Решение системы неравенств
В системе неравенств неизвестные определяются автоматом из выражений систем неравенств.
Примеры
Система линейных неравенств
2*x - 3 > 0 5 - x >= 4*x - 11
Система двух неравенств
x > 7 2 - 3*xСистема неравенств с одной неизвестной
2*x - 3 > 0 3*x - 5 > 0С показательными и логарифмическими функциями
(544 - 4^-x)/(32 - 2^-x) >= 17 log((x + 20)/16)/log(x^2/16)Система трёх неравенств
x - yСистема четырёх неравенств
3*x + 2*yСистема неравенств с двумя неизвестными и квадратом
x^2 - 2y > 7 3x + y > 3Система неравенств с тремя неизвестными и квадратным корнем
x >= -2 y = 3 zПравила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция - арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция - арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция - экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция - Синус от x cos(x) Функция - Косинус от x sinh(x) Функция - Синус гиперболический от x cosh(x) Функция - Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция - квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция - Квадрат x ctg(x) Функция - Котангенс от x arcctg(x) Функция - Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция - Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция - Тангенс от x tgh(x) Функция - Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция - кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x DiracDelta(x) Дельта-функция Дирака Heaviside(x) Функция Хевисайда Интегральные функции: Si(x) Интегральный синус от x Ci(x) Интегральный косинус от x Shi(x) Интегральный гиперболический синус от x Chi(x) Интегральный гиперболический косинус от xВ выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание 15/7 - дробь
Другие функции: asec(x) Функция - арксеканс от x acsc(x) Функция - арккосеканс от x sec(x) Функция - секанс от x csc(x) Функция - косеканс от x floor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция - Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа asech(x) Функция - гиперболический арксеканс от x csch(x) Функция - гиперболический косеканс от x sech(x) Функция - гиперболический секанс от x acsch(x) Функция - гиперболический арккосеканс от x
Постоянные: pi Число "Пи", которое примерно равно ~3.14159.. e Число e - основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности - знак для бесконечности© Контрольная работа РУ - калькуляторы онлайн
Калькулятор систем неравенств
Решить данную систему неравенств, означает найти совокупность всех значений переменной удовлетворяющих каждому неравенству системы.
Рассмотрим конкретный пример. Пусть нам дана система неравенств:
Для её решения воспользуемся числовой прямой и изобразим интервалы значений переменной соответствующие каждому неравенству системы:
Синим цветом обозначена совокупность всех значений переменной , удовлетворяющих неравенству , оранжевым цветом - неравенству и зелёным цветом - неравенству .
Чтобы найти решение системы неравенств нужно объединить интервалы значений переменной удовлетворяющие каждому неравенству системы. Из рисунка (смотрим слева направо) следует, что:
Полученный результат также можно изобразить графически на числовой оси:
Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha может решать и более сложные системы неравенств, чем только что рассмотренная. Обращаем Ваше внимание, что символ ≥ необходимо вводить в калькулятор как >= (в виде двух символов больше и равно), а символ ≤ - как
Системы неравенств
Система неравенств представляет собой два или более неравенств, объединенных сбоку фигурной скобкой: $$ \begin x^2-3x \le 0, \\ x+6 \gt 9. \end $$ Решить систему неравенств значит найти все такие значения переменной \(x,\) которые удовлетворяют ОДНОВРЕМЕННО всем неравенствам, входящим в систему. Для этого необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем выбрать \(x,\) которые являются решениями сразу всех неравенств. Другими словами, найти пересечение решений.
Учиться решать системы проще всего на примерах:
Пример 1 $$ \begin x-7 \lt 0, \\ x-8 \gt -9. \end $$ Система состоит из двух линейных неравенств. Решим каждое по отдельности: $$x-7 \lt 0;$$ $$x \lt 7;$$ Первое неравенство дает нам любые \(x,\) которые меньше \(7.\) Изобразим это на числовой прямой:
Решим второе неравенство: $$x-8 \gt -9;$$ $$x \gt -1;$$ Тут у нас получились любые \(x\) больше \((-1).\) Тоже рисуем числовую прямую:
А вот теперь самое интересное: перед нами задача не решить все неравенства в системе по отдельности, а решить систему из этих неравенств. Значит нужно найти пересечение решений, то есть такие значения \(x\), которые будут решениями и для первого неравенства, и для второго.
Проще всего найти пересечение при помощи той же числовой прямой. Изобразим на ней решения сразу обоих неравенств. Для удобства решение первого неравенства покажем сверху, а решение второго - снизу:
Из рисунка отлично видно область, где пересекаются решения. Я ее показал штриховкой. Нам остается только записать в ответ заштрихованную область. Так как оба неравенства в системе строгие, то на числовой прямой точки \(x=-1\) и \(x=7\) выколотые, а в ответе они будут в круглых скобках:
Ответ: \(x \in (-1;7).\)Кто забыл, как правильно расставлять точки и скобки в неравенствах, рекомендую почитать про виды числовых промежутков в числовых неравенствах.
Пример 2 $$ \begin 2x-1 \ge 3, \\ 3x-1 \lt 11. \end $$ Решаем первое неравенство: $$2x-1 \ge 3;$$ $$2x \ge 3+1;$$ $$2x \ge 4;$$ $$x \ge 2;$$ Решаем второе неравенство: $$3x-1 \lt 11;$$ $$3x \lt 12;$$ $$x \lt 4;$$ Ищем пересечение решений на числовой прямой. Решение первого неравенства отмечаем сверху, а решение второго - снизу. Их пересечение обозначим штриховкой:
Обратите внимание на точки. Точка \(x=2\) закрашенная, так как первое неравенство нестрогое, а точка \(x=4\) выколотая, так как второе неравенство строгое.
Ответ: \(x \in [2;4).\)Разберем теперь систему, где присутствуют не только линейные неравенства. Несмотря на то, что тип неравенств меняется, алгоритм решений будут аналогичен предыдущим примерам:
Пример 3 $$ \begin 4x^2+9x-9 \le 0, \\ \frac \lt 0. \end $$ Решаем первое неравенство: $$4x^2+9x-9 \le 0;$$ Это квадратное неравенство, его можно решить при помощи параболы или методом интервалов. Мы решим методом интервалов. Находим корни через дискриминант, раскладываем квадратный многочлен на множители и решаем получившееся неравенство методом интервалов:
Итак, выпишем коэффициенты и находим корни через дискриминант: $$a=4; \; b=9; \; c=-9;$$ $$D=b^2-4ac=9^2-4*4*(-9)=81+144=225;$$ $$x_1=\frac>=\frac>=\frac=\frac;$$ $$x_2=\frac>=\frac>=\frac=-3;$$ Раскладываем квадратный многочлен на множители по формуле: $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2);$$ где \(x_1\) и \(x_2\) - это корни квадратного многочлена; $$4(x-\frac)(x+3) \le 0;$$ На числовой прямой отмечаем корни и расставляем знаки:
Все точки закрашенные, так как неравенство нестрогое. Решением этого неравенства будет интервал с минусом: $$x \in [-3;\frac].$$ Теперь решим второе неравенство в системе: $$\frac \lt 0;$$ Дробь будет меньше нуля только в том случае, когда и числитель, и знаменатель разных знаков. В знаменателе положительная двойка, значит числитель должен быть отрицательным: $$x+1 \lt 0;$$ $$x \lt -1;$$ Рисуем числовую ось, на ней отмечаем решение обоих неравенств. Для удобства решение первого неравенства отмечаем сверху, второго - снизу:
Заштрихуем область, на которой оба решения пересекаются, и выписываем ответ:
Ответ: \(x \in [-3;-1).\)Пример 4 $$ \begin x^2-4x+3 \ge 0, \\ x^2—x-6 \lt 0. \end $$ Решаем первое неравенство: $$x^2-4x+3 \ge 0;$$ $$D=(-4)^2-4*1*3=16-12=4;$$ $$x_1=\frac>=\frac=3;$$ $$x_1=\frac>=\frac=1;$$ Раскладываем левую часть неравенства на множители: $$(x-3)(x-1) \ge 0;$$ Решаем методом интервалов:
$$x \in (-2;3);$$ Отдельно решили каждое неравенство в системе, теперь найдем пересечение их решений:
$$x \in (-2;1];$$ Внимательно следите за выколотыми и закрашенными точками. Например, точка \(x=3\) есть и в решении первого неравенства, и в решении второго, но так как в одном из решений она выколотая (в круглой скобке), значит ее не должно быть в ответе системы.
Ответ: \(x \in (-2;1].\)Пример 5 $$ \begin x^2-4x+4 \le 0, \\ x^2—4x-5 \lt 0. \end $$ Решаем первое неравенство: $$x^2-4x+4 \le 0;$$ $$D=(-4)^2-4*4=16-16=0;$$ Если дискриминант получается равен нулю, это означает, что перед вами формула полного квадрата: \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.\) Внимательный читатель мог ее заметить сразу, без нахождения дискриминанта.
Воспользуемся формулой: $$(x-2)^2 \le 0;$$ Квадрат всегда больше или равен нуля. Какое бы значение \(x\) мы не подставили, при возведении в квадрат всегда будет получаться неотрицательное число. Значит это неравенство не имеет решений? Обратите внимание, что неравенство нестрогое: да, левая часть не может быть меньше нуля из-за квадрата, но равняться нулю она может. Значит решением этого неравенства будет единственная точка: $$x=2;$$ при которой левая часть обращается в нуль. При всех остальных значениях \(x\) левая часть неравенства будет положительной, что не подходит.Решаем второе неравенство: $$x^2—4x-5 \lt 0;$$ $$D=(-4)^2-4*1*(-5)=16+20=36;$$ $$x_1=\frac>=\frac=5;$$ $$x_2=\frac>=\frac=-1;$$ Раскладываем квадратный многочлен множители: $$(x-5)(x+1) \lt 0;$$
$$x\in (-1;5);$$ Оба неравенства из системы решены. Отмечаем их решения на одной числовой прямой:
Так как решение первого неравенства всего лишь одна точка и она лежит внутри решения второго неравенства, то решением всей системы будет только эта одна точка:
Ответ: \(x=2.\)Часто при нахождении ОДЗ приходится сталкиваться с системами, в которых одно из неравенств либо не имеет решений, либо, наоборот, справедливо при любых \(x.\) Разберем сейчас, как сказываются такие неравенства на корнях всей системы:
Пример 6 $$ \begin 2x^2+3x+9 \ge 0, \\ 6x^2+2x-8 \lt 0. \end $$ Решаем первое неравенство: $$2x^2+3x+9 \le 0$$ $$a=2; \; b=3; \; c=9; $$ $$D=3^2-4*2*9=9-72=-63 \lt 0;$$ Итак, мы получили отрицательный дискриминант, это значит, что левая часть неравенства либо всегда положительна при любых \(x\), либо всегда отрицательна. Определить это можно по коэффициенту \(a\) перед \(x^2.\) Если \(a \gt 0,\) левая часть неравенства всегда положительна, если \(a \lt 0,\) то левая часть всегда отрицательна. Подробно про это можно почитать в статье про решение квадратных неравенств: $$a=2 \gt 0;$$ В нашем случае левая часть неравенства будет положительна при любых значениях \(x.\) А значит решением первого неравенства будут любые \(x.\)
Решаем второе неравенство: $$6x^2+2x-8 \lt 0$$ $$a=6; \; b=2; \; c=-8; $$ $$D=2^2-4*6*(-8)=4+192=196;$$ $$x_1=\frac>=\frac=1;$$ $$x_2=\frac>=\frac=-\frac;$$ Раскладываем на множители: $$6(x-1)(x+\frac) \lt 0;$$ И решаем методом интервалов:
$$x \in (-\frac;1);$$ Так как решением первого неравенства в системе были любые \(x,\) то они никак не влияют на решение всей системы. Другими словами, пересечением решений обоих неравенств в системе будет просто решение второго неравенства:
Ответ: \(x \in (-\frac;1) .\)Пример 7 $$ \begin 2x^2+3x+9 \le 0, \\ 6x^2+2x-8 \lt 0. \end $$ Решим аналогичную примеру №6 систему неравенств, только изменим знак первого неравенства с больше или равно на меньше или равно.
В таком случае решение первого неравенства кардинально меняется. Как мы только что выяснили в примере №6, левая часть первого неравенства всегда положительна, она не может быть меньше нуля ни при каких \(x.\)
Таким образом, первое неравенство не имеет корней. А если хотя бы одно неравенство в системе не имеет корней, то и вся система не будет иметь решений, ведь невозможно найти такие значения \(x,\) при которых будут верны все неравенства в системе.
Ответ: Нет корней.Системы иррациональных неравенств
Рассмотрим непростой пример системы иррациональных неравенств:
Пример 8 $$ \begin x+\sqrt \lt \sqrt, \\ x+\sqrt \lt \sqrt. \end $$ Из первого неравенства получаем: $$x \lt \sqrt-\sqrt;$$ Из второго: $$x \lt \sqrt-\sqrt$$ Правые части обоих неравенств мы посчитать не можем, так как они иррациональные.
Разве что с помощью калькулятора, но пользоваться на математике им нельзя. Поэтому оставляем как есть.Отметим теперь оба решения на числовой прямой. Но тут мы сталкиваемся с проблемой: какое значение больше - \((\sqrt-\sqrt)\) или \((\sqrt-\sqrt)?\) От этого зависит, какая точка будет правее на числовой прямой.
Обращаем внимание, что оба этих выражения отрицательны, так как: $$\sqrt \gt \sqrt \quad и \quad \sqrt \gt \sqrt;$$ Удобнее работать с положительными числами, поэтому умножим их оба на \((-1):\) $$\sqrt-\sqrt \; ?? \;\sqrt-\sqrt;$$ Не забываем, что при умножении на \((-1)\) знак неравенства меняется на противоположный. Учтем этот факт в конце. Чтобы сравнить два иррациональных выражения, возведем их оба в квадрат: $$(\sqrt-\sqrt)^2 \; ?? \; (\sqrt-\sqrt)^2;$$ $$7-2\sqrt*\sqrt +3 \; ?? \; 6-2\sqrt*\sqrt+2;$$ $$10-2\sqrt*\sqrt \; ?? \; 8-2\sqrt*\sqrt;$$ Разделим левую и правую часть на \(2\) и перемножим квадратные корни: $$5-\sqrt \; ?? \; 4-\sqrt;$$ Вычтем из обеих частей \(4:\) $$1-\sqrt \; ?? \; -\sqrt;$$ Опять левая и правая части отрицательны - домножаем на \((-1):\) $$-1+\sqrt \; ?? \; \sqrt;$$ Еще раз возводим в квадрат: $$(-1+\sqrt)^2 \; ?? \; (\sqrt)^2;$$ $$1-2\sqrt+21 \; ?? \; 12;$$ $$22-2\sqrt \; ?? \; 12;$$ Вычитаем из обеих частей \(12\) и прибавляем \(2\sqrt:\) $$10\; ?? \; 2\sqrt;$$ И последний раз возводим в квадрат: $$100\; ?? \; 4*21;$$ $$100 \; > \; 84;$$ Получили, что левая часть больше, чем правая. Я писал до этого, что при умножении на \((-1)\) знак неравенства должен меняться на противоположный, но так как мы умножали по ходу решения целых 2 раза, то знак неравенства остается прежним: $$\sqrt-\sqrt > \sqrt-\sqrt;$$ Возвращаемся к решению системы. Отмечаем на числовой прямой иррациональные выражения. Знаки неравенства строгие, поэтому все точки будут выколотые:
Неравенства и системы неравенств с двумя неизвестными
Решение неравенств с двумя неизвестными, а тем более их системы, на первый взгляд кажется сложной задачей. Рассмотрим алгоритм, с помощью которого можно легко справиться с этой задачей.
Неравенство с двумя неизвестными
Пусть имеется неравенство с двумя неизвестными вида $y $, $\le$, $\ge$).
Множество решений подобного неравенства можно изобразить на координатной плоскости. Для этого необходимо:
- Построить график функции y=f(x), который разобьет координатную плоскость на две разные области.
- Выбрать одну из этих областей и рассмотреть в ней любую точку. Проверить, выполняется ли для этой точки исходное неравенство:
- Если неравенство выполняется, следовательно, оно выполняется и для всей области, из которой выбирали точку. Таким образом, область, в которой лежит выбранная точка и есть множеством решений неравенства.
- Если неравенство не выполняется, то множество решений неравенства – область, в которой не лежит выбранная точка.
- При решении строгих неравенств границы области, которыми являются точки графика функции $y=f(x)$, не включаются в множество решений, при этом граница изображается пунктирной линией. При нестрогих неравенствах границы области включаются в множество решений неравенства, при этом граница изображается сплошной линией.
Показать на графике множество точек, которое задается неравенством $xy>3$.
- Построим график функции $xy=3$. Для этого разделим обе части уравнения на $х$, т.к. оно не может обращаться в нуль, что следует из уравнения (произведение числа на нуль не может равняться $3$): $y=\frac$. График получившейся функции – гипербола, которая разобьет координатную плоскость на 2 области: одна находится между ветвями гиперболы, а другая – за ними.
- Выберем из одной области любую точку, например, с координатами $(1; 2)$. Подставим ее координаты в неравенство: $xy>3$; $1 \cdot 2 > 3$; $2>3$ – неравенство неверное. Следовательно, точки выбранной области не являются решением данного неравенства. Таким образом, решением неравенства будет другая область, из которой точку не выбирали.
- Данное неравенство строгое, поэтому граничные точки, которыми являются точки графика функции y=3/x, наносятся на график пунктирной линией. Обозначим на графике множество точек, которые являются решением данного неравенства:
«Неравенства и системы неравенств с двумя неизвестными» ��
Помощь эксперта по теме работы
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Помощь с рефератом от нейросетиСистема неравенств с двумя неизвестными
Рассмотрим пример решения системы неравенств с двумя неизвестными.
Показать на графике множество точек, которое задается системой неравенств
Построим графики функций, которые соответствуют данным неравенствам:
Изображаем функцию $x^2+y^2=49$ сплошной линией, т.к. она соответствует нестрогому неравенсту, а прямую $2х+y=5$ – пунктирной.
Рассмотрим каждое неравенство отдельно.
Первое неравенство $x^2+y^2 \le 49$:
Возьмем точку $(5; 8)$ выше графика данной функции. Проверим справедливость неравенства:
$89≤49$ – неравенство неверно.
Следовательно, решение данного неравенства – область, в которой не лежит выбранная точка, т.е. область внутри окружности.
Второе неравенство $2x+y > 5$:
Возьмем точку $(4; 3)$ выше графика данной функции. Проверим справедливость неравенства:
$11 > 5$ – неравенство верно.
Следовательно, решение данного неравенства – область, в которой лежит выбранная точка, т.е. область выше прямой.
Изобразим найденные решения на координатной плоскости.
Пересечение полученных областей и является решением данной системы.
