Многоугольники
Закончите предложение так, чтобы получилось верное утверждение. Многоугольник называется описанным около окружность, если .
варіанти відповідей
все его вершины лежат на окружности
любая из его вершин лежит на окружности
все стороны многоугольника касаются окружности
окружность касается некоторых сторон многоугольника
Запитання 3
Укажите рисунок, на котором изображён вписанный в окружность многоугольник
варіанти відповідей
Запитання 4
Дан выпуклый многоугольник ABCDEF. Укажите неверное утверждение
варіанти відповідей
Отрезки АС и АD — диагонали
Отрезки АВ и АF — соседние стороны
Данный многоугольник является шестиугольником
В данном многоугольнике из одной вершины можно провести только 2 диагонали
Запитання 5
Укажите рисунок, на котором изображён невыпуклый многоугольник
варіанти відповідей
Запитання 6
Найдите сумму внутренних углов выпуклого восьмиугольника
варіанти відповідей
Запитання 7
Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?
варіанти відповідей
Запитання 8
Определите количество сторон многоугольника, у которого каждый внешний угол равен 36⁰
варіанти відповідей
Запитання 9
Определите количество сторон выпуклого многоугольника, если сумма его углов равна 1260⁰
варіанти відповідей
Запитання 10
Если в выпуклом многоугольнике все углы острые, то он .
варіанти відповідей
треугольник или четырёхугольник
Запитання 11
Углы пятиугольника пропорциональны числам 3; 5; 5; 6 и 8. Найдите наибольший угол этого пятиугольника
варіанти відповідей
Запитання 12
Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого сумма внутренних углов равна сумме его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине?
варіанти відповідей
Створюйте онлайн-тести
для контролю знань і залучення учнів
до активної роботи у класі та вдома
Комбинаторика (практика — опрос)
Внимание! Все тесты в этом разделе разработаны пользователями сайта для собственного использования. Администрация сайта не проверяет возможные ошибки, которые могут встретиться в тестах.
Тестовый опрос по решению задач на применение основных формул комбинаторики.
Система оценки: 5**** балльная
Список вопросов теста
Вопрос 1
- Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?
Вопрос 2
В группе 32 обучающихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
Варианты ответов
Вопрос 3
Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?
ГДЗ Сколько диагоналей имеет. Упр 1108 параграф 64 Алимов Алгебра 10-11 класс
И вот как девушке откажешь. Смотри)
похожие темы
18 вопросов
30 ответов
48 вопросов
2985 вопросов
3273 ответа
8508 вопросов
8707 ответов
похожие вопросы 5
Антоша Антонов
Пожаловаться
Даровчики. Помощь нужна с алгеброй. никак решить не могу(((
Доказать, что —
( Подробнее. )
ГДЗ Алгебра Алимов Ш.А. Школа 9 класс
Богдана Брюнеточкина
Пожаловаться
Совсем я в точных науках не сильна) Кто поможет?) Найдите значения аргумента из промежутка [-2; 5], при которых скорость изменения ( Подробнее. )
Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник
Баллы, полученные за решение данной задачи учитываются дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. А сама задача является прямым продолжением задач ММ57, ММ101, ММ102 и ММ103.
Конкурсная задача №104 (КГ-4) (9 баллов)
Два выпуклых n-угольника назовем изоморфными, если изоморфны их сопровождающие графы.
Два выпуклых n-угольника назовем однотипными, если в разбиениях этих многоугольников на элементарные присутствует поровну треугольников, поровну четырехугольников и т.д.
1. Имеется ли логическая зависимость между однотипностью и изоморфностью выпуклых многоугольников?
2. На сколько классов однотипных семиугольников разбиваются ординарные семиугольники?
3. На сколько классов изоморфных семиугольников разбиваются ординарные семиугольники?
Решение
1. Очевидно, что и однотипность и изоморфность являются отношениями эквивалентности на множестве ординарных n-угольников. Степень каждой вершины сопровождающего графа равна количеству сторон соответствующего элементарного многоугольника (исключение составляют n элементарных треугольников, у которых одна из сторон является стороной исходного n-угольника). Поскольку степени соответствующих вершин изоморфных графов равны, очевидно, что изоморфные многоугольники являются одновременно и однотипными. То, что обратное утверждение не имеет места будет видно из рассмотрения последующих пунктов.
2-3. Диагонали выпуклого семиугольника, соединяющие вершины через одну, будем называть «короткими», а остальные — «длинными». На рисунках короткие диагонали изображены зеленым цветом, а длинные — красным. Короткие диагонали высекают из исходного семиугольника внутренний семиугольник, содержащий 22 элементарных многоугольника (эти элементарные мнооугольники, а также точки пересечения длинных диагоналей мы тоже будем называть внутренними). Остальные 28 элементарных многоугольников (будем называть образованную ими часть семиугольника «периферийной») для любого ординарного (и даже для любого выпуклого) семиугольника являются треугольниками. Строение периферийной части одинаково для всех выпуклых семиугольников. Учитывая это, договоримся при изображении сопровождающего графа, рисовать только 22-вершинный подграф, порожденный внутренними элементарными многоугольниками. (В то же время, исходные семиугольники будем рисовать целиком.)
Стартуем с рассмотрения семиугольника, изоморфного (а значит, и однотипного) правильному. Он изображен на рисунке 1, а внутренняя часть его сопровождающего графа — на рисунке 2 (голубым цветом изображены вершины, соответствующие треугольникам; зеленые — четырехугольникам; желтые — пятиугольникам; красная — семиугольнику).
Пронумеруем вершины семиугольника и введем обозначения для точек пересечения длинных диагоналей: А — на пересечении диагоналей 1-4 и 2-6 и т.д. (см. рисунок 1). Те из внутренних точек, которые являются вершинами элементарного семиугольника, дополнительно будем называть «центральными», а остальные внутренние точки — «окаймляющими».
Деформируя наш семиугольник, мы можем поменять строение сопровождающего графа только за счет изменения взаимного расположения внутренних точек. Например, смещая вешршины 3 и/или 7, можно добиться, чтобы диагональ 3-7 оказалась по другую сторону от точки A. Аналогичного эффекта можно добиться для других окаймляющих точек. Но некоторые такие «перетаскивания» несовместимы. Если мы перетаскиваем соответствующую диагональ за одну из окаймляющих точек, то мы не можем проделать то же самое с соседними окаймляющими точками. Так, перетаскивая диагональ 3-7 за точку A, мы лишаем себя возможности, перетащить диагональ 1-4 за точку B и диагональ 2-6 за точку G. Поэтому элементарный семиугольник можно лишить не более чем трех вершин.
Учитывая вышеизложенное мы легко можем перечислить все классы изоморфных ординарных семиугольников.
1. Семиугольники, изморфные правильному. Такой семиугольник и центральную часть его сопровождающего графа мы уже рассмотрели (рис. 1-2). У таких семиугольников разбиение состоит из 28+7 треугольников, 7 четырехугольников, 7 пятиугольников и одного семиугольника.
2. Семиугольники полученные из семиугольников первого класса перетаскиванием одной (из соображений симметрии все равно какой) длинной диагонали за окаймляющую точку. На рисунке 3 приведен семиугольник, полученный из первого, перетаскиванием диагонали 2-5 за точку C, а на рисунке 4 — центральная часть его графа. У таких семиугольников разбиение состоит из 28+5 треугольников, 10 четырехугольников, 6 пятиугольников и одного шестиугольника.
3. Семиугольники полученные из семиугольников первого класса перетаскиванием двух диагоналей за окаймляющие точки, раположенные через одну. На рисунке 5 приведен семиугольник, полученный из первого, перетаскиванием диагонали 2-5 за точку C и диагонали 3-7 за точку A. На рисунке 6 приведена внутренняя часть сопровождающего графа. У таких семиугольников разбиение состоит из 28+4 треугольников, 11 четырехугольников и 7 пятиугольников.
4. Семиугольники полученные из семиугольников первого класса перетаскиванием двух диагоналей за окаймляющие точки, раположенные через две. На рисунке 7 приведен семиугольник, полученный из первого, перетаскиванием диагонали 2-5 за точку C и диагонали 2-6 за точку G. На рисунке 6 приведена внутренняя часть сопровождающего графа. У таких семиугольников разбиение состоит из 28+3 треугольников, 13 четырехугольников и 6 пятиугольников.
5. Семиугольники полученные из семиугольников первого класса перетаскиванием трех диагоналей за окаймляющие точки. На рисунке 9 приведен семиугольник, полученный из первого, перетаскиванием диагонали 2-5 за точку C, диагонали 3-7 за точку A и диагонали 4-7 за точку Е. Внутренняя часть сопровождающего графа приведена на рисунке 10. У таких семиугольников разбиение состоит из 28+3 треугольников, 13 четырехугольников и 6 пятиугольников.
Семиугольники из последних двух классов оказались однотипными. В то же время, их сопровождающие графы, очевидно, не изоморфны (напрмер, у одного из них во внутренней части есть вершины степени 3, удаленные друг от друга на 2, а у другого — нет).
Таким образом, имеется 5 классов изоморфных и 4 класса однотипных ординарных семиугольников.
Обсуждение
А налогичная классификация ординарных (или любых выпуклих) n-угольников для бОльших представляется весьма трудной (хотя, по крайней мере, при n = 8 вполне посильной) задачей.
Награды
За правильное решение этой задачи Анатолий Казмерчук получает 9 призовых баллов.
Эстетическая оценка задачи — 5 баллов