Какие операции или операция относятся к бинарным

§ 2. Бинарные операции и их свойства

Пусть на множестве Х задано правило, которое любой паре элементов x, y из множества Х (xХ, yХ) ставит в соответствие единственный элемент z из того же множества Х (zХ). Такое правило называется бинарной операцией.

Для обозначения бинарной операции используется запись, при которой пары элементов соединяются специальным значком: xTy=z.

Пример. Пусть в качестве Х выступает множество действительных чисел R. Примерами операций на множестве R могут служить сложение (+), вычитание (-), умножение ().

Свойства бинарных операций

1. Операция T называется коммутативной, если для любых элементов x,yХ справедливо равенство: xTy=yTx .

2. Операция T называется ассоциативной, если для любых элементов x,y,zХ справедливо равенство: (xTy)Tz=xT(yTz) .

Пример. Операции “+” и “” коммутативны и ассоциативны, а операция “-” этими свойствами не обладает.

3. Операция T называется дистрибутивной относительно операции , если для любых элементов x, y, z  Х справедливы равенства:

x T(yz) = (xTy)(xTz), (yz)Tx = (yTx)(zTx).

Пример. Очевидно, операция “” дистрибутивна относительно операции “+”, “-”, причём две последние не являются дистрибутивными относительно “”.

Элемент е называется нейтральным, или единичным, относительно операции T, если для любого xХ выполняются равенства: xTе = еTx = x.

Докажем, что если нейтральный элемент существует, то он единственный.

 Предположим, что существуют, по крайней мере, два различных нейтральных элемента e₁e₂. Тогда, по определению единичного элемента, для любого xХ выполняются равенства:

xTe₁= e₁Tx = x; (*)

xTe₂= e₂Tx = x. (**)

Выберем x = e₂ и подставим его в формулу (*): e₂Te₁= e₁Te₂=e₂.

Выберем x = e₁ и подставим его в формулу (**): e₁Te₂= e₂Te₁=e₁.

Из двух последних равенств следует, что e₁=e₂, а это противоречит предположению. Следовательно, нейтральный элемент единственный.

Пример. Для операции “” нейтральным элементом является 1, а для “+” — 0.

§ 3. Операции над множествами. Законы де Моргана

Объединением двух множеств А и В называется множество вида:

Пересечением двух множеств А и В называется множество вида:

Если множества А и В не имеют общих элементов, то AB=.

Пример 1.2. Если A=, a B=, то AB=, AB=.

Свойства операций объединения и пересечения

1. AB = ВА, AB = ВА (коммутативность);

2. (AB)С = A(BС), (AB)С = A(BС) (ассоциативность).

Свойство 2 позволяет записывать без скобок объединение и пересечение любого количества множеств:

=A₁ A₂.  A_k=a/ aA₁ или aA₂ или . или a A_k>,

=A₁ A₂.  A_k=a/ aA₁ и aA₂ и . и a A_k>.

Объединение и пересечение связаны законами дистрибутивности:

A(BC)= (AB)  (AС); A(BC)= (AB)  (AС).

Докажем первый из них (второй доказывается аналогично).

 С одной стороны, если aA(BC), то aA и a(BC), т.е. aA и (aB или aC). Следовательно, (aA и aB) или (aA и aC), т.е. a (AB)(AС). Отсюда следует, что A(BC)  (AB)(AС).

С другой стороны, пусть теперь, наоборот, a(AB)(AС). Тогда (aA и aB) или (aA и aC), т.е. aA и (aB или aC). Следовательно, aA(BC). Значит, (A B)(AС)  A(BC).

По свойству 3 операции включения следует равенство правой и левой частей доказываемого равенства.

Для операции объединения множеств нейтральным является пустое множество , а для операции пересечения множеств — универсальное множество U.

Семейство множеств A₁,A₂. A_m> называется покрытием множества А, если имеет место равенство A=A₁ A₂.  A_m. Множества A₁,A₂. A_m называются блоками покрытия.

Важным частным случаем покрытия является разбиение. Семейство множеств A₁,A₂. A_m> называется разбиением множества А, если A=A₁ A₂.  A_m, A_i , A_iA_j =, ij, 1 i, j m. Множества A₁,A₂. A_m называются блоками разбиения.

Таким образом, покрытие является разбиением, если его блоки не пусты и попарно не пересекаются.

Из определения разбиения следует, что порядок записи блоков, в силу коммутативности объединения, может быть произвольным. Например, два разбиения = множества считаются совпадающими.

Пример 1.3. Составить все возможные разбиения множества .

В некоторых случаях удобно рассматривать разбиения, в которых порядок записи блоков фиксирован, т.е. любая перестановка блоков даёт новое разбиение. Такие разбиения называют поблочно упорядоченными.

Разность множеств А и В определяется следующим образом:

Пример. По условию примера 1.2 A\B =, В\А =.

Этот пример хорошо иллюстрирует тот факт, что разность не обладает свойством коммутативности; эта операция также не является и ассоциативной.

Пользуясь понятием универсального множества, можно определить дополнение к множеству А, как разность вида: = U \ A (рис. 1.3, б).

Пример. Пусть в качестве универсального множества выступает множество целых чисел Z и пусть А — это множество всех чётных чисел. Тогда — это множество всех нечётных чисел.

Операции объединения, пересечения и дополнения множеств связаны между собой законами де Моргана:

, .

 Если a  , то a  AB. Это значит, что или a, или a, т.е. a. Следовательно, .

С другой стороны, если a, то или a, или a. Это значит, что a A B , т.е. a  . Таким образом,  .

Из этих двух включений следует первый закон де Моргана. 

Второй закон доказывается аналогичным образом.

Бинарная операция

Бина́рная (или двуме́стная) опера́ция — обобщение сложения, умножения, возведение в степень.

• 1 Определение
• 2 Замечание
• 3 Типы бинарных операций
  • 3.1 Коммутативная операция
  • 3.2 Ассоциативная операция
  • 3.3 Альтернативная операция
  • 5.1 Мультипликативная запись
  • 5.2 Аддитивная запись

  Определение [ ]

  Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией на множестве M называется отображение f : M × M → M , которое каждой упорядоченной паре элементов ( x , y ) ∈ M × M , называемых опера́ндами, ставит в соответствие некоторый элемент того же множества x f y , называемый результа́том.

  Замечание [ ]

  Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами. Например, для бинарной операции ⋅ результат её применения к двум элементам x и y записывается в виде x ⋅ y .

  Типы бинарных операций [ ]

  Коммутативная операция [ ]

  См. также основную статью: Коммутативная операция

  Бинарная операция ⋅ называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

  x ⋅ y = y ⋅ x , ∀ x , y ∈ M .

  Ассоциативная операция [ ]

  См. также основную статью: Ассоциативная операция

  Бинарная операция ⋅ называется ассоциативной, если

  ( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) , ∀ x , y , z ∈ M .

  Для ассоциативной операции ⋅ результат вычисления x 1 ⋅ x 2 ⋅ … ⋅ x n не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение x 1 ⋅ x 2 ⋅ … ⋅ x n при n > 2 2> однозначно не определено.

  Альтернативная операция [ ]

  Бинарная операция ⋅ называется альтернати́вной если

  Примеры [ ]

  Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на множестве Записи [ ]

  Мультипликативная запись [ ]

  Если абстрактную бинарную операцию на M называют умноже́нием, то её результат для элементов x , y ∈ M называют их произведе́нием и обозначают x ⋅ y или x y . В этом случае нейтральный элемент e ∈ M , то есть элемент удовлетворяющий равенствам

  x ⋅ e = e ⋅ x = x , ∀ x ∈ M ,

  называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

  Аддитивная запись [ ]

  Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов x , y ∈ M называют су́ммой и обозначают x + y . Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0 , называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

  x + 0 = 0 + x = x , ∀ x ∈ M .

  См. также [ ]

  • арность
  • унарная операция
  • Литература [ ]
  • Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. М.: Наука, 1988, с19, с430. ISBN 5-02-013792-8.

  pl:Działanie dwuargumentowe sl:Dvočlena operacija

  Операции бинарной системы

  

  Операции — это основные элементы любого языка программирования. Они позволяют обрабатывать данные и выполнять различные действия. В программировании существует различные виды операций, в том числе и бинарные операции.

  Бинарные операции называются так потому, что они работают с двумя операндами, то есть двумя значениями. Одно из значений называется левым операндом, а другое — правым операндом. Бинарные операции выполняются между этими двумя операндами и возвращают единственный результат.

  Бинарные операции могут выполняться с различными типами данных: числами, строками, логическими значениями и т.д. Они могут быть арифметическими, логическими, сравнениями и другими.

  Некоторые из основных видов бинарных операций включают сложение (+), вычитание (-), умножение (*), деление (/), логическое И (&&), логическое ИЛИ (

  Операции в языке Си

  Над объектами в языке Си могут выполняться различные операции:

  • операции присваивания;
  • операции отношения;
  • арифметические;
  • логические;
  • сдвиговые операции.

  Результатом выполнения операции является число.

  Операции могут быть бинарными или унарными. Бинарные операции выполняются над двумя объектами, унарные — над одним.

  Операция присваивания

  Операция присваивания обозначается символом = и выполняется в 2 этапа:

  • вычисляется выражение в правой части;
  • результат присваивается операнду, стоящему в левой части:

  объект = выражение;

  int a = 4; // переменной a присваивается значение 4
  int b;
  b = a + 2; // переменной b присваивается значение 6, вычисленное в правой части

  В случае если объекты в левой и правой части операции присваивания имеют разные типы используется операция явного приведения типа.

  объект = (тип)выражение;

  float a = 241.5;
  // Перед вычислением остатка от деления a приводится к целому типу
  int b = ( int )a % 2; // b = 1

  Операции отношения

  Основные операции отношения:

  Операции отношения используются при организации условий и ветвлений. Результатом этих операций является 1 бит, значение которого равно 1 , если результат выполнения операции — истина, и равно 0 , если результат выполнения операции — ложь.

  Арифметические операции

  Основные бинарные операции, расположенные в порядке уменьшения приоритета:

  Основные унарные операции:

  • ++ — инкрементирование (увеличение на 1);
  • –– — декрементирование (уменьшение на 1);
  • — — изменение знака.

  Результат вычисления выражения, содержащего операции инкрементирования или декрементирования, зависит от того, где расположен знак операции (до объекта или после него). Если операция расположена до объекта, то сначала происходит изменение значения переменной на 1, а потом это значение используется для выполнения следующих операций. Если операция ++ или — расположена после переменной, то сначала выполняется операция, а потом значение переменной изменяется на 1.

  int a = 2;
  int b = 3;
  int c;
  c = a * ++b;
  // c=8, поскольку в операции умножения уже b=4

  int a = 2;
  int b = 3;
  int d;
  d = a * b++;
  // d=6, поскольку в операции умножения b=3, следующим действием будет b=4

  Бинарные арифметические операции могут быть объединены с операцией присваивания:

  • объект *= выражение; // объект = объект * выражение
  • объект /= выражение; // объект = объект / выражение
  • объект += выражение; // объект = объект + выражение
  • объект -= выражение; // объект = объект — выражение
  • объект %= выражение; // объект = объект % выражение

  Логические операции

  Логические операции делятся на две группы:

  Условные логические операции чаще всего используются в операциях проверки условия if и могут выполняться над любыми объектами. Результат условной логической операции:

  • 1 если выражение истинно;
  • 0 если выражение ложно.

  Вообще, все значения, отличные от нуля, интерпретируются условными логическими операциями как истинные.

  Основные условные логические операции:

  • && — И (бинарная) — требуется одновременное выполнение всех операций отношения;
  • || — ИЛИ (бинарная) — требуется выполнение хотя бы одной операции отношения;
  • ! — НЕ (унарная) — требуется невыполнение операции отношения.

  Побитовые логические операции оперируют с битами, каждый из которых может принимать только два значения: 0 или 1.

  Основные побитовые логические операции в языке Си:

  • & конъюнкция (логическое И) — бинарная операция, результат которой равен 1 только когда оба операнда единичны (в общем случае — когда все операнды единичны);
  • | дизъюнкция (логическое ИЛИ) — бинарная операция, результат которой равен 1 когда хотя бы один из операндов равен 1;
  • ~ инверсия (логическое НЕ) — унарная операция, результат которой равен 0 если операнд единичный, и равен 1, если операнд нулевой;
  • ^ исключающее ИЛИ — бинарная операция, результат которой равен 1, если только один из двух операндов равен 1 (в общем случае если во входном наборе операндов нечетное число единиц).

  Для каждого бита результат выполнения операции будет получен в соответствии с таблицей.

  a	b	a & b	a | b	~a	a ^ b
  0	0	0	0	1	0
  0	1	0	1	1	1
  1	0	0	1	0	1
  1	1	1	1	0	0

  Похожие публикации:

  1. Threads posix win32 что это
  2. Как проверить число на четность в питоне
  3. Как прозвонить ноутбук и узнать что сломалось
  4. Как убрать в иншоте боковые рамки