Какая последняя цифра числа 2 1995

Какая последняя цифра числа 2 1995

Полезно запомнить следующее правило: последняя цифра произведения двух чисел равна последней цифре произведения последних цифр сомножителей. В частности, последняя цифра произведения зависит только от последних цифр сомножителей.

а) Начнём выписывать последние цифры степеней двойки. На каждом шаге будем умножать результат предыдущего шага на 2 и, если получается двузначное число, брать его последнюю цифру. Получим: 2 1 = 2, 2 4 =4, 2 3 =8, 2 4 = 16 → 6, 2 5 → 6·2 = 12 → 2, 2 6 → 2· 2 = 4, 2 7 → 4· 2 = 8, 2 8 → 8· 2 = 16 → 6, и т. д. Заметим, что последние цифры чередуются в такой последовательности: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6. При этом последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 без остатка (как 4, 8, 100), последняя цифра степени равна 6.

б) Последняя цифра числа 549 49 совпадает с последней цифрой числа 9 49 . Последние цифры степеней девятки чередуются так: 9, 1, 9, 1, 9, 1. То есть если показатель степени нечётный, степень оканчивается на 9. Значит, и число 9 49 , и исходное число 549 49 оканчиваются на 9.

в) Последняя цифра числа 2013 2013 совпадает с последней цифрой числа 3 2013 . Последние цифры степеней тройки чередуются так: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1. То есть последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 с остатком 1 (как 1, 5, 2013), последняя цифра степени равна 3. А значит, и последняя цифра числа 2013 2013 равна 3.

2. В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (23021 337 − 1). Не опечатка ли это?

Решение. Число 23021 337 оканчивается единицей (это проверяется аналогично решению задачи 1). Поэтому последняя цифра числа (23021 337 − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.

3. В магазин привезли 206 литров молока в бидонах по 10 и 17 литров. Сколько было бидонов каждого вида?

Ответ. Семь десятилитровых и восемь семнадцатилитровых.

Решение. Нужно взять несколько слагаемых по 10 л и несколько слагаемых по 17 л так, чтобы сумма была равна 206 л (в частности, чтобы последняя цифра суммы равнялась 6). Количество десятилитровых бидонов не влияет на последнюю цифру суммы. Значит, надо только выяснить, сколько должно быть 17-литровых бидонов, чтобы их суммарный объём оканчивался цифрой 6. Для этого количество 17-литровых бидонов должно оканчиваться на 8 (проверьте, что это правда и что другие варианты не подходят). То есть 17-литровых бидонов может быть 8, 18, 28, и т.д. Но если их хотя бы 18, то их общий объём составляет по крайней мере 18·17 = 306 л, что больше, чем 206 л. Значит, 17-литровых бидонов будет 8, и их общий объём будет равен 136 л. Тогда десятилитровые бидоны должны иметь общий объем 70 л, а для этого их должно быть 7.

4. Делится ли число 47 30 +39 50 на 10?

Решение. Число 47 30 оканчивается цифрой 9, а число 39 50 — цифрой 1 (это проверяется аналогично решению задачи 1). Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.

5. Найдите последнюю цифру в произведении всех нечётных чисел от 1 до 2013.

Решение. Это произведение делится на 5, но не делится на 2. Поэтому в силу признаков делимости на 2 и 5 оно может оканчиваться только цифрой 5.

6. Сколькими нулями оканчивается число 2013! = 1·2·3·. ·2011·2012·2013 ?

Если мы разложим число 2013! на простые множители, то количество нулей на конце этого числа будет равно степени, в которой в это разложение входит пятёрка. (В самом деле, 10 = 2·5, а двойка заведомо войдёт в разложение в большей степени, чем пятёрка.)

2013 = 5·402 + 3. Поэтому среди чисел от 1 до 2013 ровно 402 числа делятся на 5. Аналогичным образом выясним, что из этих чисел ещё 80 делятся на 25, то есть на 5 2 , ещё 16 делятся на 125, то есть на 5 3 , и ещё 3 числа делятся на 625, то есть на 5 4 . Итого 402+80+16+3 = 501, то есть в разложение числа 2013! пятёрка входит в степени 501. Поэтому 2013! оканчивается 501 нулём.

7. Докажите, что среди квадратов любых пяти натуральных чисел всегда можно выбрать два, сумма или разность которых делится на 10.

Решение. Квадрат любого натурального числа оканчивается на 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (проверяем для чисел от 1 до 10, дальше последние цифры повторяются в той же последовательности). Если в наборе есть два квадрата, оканчивающиеся на две одинаковые цифры, при их вычитании получится число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10. Если же все пять последних цифр квадратов в наборе различны, то среди них обязательно будет либо пара (4, 6), либо пара (1, 9). Тогда сложим эти квадраты и тоже получим число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10.

8. Найдите последнюю цифру числа 7 7 7 . Степени считаются сверху вниз: 7 7 7 =7 (7 7 ) .

Решение. Последние две цифры числа 7 7 образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 7 7 делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 7 7 делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3.

9. На доске было написано число из нескольких семёрок: 777. 77. Влад стёр у этого числа последнюю цифру, полученное число умножил на 3 и к произведению прибавил стёртую цифру. С полученным числом он проделал ту же операцию, и так далее. Докажите, что через некоторое время у него получится число 7.

Решение. При каждой операции из числа 10 х + у получается число 3 х + у (здесь y — последняя цифра исходного числа). Разность этих чисел равна 10 x + y − (3 x + y ) = 7 х и значит, делится на 7. Значит, при каждом шаге делимость числа на 7 сохраняется (исходное число, очевидно, делилось на 7), а само число уменьшается. Поскольку операцию можно проделывать с любым натуральным числом, в котором больше одной цифры, мы рано или поздно получим однозначное число, кратное 7.

• ЗАДАЧИ
• 6 класс
• Письменная работа
• Задачи для знакомства
• Ацнок с зиланА
• Чётность
• Делимость
• В триодиннадцатом королевстве
• Алгоритмы
• Математические игры
• Движение и работа
• Геометрия
• Комбинаторика
• Комбинаторика — 2
• Задачи на повторение
• Математическая абака
• География и путешествия
• Признаки делимости
• Последовательности
• От противного
• Графы
• Шахматы
• Раскраски
• Последняя цифра
• Оценка плюс пример
• Лингвистика
• История математики
• ЗАДАЧИ ДОП. НАБОРОВ
• Доп. набор 1
• Доп. набор 2

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!

Какая последняя цифра числа 2 1995

Заменить разные буквы разными цифрами, одинаковые — одинаковыми, а звёздочки — любыми так, чтобы получился правильный пример.

Решение

Очевидно, что вторая цифра множителя — нуль. Посмотрим, какими могут быть первая и третья цифры множителя. Видно, что если умножить 1995 на последнюю цифру множителя, то получится пятизначное число, а если на первую — то четырёхзначное.

Выпишем произведения числа 1995 на все ненулевые цифры: 1995 . 1 = 1995, 1995 . 2 = 3990, 1995 . 3 = 5985, 1995 . 4 = 7980, 1995 . 5 = 9975, 1995 . 6 = 11970, 1995 . 7 = 13965, 1995 . 8 = 15960, 1995 . 9 = 17955.

Получается, что последней цифрой множителя может быть 6, 7, 8 или 9, а первой — 1, 2, 3, 4 или 5. Сейчас уже можно просто перебрать все допустимые варианты выбора первой и последней цифры (их всего 20 — объясните, почему).

Но лучше ещё немного порассуждать и сократить себе работу по перебору вариантов.

Заметим, что при умножении 1995 на первую цифру множителя получается четырёхзначное число (*ГОД), у которого последние три цифры различны (по условию, разные буквы обозначают разные цифры). Поэтому число *ГОД не может быть равным 1995 и 3990. Значит, для первой цифры осталось только три варианта: 3, 4, 5. А всего вариантов выбора первой и последней цифры множителя осталось 12 (почему?).

Теперь посмотрим на пятизначное число, полученное при умножении 1995 на последнюю цифру множителя. Видно, что две его последние цифры должны быть различными (почему?), и поэтому, оно не равно 17955. Значит, последняя цифра множителя — не 9.

Итак, для первой цифры осталось только три варианта (3, 4, 5), а для последней тоже только три (6, 7, 8). Значит, осталось 9 вариантов выбора первой и последней цифры.

Теперь заметим, что четыре цифры О, Д и Ь, И различны. Отсюда простыми рассуждениями получаем, что для множителя остаётся только четыре варианта: 308, 306, 407 и 508.

Это уже небольшой перебор, который можно быстро провести, и найти ответ. (В принципе можно было ещё заметить, что если первая цифра 5, то *ГОД= 9950, при сложении обязательно произойдёт перенос в следующий разряд, и итог будет не шестизначным, а семизначным. Поэтому для первой цифры остаётся только два варианта: 3 и 4. А для множителя — только три: 308, 306, 407.)

Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	1995
класс
1
Класс	6
задача
Номер	4

Дано число 2^(1995). Как найти последнюю цифру этого числа, остаток от деления на 7 и всего цифр в этом числе?

1) Последняя цифра этого числа.
Запишем это число так: 2¹⁹⁹⁵ = 2^(4·998 + 3) = 16⁴⁹⁸ · 8
Так как 16 в любой натуральной степени оканчивается на 6, а 6·8 = 48, то последняя цифра числа 2¹⁹⁹⁵ равна 8.
Ответ: 8

2) Остаток от деления на 7.
2¹ — при делении на 7 получится остаток 2
2² — при делении на 7 получится остаток 4
2³ — при делении на 7 получится остаток 1
Остатки повторяются с периодом T = 3. Так как 1995 = 3·665, то 2¹⁹⁹⁵ при делении на 7 получится остаток 1.
Ответ: 1

3) Всего цифр в числе.
Вычислим десятичный логарифм от числа 2¹⁹⁹⁵
lg 2¹⁹⁹⁵ = 1995·lg 2 ≈ 600,555. Видим, что характеристика логарифма равна 600, значит порядок числа 2¹⁹⁹⁵ равен 600, а поэтому в числе 2¹⁹⁹⁵ — 601 цифра.
Ответ: 601

Арифметика остатков

Статья опубликована при поддержке образовательного сайта по математике «EGEUROK.RU». Подготовка к ЕГЭ по математики – дело сложное. Далеко не в каждой школе учат решать задачи, которые ребенок видит в части С. Что бы к ним подготовится, изучите решение заданий ЕГЭ и ГИА по математике на сайте «EGEUROK.RU», по адресу http://egeurok.ru.

«Остатки» играют в нашей жизни большую роль. Мы встречаемся с ними буквально на каждом шагу. Приведем несколько примеров.

1. Говоря «30 год», мы указываем век, так как 30 год может быть и в XX в., и в XIX в., и в XVIII в.; 30 – это остаток от деления полного числа лет на 100.

2. Вы взглянули на часы, которые показывают 8 ч. Но это может быть и 8 ч и 20 ч, так как часы показывают остаток от деления полного времени на 12.

3. Счетчик показывает 0314 кВт • ч. Это может быть и 0314 кВт•ч и 10314 кВт•ч и 20314 кВт•ч, так как счетчик показывает остаток от деления израсходованного числа киловатт-часов на 10 000.

Таких примеров можно привести множество. Иногда найти остаток совсем нетрудно. А как, например, найти остаток от деления числа 1996•1997•1998•1999•2000•2001 на 7? Перемножить и разделить? Представьте себе проблемы, с которыми придется столкнуться.

Эту задачу мы решим немного позже и почти устно, познакомившись с теорией «Арифметика остатков» или «Арифметика сравнений».

Определение. Делитель в теории чисел называется модулем, а числа, дающие при делении на модуль одинаковые остатки, называются сравнимыми по модулю.

Например, 8 = 7•1 + 1, 15 = 7•2 + 1. Числа 8 и 15 при делении на 7 дают одинаковые остатки, равные 1, следовательно, 8 и 15 сравнимы по модулю 7. Это записывают так: 15 є 8 (mod 7), аналогично 22 є 15 (mod 7).

В качестве модуля можно взять любое натуральное число. Например, 20 є 5 (mod 3), 16 є 4 (mod 4), 37 є 7 (mod 10).

Вообще a є b (mod m), если a = mc + r, b = mc + r, где 0 m r < m.

Заметим, что если 15 є 8 (mod 7), то (15 – 8) 7. Здесь значок обозначает «кратно» или «делится на. ».

Например, если 11 є 5 (mod 3), то (11 – 5) 3.

Вообще, если a є b (mod m), то a – b = (mc + r) – (md + r) = m(c – d) m.

Мы доказали, что если числа сравнимы по модулю m, то их разность делится на модуль m.

Верно и обратное утверждение: если разность двух чисел делится на m, по эти числа сравнимы по модулю m.

В самом деле, если бы эти числа не были сравнимы по модулю m, то давали бы разные остатки при делении на m, но тогда их разность не могла бы делиться на m. Это свойство сравнений мы будем использовать, например, для доказательства сравнимости чисел:

10 є 3 (mod 7), так как 10 – 3 = 7 7;
21 є 13 (mod 4), так как 21 – 13 = 8 4.

Из этого свойства вытекает способ получения сравнимых по модулю чисел: прибавить или вычесть из данного числа кратные модулю числа.

Например, 11 є 8 є 5 є 2 (mod 3). Причем, натуральное число, меньшее модуля и сравнимое с другими числами, служит остатком от деления этих чисел на модуль. В рассмотренном примере остаток равен 2.

Приведем еще один пример: 23 є 19 є 15 є 11 є 7 є 3 (mod 4).

Здесь число 3 – остаток от деления указанных чисел на 4.

Действия над сравнениями

10 є 3(mod 7)
+ 12 є 5(mod 7)
______________
22 є 8(mod 7), так как 22 – 8 = 14 7.

a є b(mod m), т. е. (a – b) m
+ c є d(mod m), т. е. (c – d) m
__________________________
a + c є b + d(mod m), так как (a + c) – (b + d) = (a – b) + (c – d) m.

Мы доказали, что сравнения по одному и тому же модулю можно складывать.

Задача 1. Найдите остаток от деления суммы 1995 + 1996 + 1997 + 1998 + 1999 на 7.

Так как 1995 = 7•285, то 1995 є 0 (mod 7), то 1995 + 1996 + 1997 + 1998 + 1999 є 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 є 3 (mod 7).

Остаток равен 3.

Задача 2. Найдите остаток от деления:вашего года рождения, например 1988 г., на 11.

Имеем 1988 = 11•80 + 8, значит, 1998 є 8 (mod 11); года рождения вашей мамы, например 1953 г., на 11. Получаем

1953 = 11•177 + 6, значит 1953 є 6 (mod 11);

суммы годов рождений, вашего и маминого, на 11. Находим 1988 + 1953 є 8 + 6 = 14 є 3 (mod 11).

10 є 3(mod 7)
• 12 є 5(mod 7)
______________
120 є 8(mod 7), так как 120 – 15 = 105 7.

Сравнения по одному и тому же модулю, можно перемножать, следовательно, и возводить в натуральную степень. (Это утверждение для шестиклассников можно не доказывать, только показать на примерах. Для старшеклассников его следует доказать.)

Итак, пусть a є b (mod m) и c є d (mod m).

Докажем, что ac є bd (mod m).

Доказательство. Рассмотрим разность

ac – bd = ac – bc + bc – bd = c(a – b) + b(c – d) m, так как (a – b) m и (c – d) m.

Следовательно, ac є bd (mod m), что и требовалось доказать.

Задача 3. Найдите остаток от деления на 7 произведения чисел 1995•1996•1997•1998•1999.

Решение. Так как 1995 є 0 (mod 7), то 1995•1996•1997•1998•1999 Ю 0•1•2•3•4 = 0 (mod 7).

Таким образом, остаток равен 0.

Задача 4. Найдите остаток от деления на 7 числа 1996•1997•1998•1999•2000•2001.

Решение. Имеем 1996•1997•1998•1999•2000•2001 є 1•2•3•4•5•6 = 720 є 20 є 6 (mod 7).

Остаток равен 7.

Часто встречаются произведения вида 1•2•3•4, 1•2•3•4•5, 1•2•3•4•5•6 и т д.

Их обозначают 1•2•3•4 = 4!, 1•2•3•4•5 = 5!. Читают: 4-факториал, 5-факториал и т. д. Вообще, 1•2•3•. •n = n! (n-факториал).

(Найдите самостоятельно значения выражений 5!, 7!.)

Заметим, что остаток от деления числа на 10 есть последняя цифра этого числа.

Пример. 21 є 1 (mod 10), 134 є 4 (mod 10).

Для решения ряда задач на поиски последней цифры числа полезна следующая «таблица», которую следует вывести вместе с учащимися:

1 k є 1 (mod 10) 4 2k є 6 (mod 10) 2 4k є 6 (mod 10) 2 4k+1 є 2 (mod 10) 2 4k+2 є 4 (mod 10) 2 4k+3 є 8 (mod 10)

5 k є 5 (mod 10) 4 2k+1 є 4 (mod 10) 3 4k є 1 (mod 10) 3 4k+1 є 3 (mod 10) 3 4k+2 є 9 (mod 10) 3 4k+3 є 7 (mod 10)

6 k є 6 (mod 10) 9 2k є 1 (mod 10) 7 4k є 1 (mod 10) 7 4k+1 є 7 (mod 10) 7 4k+2 є 9 (mod 10) 7 4k+3 є 3 (mod 10)

9 2k+1 є 9 (mod 10) 8 4k є 6 (mod 10) 8 4k+1 є 8 (mod 10) 8 4k+2 є 4 (mod 10) 8 4k+3 є 2 (mod 10)

Вывод этих сравнений можно показать на примере:

7 є 7 (mod 10);
7 2 = 49 є 9 (mod 10);
7 3 = 7 2 •7 є 9•7 = 63 є 3 (mod 10);
7 4 = 7 3 •7 є 3•7 = 21 є 1 (mod 10).

Далее остатки будут повторяться: остаток 1 имеют все степени числа 7, показатель которых кратен 4; остаток 7 – все степени 7, показатель которых при делении на 4 дает остаток 1; остаток 9 – все степени 7, показатель которых при делении на 4 дает остаток 2; остаток 3 – все степени 7, показатель которых при делении на 4 дает остаток 3.

Задача 5. Какова последняя цифра числа 137100?

Решение. Имеем: 137 є 7 (mod 10), 137 100 є 7 100 = 7 25•4 є 1 (mod 10).

Последняя цифра равна 1.

Задача 6. Найдите последнюю цифру каждого из следующих чисел: 7 7 , 77 77 , 2 100 , 3 1999 , 19 100 , 1999 1999 .

7 7 = 7 4•1+3 є 3 (mod 10),
77 77 є 7 77 = 7 4•19+1 є 7 (mod 10),
2 100 = 2 4•25 є 6 (mod 10),
3 1999 = 3 4•499+3 є 7 (mod 10),
19 100 є 9 100 є 1 (mod 10).
1999 1999 є 9 1999 є 9 (mod 10).

Последняя цифра соответственно 3, 7, 6, 7, 1, 9.

а) Найдите остаток от деления на 3 числа 1998 1998 + 1999 1999 .
б) Найдите последнюю цифру числа 1998 1998 + 1999 1999 .

а) 1998 1998 + 1999 1999 є 0 1998 + 1 1999 = 0 + 1 є 1 (mod 3). Остаток равен 1.
б) 1998 1998 + 1999 1999 є 8 1998 + 9 1999 = 8 4•499+2 + 9 2•999+1 є 4 + 9 = 13 є 3 (mod 10).

Последняя цифра равна 3.

Рассмотрим еще ряд задач, решаемых арифметикой сравнений.

Задача 8. Докажите, что n 3 – n кратно 6 для любого натурального числа n.

Решение. Истинность утверждения для некоторых n еще не служит доказательством. Рассмотрим для ясности несколько частных случаев. Например,

при n = 1 1 3 – 1 = 0 6,
при n = 2 2 3 – 2 = 8 – 2 = 6 6,
при n = 10 10 3 – 10 = 1000 – 10 = 990 6.

Теперь докажем утверждение задачи. При делении на число 6 возможны следующие остатки: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

n є 0 (mod 6), то n 3 – n = 0 3 – 0 = 0 (mod 6),
n є 1 (mod 6), то n 3 – n = 1 3 – 1 = 0 (mod 6),
n є 2 (mod 6), то n 3 – n = 2 3 – 2 = 6 є 0 (mod 6),
n є 3 (mod 6), то n 3 – n = 3 3 – 3 = 24 є 0 (mod 6),
n є 4 (mod 6), то n 3 – n = 4 3 – 4 = 60 є 0 (mod 6),
n є 5 (mod 6), то n 3 – n = 5 3 – 5 = 120 є 0 (mod 6).

Полный перебор показал, что n 3 – n кратно 6 для любого натурального числа n.

Следует отметить, что имеются и другие способы доказательства этого утверждения.

Задача 9. Укажите все возможные остатки при делении чисел вида n 2 + 3n на 7.

Решение. При делении на 7 возможны остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Тогда:

n є 0 (mod 7), n 2 + 3n = 0 2 + 3•0 = 0 (mod 7),
n є 1 (mod 7), n 2 + 3n = 1 2 + 3•1 = 4 (mod 7),
n є 2 (mod 7), n 2 + 3n = 2 2 + 3•2 = 10 є 3 (mod 7),
n є 3 (mod 7), n 2 + 3n = 3 2 + 3•3 = 18 є 4 (mod 7),
n є 4 (mod 7), n 2 + 3n = 4 2 + 3•4 = 16 + 12 = 28 є 0 (mod 7),
n є 5 (mod 7), n 2 + 3n = 5 2 + 3•5 = 25 + 15 = 40 є 5 (mod 7),
n є 6 (mod 7), n2 + 3n = 6 2 + 3•6 = 36 + 18 = 54 є 5 (mod 7).

Возможные остатки: 0, 3, 4, 5.

В качестве самостоятельной тренировочной или домашней работы следует предложить упражнения следующего типа:

1. Найдите последнюю цифру числа:

2. Найдите остаток от деления на 4 числа:

3. Докажите, что n 3 + 2n кратно 3 для любого натурального значения n.

а) 11 6 + 14 6 + 16 6 є 1 6 + 4 6 + 6 6 є 1 + 6 + 6 = 13 є 3 (mod 10);
б) 11•13•15•17•19 = 1•3•5•7•9 є 5 (mod 10).

а) 11 6 + 14 6 + 16 6 є 3 6 + 2 6 + 0 6 =3 4 •3 2 + 64 є 1•9 + 0 = 9 є 1 (mod 4);
б) 11•13•15•17•19 є 3•1•3•1•3 = 27 є 3 (mod 4).

n є 0 (mod 3), n 3 + 2n є 0 3 + 2•0 є 0 (mod 3),
n є 1 (mod 3), n 3 + 2n є 1 3 + 2•1 = 3 є 0 (mod 3),
n є 2 (mod 3), n 3 + 2n є 2 3 + 2•2 = 8 + 4 = 12 є 0 (mod 3).

Следовательно, n 3 + 2n кратно 3 для любого натурального значения n.

Проверку усвоения материала рекомендуется провести следующим образом. Ученики выполняют задания и каждую цифру ответа заменяют буквой, используя таблицу шифра. Если ученик справится с заданием, то в четвертом столбце заполненной таблицы он прочитает слово «верно».

Таблица шифра

0	1	3	5	6
Р	Е	О	Н	В

Вариант 1 Вариант 2

Укажите последнюю цифру числа: