Как сложить два вектора

Онлайн калькулятор. Сложение и вычитание двух векторов

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти сумму двух векторов или разность двух векторов для плоских и пространственных задач.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на сложение и вычитание двух векторов и закрепить пройденный материал.

Калькулятор для сложения и вычитания двух векторов

alt

Размерность векторов:

Форма представления первого вектора:

Форма представления второго вектора:

Введите значения векторов.

Инструкция использования калькулятора для сложения и вычитания двух векторов

выберите из выпадающего списка необходимую вам размерность и формы представления векторов;
введите значения векторов;
выберите
- «+» — если хотите найти сумму векторов;
- «-» — если хотите найти разность векторов;
Дополнительные возможности калькулятора для сложения и вычитания двух векторов
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.
Теория. Сложение и вычитание двух векторов

Определение Сложение векторов (сумма векторов) a + b есть операция вычисления вектора c , все элементы которого равны попарной сумме всех соответствующих элементов векторов a и b , то есть каждый элемент вектора c равен:

Определение Вычитание векторов (разность векторов) a — b есть операция вычисления вектора c , все элементы которого равны попарной разности всех соответствующих элементов векторов a и b , то есть каждый элемент вектора c равен:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Как вычитать и складывать векторы

Соавтором этой статьи является Joseph Meyer, наш постоянный соавтор. Постоянные соавторы wikiHow работают в тесном сотрудничестве с нашими редакторами, чтобы обеспечить максимальную точность и полноту статей.

Количество просмотров этой статьи: 207 150.

В этой статье:

Вектор — это математический объект, который характеризуется величиной и направлением (например, ускорение, перемещение), чем и отливается от скаляров, у которых направления нет (например, расстояние, энергия). Скаляры можно складывать, сложив их значения (например, 5 кДж работы плюс 6 кДж работы равно 11 кДж работы), а вот векторы складывать и вычитать не так просто.

Метод 1 из 3:

Сложение и вычитание векторов с известными компонентами
- Обратите внимание, что векторы могут быть одномерными, двумерными или трехмерными. Таким образом, векторы могут иметь компонент «х», компоненты «х» и «у» или компоненты «х», «у», «z». Ниже рассмотрены трехмерные векторы, но процесс аналогичен для одномерных и двумерных векторов.
- Предположим, что вам даны два трехмерных вектора — вектор А и вектор B. Запишите эти векторы в векторной форме: А = и B = , где a1 и а2 — компоненты «х», b1 и b2 — компоненты «у», c1 и c2 — компоненты «z».
- A+B = .
- Сложим векторы A и B. A = и B = . A + B = , или .
A-B =

Вычтем векторы A и B. A = и B = . A — B = , or .

Операции с векторами

Мы постепенно показываем вам математику за пределами школьной программы. Начинали со знакомства с векторами, теперь сделаем следующий шаг.

Напомним основные мысли:

Вектор — это абстрактное понятие, которое представляет собой организованную последовательность каких-то чисел.

В виде вектора можно представить координаты предмета в каком-то пространстве; площадь квартиры и её стоимость; цифровые данные анкеты какого-то человека и динамику цен на нефть.

Если по-простому, то векторы нужны, чтобы обрабатывать большое количество организованных чисел. Представьте, что вектор — это коробка с конфетами, только вместо конфет — числа. Каждое число стоит в своей ячейке.

Машинное обучение основано на перемножении матриц, которые, в свою очередь, можно представить как наборы векторов. Так что векторы лежат в глубине всех модных и молодёжных технологий ИИ.

С векторами можно совершать некоторые математические операции. Вот о них и поговорим.

Правильно — векторы

Математики часто говорят во множественном числе «вектора», но по словарю правильно «векторы». Это такой профессиональный жаргон, как «договора», «бухгалтера» и «сервера». Мы будем использовать «векторы», но если вы окажетесь в постковидном математическом баре, лучше говорите «вектора».

Сложение

Представим четыре вектора, которые лежат в двухмерном пространстве и пока что не связаны между собой. Нарисуем эти векторы и обозначим их буквами X, Y, Z, K.

Поскольку векторы находятся в одном пространстве, координаты каждого состоят из одинакового количества чисел. У нас пример с двухмерным пространством и два числа. Выглядеть это будет так: X = (6, 4); Y = (3, −2); Z = (−7, −5); K = (−10, 4).

Если у нас несколько векторов с одинаковым количеством чисел, то эти числа можно поэлементно складывать. Для этого мы берём первое число одного вектора, складываем его с первым числом другого вектора и так далее.

Предположим, нам нужно сложить векторы X и Y.

X = (6, 4)
Y = (3, −2)
X + Y = (9, 2)

Вроде просто: складываешь последовательно все координаты, результаты сложения складываешь в исходные коробочки. Так можно делать с любым количеством координат. Помните, что вектор — это необязательно стрелка в двумерном пространстве. Она может быть и в десятимерном пространстве — с точки зрения математики это неважно.

Например, вот сложение векторов с пятью координатами:

X = (6, 4, 11, 14, 99)
Y = (3, -2, 10, -10, 1)
X + Y = (9, 2, 21, 4, 100)

Интуитивное изображение сложения

Для интуитивного восприятия удобно использовать векторы с двумя координатами. Их удобно рисовать на координатной плоскости и таким образом смотреть на геометрию.

Например, можно на плоскости показать, как будет работать сложение двух векторов. Для этого есть два метода: метод треугольника и метод параллелограмма.

Метод треугольника: ставим векторы Х и Y в очередь друг за другом. Для этого берём вектор Х, ставим за ним вектор Y и получаем новый вектор. Новый вектор начинается в хвосте вектора Х и заканчивается на стрелке вектора Y. Этот вектор — результат сложения. Представьте, что это ребёночек двух векторов.

Чтобы воспользоваться методом параллелограмма, нам нужно поставить векторы Х и Y в одну исходную точку. Дальше мы дублируем векторы Х и Y, формируем параллелограмм и получаем новый вектор. В новом векторе соединяем исходную точку с исходной точкой дублирующих векторов — стрелка проходит посередине параллелограмма. Длина нового вектора — это сумма векторов Х и Y.

Сложение по методу параллелограмма и треугольника даёт одинаковый результат. Поэтому выбирайте вариант, который больше подходит под задачу.

Вычитание

Вычитание векторов немного сложнее. Чтобы вычесть векторы, нужно «развернуть» вычитаемый вектор и сложить его с исходным. «Развернуть» — то есть направить в обратную сторону, «перевернув» знаки координат. Получится конструкция вроде такой: Х + (−Y)

Дальше используются правила сложения. Пошагово это выглядит так:

У нас есть X = (6, 4) и Y = (3, −2).

Превращаем формулу Х − Y в формулу Х + (−Y).

Разворачиваем вектор Y. Было: Y = (3, −2). Стало: −Y = (−3, 2).

Считаем: X + (−Y) = (3, 6).

Теперь посмотрим, как выглядит вычитание векторов на графике:

Длина вектора

Длина вектора — это одно число, которое измеряется расстоянием от кончика до стрелки вектора. Длину вектора нельзя путать с координатами. Координаты — это несколько чисел, которые указывают на расположение стрелки вектора. По координатам можно определить только конечную точку вектора. Например, если X = (6, 2), то стрелка будет находиться в точке 6 по оси Х. Или другой пример: если Y = (6, 5), то стрелка этого вектора будет находиться в точке 5 по оси Y.

Предположим, нам известны начальные точки векторов X и Y. Пусть это будет точка 2 по оси X и точка 2 по оси Y. Так мы можем легко посчитать длину отрезков:

X = 6 − 2 = 4
Y = 5 − 2 = 3

Иногда приходится рассчитывать длину третьего вектора, который привязан к двум другим векторам. Это легко сделать с помощью теоремы Пифагора — это когда квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае катетами будут длины векторов X и Y. Вспоминаем школьную формулу и считаем:

|C|2 = 42 + 32 = 25
|C| = √25 = 5

Это формула для двумерного пространства. В трёхмерном пространстве формула похожая: нужно сложить квадраты трёх координат и вычислить квадратный корень из суммы.

В пространстве с большим числом измерений формула выглядит сложнее, но по сути то же: складываем все квадраты координат и получаем квадратный корень из этой суммы.

Умножение и деление вектора на число

Умножение и деление позволяют изменить длину и направление вектора. Если мы умножим вектор Х на три, то увеличим его длину в три раза. Если умножим на минус три — увеличим длину и изменим его направление на противоположное.

Для деления сохраняются аналогичные правила. Делим вектор Х на три и сокращаем длину в три раза. Делим на минус три — сокращаем и разворачиваем.

Да вроде несложно!

Пока ничего сложного. Но если углубляться, вы узнаете, что:

векторы можно умножать на векторы тремя способами в зависимости от задачи и от того, что мы понимаем под умножением;

если от векторов перейти к матрицам, то перемножение матриц имеет несколько более сложную и довольно неинтуитивную математику;

а перемножение матриц — это и есть машинное обучение.

Что дальше

В следующей статье рассмотрим линейную зависимость векторов. Чтобы не скучать — посмотрите интервью с Анастасией Никулиной. Анастасия сеньор-дата-сайентист в Росбанке и по совместительству блогер с интересной историей.

Как складывать векторы

Сложив два вектора, в результате получим новый вектор.
Векторы могут располагаться один относительно другого:

параллельно,

не параллельно.

Складываем параллельные векторы

Если векторы параллельны, складывать так:

А) К концу первого вектора приложить начало второго вектора

Б) из начала первого вектора к концу второго вектора провести новый вектор

Рис. 1. Складываем параллельные векторы

Примечание:

В этом уравнении над буквами используются значки векторов. Эти значки указывают на то, что действия выполняются с помощью геометрии. То есть, учитывается направление векторов.

Важно! Любое выражение, записанное в векторном виде, учитывает направление векторов.

Это можно пояснить так:

сложив два числа 3 и 4 получим только одно решение (3 + 4 = 7).

складывая два вектора с длинами 3 и 4, можно в результате получить вектор, длина которого лежит в диапазоне от «1» до «7».

Если векторы, которые складываем, были направлены в противоположные стороны, получим вектор, длина которого равняется единице.

А если векторы были сонаправленными – то длина результирующего вектора будет равна семи.

Ну а, если векторы были препендикулярными, то конечный вектор будет иметь длину, равную пяти.

Если векторы направлены в противоположные стороны, то результат сложения будет сонаправлен с более длинным вектором.

Рис. 2. Складываем параллельные противоположно направленные векторы

Складываем не параллельные векторы

Если векторы не параллельны (см. рис. ), для их сложения пользуются одним из двух правил:

правило треугольника;

правило параллелограмма;

Рис. 3. Не параллельные векторы

Примечание:

Правило параллелограмма удобно применять к векторам, выходящим из одной общей точки (начала векторов совмещены).

Правило треугольника

К концу первого вектора приложить начало второго вектора

Рис. 4. Располагаем не параллельные векторы, чтобы сложить их по правилу треугольника

Из свободного начала к свободному концу провести вектор

Рис. 5. Складываем не параллельные векторы по правилу треугольника

Правило параллелограмма

Совместить начала векторов

Рис. 6. Совмещаем начала не параллельных векторов, чтобы сложить их по правилу параллелограмма

Провести пунктиры, чтобы получить параллелограмм

Рис. 7. Достраиваем пунктирами параллелограмм, чтобы сложить векторы

Из точки, в которой находятся начала провести диагональ

Рис. 8. Проводим диагональ параллелограмма, чтобы сложить векторы

Как вычитать векторы

Вычтем один вектор из второго вектора. В результате получим новый вектор.

Вектор «\( -\vec \)» — это вектор «\( \vec \)», развернутый в противоположную сторону.

Рис. 9. Вектор и противоположно направленный ему вектор

Вычитание заменяют сложением. Складывают вектор с противоположно направленным вектором.

Рис. 10. Складываем вектор «a» и противоположно направленный вектор «-b»

Складываем и вычитаем векторы, используя их координаты

Когда известны координаты двух векторов, сложение или вычитание провести достаточно легко. Для этого нужно сложить или вычесть соответствующие координаты векторов.

Для удобства обычно выписывают один вектор под другим.

\( \vec = \left\ < b_; b_ ; b_ ;\right\> \)

Примеры сложения векторов в физике

Напоминание:
Складывать и вычитать можно только те векторы, которые имеют одинаковую размерность. То есть, длина которых измеряется в одинаковых единицах.

Рассмотрим формулу связи между начальной и конечной скоростями при равноускоренном движении
\( \vec = \vec> + \vec \cdot t \)

Примечания:
— Скорость всегда направлена в ту сторону, в которую тело движется (в направлении движения тела).
— Ускорение направлено в сторону действия силы (из второго закона Ньютона).

Обратите внимание: Направление силы не всегда будет совпадать с направлением, в котором тело двигалось изначально.

Силу можно направить в любую сторону. Она будет толкать или тянуть тело в ту сторону, в которую она направлена. Поэтому, конечная скорость \( \vec \), начальная скорость \( \vec> \) и ускорение \( \vec \) могут иметь различные направления.

Векторы складывают с помощью геометрии, то есть, учитывают их направления.
Поэтому, формула \( \vec = \vec> + \vec \cdot t \) записана в векторном виде.

Похожие публикации:

Дефростер для холодильника индезит как проверить

Скрытая вирусная программа как удалить

Служба доступа к данным пользователя что это за служба

Соединение было сброшено firefox как исправить