкина дальше.
— Позвольте поставить карту, — сказал Германн, протягивая руку из-за толстого господина, тут же понтировавшего.
Ставлю на Армани. Начинаю с небольших ставок.
Одно очко. Emporio Armani
Два очка. Emporio Armani
Три очка. Emporio Armani
Четыре очка. Emporio Armani
Пять очков. Emporio Armani
Шесть очков. Emporio Armani
Семь очков. Giorgio Armani
Восемь очков. Giorgio Armani
Девять очков. Giorgio Armani
Десять очков. Giorgio Armani
11 очков. Giorgio Armani
12 очков. Giorgio Armani
13 очков. Giorgio Armani
14 очков. Giorgio Armani
15 очков. Giorgio Armani
16 очков. Giorgio Armani
17 очков. Giorgio Armani
18 очков. Giorgio Armani
19 очков. Giorgio Armani
20 очков. Giorgio Armani
21 очко. Giorgio Armani
Выбор окончен: на 21 очке останавливаюсь, ибо дальше – перебор.
Пост пишу уже в нацепленных на нос двадцать первых очках.
Еще немного Пушкина.
Что такое частное чисел
Частное чисел — это результат деления одного числа на другое. Таким образом, частное чисел $a$ и $b$ будет число $c$, которое равно $c = a : b$ . При этом число $a$ будет делимым, а число $b$ — делителем.
Задание. Найти частное чисел:
1) $39 : 3$ ; 4) $124 : 4$
Ответ. $39 : 3 = 13$
Для нахождения частного больших чисел или десятичных дробей используют способ деления в столбик.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 470 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Задание. Найти частное чисел:
1) $564 : 12$ ; 2) $0,567 : 0,21$
Решение. Для нахождения частного в первом примере выполним деление в столбик. Для этого запишем делимое и делитель следующим образом
Берем первую цифру слева, она не делится на 12, значит, берем две цифры: 56 и делим их на 12 с остатком. Возьмем по $4 : 4 \cdot 12 = 48$ . Записываем 48 под 56 и находим остаток: $56 — 48 = 8$ . Восьмерку записываем под чертой и сносим к ней следующее число из делимого, получим 84. Делим 84 на 12, получаем 7. остаток от деления 0 и цифр в делимом больше нет. Деление окончено.
Таким образом, $564 : 12 = 47$
Для нахождения частного во втором примере, сведем деление десятичных дробей к делению десятичной дроби на целое число. Для этого будем передвигать запятую вправо у делимого и делителя до тех пор, пока делимое не станет целым числом. Далее запишем полученные числа в столбик, как и в первом примере:
Берем в делимом первые две цифры слева и делим их на делимое с остатком. Получаем $56 : 21$ , можно взять по 2. Двойку записываем в частное. И так как целая часть делимого закончилась, ставим в частном запятую. Умножаем $2 \cdot 21 = 42$ , записываем 42 под 56 и вычитаем: $56 — 42 = 14$ . Остаток 14 списываем к нему следующую незадействованную цифру делимого 7. Полученное число 147 делим на 12, получаем 7. Записываем семерку в частное, и, так как на этом делимое закончилось, а остаток после последнего деления 0, деление окончено.
Таким образом $0,567 : 0,21 = 2,7$
Ответ. $564 : 12 = 47$
Частное рациональных дробей находится по правилу
Задание. Найти частное рациональных дробей:
Решение. 1) Воспользуемся правилом вычисления частного рациональных дробей:
Для вычисления частного во втором примере, сначала запишем дроби в виде неправильных дробей. Для этого целую часть умножим на знаменатель и прибавим к числителю. Затем применим правило вычисления частного рациональных дробей:
Ответ. $\frac: \frac=2$
Подробнее о числах
Число — это абстрактное математическое понятие обозначающее количество. Числа используются для счета. Числа использовались человеком с древнейших времен, вначале в виде счетных палочек или зарубок и черточек на дереве и кости, а потом и в виде более абстрактных систем. Существует много способов выражения чисел и работы с ними; некоторые из них приведены ниже. Системы счисления эволюционировали на протяжении многих веков и не все из них используются по сей день.
Различные способы представления чисел
Ученые считают, что понятие числа возникло в разных культурах независимо. Символы для обозначения цифр в письменном виде также возникли в каждой культуре отдельно, но постепенно, с развитием торговли, люди начали обмениваться идеями и заимствовать друг у друга принципы счисления или написания чисел. Поэтому те системы счисления, которыми мы сейчас пользуемся, создавались коллективно многими народами.
Арабские цифры
Арабская система счисления — одна из самых широко используемых систем счисления. Она была заимствована из Индии и доработана персидскими и арабскими математиками. В русском языке эта система называется в основном «арабской», но на других языках, например английском, она чаще называется «индо-арабской». В средние века, особенно ближе к середине и концу этого периода, торговля распространилась по всему миру, и купцы стали привозить в другие страны не только товары, но и сведения о науках, таких как математика. Благодаря этому арабские цифры начали использовать в Европе, сначала в монастырях, а позже и в светском обществе. Папа римский Сильвестр II одним из первых стал использовать и распространять арабские цифры взамен римских, познакомившись с ними благодаря связям с арабскими государствами на территории нынешней Испании. Европейские ученые приспособили и частично изменили написание цифр, и арабская система счисления получила широкое применение не только во всей Европе, но и по всему миру благодаря торговле и во время колонизации других континентов. Арабская система — десятичная, то есть с основанием 10 и с использованием десяти цифр, которыми можно выразить все возможные числа.
Десять — одно из наиболее широко используемых чисел в системах счета, и десятичная система распространена во многих странах. Это связано с тем, что издревле люди пользовались десятью пальцами на руках для счета. До сих пор люди, которые учатся считать или хотят проиллюстрировать пример, связанный со счетом, используют пальцы. Существуют даже такие выражения как «считать на пальцах». В некоторых культурах для счета использовали также и пальцы ног, костяшки пальцев, и даже пространство между пальцами. Интересно, что во многих языках слово, обозначающее пальцы и цифры — одно и то же. Например, в английском, это слово — «digit» (произносится как «диджит»).
Надпись на латинском языке с использованием римских чисел на Арке Адмиралтейства в Лондоне гласит: ANNO : DECIMO : EDWARDI : SEPTIMI : REGIS : VICTORIÆ : REGINÆ : CIVES : GRATISSIMI : MDCCCCX : (На десятом году правления короля Эдуарда VII королеве Виктории от благодарных граждан, 1910 г.).
Римские цифры
Римские цифры использовались в Древнем Риме и Европе примерно до четырнадцатого столетия. Их до сих пор используют в некоторых контекстах, например на циферблатах часов, в именах Папы Римского, в названиях повторяющихся событий, например, олимпийских игр, и так далее. Римская система счисления использует семь букв латинского алфавита для обозначения всех возможных комбинаций чисел:
| I | 1 |
| V | 5 |
| X | 10 |
| L | 50 |
| C | 100 |
| D | 500 |
| M | 1000 |
Порядок написания цифр важен потому, что большее число слева от меньшего значит, что оба числа необходимо сложить, в то время как меньшее число слева от большего следует вычесть из большего числа. Например, XI равняется одиннадцати, а IX — это 9. Это правило действует только для чисел: IV, IX, XL, XC, CD и CM. В некоторых случаях эти правила не соблюдаются, и числа пишутся в ряд, например XXXXX.
Системы счисления в других культурах
Во многих культурах использовались системы счисления, похожие на римскую и арабскую. Например, в кириллической системе счисления цифры от одного до девяти, десять, и кратные ста писались буквами кириллицы. Также существовал специальный знак, похожий на тильду «~», который писали над такими цифрами, чтобы показать, что это не буквы. Существовала похожая система и с использованием глаголицы. В еврейской системе счисления буквами еврейского алфавита записывали числа от одного до десяти, кратные десяти, сто, двести, триста, и четыреста. Остальные числа писали как сумму или произведение. Греческая система счисления также похожа на все, приведенные выше.
В некоторых культурах системы счисления были проще. Например, вавилонские цифры можно было записать с помощью двух клинописных знаков, обозначавших единицу (похожего на большую букву «Т») и десять (похожего на букву «С»). Так, например, 32 можно записать как «СССТТ», используя соответствующие знаки. Египетская система счисления похожа, только в ней существовали также символы для нуля, сотни, тысячи, десяти тысяч, ста тысяч и миллиона, а также были специальные знаки для записи дробей. Цифры майя записывались с помощью знаков, обозначавших ноль, единицу и пятерку. Числа выше девятнадцати также имели своеобразное написание. В них использовались знаки для одного и пяти, но с другим расположением, чтобы показать, что значение этих цифр — другое.
Единичная система счисления. Счет с использованием черточек в разных культурах.
Единичная система счисления
В единичной или унарной системе счисления используется только один знак, обозначающий единицу. Каждое число записывается с помощью таких знаков, количество которых равно этому числу. Например, если такой знак — буква «А», то число пять можно записать как «ААААА». Унарная система часто используется учителями, которые учат детей считать, потому что она помогает детям понять зависимость между количеством предметов, например счетных палочек или карандашей, и более абстрактного понятия числа. Часто унарную систему используют во время игр, чтобы записывать очки, набранные командами, или для счета дней или предметов. Причем метод записи в разных культурах отличается. Например, во многих странах, где принят латинский алфавит, чаще используются черточки. Обычно четыре вертикальные черточки перечеркивают горизонтальной или диагональной, и продолжают счет с новой группы черточек. В примере А) на рисунке счет доходит до четырех, эти черточки перечеркивают пятой, дальше добавляют еще пять черточек, и опять начинают новый ряд. Так, счет доходит до двенадцати. В странах, где в языке используют или использовали китайские иероглифы, люди обычно рисуют не четыре черточки, перечеркнутые пятой, а специальный иероглиф из пяти штрихов. Последовательность этих штрихов не произвольная, а установлена правилами правописания. В примере В) на рисунке счет доходит то пяти и человек пишет два первых штриха следующего иероглифа, заканчивая счет на семи. Кроме простого счета и учета, унарную систему также используют в компьютерных технологиях и электронике.
Арифмометр, в котором применяется десятичная позиционная система, и микросхема микропроцессора, использующего двоичную позиционную систему
Позиционная система счисления
В позиционной системе счисления значение каждого знака, обозначающего цифру, зависит от его положения в числе. Это значение также зависит от основания системы счисления. Позиция обычно называется разрядом. Например, число 101 в двоичной системе не равно ста одному в десятичной. Рассмотрим позиционную систему на примере десятичной:
- Первый разряд предназначен для единиц, то есть чисел от нуля до девяти. Цифра первого разряда умножается на десять в нулевой степени (то есть на единицу).
- Второй разряд предназначен для десятков и цифру во втором разряде умножают на десять в первой степени.
- Третий разряд предназначен для сотен и цифру в третьем разряде умножают на десять во второй степени, и так далее, пока не закончатся разряды.
Чтобы получить значение числа, складывают все числа, полученные выше, то есть значения чисел в каждом разряде. Такой способ написания чисел позволяет работать с большими числами, и не занимает так много места в тексте, по сравнению с непозиционными системами счисления.
Пример использования позиционирования в десятичной системе: 3102 = 3 × 10³ + 1 × 10² + 0 × 10¹ + 2 × 10⁰
Двоичная система
Двоичная система очень широко используется в математике и вычислительной технике. Все возможные числа представлены в ней с помощью только двух цифр, «0» и «1», хотя в некоторых случаях используют и другие знаки, например «+», «–». При переводе чисел из десятичной системы в двоичную получаем: 0=0, 1=1, а для дальнейшего перевода используют правила сложения. Сложение в двоичной системе основано на том же принципе, что и в десятичной. Чтобы добавить к числу единицу пользуются следующим правилом:
Художественное изображение чисел в двоичной системе
- Для чисел оканчивающихся нулем, ноль заменяют единицей. Например: 100 (4) + 1 (1) = 101 (5). Здесь и далее для сравнения приведены десятичные числа в скобках.
- В числе, оканчивающемся единицей, но не состоящем только из единиц, заменяют первый ноль справа на единицу, а все единицы, за ним следующие (справа от него) заменяют нулями. Например: 1011 (11) + 1 (1) = 1100.
- В числе, состоящем из одних единиц, заменяют нулями все единицы, и в начале (слева) добавляют единицу. Например: 111 (7) + 1 (1) = 1000 (8).
При сложении пишут оба числа одно под другим, как при десятичном сложении. Правила при этом следующие: 0+0=0, 1+0=1, а 1+1=10, при этом в правом разряде пишут 0 и переносят 1 в следующий разряд. Например:
11111 (31)
+1011 (11)
———————————
101010 (42)
То есть, справа налево получаем:
- 1+1=0, один переносим в следующий разряд
- 1+1+1=1, один переносим в следующий разряд
- 1+1=0, один переносим в следующий разряд
- 1+1+1=1, один переносим в следующий разряд
- 1+1=10
То есть, получаем 101010.
Вычитание похоже на сложение, только вместо переноса, наоборот, «занимают» единицу из высших разрядов. Умножение тоже похоже на десятичное. Результат перемножения двух единиц — единица, а умножение на ноль дает ноль. Например:
101 (5)
×10 (2)
———————————
000
101
———————————
1010 (10)
Деление и взятие квадратного корня также мало отличается от работы с десятичными числами.
Классы чисел
Числа объединяются в классы, и некоторые числа могут одновременно входить в несколько классов.
Долг — отрицательное число
Отрицательные числа
Отрицательные числа обозначают отрицательную величину. Перед ними ставят знак минус, чтобы отличить их от положительных. Например, если человек А должен человеку Б пять рублей, значит у него есть −5 рублей. Здесь –5 — отрицательное число.
Рациональные числа
Рациональные числа — это те числа, которые можно представить в виде дроби, где знаменатель — это положительное натуральное число, а числитель — целое число. Например, 3/4 и −10/5 (то есть, −2) — рациональные числа.
Натуральные числа
Натуральные числа это ноль и положительные целые числа. Например, 7 и 86 766 575 675 456 — натуральные числа.
Целые числа
Целые числа — это ноль, отрицательные и положительные числа, не являющиеся дробями. Например, −65 и 11 223 — целые числа.
Комплексные числа
Комплексные числа получают при сложении действительного (не комплексного) числа и другого действительного числа, умноженного на квадратный корень минус одного. Здесь квадратный корень минус одного называется мнимым числом.
Простые числа
Простые числа — это натуральные числа больше единицы, которые делятся без остатка только на единицу и сами себя. Примеры простых чисел это: 3, 5 и 11. 2 57 885 161 −1 — самое большое известное простое число на февраль 2013 г. В нем содержится 17 425 170 цифр. Простые числа используют в криптосистемах с отрытым ключом. Это вид кодирования применяется в шифровании электронной информации в тех случаях, когда необходимо обеспечить информационную безопасность, например, на сайтах интернет-магазинов, электронных кошельков и банков.
Интересные факты о числах
Китайские иероглифы для предотвращения мошенничества
Особая система записи чисел, чтобы предотвратить мошенничество
В Китае используют отдельную форму записи чисел для бизнеса и финансовых операций. Обычные иероглифы, используемые для названий чисел, слишком просты, и их легко подделать или переделать, добавив к ним всего несколько штрихов. Поэтому на банковских чеках и других финансовых документах обычно используют особые более сложные иероглифы.
Современный счет в торговле
В языках стран, где принята десятичная система счисления, до сих пор сохранились слова, свидетельствующие о том, что ранее там использовалась система с другой основой. Например, в английском языке до сих пор используют слово «дюжина», обозначающее двенадцать. Во многих англоязычных странах в дюжинах считают и продают яйца, мучные изделия, вино и цветы. А в кхмерском языке есть слова для счета фруктов, основанные на двадцатеричной системе.
Произношение названий чисел
Арабская система счисления применяется в Китае и Японии, но в отличие от английского, русского, и многих других языков, числа в китайском и японском языках сгруппированы по десять тысяч. То есть, когда в английском или в русском говорят: сто, потом идут кратные сотни, потом тысяча, кратные тысячи, миллион, и так далее, то в японском и китайском языках идут: сто, кратные ста до 9 999, десять тысяч, кратные десяти тысяч до 999 999, 1 000 000, и так далее.
Несчастливые числа
«Тайная вечеря» Леонардо да Винчи. Церковь Санта-Мария-делле-Грацие (Santa Maria delle Grazie), Милан, Италия.
На Западе, а также во многих странах, где исповедуют христианство, 13 считается несчастливым числом. Историки считают, что это связано с христианством и иудаизмом. Согласно Библии, на Тайной Вечере присутствовало именно тринадцать учеников Иисуса, и тринадцатый, Иуда, после предал Христа. У викингов также существовало поверье о том, что когда тринадцать человек собираются вместе, один из них обязательно умрет в следующем году.
В странах, где говорят по-русски, неудачными считаются четные числа. Вероятно, это связано с верованиями древних славян, которые думали, что четные числа — статичны, неподвижны, закончены в одно целое, а значит — мертвые. Нечетные же, наоборот, подвижны, ищут дополнения, изменяются, а значит — живые. Поэтому четное количество цветов приносят только на похороны, но не дарят живым людям.
В Китае, Корее и Японии не любят число 4, потому, что оно созвучно со словом «смерть». Часто избегают не только саму цифру четыре, но и числа, ее содержащие. Например, часто пропускают такие числа в нумерации этажей и квартир. В Китае также не любят число 7, из-за того, что седьмой месяц в китайском календаре — месяц духов. Считается, что в этот месяц граница между мирами людей и духов исчезает, и духи приходят навещать людей. Число 9 считается неудачным в Японии, так как оно созвучно со словом «страдание».
Несчастливое число в Италии — 17, потому что его написание римскими цифрами — «XVII», что можно переписать как «VIXI», изменив порядок букв. Часто эта фраза была написана на могилах древних римлян и означала «я жил», поэтому ассоциируется с концом жизни и со смертью.
666 — известное многим несчастливое число, также именуемое «числом зверя» в Библии. Некоторые считают, что на самом деле «число зверя» — 616, но упоминание о 666 встречается чаще. Многие верят, что этим числом будет обозначен антихрист, наместник дьявола, и иногда ассоциируют это число с самим дьяволом. Так, некоторые убеждены, что 666 и 616 — это зашифрованное имя римского императора Нерона на древнееврейском и латинском языках соответственно, выраженное цифрами. Вероятность действительно существует, так как Нерон известен гонениями христиан и своим кровавым правлением. Некоторые историки даже считают, что именно Нерон являлся инициатором великого пожара Рима, хотя многие историки не согласны с такой трактовкой событий.
В Афганистане, особенно в Кабуле и его окрестностях, распространился слух о том, что число 39 — позорное число, связанное с проституцией. Согласно этому слуху, в Кабуле живет и работает сутенер, чей номерной знак на машине и номер квартиры содержит это число. Некоторые обвиняют правительство и организованные преступные группировки в том, что те специально распустили такой слух, чтобы покупать в Кабуле машины с такими номерными знаками и перепродавать в отдаленных провинциях, до куда не дошел этот слух. Людей с числом 39 в номерном знаке, номере квартиры или телефона дразнят, и насмехаются над ними, и эта проблема настолько серьезна, что многие изменяют цифры на номерных знаках и всячески стараются скрыть причастность к этому числу. Ходят слухи, что ненависть к числу 39 довела до трагедии. Во время выборов в парламент многие насмехались над кандидатом, чей номер в бюллетене был 39. Во время автомобильной пробки ему начали сигналить и кричать, в результате ситуация на дороге ухудшилась и переросла в аварию, и телохранители, опасающиеся за его жизнь, открыли огонь, в результате убив двоих. Парламентарий и его телохранители отрицают причастность к этому происшествию, никого не привлекли к ответственности, и неизвестно, произошло ли событие в действительности, или это только слухи.