Какое выражение является формулой

Ввод формулы

Формулы — это выражения, с помощью которых выполняются вычисления со значениями на листе. Все формулы начинаются со знака равенства (=). Простую формулу можно создать с помощью константа и вычислений оператор. Например, с помощью формулы =5+2*3 можно умножить два числа, а затем прибавить число к результату.

Если требуется ссылаться на переменные вместо констант, можно использовать значения ячеек, например =A1+A2. Если вы работаете с длинными столбцами данных или данными, расположенными в разных частях листа или на другом листе, можно использовать диапазон, например =SUM(A1:A100)/SUM(B1:B100), который представляет деление суммы первых сотен чисел в столбце A на сумму этих чисел в столбце B. Когда формула ссылается на другие ячейки, при изменении данных в любой из ячеек Excel автоматически пересчитывает результаты.

Также формулу можно создать с помощью функции — готовой формулы, которая упрощает ввод вычислений.

знаки равенства начинают все формулы.

константы, такие как числа или текстовые значения, можно вводить непосредственно в формулу.

указывают тип вычисления, выполняемого формулой. Например, оператор ^(курсор) поднимает число в степень, а оператор * (звездочка) умножает числа.

— это готовые формулы, которые можно использовать отдельно или как часть более длинной формулы. У каждой функции собственный синтаксис.

Значения ячейки позволяют ссылаться на ячейку Excel, а не на конкретное значение внутри ячейки, чтобы содержимое ячейки 3666 можно было изменить без необходимости изменения функции, ссылающейся на ячейку.

Ввод формулы, ссылающейся на значения в других ячейках

1. На листе, содержащем столбцы чисел, щелкните ячейку, в которой должны выводиться результаты формулы.
2. Введите знак равенства (=).
3. Щелкните первую ячейку, которую требуется включить в вычисление.

Введите оператор. Оператор представляет математическую операцию, выполняемую формулой. Например, оператор * (звездочка) перемножает числа. В этом примере используйте оператор / (косая черта), чтобы разделить числа. На этом этапе формула должна выглядеть так:

Щелкните следующую ячейку, которую нужно включить в вычисление. Теперь формула должна выглядеть так:

Нажмите клавишу RETURN. В ячейке отобразится результат вычисления.

Совет: Чтобы быстро применить формулу к ячейкам ниже в столбце, дважды щелкните маркер заполнения

в первой ячейке, содержащей формулу.

Ввод формулы, содержащей функцию

1. На листе, содержащем диапазон чисел, щелкните пустую ячейку, в которой должны выводиться результаты формулы.
2. Введите знак равенства (=) и функцию, например =МИН. Функция МИН находит наименьшее число в диапазоне ячеек.
3. Введите открывающую круглую скобку, выберите диапазон ячеек, которые требуется включить в формулу, и введите закрывающую круглую скобку.

Советы

При вводе формулы в ячейке формула также отображается в строке формул.

Кнопки в строке формул могут помочь вам в создании формул.

Чтобы проверить формулу, нажмите

. Если ошибок нет, в ячейке будет выведен результат формулы. Если же ошибки есть, появится значок

. Наведите на него указатель, чтобы просмотреть описание проблемы, или щелкните стрелку вниз, чтобы получить дополнительную помощь в устранении неполадки.
Чтобы вернуться к предыдущей формуле, нажмите

.

Чтобы выбрать функцию, используйте список функций.

При выборе функции открывается построитель формул с дополнительной информацией о функции.

Какое выражение является формулой

С помощью логических операций над высказываниями из заданной совокупности высказываний можно строить различные сложные высказывания. При этом порядок выполнения операций указывается скобками.

1) – дизъюнкция конъюнкции x , y и отрицания высказывания z ;

2) – импликация, посылкой которой является высказывание x , а заключением – отрицание дизъюнкции высказывания y и конъюнкции высказываний x , z .

Определение. Всякое сложное высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения логических операций, называется формулой алгебры логики.

Обозначение: формулы алгебры логики обозначаются заглавными буквами латинского алфавита A , B , C …

Для упрощения записи формул принят ряд соглашений. Скобки можно опускать, придерживаясь следующего порядка действий:

Логическое значение формулы алгебры логики полностью определяется логическими значениями входящих в нее элементарных высказываний.

Пусть x =1, y =1, z =0. Тогда =1, так как

Установить, является ли данное выражение формулой

Нужна ваша помощь. Необходимо установить, является ли данное выражение формулой
Если да, то определить, какие переменные в ней свободные, а какие связанные.

Я не требую решения, просто прошу чтобы вы объяснили как мне понять, это формула или нет? Нужно как-то решать его? Или словесно описать?

Заранее большое спасибо!

Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Является ли данное выражение формулой
Помогите, пожалуйста, установить, является ли данное выражение формулой, а если да, то определить.

Является ли формулой следующее выражение?
Добрые люди помогите решить пару задачек: 1. Исходя из определения логической.

Проверить, что выражение является формулой
Ребят подскажите пожалуйста. ∃x∀yA(x,y)&B(x,y) ; от чего оттолкнутся? А&B является.

Максимально упростить данное выражение
Помогите!! Нужно максимально упростить выражение ниже \bigcap \bar (кому не трудно.

4957 / 3575 / 1151
Регистрация: 01.09.2014
Сообщений: 9,676

Сообщение от dune777

Я не требую решения, просто прошу чтобы вы объяснили как мне понять, это формула или нет?

Вы не пробовали воспользоваться определением формулы? Сложность в том, что оно разное в разных учебниках. В частности, многие учебники делают соглашения об упрощении записи формул. Например, разрешается опускать некоторые скобки. В таком случае нужно знать, допускает ли задача использование этих соглашений или требует только основное определение.

В общем, прочитайте определение формулы, а также несколько примеров формул и не-формул в вашем учебнике и напишите, в чем именно сложность с ответом.

Регистрация: 23.01.2016
Сообщений: 153

Я думал данное задание решить так сказать по действиям:
1) C(z) & B(y,z) — формула, т.к. содержит свободные переменные (y,z) (Пока кванторы не учитываю)
2) -A(x,y) C(z) & B(y,z) — формула, т.к. содержит свободные переменные.
3) (-A(x,y) C(z) & B(y,z)) — формула т.к. содержит связанные и свободные переменные.
4) ( (-A(x,y) C(z) & B(y,z))) — является формулой!

В самой же лекции про формулу говорится следующее:

Определение 2.2. Формула логики предикатов определяется индуктивно следующим образом:
1. Любая формула логики высказываний есть формула логики предикатов.
К новым формулам логики предикатов относятся следующие выражения:
2. Предметные переменные x, y, z, . есть формулы.
3. Предикаты P(x), Q(x, y), . , а также выражения с кванторами P(x), R(x), Q(x, y). есть формулы.
4. Если A и B – формулы, то -A, AVB, A&B, A>B, A~B есть формулы, в которых свободные переменные формул A и B остаются свободными, а связанные переменные формул A и B остаются связанными.
5. Ничто, кроме указанного в пунктах 1 – 4, не есть формула.

Правильно ли я мыслю в решении задания?

Добавлено через 1 час 15 минут
В 4 пункте данное выражение формулой не является т.к. общая переменная не свободная. В данном случае общая переменная это y и z. Переменная y — не свободная

Запись утверждений на языке алгебры высказываний. Формулы алгебры высказываний

Бывают два вида высказываний: простые и составные. Составные высказывания получаются из простых с помощью логических символов %%\overline, \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow%%. Рассмотрим высказывание «Иванов окончил школу и поступил в институт». Оно образовано из простых высказываний «Иванов окончил школу» и «Иванов поступил в институт» с помощью операции конъюнкции. Обозначим эти высказывания через %%A%% и %%B%% соответственно, тогда сложное высказывание «Иванов окончил школу и поступил в институт» имеет вид %%A \land B%%. При этом высказывания %%A%% — «Иванов окончил школу» и %%B%% — «Иванов поступил в институт» нельзя представить ввиде составных высказываний. Поэтому они простые (элементарные).

Пример

Дано высказывание «Если число %%a%% делится на число %%c%% и число %%b%% делится на число %%c%%, то их сумма %%a+b%% делится на число %%c%%». Обозначить буквами простые высказывания и, используя логические символы, выразить данное высказывание через простые.

• %%A%%: «число %%a%% делится на число %%c%%»;
• %%B%%: «число %%b%% делится на число %%c%%»;
• %%C%%: «сумма %%a+b%% делится на число %%c%%».

Тогда высказывание, с учетом замены, примет вид: «Если %%A%% и %%B%%, то %%C%%», которое на языке алгебры высказываний выглядит $$ (A \land B) \rightarrow C. $$

Формулы алгебры высказываний

Для определения понятия формулы нам необходимо понять, какие переменные используются в алгебре высказываний.

Пропозициональная переменная, или переменная для высказываний, — переменная, котороя может принимать одно из двух истинностных значений: «истина» или «ложь». Далее будем их называть просто переменными.

С помощью логических знаков (%%\overline< >, \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow%%) и переменных можно составлять сложные высказывания, которые и будем называть формулами алгебры высказываний.

Например, формула %%X = (A \land B) \rightarrow (A \lor B)%% получена так: сначала построены формулы %%A \land B%% и %%A \lor B%%, затем из этих двух формул получена исходная с помощью применения знака %%\rightarrow%%.

Вместо переменных в формулу можно подставлять произвольные значения переменных. При вычислении значения формулы неважно как сформулированы входящие в нее высказывания, важно лишь их значения: «истина» или «ложь».

Порядок построения формулы позволяет составить таблицу истинности для формулы %%X%%. Для этого переберем всевозможные комбинации значений переменных %%A%% и %%B%% (каждая строка в таблице) и найдем значение интересующей нас формулы.

%%A%%	%%B%%	%%A \land B%%	%%A \lor B%%	%%(A \land B) \rightarrow (A \lor B)%%
%%0%%	%%0%%	%%0%%	%%0%%	%%1%%
%%0%%	%%1%%	%%0%%	%%1%%	%%1%%
%%1%%	%%0%%	%%0%%	%%1%%	%%1%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%

Таблица истинности для формулы %%X%%

В курсе математической логики дается следующее определение формулы алгебры высказываний:

1. Переменные являются формулами.
2. Если %%A%% и %%B%% — формулы, то выражения $$ \overline, A \land B, A \lor B, A \rightarrow B, A \leftrightarrow B $$ являются формулами.
3. Всякая формула есть либо переменная или образуется из переменных последовательным применением правила %%2%%.

Пример

Показать, что выражение %%X = (A \lor B) \rightarrow ((C \land D) \leftrightarrow \overline)%% является формулой.

Подформулы

Выражения, полученные при «сборке» формулы называются ее частями или подформулами. Например, формула %%X = (A \lor B) \rightarrow ((C \land D) \leftrightarrow \overline)%% имеет следующие подформулы: $$ A,B,C,D, \overline, A \lor B, C \land D, (C \land D) \leftrightarrow \overline, (A \lor B) \rightarrow ((C \land D) \leftrightarrow \overline) $$

Правила записи формул

При записи формул придерживаются следующих правил.

1. Внешние скобки в формуле можно опускать. Например, вместо %%(A \lor B)%% пишем %%A \lor B%%.
2. Как и в арифметике, в алгебре высказываний у каждой операции есть свой приоритет. Приоритеты логических знаков, расположенные в порядке убывания, следующие: $$ \overline< >, \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow. $$ Приоритеты логических операций можно изменить, используя скобки.

Каждый предшествующий знак является «сильнее» последующего. Поэтому вместо записи %%(A \land B) \lor C%% можно писать %%A \land B \lor C%%, вместо записи %%A \leftrightarrow (B \lor C)%% — %%A \leftrightarrow B \lor C%%.

3. Если в формуле %%X = A \land B \land C \land \ldots \land Z%% опущены скобки, то подрузамевается левосторонняя расстановка скобок и считается, что %%X = \bigg(\Big((A \land B) \land C\Big) \land \ldots\bigg)\land Z%%. Аналогично для подобных формул, имеющих знак %%\lor%%, %%\rightarrow%% или %%\leftrightarrow%%.

Примеры

Пользуясь правилами %%1-3%% восстановить скобки в формуле

$$ X = A \lor B \land C \leftrightarrow A \rightarrow B \rightarrow C $$

По правилам %%1-3%% имеем %%X = \Bigg(\Big(A \lor (B \land C)\Big) \leftrightarrow \Big((A \rightarrow B) \rightarrow C\Big)\Bigg)%%.

Пользуясь правилами %%1-3%% опустить лишние скобки в формуле $$ X = \Bigg((A \leftrightarrow B) \lor \Big((A \land B) \land C\Big) \rightarrow \Big((B \lor C) \land A\Big)\Bigg) $$

Решение, над знаком равно будут указаны номера правил которые применяются.

$$ \begin X &= \Bigg((A \leftrightarrow B) \lor \Big((A \land B) \land C\Big) \rightarrow \Big((B \lor C) \land A\Big)\Bigg) \overset\\ &\overset (A \leftrightarrow B) \lor \Big((A \land B) \land C\Big) \rightarrow \Big((B \lor C) \land A\Big) \overset\\ &\overset (A \leftrightarrow B) \lor (A \land B \land C) \rightarrow \Big((B \lor C) \land A\Big) \overset\\ &\overset (A \leftrightarrow B) \lor A \land B \land C \rightarrow \Big((B \lor C) \land A\Big) \overset\\ &\overset (A \leftrightarrow B) \lor A \land B \land C \rightarrow (B \lor C) \land A. \end $$

Виды формул

Формула %%X%% называется тождественно истинной (или тавтологией), если она принимает значение «истина» при любых значениях входящих в нее переменных.

Например, формула %%X = (A \land B) \rightarrow (A \lor B)%% является тождественно истинной, т.к. при любых значениях %%A%% и %%B%% она является истинной.

Существует две причины, по которым мы считаем высказывание истинным или ложным. Первое, на основе различных свойств объекта. Например, «Москва — столица Австрии» ложно, так как она ею не является. Точно также в случае значение «истина» установлено из свойств рассматриваемых объектов. Второе, когда приписывается значение «истина» или «ложь» вне зависимости от свойств обсуждаемых объектов. Это и есть логическая истинность.

Рассмотрим утверждение «верно, что завтра пойдет дождь или завтра не пойдет дождь». Очевидно, что это утверждение является истинным, даже не зная погоды на завтрашний день. В данном случае мы имеем дело с утверждениями вида %%A \lor \overline%%. Так как формула %%A \lor \overline%% является тождественно истинной, то независимо от переменной %%A%%, утверждение истинно.

Формула %%X%% называется тождественно ложной, если она принимает значение «ложь» при любых значениях входящих в нее переменных.

Формула, не являющаяся тождественно ложной и тождественно истинной, называется выполнимой.

Пример

Определить вид (тождественно истинная, тождественно ложная, выполнимая) формулы:

$$ X = A \lor B \rightarrow A \land B $$

Составим таблицу истинности для формулы %%X%%.

%%A%%	%%B%%	%%A \land B%%	%%A \lor B%%	%%(A \lor B) \rightarrow (A \land B)%%
%%0%%	%%0%%	%%0%%	%%0%%	%%1%%
%%0%%	%%1%%	%%0%%	%%1%%	%%0%%
%%1%%	%%0%%	%%0%%	%%1%%	%%0%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%

Поскольку формула не является тождественно истинной или тождественно ложной, то %%X%% — выполнимая формула.