Какие цифры используются в семеричной системе счисления

Какие цифры используются в семеричной системе счисления?

Раз это семеричная система исчисления, значит в ней используются семь цифр: конечно же 0 и 1, потом 2 и 3, ещё 4 и 5, и наконец 6.

Не надо думать, что последняя цифра этой системы счисления это 7, это очень грубая, но очень распространенная ошибка, так как последняя цифра это 6.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
в избранное ссылка отблагодарить
Dmitry68 [119K]

Данный комментарий был добавлен в качестве пояснения к голосованию против данного материала Не понравилось, что автор ответа заведомо обвиняет остальных в каких-то «очень грубых ошибках», хотя ни один человек здесь этих ошибок не продемонстрировал. — 8 лет назад

KateTesla [15.7K]

Эмм. Я никого не обвиняю. Я имела ввиду, что очень часто мне приходится встречать эту ошибку. — 8 лет назад

комментировать
Корне тОбол енски й [209K]
2 года назад

Существует и используется на практике несколько систем счисления. Семеричную сложно отнести к распространенным.

Но для любой системы счисления характерно правило: в ней используются цифры от 0 до цифры, на единицу меньшей основания системы счисления.

Поэтому для семеричной системы счисления используются цифры: 0,1,2,3,4,5,6.

При этом общее количество цифр равно 7.

Семиричная система счисления

В современном мире, где математика и информатика играют ключевую роль, системы счисления имеют большое значение. Одной из таких систем является семеричная система счисления, которая основана на числе 7. В данной статье мы рассмотрим особенности и применение этой системы, а также ее связь с другими системами счисления.

Семеричная система счисления является позиционной системой, где каждая позиция имеет вес, равный степени числа 7. Набор символов, используемых в данной системе, состоит из семи цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Таким образом, любое число может быть представлено в семеричной системе счисления с использованием данных цифр.

Особенностью семеричной системы является то, что она основана на числе 7, что делает ее отличной от привычных нам десятичной (основанной на числе 10) или двоичной (основанной на числе 2) систем. Это позволяет нам работать с числами в совершенно новом контексте и расширить возможности математических вычислений.

Одним из преимуществ семеричной системы счисления является компактность представления чисел. Например, число 10 в десятичной системе будет представлено как 13 в семеричной системе. Это значит, что для хранения и передачи того же числа в семеричной системе потребуется меньше символов, чем в десятичной системе. Это может быть особенно полезно в ситуациях, связанных с ограниченным объемом памяти или скоростью передачи данных.

Семеричная система счисления также находит применение в информатике. В компьютерных системах данные обычно хранятся и обрабатываются в двоичной системе счисления. Однако, при решении определенных задач, таких как работа с семеричными числами, возникает необходимость преобразования чисел из двоичной системы в семеричную и обратно. Это может быть полезно, например, при работе с базами данных, где числа могут быть представлены в семеричной системе для экономии памяти.

Связь семеричной системы с другими системами счисления также представляет интерес. Например, можно заметить, что число 10 в семеричной системе счисления эквивалентно числу 7 в десятичной системе счисления. Это связано с тем, что одна позиция в семеричной системе счисления соответствует семи позициям в десятичной системе счисления.

Рассмотрим несколько примеров по переводу чисел из десятичной системы в семеричную:

1) Десятичное число 25: Шаг 1: 25 / 7 = 3, остаток 4 Шаг 2: 3 / 7 = 0, остаток 3 Итог: 25 в семеричной системе = 34

2) Десятичное число 100: Шаг 1: 100 / 7 = 14, остаток 2 Шаг 2: 14 / 7 = 2, остаток 0 Шаг 3: 2 / 7 = 0, остаток 2 Итог: 100 в семеричной системе = 202

3) Десятичное число 456: Шаг 1: 456 / 7 = 65, остаток 1 Шаг 2: 65 / 7 = 9, остаток 2 Шаг 3: 9 / 7 = 1, остаток 2 Шаг 4: 1 / 7 = 0, остаток 1 Итог: 456 в семеричной системе = 1221

Теперь рассмотрим таблицу с разделением на колонки, где переведены некоторые популярные значения из десятичной системы в семеричную:

Десятичная	Семеричная
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	10
8	11
9	12
10	13
11	14
12	15
13	16
14	20
15	21
16	22
17	23
18	24
19	25
20	26

В заключение, семеричная система счисления представляет собой интересный и полезный инструмент, который может быть использован в различных областях. Она отличается от привычных нам систем счисления, таких как десятичная или двоичная, и позволяет работать с числами в новом контексте. Компактность представления чисел в семеричной системе и ее применение в информатике делают ее актуальной и востребованной в современном мире.

Сколько цифр используется в семеричной системе счисления — все, что вы всегда хотели знать о семеричной системе счисления

Семеричная система счисления – это математическая нотация, базирующаяся на числе 7. В отличие от десятичной системы, где мы имеем 10 цифр, семеричная система счисления использует всего 7 уникальных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Количество цифр в семеричной системе счисления ограничено числом 7, поскольку это базовое число системы. В ней отсутствуют цифры, принятые в десятичной системе, такие как 8 и 9. Несмотря на ограниченное количество цифр, семеричная система счисления имеет свои преимущества в определенных приложениях и математических расчетах.

Использование семеричной системы счисления может быть необычным для тех, кто привык работать в десятичной системе. Однако, она может быть полезной при решении определенных задач, таких как работы с большими числами или в основаниях отчетности. Различие в числовых системах может представлять интерес для математиков, программистов и исследователей, углубляющих свои знания в теории чисел и вычислительной математике.

Что такое семеричная система счисления?

Семеричная система счисления не является широко используемой в повседневной жизни, однако она находит применение в некоторых компьютерных системах, где ее используют для представления данных. Например, в некоторых программных языках символ ‘0’ может обозначать конец строки, а ‘6’ — конец файла.

Семеричная система счисления имеет свои особенности и отличается от десятичной системы, которая является наиболее распространенной. Поэтому в случае работы с семеричными числами необходимо быть внимательным и учесть данные различия.

Для удобства работы с семеричной системой счисления можно использовать таблицу, в которой будут представлены символы и их эквиваленты в десятичной системе. Ниже приведена таблица семеричных чисел от 0 до 6 и их эквивалентов:

Семеричное число	Десятичное число
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6

Зная, какая цифра соответствует нужной позиции, можно легко преобразовать семеричное число в десятичное и наоборот.

Как выглядят числа в семеричной системе счисления?

Вот как выглядят числа от 0 до 6 в семеричной системе счисления:

0 — ноль

1 — один

2 — два

3 — три

4 — четыре

5 — пять

6 — шесть

Количество цифр в числе в семеричной системе счисления зависит от его величины. Например, число 10 в семеричной системе счисления представляется как «13», а число 100 — как «202».

Семеричная система счисления может использоваться для различных вычислительных задач, в том числе в программировании и математике. В ней мы можем представлять числа более компактно и удобно для определенных операций.

Использование различных систем счисления может быть полезным для расширения понимания математики и ее применения в различных областях.

Примеры чисел в семеричной системе

Пример 1: Число 17₇ (семеричное) эквивалентно числу 10₁₀ (десятичному).

Пример 2: Число 432₇ (семеричное) эквивалентно числу 187 (десятичному).

Пример 3: Число 1001₇ (семеричное) эквивалентно числу 343 (десятичному).

В семеричной системе каждая позиция имеет вес, равный степени семи. Например, число 432₇ интерпретируется следующим образом: 4 в позиции с весом 7 в степени 2, 3 в позиции с весом 7 в степени 1 и 2 в позиции с весом 7 в степени 0. Соответственно, получаем 4 * 7^2 + 3 * 7^1 + 2 * 7^0 = 187.

Семеричная система счисления имеет свои особенности и применяется в некоторых областях науки и техники. Разбираясь с примерами чисел в семеричной системе, можно лучше понять ее принципы и особенности.

Как перевести числа из десятичной системы в семеричную?

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в семеричную можно использовать следующий алгоритм:

Шаг 1: Разделите исходное число на 7 и запишите остаток от деления.

Шаг 2: Разделите полученное на предыдущем шаге число на 7 и снова запишите остаток.

Шаг 3: Повторяйте шаг 2 до тех пор, пока результат деления не станет меньше 7.

Шаг 4: Запишите последний остаток, полученный на предыдущем шаге, слева от остальных остатков в порядке, противоположном их получения.

Например, для числа 25 в десятичной системе мы выполняем следующие шаги:

Шаг 1: 25 ÷ 7 = 3, остаток 4.

Шаг 2: 3 ÷ 7 = 0, остаток 3.

Шаг 4: Записываем остатки в порядке, в котором их получили: 34.

Таким образом, число 25 в семеричной системе счисления записывается как 34.

Этот алгоритм можно использовать для перевода любого числа из десятичной системы в семеричную. Помните, что в семеричной системе счисления цифры могут быть только от 0 до 6.

Алгоритм перевода чисел

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в семеричную применяется следующий алгоритм:

Начните с заданного десятичного числа.
Поделите число на 7 и запишите остаток от деления.
Результат деления будет являться первой цифрой числа в семеричной системе.
Запишите результат деления и остаток от деления.
При необходимости, продолжайте делить целую часть на 7 и записывать остатки до тех пор, пока результат деления не станет равным 0.
Полученные остатки в обратном порядке будут представлять число в семеричной системе счисления.

Десятичное число: 135
135 ÷ 7 = 19, остаток 2
19 ÷ 7 = 2, остаток 5
2 ÷ 7 = 0, остаток 2

В результате перевода числа 135 в семеричную систему получается число 252.

Алгоритм перевода чисел из семеричной системы счисления в десятичную осуществляется аналогичным образом, только на этот раз производится умножение остатков на 7.

Как перевести числа из семеричной системы в десятичную?

1. Начните с разложения семеричного числа на цифры, умноженные на соответствующие степени семи. Например, число 345 в семеричной системе будет разложено на цифры: 3 * 7^2 + 4 * 7^1 + 5 * 7^0.

2. Выполните вычисления для каждого слагаемого, умножив цифру на соответствующую степень семи. Например, для числа 345: 3 * 49 + 4 * 7 + 5 * 1.

3. Просуммируйте результаты вычислений. В нашем примере: 147 + 28 + 5 = 180.

Таким образом, число 345 в семеричной системе равно 180 в десятичной системе счисления.

Перевод чисел из семеричной системы в десятичную можно выполнить с помощью простых математических вычислений. Этот метод может быть использован для перевода чисел любой позиционной системы счисления в десятичную систему.

Алгоритм перевода чисел

Начните с заданного числа в десятичной системе счисления.
Найдите остаток от деления числа на 7.
Запишите остаток в качестве младшего разряда числа в семеричной системе.
Делите исходное число на 7 и возьмите целую часть от деления.
Если целая часть больше нуля, вернитесь к шагу 2. Если нет, переходите к следующему шагу.
Упорядочьте полученные остатки в обратном порядке — от младшего разряда к старшему разряду.

Теперь вы знаете алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в семеричную систему! Этот алгоритм может быть использован для перевода чисел в различные системы счисления.

Сколько цифр в семеричной системе счисления?

В отличие от более распространенных десятичной (основание 10) и двоичной (основание 2) систем счисления, семеричная система используется реже и находит свое применение в некоторых специализированных областях, например, в некоторых компьютерных архитектурах.

Структура семеричной системы счисления основывается на принципе позиционирования цифр. Например, число 123 в семеричной системе счисления представляет собой сумму произведений цифр на соответствующие степени основания: 1 * 7^2 + 2 * 7^1 + 3 * 7^0.

Основание семеричной системы счисления (7) определяет максимальную цифру, которая может быть использована в числе. Число 6 является самой большой цифрой в этой системе, так как следующей позиции будет числовая единица (10 в десятичной системе).

Использование семеричной системы счисления может придать новые особенности математическим выражениям и арифметическим операциям, поскольку операции в этой системе выполняются на основании правил, характерных для семеричной системы.

Informatika(Логика, програмирование) / Системы счисления

Системы счисления Вашему вниманию представлены теоретический материал, примеры решения задач и упражнения для тренировки по теме «Системы счисления». Некоторые упражнения и рассуждения в тексте основываются на результатах выполнения предыдущих упражнений. Поэтому для лучшего понимания и закрепления материала рекомендуется при прочтении текста выполнять задания сразу. Цифра – это письменный знак, изображающий число. Система счисления – это способ записи чисел и сопоставления этим записям реальных значений. В древнейшие времена числа обозначались прямолинейными пометками «палочками»: одна палочка изображала единицу, две – двойку, … . Для изображения больших чисел этот способ неудобен. Поэтому с течением времени были созданы знаки для бóльших чисел. У некоторых народов (древнегреческая, славянская, армянская и древнегрузинская нумерация) для изображения чисел использовались буквы алфавита. Для отличия цифр от букв над цифрами писали черточки (у славян — «титло»): = 1, = 40, = 200. Этот способ до сих пор сохранился в римских цифрах. В позднейшем своем виде римские цифры 1 выглядят так: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Все целые числа записываются с помощью повторения этих цифр. При этом, если бóльшая цифра стоит перед меньшей, то они складываются; если меньшая цифра стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей. Одна и та же цифра ставится подряд не более трех раз. Примеры: 2002 = M M I I, 1999 = M C M X C I X, 300 = C C C, 400 = C D. Арифметические действия с такими числами производить очень неудобно, поэтому римские цифры используются для нумерации томов, разделов и глав книг, обозначения номера века или тысячелетия (XIX век, II тысячелетие до н. э.), порядкового номера монарха (Карл V, Екатерина II) и т. п. Системы счисления, устроенные таким образом, называют аддитивными . Упражнение 1 А) Запишите в десятичной системе счисления числа XCI, XXIII, CDLXXII, MCMXIX. Б) Запишите римскими цифрами числа 17, 48, 293, 965, 2010. 1 Подробнее о римских цифрах можно прочесть по ссылке http://ru.wikipedia.org/wiki/Римские_цифры

В Древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась поместная ( позиционная ) нумерация , то есть такой способ изображения чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа в зависимости от места, занимаемого этой цифрой. Например, в числе 52 цифра 5 обозначает пять десятков: 50 = 5 10, а в числе 578 та же цифра обозначает пять сотен: 500 = 5 10 2 . Позиции, в которых располагаются цифры, называют разрядами. Единица каждого разряда в десятичной системе имеет своё название: единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч, миллион и т.д., десятые, сотые, тысячные, десятитысячные и т. д. В недесятичной позиционной системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (цифры), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления. Количество цифр, используемых для записи чисел, называется основанием системы счисления (это натуральное число). Заметим, что основание системы счисления равно числу единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда. Цифры в системе с основанием b > 0 принимают значения от нуля до b – 1 . Например, в десятичной системе счисления десять цифр: 0, 1, 2, …, 9; в системе с основанием 2 имеем две цифры – ноль и единица, в системе с основанием 8 – цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Если основание больше 10, то для обозначения цифр могут использоваться буквы латинского алфавита. Например, в шестнадцатеричной системе счисления:

Цифры в 16-ричной системе	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
Значения в десятичной системе	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

Для того, чтобы указать, в какой системе счисления записано число, основание системы счисления пишут в качестве нижнего индекса рядом с числом. Поскольку чаще всего мы работаем с десятичной системой счисления, то основание 10 не пишем. Упражнение 2 Выпишите цифры в тринадцатеричной системе счисления и их значения в десятичной системе счисления Любое число в позиционной системе счисления можно представить в виде суммы, каждое слагаемое которой равно произведению цифры на единицу соответствующего ей разряда. При этом единицу каждого разряда можно записать в виде степени какого-либо числа. Мы привыкли к десятичной системе счисления, в ней числа представляются в виде:

α n α n − 1 . α 2 α 1 α 0 , α − 1 . α − k = = α n ·10 n + α n –1 ·10 n –1 + … + α 2 ·10 2 + α 1 ·10 + α 0 + α − 1 ·10 − 1 + … + α − k ·10 − k , где α n , α n –1 , …, α 2 , α 1 , α 0 , α − 1 , …, α − k – цифры данного числа: α 0 – число единиц, α 1 – число десятков, α 2 – число сотен и т. д. Черта над записью (при буквенной записи) используется для того, чтобы отличать записанные подряд цифры числа от произведения переменных. Например, разложение по степеням десяти имеет вид: 2390847,516 = 2·10 6 + 3·10 5 + 9·10 4 + 0·10 3 + 8·10 2 + 4·10 + 7·10 0 + 5·10 -1 + 1·10 -2 + 6·10 -3 Аналогично в системе счисления с основанием b число будет представлено в виде: α n α n − 1 . α 2 α 1 α 0 , α − 1 . α − k = = α n · b n + α n –1 · b n –1 + … + α 2 · b 2 + α 1 · b 1 + α 0 · b 0 + α − 1 · b − 1 + … + α − k · b − k . Например, разложение числа в восьмеричной системе записывается по степеням числа 8: 4273,51 8 = 4·8 3 + 2·8 2 + 7·8 + 3·8 0 + 5·8 -1 + 1·8 -2 Упражнение 3 Запишите числа в виде разложения по степеням основания системы счисления: А) 101001110,0101 2 ; 254 8 ; 2D7 16 Перевод чисел из системы с основанием b в десятичную Правило 1. При переводе чисел из системы счисления с основанием b в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер -1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Например, переведём в десятичную систему двоичное число 5 4 3 2 1 0 − 1 − 2 − 3 110101,0 1 1 2 = 1 2 5 + 1 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 − 1 + 1 2 − 2 + 1 2 − 3 = = 32 + 16 + 4 + 1 + 1 + 1 = 53 3 = 53,375 4 8 8 Переведём в десятичную систему шестнадцатеричное число

2 1 0 − 1 − 2	16 2		16 1 + 9	16 0		− 1 +1	16 − 2
6 А 9, С 1 16								= 6	+	А	+ С	16	=
16		16		16		16	16
= 6 16 2 +10 16 1 + 9 16 0 +12 16 − 1 +1 16 − 2 =
=1536 +160 + 9 +			12	+	1		=1705	193	=1705,75390625
			16		256			256

Упражнение 4 Переведите в десятичную систему числа 101001110,0101 2 ; 254 8 ; 2D7 16 Перевод целых чисел из десятичной системы в систему с основанием b Правило 2. Для перевода целого числа в систему с основанием b нужно разделить это число на b и запомнить остаток от деления. Полученное частное вновь делится на b , а остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на b выписываются в порядке, обратном их получению. Поясним алгоритм перевода на примере перевода десятичного числа 20 в двоичную систему. Разделим число 20 на 2 столбиком. Деление будем производить до тех пор, пока целая часть от деления не станет равной нулю. Если внимательно посмотреть на процесс деления: 20 = 2·10 + 0 = 2·(2·5 + 0 ) + 0 = 2·(2·[2·2 + 1 ]+ 0) + 0 = 2·(2·[2· +1]+ 0) + 0 = 2·(2·[2· <2·(2·0 + 1 )+0>+1] + 0) + 0 = 2 5 ·0 + 2 4 ·1 + 2 3 ·0 + 2 2 ·1 + 2·0 + 0 = 10100 2 , то можно заметить, что остатки от деления образуют последовательность 00101 – т. е. число 10100, записанное в обратном порядке. Таким образом, чтобы записать число в двоичной системе, нужно записать остатки, получающиеся в процессе деления, только в обратном порядке. Аналогично поступают и в случае системы с другим основанием.

20 = 8 1 ·2 + 8 0 ·4 = 24 8

20 = 16 1 ·1 + 16 0 ·4 = 14 16

Упражнение 5 Переведите десятичное число 973 в двоичную, четверичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы Перевод чисел, меньших единицы, из десятичной системы в систему с основанием b Правило 3. Для перевода числа, меньшего единицы, из десятичной системы в систему с основанием b нужно: 1) умножить дробную часть числа на b , после чего целая часть запоминается; 2) отбросить целую часть числа после умножения; если дробная часть равна нулю, то перейти к шагу 3), иначе – к шагу 1) 3) выписать целые части после запятой в порядке их получения. Примеры: 1. 0,09375 переводим в двоичную систему: 0,09375 2 = 0 ,1875; 0,1875 2 = 0 ,375; 0,375 2 = 0 ,75; 0,75 2 = 1 ,5; 0,5 2 = 1 ,0. Получаем ответ: 0,09375 10 = 0,00011 2 . 2. 0,0732421875 переводим в 16-ричную систему: 0,0732421875 16 = 1 ,171875; 0,171875 16 = 2 ,75; 0,75 16 = 12 (в 16-ричной системе это значение шестнадцатеричной цифры C ). Получаем ответ: 0, 0732421875 10 = 0,12С 16 . 3. Переведём число 0,3125 в двоичную, четверичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы. Заметим, что для сокращения записи процесс умножения удобно записывать в виде следующей схемы: Умножение производится для числа, стоящего справа от вертикальной черты (то есть с отброшенной целой частью), а целая часть, получающаяся в результате умножения, записывается слева от вертикальной черты и представляет собой очередную цифру числа в новой системе счисления. 0,3125 = 0,0101 2 = 0,11 4 = 0,24 8 = 0,5 16

Заметим, что результатом может быть как конечная, так и бесконечная (возможно, периодическая) дробь в системе счисления с основанием b . Если период выделить не удается, то приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием b . Пример 4. Переведем в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы число 0,26. Заметим, что в дробной части каждый раз получается новое число, и процесс умножения может продолжаться довольно долго. Поэтому мы обрываем процесс умножения на некотором шаге и получаем приближённые значения: 0,26 ≈ 0,0100001 2 , 0,26 ≈ 0,20507 8 . В процессе умножения на 16 замечаем, что после умножения 0,76 на 16 получили 12,16, а после отбрасывания целой части нужно будет на 16 умножать число 0,16, которое мы уже умножали выше. Значит, далее процесс умножения будет повторять уже пройденные шаги, то есть мы имеем бесконечную периодическую дробь. При записи ответа десятичные значения 15 и 12 заменяем на шестнадцатеричные цифры F и C. В результате получаем 0,26 = 0,4(28F5C) 16 . Упражнение 6 Переведите десятичное число 0,8125 в двоичную, четверичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы. Упражнение 7 Переведите десятичное число 0,92 в двоичную, четверичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы (получить пять знаков после запятой).

Перевод чисел с целой и дробной частью из десятичной системы в систему с основанием b Правило 4. Для перевода числа с целой и дробной частью из десятичной системы в систему с основанием b нужно перевести отдельно целую часть по правилу 2 и отдельно дробную часть по правилу 3, а результаты сложить. Например, переведём число 20,3125 в двоичную систему. Выше мы уже перевели отдельно целую 20 = 10100 2 и дробную часть 0,3125 = 0,0101 2 . Следовательно, 20,3125 = 10100,0101 2 . Упражнение 8 Переведите десятичное число 813,6875 в двоичную, четверичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы. Арифметические действия в недесятичных позиционных системах счисления Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию b системы счисления. Например, таблицы сложения и умножения в двоичной системе имеют вид: Таблица сложения Таблица умножения

+	0	1
0	0	1
1	1	10

×	0	1
0	0	0
1	0	1

Поясним, как получается 1 2 +1 2 =10 2 . Напомним, что основание системы счисления равно числу единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда. В нашем случае мы складываем как раз количество единиц, равное основанию системы счисления, значит, получаем единицу следующего разряда, которая записывается как 10 2 . Составим таблицы сложения и умножения в четверичной системе: Таблица сложения Таблица умножения

+	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	10
2	2	3	10	11
3	3	10	11	12

×	1	2	3
0	0	0	0
1	1	2	3
2	2	10	12
3	3	12	21

Поясним, как заполняются эти таблицы.

Прибавление нуля к некоторому числу всегда дает это число. Прибавление единицы к числу x равносильно переходу к числу, следующему за x . За единицей в четверичной системе следует число 2 4 , затем 3 4 , а добавление к последнему ещё одной единицы дает четыре единицы, которые в системе с основанием 4 объединяются в единицу следующего разряда, то есть 10 4 . Заметим, что прибавление двойки равносильно прибавлению единицы, а затем ещё одной единицы, то есть третья строка таблицы сложения получается прибавлением единицы к числам в предыдущей строке. Аналогично четвертая строка получается прибавлением единицы к числам из предыдущей строки. Умножение на ноль всегда дает ноль, а умножение числа на единицу дает само это число. Умножение числа x на два означает, что нужно прибавить это число к самому себе, поэтому третья строка (и третий столбец) таблицы умножения совпадает с диагональю таблицы сложения. Заметим, что осталось заполнить всего одну ячейку таблицы – результат умножения 3 4 на 3 4 . Умножение числа x на три равносильно тому, что к результату умножения на два нужно прибавить x . Согласно таблице умножения 3 4 × 2 4 =12 4 . Следовательно, нам нужно к 12 4 прибавить 3 4 . По таблице сложения 2 4 +3 4 =11 4 , откуда 12 4 +3 4 =10 4 +2 4 +3 4 =10 4 +11 4 =21 4 . Упражнение 9 Составьте таблицы сложения и умножения для семеричной системы. Сложим два числа в двоичной системе. Запишем их столбиком друг под другом, и будем складывать по отдельности числа в каждом разряде, начиная с правого. В крайнем правом разряде складываем две единицы, получаем 10 2 , ноль пишем в соответствующем разряде, а единица переносится в следующий разряд, что на рисунке отмечено точкой над вторым разрядом справа. Аналогично рассуждаем в следующих разрядах. В последнем (крайнем левом) разряде мы складываем две единицы и получаем 10 2 , но поскольку произошёл перенос из соседнего разряда, то добавляем ещё единицу и получаем 11 2 , то есть записываем единицу в соответствующий разряд и единицу переносим в следующий. Таким образом, 110101 2 + 101101 2 = 1100010 2 . Для проверки переведём слагаемые и результат в десятичную систему: 53 + 45 = 98.

Аналогично производится умножение: 1101 2 · 1011 2 = 10001111 2 , проверка: 13 · 11 = 14. Аналогично выполняются действия в системах с другим основанием. Например, сложим два семеричных числа 505 7 и 34 7 . Запишем числа в столбик и будем проводить сложение поразрядно. В младшем разряде нам нужно сложить 5 7 и 4 7 . Если мы добавим 2 7 к 5 7 , то получим единицу следующего разряда, то есть 10 7 . Складывая 4 7 и 5 7 , мы добавляем ещё 2 7 к 10 7 и получаем 12 7 . Пишем две единицы в младший разряд результата, а единица переносится в следующий разряд. В следующем разряде нужно прибавить запомненную единицу к 3 7 , а в последнем разряде остаётся переписать 5 7 . Рассмотрим теперь пример умножения семеричных чисел 236 7 и 2 7 . По таблице умножения в семеричной системе 6 7 × 2 7 =15 7 , пять пишем в последний разряд результата, а единицу переносим в следующий разряд. Далее 3 7 × 2 7 =6 7 , и прибавляем единицу, перенесённую из младшего разряда, получаем 10 7 , то есть ноль пишем, а единицу переносим в соседний разряд. Наконец, 2 7 × 2 7 =4 7 , и прибавляем единицу, перенесённую из предыдущего разряда, получаем 5 7 . Таким образом, 236 7 × 2 7 =505 7 .

5	0	1,	4	7	Поясним процесс умножения многозначных чисел.
×	2,	3	6	7	Как и в десятичной системе при умножении в столбик
42	0	6	33
				+4	+1	+3	числа записываем друг под другом, выравнивая по
4	2	1	2	3
					21	0	3	15	правому краю. Если числа содержат дробную часть, то
+1
	2	1	0	4	5	умножение ведём, не обращая внимания на запятые, а в
13	0	2	11
				+1	+1	результате запятой отделим столько разрядов, сколько
1	3	0	3	1
					5	5	5	6	10	3	составляют в сумме количества разрядов после запятой в
+1	+1
1	5	5	6,	0	0	3	7	множителях.

Для наглядности промежуточные результаты будем записывать подробно. Перемножим числа 501,4 7 и 2,36 7 . По таблице умножения в семеричной системе 4 7 × 6 7 =33 7 , 1 7 × 6 7 =6 7 , 0 7 × 6 7 =0 7 , 5 7 × 6 7 =42 7 . Эти числа записаны мелким синим шрифтом в первой строке после черты, отделяющей сомножители от промежуточных вычислений. Теперь записываем

результат умножения на 6 7. Заметим, что в последнем разряде получилось двузначное число, значит, младший разряд этого числа будет записан в этом же разряде, а старший даст перенос в следующий разряд. Отметим это во второй строке (также мелким синим шрифтом) как «+3» в том разряде, куда произошёл перенос. Во втором разряде справа 6 7 + 3 7 =12 7 , то есть две единицы в текущем разряде и одну единицу переносим в следующий разряд. В следующем разряде 0 7 + 1 7 = 1 7 , и в последнем разряде два пишем, а 4 переносим в следующий разряд. Итак, получили результат умножения на цифру 6: 42123 7 . Аналогично рассуждаем при умножении на другие цифры второго сомножителя. Осталось сложить результаты умножения на отдельные цифры. В последнем разряде имеем только число 3, во втором разряде справа 2 7 + 5 7 = 10 7 , значит, ноль пишем в этом разряде а единицу переносим в следующий (отмечая это как «+1» в третьем столбце справа). В третьем справа разряде 1 7 +4 7 +1 7 =6 7 , что отмечено в верхней строке результата, да ещё нужно прибавить единицу, перешедшую из предыдущего разряда, то есть снова имеем 10 7 . Далее (2 7 +0 7 +3 7 )+1 7 =6 7 и в следующий разряд ничего переносить не надо. В следующих столбиках 4 7 +1 7 +0 7 =5 7 , 2 7 +3 7 =5 7 и единица в крайнем левом разряде. В первом сомножителе была одна цифра после запятой, во втором – две, значит, в результате будет 1+2=3 цифры после запятой. Итак, получили 501,4 7 × 2,36 7 = 1556,003 7 . Упражнение 10 Выполните действия: А) 1000111110 2 + 1011000101 2 ; 620,2 8 + 1453,3 8 ; 348,1 16 + 2D4,4 16 . Б) 1100110 2 × 110010 2 ; 177,4 8 × 23,4 8 ; в) 10,6 16 × 2A,8 16 . В*) 1100001010 2 – 10000011 2 ; 1520,5 8 – 403,2 8 ; 368,A 16 – 239,D 16 . Г*) 100111000 2 : 1101 2 ; 4343 8 : 31 8 ; A3B 16 : 1B 16 . Перевод чисел из системы с основанием s в систему с основанием r Для перевода числа из системы с основанием s в систему с основанием r требуется записать число в виде суммы ∑ α i s i , где цифры α i и s выражены в новой r -системе, и i выполнить соответствующие арифметические действия по правилам r -системы. Например, переведем число 2104 5 в семеричную систему счисления. Заметим, что промежуточные действия нами выполнены выше. 2104 5 = 2 7 5 3 7 +1 7 5 7 2 +0 7 5 1 7 +4 7 5 0 7 =2 7 236 7 +1 7 34 7 +4 7 =505 7 +34 7 +4 7 =546 7

Какие цифры используются в семеричной системе счисления