Примеры решений. Квадратичные формы
Задача 1. Дано уравнение кривой второго порядка. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы соответствующей квадратичной формы и использовать их для приведения уравнения кривой к каноническому виду.
Задача 2. Линейным преобразованием координат привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и определить тип кривой.
Задача 3. Привести квадратичную форму к каноническому виду: а) методом Якоби, б) методом Лагранжа. Найти канонический базис и матрицу перехода к каноническому базису.
Задача 4. Привести квадратичную форму к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Найти это преобразование, канонический базис, матрицу перехода к каноническому базису, убедиться, что в этом базисе матрица квадратичной формы является диагональной.
Задача 5. Используя теорию квадратичных форм, исследовать кривую второго порядка заданную общим уравнением и построить ее.
Задача 6. Найти линейное преобразование неизвестных, приводящее квадратичные формы, заданные своими матрицами, к каноническому виду. Выяснить, является ли квадратичная форма знакоопределенной.
$$ \begin 2 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & 1\\ \end $$
Как привести квадратичную форму к каноническому виду?
Метод Лагранжа
Приветствую вас на втором уроке о квадратичных формах, который посвящен её каноническому виду и соответствующим методам. «Чайникам» и вновь прибывшим с поисковика рекомендую сначала ознакомиться первой частью – чтобы быстренько привести себя в форму 🙂
И мы сразу же продолжаем. Если в квадратичной форме отсутствуют слагаемые с парными произведениями переменных, то говорят, что она находится в каноническом виде. …Первая часть предложения была понятной? Тогда едем дальше.
Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду:
– форму двух переменных – к виду (различаем коэффициенты «а» и «альфа»!);
– трёх переменных – к виду ;
– форму переменных «простыня» – к виду:
Чуть позже я сформулирую это утверждение более строго, расскажу о геометрическом смысле, да и просто смысле приведения – после того, как мы освоим техническую сторону вопроса.
И ключевой момент этой технической стороны состоит в линейных заменах:
– ТАКИХ, которые как раз и приводят форму к каноническому виду.
Систему часто записывают в виде компактного матричного уравнения , где:
– столбцы старых и новых переменных, – матрица линейного преобразования.
Внимание! Если вам не понятно, как из уравнения получить систему замен, обязательно посмотрите здесь (после Примера 3). Это важно.
Существует несколько способов приведения формы к каноническому виду, и в рамках сайта я расскажу о методе Лагранжа и методе ортогональных преобразований (уже следующий урок).
Начнём с наиболее простого метода:
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа. Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.
простенько и со вкусом
Решение: здесь используются стандартные замены с последующим применением бородатой формулы :
– форма в каноническом виде.
Запишем матрицу проведённого линейного преобразования: – она состоит из «игрековых» коэффициентов замен .
Ответ: ,
Пример, конечно, прозрачный, но сразу зададимся вопросом – как выполнить проверку? Её можно выполнить матричным методом по формуле , где – транспонированная матрица линейного преобразования, – исходная и – новая матрица квадратичной формы.
В нашем случае – исходная матрица формы , и, перемножая три матрицы:
– получаем матрицу формы , что и требовалось проверить.
Но то был лишь частный случай:
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.
Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.
Решение: когда в форме присутствуют квадраты переменных (а они есть почти всегда), то используется другой приём. Идея состоит в выделении полных квадратов по формулам , с дальнейшей заменой переменных.
Сначала выбираем какую-нибудь переменную, которая находится в квадрате, здесь можно выбрать или . Переменные традиционно перебирают по порядку, поэтому рассматриваем и собираем вместе все слагаемые, где есть эта переменная:
«двойку» удобно вынести за скобки:
очевидно, всё дело сведётся к формуле , и нам нужно искусственно организовать данную конструкцию. Для этого в скобках прибавляем и, чтобы ничего не изменилось – за скобками проводим вычитание:
выделяем полный квадрат:
, после чего выполним проверку обратными действиями – раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
, ОК
Теперь проведём замены :
– форма в каноническом виде.
И тут вроде бы можно записать матрицу линейного преобразования, но есть одна загвоздка, проведённые замены имеют вид :
но нам-то нужна другая матрица – матрица уравнения .
Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева:
Я не буду подробно расписывать процесс нахождения обратной матрицы, а сразу приведу готовый результат – искомая матрица линейного преобразования. Напоминаю (см. начало урока), что в этой матрице находятся «игрековые» коэффициенты «прямых» замен:
Справка: возможно, ещё не все до конца понимают, как из матричного уравнения получается система замен. В правой части уравнения выполняем матричное умножение:
Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы, таким образом:
И в самом деле, выполняя прямые замены в форме :
– получаем её канонический вид, найденный выше.
То же самое можно установить матричным методом. Запишем матрицу формы и в результате перемножения трёх матриц:
– получим «каноническую» матрицу.
Прямая подстановка, безусловно, удобнее, но особенность метода Лагранжа состоит в том, что к канонической форме мы подбираемся «с другой стороны» (за исключением немногочисленных случаев наподобие предыдущего примера).
Ответ: ,
Если условие не запрашивает линейное преобразование, то решение заметно сократится. Но мы его наоборот – ещё больше увеличим 🙂 В образовательных целях.
Квадратичную форму можно привести к каноническому виду не единственным способом. Это следует уже из самого алгоритма действий. Так, например, полный квадрат можно выделить без выноса «двойки» за скобку:
и, после замен тоже получается канонический, но уже другой вид рассматриваемой формы:
Кстати, начать можно и со 2-й переменной –
выполните это задание самостоятельно:
Привести квадратичную форму к каноническому виду, выделив полный квадрат при переменной . Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.
Решение и ответ в конце урока.
Повысим уровень сложности, а точнее, количество переменных:
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа
Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.
Решать начинаем традиционно – группируем все слагаемые, которые содержат 1-ю переменную:
и начинаем конструировать полный квадрат:
здесь чётко просматривается формула и для её применения мы должны прибавить и вычесть :
«собираем» квадрат суммы и упрощаем «хвост», распишу это упрощение подробно:
На следующем шаге обычно выделяется ещё один полный квадрат, но у нас осталось единственно слагаемое с парным произведением, и в подобной ситуации сразу же выполняются замены, в данном случае :
В результате получен неканонический вид формы и поэтому нам потребуется ещё одна замена. Используем стандартный трюк, который встретился в самом начале урока:
. Таким образом, получаем:
– форма в каноническом виде.
Теперь нужно записать матрицу соответствующего линейного преобразования. Ситуация осложнятся тем, что мы провели ДВА преобразования, и нам предстоит найти их композицию – результирующее преобразование, которое выражает через сумму / разность «игреков».
Давайте разбираться, что к чему. Запишем первую замену в матричной форме: .
Вторая же замена имеет несколько другой вид:
Из уравнений следует, что:
Для разрешения полученного уравнения относительно умножим обе его части на слева:
Таким образом, нам нужно найти обратную матрицу (уже не нужно:)) и выполнить матричное умножение:
– получив тем самым искомое результирующее преобразование.
Но подставлять в форму что-то неохота, и поэтому «пропустим через мясорубку» её матрицу , благо, матричный калькулятор под рукой:
– получена матрица приведённой формы , в чём мы и хотели убедиться.
Обратите внимание на удобство матричной записи и матричного метода – они практически «сводят на нет» путаницу в индексах и степенях квадратичной формы.
Ответ: ,
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа
б) – особенно часто встречающийся тип приведения.
В образцах решения использован «традиционный» путь, т.е. полные квадраты выделяются по порядку, начиная с 1-й переменной. Перед заменой переменных полезно выполнять обратный ход – раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые, чтобы получить исходный вид. Это вполне надёжный способ проверки. Также обратите внимание, что здесь не требуется указывать линейное преобразование, однако, я коротко рассказал, как его находить (мало ли, понадобится).
…У всех всё получилось? Тогда продолжаем – начинается самое интересное! Наверное, все понимают, что подавляющее большинство линейных преобразований не приводят нас к желаемому результату. Вернёмся к подопытной форме Примера 7 и проведём, например, такую замену: .
Запишем матрицу формы , матрицу преобразования и воспользуемся знакомой формулой:
Таким образом, форма приняла другой, тоже неканонический вид .
И тут я хочу отметить ещё одно преимущество матричного решения, о котором не говорил. В результате умножения ДОЛЖНА получиться симметрическая и только такая матрица, и этот факт значительно снижает риск пропустить ошибку. Но, разумеется, можно выполнить и прямую подстановку в :
Правда, запутаться тут легче и гарантий никаких.
Далее. Все преобразования, которые нам встретились выше, не вырождены. Что это означает? Это означает, что для них существует обратное преобразование – образно говоря, «путь назад». Теперь не образно:) определитель матрицы невырожденного линейного преобразования непременно отличен от нуля , что гарантирует существование обратной матрицы и «зеркальной» формулы , с помощью которой мы можем однозначно восстановить исходную матрицу .
Чего не скажешь о преобразовании вырожденном – это «билет в один конец». Одним из таких преобразований является тривиальное нулевое преобразование. Так, например, если , то форма вырождается в нулевую форму с матрицей . Обратного пути нет, то есть, если нам изначально дана вырожденная «игрековая» форма с матрицей , то невозможно выяснить, от какой формы она произошла.
Существуют и другие типы «вырождения», но всех их объединяет тот факт, что определитель матрицы такого преобразования равен нулю: , из чего следует, что обратной матрицы не существует, а значит, не существует и возврата.
А теперь заметим, что нулевое преобразование привело нас… к каноническому виду ! И в самом деле – это же канонический вид по определению. И поэтому сейчас мы усилим утверждение, сформулированное в начале урока: любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования. Существование такого преобразования, в частности, гарантирует метод Лагранжа.
И сейчас я озвучу кульминационный и ОЧЕНЬ важный момент: невырожденное линейное преобразование не меняет СУЩНОСТИ квадратичной формы. Здесь можно привести такой ассоциативный пример: рассмотрим произвольную ненулевую форму и представим, что это квадратный лист бумаги, на котором записано некое слово. Если форма находится в неканоническом виде, то лист занимает такое положение, в котором мы слова не видим, или же только догадываемся, что это за слово.
1) Невырожденное преобразование, которое приводит форму к каноническому виду, поворачивает листок бумаги к нам «лицом» – чтобы слово было отчётливо видно. Поскольку таких преобразований на самом деле много, то лист бумаги в общем случае будет менять свой размер и местоположение, и размер шрифта тоже будет меняться. Но что не изменится – так это слово.
2) Невырожденное преобразование, которое НЕ приводит форму к каноническому виду, делает то же самое с большим и толстым нюансом: слова мы по-прежнему не видим.
3) Вырожденное линейное преобразование либо полностью стирает с листа слово (нулевое преобразование), либо стирает отдельные буквы – так, чтобы нельзя было однозначно сказать, от какого слова они остались; причём, мы можем не увидеть даже и этих букв (если форма осталась в неканоническом виде).
И, завершая ассоциацию, отметим наиболее интересный случай – когда невырожденное преобразование не только приводит форму к каноническому виду, но ещё и сохраняет размер листа, т.е. поворачивает его к нам в неизменном виде. Жду вас на третьем уроке о методе ортогонального преобразования, где мы продолжим увлекательную беседу и вложим в сущность формы конкретный геометрический смысл.
Решения и ответы:
Задание к Примеру 7. Решение: приведём форму к каноническому виду
Проведём замены :
– форма в каноническом виде.
Найдём матрицу линейного преобразования , где – матрица «иксовых» коэффициентов проведённых замен.
В данном случае (см. урок Как найти обратную матрицу?)
Выполним проверку прямой подстановкой в :
, что и требовалось проверить.
Пример 9. Решение:
а) проведём замены :
Полученная форма имеет неканонический вид, и здесь следует выделить полные квадраты. Начнём с переменной :
теперь выделяем квадрат при переменной :
Контроль:
, что и требовалось проверить.
Проведём замены:
Примечание: проведённые замены можно записать в виде матричных уравнений . Из последнего уравнения выразим и подставим в первое уравнение: . Таким образом, для нахождения матрицы итогового линейного преобразования нужно найти и выполнить умножение .
б) Решение: выделим полный квадрат при 1-й переменной:
«собираем» полный квадрат и упрощаем «хвост»:
выделим полный квадрат при 2-й переменной:
Выполним проверку раскрыв все скобки:
– получен исходный вид формы.
Примечание: выполненные замены имеют вид , таким образом, матрица линейного преобразования:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено
Ортогональное преобразование квадратичной формы
На этом уроке мы продолжим приводить квадратичную форму (1-е занятие) к каноническому виду (2-е занятие), и помимо нового метода приведения, рассмотрим геометрический смысл темы и важное практическое приложение – о том, как привести линию второго порядка к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования квадратичной формы.
Сначала расскажу суть метода в общем виде. Ничего страшного, если что-то будет не понятно – всё разберём на конкретных примерах.
Любую квадратичную форму с действительными (как мы оговорили) коэффициентами можно привести к каноническому виду:
, где – собственные числа матрицы (тоже действительные).
Такое приведение осуществляется с помощью линейного преобразования (замен):
, коэффициенты которого (по столбцам!) – есть координаты соответствующих ортонормированных собственных векторов матрицы :
Данные векторы нормированы (имеют единичную длину) и попарно ортогональны (грубо говоря, перпендикулярны); отсюда и название – метод ортогонального преобразования.
Напоминаю распространённую матричную запись , где:
и – матрица ортогонального преобразования.
Посмотрим, как работает метод в простейшем случае:
Это не опечатка – пример уже десятый!
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования
Найти матрицу соответствующего преобразования.
Решение: запишем матрицу формы и из уравнения найдём её собственные числа:
Очевидно, что , таким образом:
– квадратичная форма в каноническом виде.
Найдём соответствующее линейное преобразование. Для этого нужно отыскать собственные векторы матрицы :
1) Если , то получаем систему линейных уравнений:
, откуда следует, что .
Полагая , запишем первый собственный вектор: – координаты удобно записывать именно в столбец! Сразу вычислим длину вектора (скоро потребуется):
2) Если , то имеем систему:
, из которой следует, что
Пусть , тогда и – второй собственный вектор. Его длина:
Если матрица формы имеет различные собственные числа, то соответствующие собственные векторы попарно ортогональны. Убедимся в справедливости этого утверждения для нашей пары, вычислив их скалярное произведение:
Поскольку длины векторов не равны единице, то их нужно нормировать, т.е. найти коллинеарные им векторы единичной длины. Для этого каждую координату собственного вектора делим на его длину:
– координаты на ;
– координаты на .
Такую задачу мы решали в курсе аналитической геометрии на уроке… да, на уроке Уравнение плоскости (Пример 5), но сейчас речь идёт, подчёркиваю, о векторах в их алгебраическом смысле.
Проверим, что длины полученных векторов действительно равны единице:
, ч.т.п.
Теперь последовательно помещаем координаты векторов в столбцы матрицы: – это и есть матрица выполненного ортогонального преобразования, в строках которой находятся «игрековые» коэффициенты линейных замен: .
Ответ: ,
Полученный результат можно проверить:
1) непосредственной подстановкой в форму :
2) либо с помощью знакомой формулы:
– получив «каноничную» матрицу.
Справка: матрица ортогонального преобразования квадратичной формы относится к классу так называемых ортогональных матриц (Вики), которые встречаются не только в этой теме. Ортогональная матрица обладает рядом интересных свойств, в частности, её определитель равен +1 либо –1, а транспонированная матрица совпадает с обратной матрицей.
А сейчас обратим внимание на следующий момент: канонический вид и алгоритм решения никак не регламентируют порядок расположения собственных чисел, и поэтому форму можно привести к такому виду не единственным способом. Так, если в прорешанном примере перечислить собственные числа в другом порядке: (никто ж не запрещает), то получится другой, тоже канонический вид . При этом нормированные собственные векторы меняются местами: и матрица линейного преобразования будет другой: . В строках этой матрицы находятся «игрековые» коэффициенты соответствующих линейных замен:
Желающие могут выполнить прямую подстановку в и «на выходе» получить .
Теперь рассмотрим эту же квадратичную форму в геометрической «ипостаси». Для понимания следующего примера нужно ориентироваться (хотя бы в общих чертах) в линиях второго порядка:
С помощью теории квадратичных форм привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду
Иными словами, нам нужно выяснить, какую линию задаёт это уравнение (эллипс, гиперболу, параболу или какую-то другую) и записать его в каноническом виде. В курсе аналитической геометрии мы рассмотрели «традиционные» методы приведения, и вот сейчас познакомимся с ещё одним способом.
Начало решения практически совпадает с предыдущей задачей, с той поправкой, что там фигурировали переменные и , а в геометрии обычно используют («старые» переменные) и («новые» переменные – штрихи здесь не имеют никакого отношения к производным).
Итак, на первом шаге рассматриваем квадратичную форму , записываем её матрицу и находим её собственные числа. После чего возникает недавний вопрос – в каком порядке их следует перечислить: или ? Когда мы просто приводили форму к каноническому виду, это не имело значения. Но вот тут имеет.
В первом случае у нас получится уравнение , во втором: . Оба уравнения задают гиперболу, однако канонический вид имеет только второе уравнение. Таким образом, нас устраивает «комплект» , но НЕ ФАКТ, что подойдет найденное преобразование .
Дело в том, что ортонормированные собственные векторы можно выбрать ещё тремя способами: или , и если бы мы просто приводили форму к каноническому виду, то опять же – нас устроил бы любой из 4 вариантов. Но не сейчас.
По той причине, что линейные преобразования должны соответствовать формулам формулами поворота декартовой системы координат на угол «фи». Этот факт справедлив только в том случае, если определитель матрицы преобразования равен «плюс» единице: .
Проверяем: , таким образом, нам повезло, и преобразование действительно подходит под шаблон .
Значениям соответствует табличный угол , но привычнее, конечно, говорить об угле .
Таким образом, поворачивая систему на 45 градусов по часовой стрелке, мы переходим от уравнения в старой системе координат к каноническому уравнению в новой системе координат :
Наклоните голову вправо на 45 градусов и убедитесь, что в «красной» системе координат гипербола действительно имеет канонический вид.
Кроме того, нас устроило бы ещё одно преобразование: . Легко видеть, что его определитель равен «плюс» единице и формулам соответствует поворот системы на против часовой стрелки. В этом случае оси будут «смотреть» в противоположные стороны и гипербола тоже окажется в каноническом положении. Желающие могут повернуть голову влево на 135 градусов и приобщиться к прекрасному 🙂
Ответ:
Что произойдёт, если квадратичную форму приводить к каноническому виду методом Лагранжа? В общем случае будут получаться другие гиперболы. Но гиперболы! И вообще – любое невырожденное линейное преобразование данной формы будет приводить нас к уравнениям гипербол, и только к ним – как я отмечал в конце предыдущего урока, такое преобразование не меняет СУЩНОСТИ формы.
Таким образом, метод Лагранжа – это «быстрый» способ узнать, что это за линия, но вот сохранение её размеров нам гарантирует лишь ортогональное преобразование.
Ортогональное линейное преобразование переводит ортонормированный базис в другой ортонормированный базис и сохраняет размеры объектов. Это справедливо для пространства любой размерности, и, кроме того, применимо не только к квадратичным формам – ортогональному преобразованию (Вики) посвящена отдельная тема высшей алгебры, и интересующихся я отсылаю к соответствующим источникам информации.
Следующий пример для самостоятельного решения:
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования.
Решить задачу двумя способами (переставляя собственные числа) и записать матрицы соответствующих линейных преобразований.
После чего мы продолжим банкет родственной геометрической задачей:
Данную линию мы уже приводили к каноническому виду (Пример 1) и сейчас сделаем то же самое, используя новый метод.
Надеюсь все прорешали предыдущее задание, поскольку начало решения будет совпадать с точностью до обозначений, и нам осталось выбрать подходящее преобразование:
Очевидно, здесь получится уравнение эллипса , и чтобы выдерживалось неравенство полуосей, нам подойдёт МЕНЬШИЙ коэффициент при переменной «икс штрих», то есть, следует выбрать первый вариант:
В своём образце решения я сразу выбрал подходящее преобразование
, определяющее поворот на угол , но у вас мог получиться и любой другой их трёх оставшихся случаев (в зависимости от выбора собственных векторов).
Преобразование тоже приемлемо (поворот примерно на ), а вот и непригодны, так как не соответствуют формулам .
Итак, в результате замен исходное уравнение преобразуется к виду:
Данное уравнение задаёт тот же самый эллипс в системе (зелёный цвет), которая получена поворотом системы на угол :
Осталось провести параллельный перенос координатных осей. Выделяем полные квадраты:
И в результате замен получаем каноническое уравнение эллипса в «красной» системе :
Ответ:
Но для решения этой задачи, конечно, выгоднее метод инвариантов.
Самостоятельно решите Пример 3 того же урока, которому была посвящена целая мыльная опера с несколькими чертежами:
– привести уравнение линии к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования квадратичной формы.
Следует отметить, что здесь нас устроит всего лишь одно преобразование из четырёх, поскольку перед нами парабола, и в каноническом положении она «смотрит» в одну, строго определённую сторону.
Краткое решение и ответ в конце урока. Любопытно, что тут решение, наоборот – получилось заметно проще, чем «классическим» геометрическим методом. Ну и конечно, подарок, если нужно выполнить только один поворот, как в Примере 11.
Кстати, как быстро и даже устно определить тип линии? Если определитель матрицы формы , то перед нами линия эллиптического типа (эллипс, мнимый эллипс или пара мнимых пересекающихся прямых), если – то гиперболического (гипербола или пара пересекающихся прямых), и если – то параболического (парабола, пара параллельных (мнимых или обычных) или пара совпавших прямых).
На этой позитивной ноте перейдём к квадратичным формам трёх переменных:
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования
Найти соответствующее преобразование
Решение начинается точно так же: запишем матрицу формы и найдём её собственные числа:
определитель раскрою по 1-й строке:
напоминаю полезный технический приём – в первом слагаемом, где нам светит «лямбда в кубе», не нужно спешить раскрывать скобки:
решив квадратное уравнение, раскладываем трёхчлен на множители:
таким образом, нам удалось избавиться от многочлена 3-й степени, отыскание корней которого – есть непростая задача. И теперь такой задачи нет:
Порядок собственных чисел не имеет значения, и поэтому я выберу вариант:
– чтобы красивее записать канонический вид:
Найдём ортогональное линейное преобразование. Сложность задачи состоит в том, что если среди собственных чисел есть кратные, то ортогональность найденных собственных векторов не гарантирована, и в «неудачном» случае нам придётся предпринять меры по их ортогонализации. Впрочем, не будем торопить события:
1-2) Если , то получаем систему:
, которая фактически состоит из одного уравнения.
Выберем в качестве базисной переменную «альфа» и выразим её через свободные переменные: . Запишем общее решение в столбец:
Теперь нам нужно найти векторы фундаментальной системы. Для значений получаем:
– первый вектор фундаментальной системы;
и для :
– второй вектор.
Легко видеть, что оба вектора удовлетворяют системе (уравнению ) и, естественно, являются собственными. Вычислим их скалярное произведение:
, значит, данные векторы НЕ ортогональны, что нас не устраивает.
Поэтому эту пару векторов следует ортогонализовать. Поскольку любая линейная комбинация векторов фундаментальной системы тоже является решением системы (уравнения ), то рассмотрим вектор , где – пока ёщё неизвестный числовой коэффициент, и составим следующее скалярное произведение, которое должно быть равно нулю:
откуда выражаем и находим:
Таким образом, в качестве первого собственного вектора выбираем:
и в качестве второго:
Как на ладони видно:
– что полученные векторы действительно ортогональны
С третьим собственным вектором всё прозрачно:
3) Если , то получаем систему:
из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 3-е уравнения:
Пусть
Таким образом, третий собственный вектор: . Не забываем о проверке – устно или на черновике подставляем его координаты в каждое уравнение системы.
И проверяем, ортогонален ли он ранее найденным векторам :
Отлично. Осталось вычислить длины векторов и при необходимости их нормировать:
Таким образом, матрица ортогонального преобразования:
Запишем ответ: и преобразование в виде прямых замен:
Но подставлять всё это в что-то не хочется 🙂 Однако, проверка нужна, и мне проще воспользоваться матричным калькулятором:
Засёк для интереса время, «забивка» матриц и вычисления заняли ровно 2 минуты.
И здесь есть ещё один интересный момент. В рассмотренной задаче векторы фундаментальной системы можно выбрать бесчисленным количеством способов, и поэтому мы можем построить бесконечно много ортогональных преобразований, которые приводят форму к виду . Но так бывает, конечно, не всегда.
В заключение статьи кратко расскажу о геометрическом смысле ортогонального преобразования формы трёх переменных. Даже добавлять константу не буду:
– данное уравнение определяет некоторую поверхность второго порядка в «школьном» базисе . Что это за поверхность – скажет разве что вундеркинд.
Проведённое ортогональное преобразование осуществляет переход к другому ортонормированному базису – ТАКОМУ, в котором данная поверхность имеет канонический вид:
– откуда сразу понятно, что это коническая поверхность, причём, ортогональное преобразование сохранило её размеры. Кстати, перед нами конус вращения, и теперь стало ясно, почему существует бесконечно много пригодных ортогональных преобразований: связку векторов мы можем «повернуть в горизонтальной плоскости» как угодно, и во всех полученных базисах коническая поверхность будет иметь канонический вид.
Саму же разновидность поверхности можно выяснить быстрее – методом Лагранжа, но он в общем случае будет «показывать» нам конусы других размеров.
И задача для самостоятельного решения, тоже с кратными собственными числами, ибо с разными получится как-то совсем скучно:
Найти ортогональные линейные замены, приводящие форму к каноническому виду
Не пропускайте, это несколько другой тип 😉 Да и вычислений заметно меньше.
Для квадратичных форм четырёх и бОльшего количества переменных задача ортогонального преобразования решается по аналогии. Но в учебной практике такие примеры редкость ввиду их вычислительной сложности, и поэтому я завершаю эту увлекательную тему.
Квадратичные формы – держат нас в форме!
Решения и ответы:
Пример 12. Решение: запишем матрицу формы и найдём её собственные числа:
Решим квадратное уравнение:
– собственные числа, таким образом:
– форма – в каноническом виде.
Найдём собственные векторы, их длины и при необходимости выполним нормирование:
1) Если , то:
, пусть
Таким образом:
.
Разделим каждую координату на длину:
Таким образом, матрица линейного преобразования:
Выполним проверку прямой подстановкой в :
, что и требовалось проверить.
Ответ: , , в случае перестановки собственных чисел:
,
Пример 14. Решение: запишем матрицу квадратичной формы и найдём её собственные числа:
так как каноничная парабола определяется уравнением , то нам нужно перечислить собственные числа в следующем порядке:
Таким образом, квадратичная форма преобразуется к виду:
.
Найдём собственные векторы и при необходимости выполним их нормирование:
1) Если , то:
, пусть
2) Если , то:
, пусть
Примечание: вектор в пару к не годится, т.к. линейное преобразование не будет соответствовать формулам поворота.
Таким образом, матрица линейного преобразования:
, которое по формулам приводит уравнение к виду:
Однако, после раскрытия скобок, выясняется, что знак при переменной не приведёт нас каноническому виду .
И поэтому нужно выбрать другое преобразование, определитель которого . Этому критерию подходит пара ортонормированных векторов , , задающая преобразование с поворотом на рад. (–135 градусов) (это угол табличный: значениям соответствует или рад.)
Таким образом, данное преобразование приводит нас к уравнению:
избавимся от иррациональности в знаменателях, домножив числители и знаменатели на :
«собираем» полный квадрат при переменной :
и проводим замены .
Пример 16. Решение запишем матрицу формы и найдём её собственные числа:
определитель выгодно раскрыть по 3-й строке или 3-му столбцу:
– собственные числа, таким образом:
– форма в каноническом виде.
Найдём собственные векторы:
1-2) Если , то получаем систему:
, из которой очевиден собственный вектор .
Второй вектор найдём для из соотношения .
Пусть
3) Если , то:
Пусть
Проверим, что полученный вектор ортогонален двум первым векторам:
Первый вектор уже имеет единичную длину, поэтому:
другие векторы нужно нормировать:
Таким образом, матрица ортогонального преобразования:
Проверим результат прямой подстановкой в форму :
сгруппируем вместе и приведём подобные слагаемые:
, что и требовалось проверить.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено
Квадратичные формы.
Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра
Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась 🙂
Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную. Линейной формой переменных называют однородный многочлен 1-й степени:
– какие-то конкретные числа* (предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля), а – переменные, которые могут принимать произвольные значения.
* В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа.
С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений, и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы .
Например: – линейная форма двух переменных
Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой переменных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных имеет следующий вид:
Внимание! Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое:
– в этом слагаемом находится произведение и (квадрат);
– здесь произведение ;
– и здесь произведение .
Далее будем полагать, что хотя бы одна из констант не равна нулю, и вот, пожалуйста, «неполный» пример: , в котором:
– сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому:
Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе , но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы нам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше.
И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов:
…почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему.
Далее ситуация начинает усугубляться:
и усугублять мы её дальше не будем, т.к. формы с бОльшим количеством переменных встречаются довольно редко.
Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»:
– внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет!
Квадратичная форма содержит слагаемых с квадратами переменных и слагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний). Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени).
Матричная запись квадратичной формы
Как насчёт матриц? 🙂 Знаю, знаю, соскучились. В практических задачах широко распространенная матричная запись квадратичных форм. Объяснения опять начну с формы линейной, например, от трёх переменных: . Её можно записать, как произведение двух матриц:
И действительно, выполняя матричное умножение, получаем матрицу «один на один»: , единственный элемент которой можно эквивалентно записать вне матрицы: .
Легко понять, что линейная форма «эн» переменных записывается в виде:
Квадратичная форма представима в виде произведения уже трёх матриц:
– его транспонированная строка;
– матрица квадратичной формы.
Это так называемая симметрическая матрица, на главной диагонали которой расположены коэффициенты при квадратах неизвестных, а симметрично относительно неё – «смешанные» коэффициенты, причём, строго на «своих местах» (например, – в 1-й строке, 3-м столбце и 1-м столбце, 3-й строке).
Определитель называют дискриминантом квадратичной формы, а ранг матрицы – рангом квадратичной формы.
Если перемножить три матрицы , то получится в точности длинная «простыня» из предыдущего параграфа, но разворачивать её мы, конечно, не будем, а посмотрим, как это происходит в элементарном случае . Согласно общей формуле, матричная запись данной формы имеет следующий вид:
, в чём и требовалось убедиться.
Как вариант, сначала можно было перемножить правые матрицы, и затем первую матрицу умножить на полученный результат.
Вам понравилось так же, как и мне? Ну тогда пример для самостоятельного решения =)
Записать квадратичную форму в матричном виде и выполнить проверку. Определить дискриминант и ранг формы.
…что-то смущает? 😉 Краткое решение и ответ в конце урока! Статьи об определителе и ранге матрицы – в помощь.
После чего разберём аналогичную задачу с формой трёх переменных:
Записать матрицу квадратичной формы, найти её ранг и дискриминант
Решение: сбросим тяжёлую ношу лишних формул, и будем ориентироваться на сами члены:
– слагаемое дважды содержит 1-ю переменную, поэтому ;
– из аналогичных соображений определяем и сразу записываем результаты на главную диагональ симметрической матрицы: .
Так как в слагаемое входят 1-я и 2-я переменная, то (не забываем поделить на 2) и данный коэффициент занимает свои законные места: .
Поскольку в форме отсутствует член с произведением (а точнее, присутствует с нулевым множителем: ), то , и на холст отправляются два нуля: .
И, наконец, из слагаемого определяем , после чего картина завершена:
– матрица квадратичной формы. Вот так-то оно бывает – мы не только не испугались «страшных обозначений» , но и заставили их работать на себя!
По условию не требовалось записывать матричное уравнение, однако науки ради:
Желающие могут перемножить три матрицы, в результате чего должна получиться исходная квадратичная форма.
Теперь определим ранг формы. Он равен рангу матрицы . Так как в матрице есть хотя бы один ненулевой элемент, например, , то ранг не меньше единицы. Теперь вычислим минор , значит, ранг не меньше двух. И осталось проверить минор 3-го порядка, т.е. определитель всей матрицы. Здесь я ко второму столбцу прибавлю третий и раскрою определитель по 3-й строке:
, значит,
Если не очень понятно, что к чему, обязательно изучите статью о ранге матрицы – это довольно замысловатая задачка, и перед нами оказался лишь простой случай, когда угловые миноры не равны нулю.
Дискриминант квадратичной формы получен автоматом.
Ответ: , ранг равен трём, дискриминант
Следующее задание для самостоятельного решения:
Восстановить квадратичную форму по её матрице
При этом не нужно вспоминать никаких формул! Решение почти устное:
– сначала смотрим на главную диагональ и записываем слагаемые с квадратами переменных;
– затем анализируем симметричные элементы 1-й строки (или 1-го столбца), и записываем все слагаемые, в которые входит 1-я переменная (не забывая удвоить коэффициенты);
– далее смотрим на оставшиеся симметричные элементы 2-й строки (справа от диагонали) либо 2-го столбца (ниже диагонали) и записываем соответствующие парные произведения (с удвоенными коэффициентами!).
– и, наконец, анализируем правую нижнюю пару симметричных чисел.
Подробное решение и ответ в конце урока.
Знакоопределённость квадратичной формы. Критерий Сильвестра
До сих пор мы рассматривали «внешнее устройство» форм и пришло время изучить их функциональное назначение. Да, по существу, они работают, как функции. Вернёмся к простенькой линейной форме .
Как отмечалось в начале урока, переменные могут принимать произвольные действительные значения (мы ограничились ими), и каждой такой паре соответствует определённое значение , например:
Говоря языком науки, перед нами скалярная функция векторного аргумента, в которой каждому вектору ставится в соответствие определённое число . Обращаю ваше внимание, что сейчас идёт речь не о геометрическом векторе, а о векторе в его алгебраическом понимании.
В зависимости от значений рассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы – если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений ).
Такая форма называется знакопеременной. И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно:
Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной.
А может и не быть:
– всегда, если только одновременно не равны нулю.
– для любого вектора , кроме нулевого .
И вообще, если для любого ненулевого вектора , , то квадратичную форму называют положительно определённой; если же – то отрицательно определённой.
И всё бы было хорошо, но определённость квадратичной формы виднА лишь в простых примерах, и эта видимость теряется уже при небольшом усложнении:
– ?
Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения , при которых она меньше нуля?
На этот счёт существует теорема: если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны*, то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно.
* В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны
Запишем матрицу вышеприведённой формы:
и из уравнения найдём её собственные значения:
Решаем старое доброе квадратное уравнение:
, значит, форма определена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях она больше нуля.
Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями.
Как быть? Существует более простой путь!
Критерий Сильвестра
Нет, не Сильвестра Сталлоне 🙂 Сначала напомню, что такое угловые миноры матрицы. Это определители которые «разрастаются» из её левого верхнего угла:
и последний из них в точности равен определителю матрицы.
Теперь, собственно, критерий:
1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: .
2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: , , если – чётное или , если – нечётное.
Если в 1-й или 2-й последовательности есть нулевые миноры, то это два особых случая, которые я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры. При любой другой комбинации плюсов-минусов (и опционально нулей) форма знакопеременна.
Проанализируем угловые миноры матрицы :
, и это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно (отпал пункт 2).
Вывод: все угловые миноры больше нуля, значит, форма определена положительно.
Есть разница с методом собственных чисел? 😉
Запишем матрицу формы из Примера 1:
первый её угловой минор , а второй , откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений , может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно.
Возьмём форму и её матрицу из Примера 2:
тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём:
, следовательно, форма точно не отрицательна.
, и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными).
Вывод: форма знакопеременна.
Разминочные примеры для самостоятельного решения:
Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность
В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно.
Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора , то форма определена неотрицательно, если – то неположительно. У этих форм существуют ненулевые векторы , при которых .
Здесь можно привести такой «баян»:
Выделяя полный квадрат, сразу видим неотрицательность формы: , причём, она равна нулю и при любом векторе с равными координатами, например: .
«Зеркальный» пример неположительно определённой формы:
и ещё более тривиальный пример:
– здесь форма равна нулю при любом векторе , где – произвольное число.
Как выявить неотрицательность или неположительность формы?
Для этого нам потребуется понятие главных миноров матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы существуют два главных минора 1-го порядка:
(элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца);
(элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца),
и один главный минор 2-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца.
У матрицы «три на три» главных миноров семь, и тут уже придётся помахать бицепсами:
– три минора 1-го порядка,
три минора 2-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца;
– составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца;
– составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца,
и один минор 3-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца.
Задание на понимание: записать все главные миноры матрицы .
Сверяемся в конце урока и продолжаем.
Критерий Шварценеггера:
1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю).
* У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю.
2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей определена неположительно тогда и только тогда, когда её:
– главные миноры 1-го порядка неположительны (меньше либо равны нулю);
– главные миноры 2-го порядка неотрицательны;
– главные миноры 3-го порядка неположительны (пошлО чередование);
…
– главный минор -го порядка неположителен, если – нечётное либо неотрицателен, если – чётное.
Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна.
Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах:
Составим матрицу формы, и в первую очередь вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно?
Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен, и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае 2-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы).
Главные миноры 1-го порядка:
– положительны,
главный минор 2-го порядка:
– не отрицателен.
Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна.
Запишем матрицу формы , для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка:
– не положительны,
главный минор 2-го порядка:
– не отрицателен.
Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно.
Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку:
Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем.
Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений:
Вычислим угловые миноры:
третий определитель я раскрою по 3-й строке:
Кстати, в силу симметрии, по 3-му столбцу он раскрывается точно так же.
Дальнейшее решение удобно разбить на 2 пункта:
1) Выясним, существуют ли значения «альфа», при которых форма определена положительно или неотрицательно. Согласно критерию Сильвестра, условию положительности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
В соответствии с поставленной задачей, сначала разберёмся со 2-м неравенством:
умножим обе его части на , сменив у неравенства знак:
, что противоречит первому неравенству системы.
Таким образом, система несовместна, а значит, форма не может быть положительно определённой ни при каких «альфа», из чего логически и автоматически следует, что она не может быть и неотрицательной.
2) Проведём исследование на отрицательность / неположительность. По Сильвестру, условию отрицательности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
Второе неравенство уже решено: , и оно не противоречит первому. И третье неравенство тоже «вписалось в рамки»: .
Таким образом, имеем совместную систему:
из которой следует, что форма определена отрицательно при . Например, если :
– то при любом ненулевом векторе данная форма будет строго отрицательна.
Осталось исследовать «пограничный» случай. Если , то:
Последнее значение не удовлетворяет 2-му пункту критерия Сильвестра, однако оно равно нулю, что позволяет предположить неположительность формы. Запишем матрицу формы и проверим критерий Шварценеггера. Главные миноры первого порядка:
– отлично, все миноры неположительны, поэтому проверка продолжается.
Рассчитываем миноры 2-го порядка. Если хотя бы один из них окажется отрицательным, то форма будет знакопеременной:
Нет, все миноры неотрицательны, и минор 3-го порядка уже рассчитан:
Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), имеет место неположительность формы, иными словами, , причём, нулю она равна и при некоторых ненулевых значениях .
Ответ: при форма определена отрицательно, при неположительно, в остальных случаях форма знакопеременна.
И творческое задание для самостоятельного решения:
Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
И в заключение статьи хочу выразить благодарность Сергею Хохлову, некогда ст. преподавателю МПГУ – за важные замечания и интересные дополнительные примеры, а также Арнольду Шварценеггеру, который сыграл в непривычном для себя амплуа и помог мне ярче объяснить материал 🙂
Как сказал актёр, I’ll be back, и я жду вас на следующем уроке – о каноническом виде квадратичной формы.
Решения и ответы:
Пример 1. Решение: сначала приведём подобные слагаемые:
Квадратичная форма двух переменных имеет вид , в данном случае: . Запишем форму в матричном виде:
Проверка:
что и требовалось проверить.
Вычислим дискриминант формы:
Поскольку , то ранг формы равен двум.
Ответ: , , ранг формы равен двум.
Пример 3. Решение: симметрическая матрица 4*4 определяет квадратичную форму 4 переменных. Коэффициенты главной диагонали , следовательно:
Симметричные коэффициенты 1-й строки: , таким образом:
Оставшиеся симметричные элементы 2-й строки: , и:
Пример 4. Решение:
а) запишем матрицу формы:
и вычислим её угловые миноры:
Таким образом, по критерию Сильвестра, форма определена отрицательно.
б) запишем матрицу формы:
и вычислим её угловые миноры:
Вывод: форма знакопеременна.
Задание на понимание: у данной матрицы четыре главных минора 1-го порядка:
,
шесть главных миноров 2-го порядка:
четыре главных минора 3-го порядка:
и один главный минор 4-го порядка, равный определителю матрицы.
Пример 5*. Решение: запишем матрицу формы и вычислим её угловые миноры:
Таким образом, форма не удовлетворяет критерию Сильвестра, однако, может оказаться неотрицательной (т.к. и остальные миноры нулевые). Для этого все главные миноры должны быть неотрицательны. Главные миноры 1-го порядка:
.
Вычислим главные миноры 2-го порядка:
– среди главных миноров встретился отрицательный, следовательно, форма не удовлетворяет критерию неотрицательности.
Ответ: форма знакопеременна.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено