Как поменять местами числа в скобках
Перейти к содержимому

Как поменять местами числа в скобках

  • автор:

Скобки, фигурные скобки и квадратные скобки в математике

Как эти символы помогают определить порядок операций

Профессор математики

Математика

Математика

  • Учебники по математике
  • Геометрия
  • Арифметика
  • Предварительная алгебра и алгебра
  • Статистика
  • Экспоненциальный спад
  • Рабочие листы по классам
  • Ресурсы

Обновлено 01 сентября 2019 г.

Вы встретите много символов в математике и арифметике. На самом деле, язык математики написан символами, а текст вставляется по мере необходимости для пояснения. Три важных — и связанных — символа, которые вы часто будете видеть в математике, — это скобки, скобки и фигурные скобки, с которыми вы часто будете сталкиваться в преалгебре и алгебре . Вот почему так важно понимать конкретное использование этих символов в высшей математике.

Использование скобок ( )

Круглые скобки используются для группировки чисел или переменных, или и того, и другого. Когда вы видите математическую задачу, содержащую скобки, вам нужно использовать порядок операций для ее решения. Например, возьмем задачу: 9 — 5 ÷ (8 — 3) x 2 + 6

Для этой задачи вы должны сначала вычислить операцию в круглых скобках, даже если это операция, которая обычно следует за другими операциями в задаче. В этой задаче операции умножения и деления обычно предшествуют вычитанию (минус), однако, поскольку 8 — 3 заключено в круглые скобки, вы должны сначала решить эту часть задачи. После того, как вы позаботились о вычислении, заключенном в круглые скобки, вы удалите их. В этом случае (8 — 3) становится 5, поэтому вы должны решить проблему следующим образом:

9 — 5 ÷ (8 — 3) х 2 + 6

= 9 — 5 ÷ 5 х 2 + 6

= 9 — 1 х 2 + 6

= 13

Обратите внимание, что в соответствии с порядком операций вы должны сначала работать с тем, что в скобках, затем вычислять числа с показателями степени, а затем умножать и/или делить и, наконец, складывать или вычитать. Умножение и деление, а также сложение и вычитание занимают одинаковое место в порядке операций, поэтому вы выполняете их слева направо.

В задаче выше, позаботившись о вычитании в скобках, вам нужно сначала разделить 5 на 5, получив 1; затем умножьте 1 на 2, получив 2; затем вычтите 2 из 9, получив 7; а затем добавить 7 и 6, давая окончательный ответ 13.

Скобки также могут означать умножение

В задаче: 3(2 + 5) скобки говорят вам умножать. Однако вы не будете умножать, пока не завершите операцию в круглых скобках — 2 + 5 — поэтому вы решите задачу следующим образом:

3(2 + 5)

= 21

Примеры скобок [ ]

Скобки также используются после круглых скобок для группировки чисел и переменных. Как правило, вы сначала используете круглые скобки, затем квадратные скобки, а затем фигурные скобки. Вот пример задачи с использованием скобок:

4 — 3[4 — 2(6 — 3)] ÷ 3

= 4 — 3[4 — 2(3)] ÷ 3 (Сначала выполните операцию в круглых скобках; скобки оставьте.)

= 4 — 3[4 — 6] ÷ 3 (Проделайте операцию в скобках.)

= 4 — 3[-2] ÷ 3 (Квадратная скобка информирует вас о необходимости умножения числа внутри, которое равно -3 x -2.)

Действия с числами

Что будет, если сначала надеть куртку, а затем свитер? Или поставить выпекаться тесто, а потом его перемешать? Нарушение порядка действий влечет за собой плачевный результат. Так и в математике: решать примеры необходимо в строго определенном порядке, иначе получить верный ответ будет невозможно. Тому, как правильно это делать, посвящена наша статья.

Порядок выполнения действий с числами

В математике, как и в жизни, почти не встречаются вычисления в одно действие. Как уже было сказано, ошибка в последовательности счета приводит к неверному ответу.

1. Если в примере только сложение или вычитание, то действия выполняются в порядке слева направо.

  1. Сначала складываем 17 и 2, получаем 19 – 9 + 5.
  2. Теперь вычитаем 9 из 19 и получаем 10 + 5.
  3. Складываем полученные числа: 10 + 5 = 15.

Если в примере только умножение или деление, то действия выполняются в порядке слева направо.

  1. Сначала умножаем 2 на 4, получаем 8 : 8 * 7.
  2. Делим 8 на 8, получаем 1 * 7.
  3. Умножаем 1 на 7: 1 * 7 = 7.

Получаем: 2 * 4 : 8 * 7 = 8 : 8 * 7 = 1 * 7 = 7

Но что делать, если в примере и сложение, и вычитание, и деление, и умножение? Для дальнейших рассуждений необходимо ввести новые понятия:

Действия первой ступени — это сложение и вычитание, которые выполняются слева направо.

Действия второй ступени — это умножение и деление, которые выполняются слева направо.

2. Если в примере встречаются действия и первой, и второй ступени, то для вычислений необходимо пользоваться следующим порядком:

  • Сначала выполняются действия второй ступени по порядку слева направо.
  • После выполняются действия первой ступени по порядку слева направо.

Получаем: 2 + 3 * 4 — 5 * 2 + 17 = 2 + 12 — 10 + 17 = 14 — 10 + 17 = 4 + 17 = 21.

Это можно сравнить со спуском по лестнице. На второй снизу ступеньке у нас стоят умножение и деление, а на первой — сложение и вычитание. И если мы спускаемся по такой лестнице, то мы не можем перескочить сразу через ступень (если, конечно, не хотим упасть).

Рассмотрим порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками.

3. Если в примере появляются скобки.

  • Сначала считаются действия в скобках. При этом соблюдается такой же порядок, как и в выражениях без скобок, то есть сначала действия второй ступени, а после — первой.
  • После выполняются действия вне скобок, сохраняя правильный порядок счета.

Например,
20 — 3 + (4 * 8 — 2 * 3) + 3 * 6 =
= 20 — 3 + (32 — 6) + 3 * 6 =
= 20 — 3 + 26 + 3 * 6 =
= 20 — 3 + 26 + 18 =
= 17 + 26 + 18 =
= 43 + 18 = 61.

Так к нашей лесенке добавляется еще одна ступень со скобками. И теперь мы начинаем спускаться с третьей ступеньки.

Если в выражении появляется скобка в скобке, то сначала выполняются действия во внутренней скобке, а после – во внешней:

1 + (12 — 3 * 2 + (24 — 3 * 6)) =
= 1 + (12 — 3 * 2 + (24 — 18)) =
= 1 + (12 — 3 * 2 + 6) =
= 1 + (12 — 6 + 6) =
= 1 + 12 = 13.

И это уже четвертая ступенька!

4. Если в выражении появляются степени, корни или другие функции.

  • Сначала считаются значения функций.
  • Дальше вычисляются значения в скобках, сохраняя правильный порядок счета.
  • Потом выполняются действия вне скобок, сохраняя правильный порядок счета.

Например,
2 3 + 12 — √4 — 2 * 3 =
= 8 + 12 — 2 — 2 * 3 =
= 8 + 12 — 2 — 6 =
= 20 — 2 — 6 =
= 18 — 6 = 12.

И, таким образом, мы завершаем нашу лесенку. Пятая и последняя ступень — это значения функций. Решая любой пример, нам нужно спуститься по этой лесенке, а если какой-то ступени нет — просто пропустить ее.

Если решать пример в неправильном порядке действий, то верный ответ не получится. Именно поэтому всегда работает правило: «Решать последовательно, нельзя менять местами».

Действия в выражениях выполняются в следующем порядке:
1.Вычисление значений функций;
2. Вычисление значений в скобках;
3.Вычисление значений вне скобок.

Действия с числами разных знаков

Для подробного разбора этой темы необходимо ввести понятие абсолютной величины или модуля числа.

Рассмотрим числовую прямую и числа на ней:

  • положительные числа будут расставляться в порядке возрастания слева направо,
  • отрицательные числа, напротив, будут уменьшаться справа налево.

Можно представить, что мы подставляем к 0 зеркало, тогда в нем в обратном порядке отображаются положительные числа, но с отрицательным знаком, то есть они зеркально повторяют положительную часть прямой.

Рассмотрим числа -4 и 4. Относительно ноля они лежат на одинаковом расстоянии: четыре условных единицы, отложенные влево и вправо.

Отсюда мы можем вывести определение модуля — это расстояние от начала координат (ноля) до точки. Модуль обозначается двумя вертикальными палочками.

Тогда |4| = 4, и |-4| = 4.

Подробнее про модуль и его свойства можно узнать в другой нашей статье.

Теперь мы можем рассмотреть действия с числами разных знаков.

Сложение

Если мы складываем числа с одинаковым знаком, то складываются их абсолютные величины, а перед суммой ставится общий знак.

Если мы складываем числа с разными знаками, то из абсолютной величины большего из них вычитается абсолютная величина меньшего, а перед разностью ставится знак числа с большей абсолютной величиной.

Вычитание

Для удобства счета вычитание можно заменить сложением, при этом уменьшаемое сохраняет знак, а вычитаемое его меняет.

Умножение и деление

При умножении умножаются абсолютные величины чисел.

При делении абсолютная величина одного числа делится на абсолютную величину другого числа.

При этом для определения знака необходимо воспользоваться следующими правилами:

  1. Произведение и частное одинаковых знаков будет положительным (плюс на плюс дают плюс; минус на минус дают плюс).
  1. Произведение и частное чисел с разными знаками будут отрицательными (плюс на минус дают минус; минус на плюс дают минус).

Для удобства запоминания можно воспользоваться следующей таблицей:

Например,
3 * (-2) = -6
8 : 4 = 2
(-10) : 5 = -2
(-4) * (-7) = 28.

Для сложения:
1. Из абсолютной величины большего числа вычитается абсолютная величина меньшего числа.
2. В ответе ставим знак числа с большей абсолютной величиной.

Для вычитания:
1. Вычитание можно заменить сложением, при этом вычитаемое меняет знак.
2. Решаем пример со сложением чисел разных знаков.

Сравнение чисел

Помните, мы рассматривали числовую прямую?

Когда мы сравниваем числа, мы определяем, какое больше, а какое меньше, то есть какое находится правее на числовой прямой, а какое — левее.

Давайте для примера сравним числа -3 и -5. Вернемся к числовой прямой. На ней мы можем увидеть, что -3 находится правее, чем -5, а значит -3 > -5.

Перед тем, как закончить с этой темой, разберемся с основными свойствами действий с рациональными числами.

Свойства действий с рациональными числами

  1. Сочетательный закон сложения: a+(b+c)=(a+b)+c
  2. Коммуникативное свойство сложения: a+b=b+a
  3. Сложение с нулем не изменяет число: a+0=a
  4. Для любого числа a есть такое число -a, что a+(-a)=0
  5. Коммуникативное свойство умножения: a*b=b*a
  6. Сочетательный закон умножения: a*(b*c)=(a*b)*c
  7. Умножение на единицу не изменяет число: a*1=a
  8. Распределительное свойство умножения относительно сложения: a*(b+c)=a*b+a*c

Это были основные свойства действий с рациональными числами. Теперь разберем подобные слагаемые.

Подобные слагаемые

Подобные слагаемые — слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть.

Для того, чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить или вычесть коэффициенты при одинаковой буквенной части. Например:

Как мы можем заметить, буквенная часть одинаковая, значит, можем сложить и вычесть коэффициенты:

Получили ответ 4a. Теперь рассмотрим что-нибудь посложнее:

В этом примере уже две разные буквенные части. Складываем коэффициенты для подобных слагаемых:

С подобными слагаемыми все понятно, это не очень тяжелая тема. Теперь будем разбираться с округлением чисел.

Округление чисел

В реальной жизни нам нередко встречаются неточные значения, и для удобства мы заменяем их приблизительными, то есть значениями, наиболее близкими к нужным. Например, часто можно услышать фразы «почти 7 килограмм», «чуть больше часа», «около 100 градусов». Данные выражения подразумевают, что в этих числах существует некоторая погрешность, которая не учитывается.

Чтобы понять, как округлять числа, необходимо немного подробнее разобрать их состав. Большие числа можно разбить на единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д. Так, в числе 2309 две тысячи, три сотни, ноль десятков и девять единиц.

Положение (позиция) каждой цифры в записи числа называется разрядом.

В целых числах разряды увеличиваются справа налево (единицы, десятки, сотни и т.д.).
В дробной записи числа разряды уменьшаются слева направо (десятые, сотые, тысячные и т.д.)

Например, в числе 249,0836:

  • 2 относится к разряду сотен;
  • 4 — к десяткам;
  • 9 — к единицам;
  • 0 — к десятым;
  • 8 — к сотым;
  • 3 — к тысячным;
  • 6 — к десятитысячным.

При делении чисел мы не всегда получаем точные значения, например, 2 не делится на 3. Но мы можем воспользоваться округлением, если невозможно достичь полной точности или она не нужна.

Приближенное значение числа — это число, полученное при округлении.

Округление – это операция, когда мы меняем число на его приближенное значение. При этом округлить можно до любого разряда.

Чтобы округлить число до какого-либо разряда, необходимо записать число на один разряд правее, после чего округлить его по правилам.

  • Если после нужного для округления разряда стоят цифры 0, 1, 2, 3 или 4, то цифра в разряде не меняется и остается прежней.
  • Если после нужного для округления разряда стоят числа 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в разряде увеличивается на единицу.

Округление до целых

Чтобы округлить число до целых значений, необходимо узнать значение только одной цифры после запятой (то есть цифру, стоящую в разряде десятых), а после воспользоваться правилами округления.

Например, при округлении числа 3,4 до целых получится 3, а при округлении 3,7 получится 4.

Округление до десятых

Чтобы округлить число до десятых, необходимо узнать две цифры после запятой, а после округлить число до одной цифры после запятой по правилам.

Например, 67,22 при округлении даст 67,2, а 67,29 ≈ 67,3.

Округление до сотых

Чтобы округлить число до сотых, необходимо узнать значение трех цифр после запятой, а после округлить число до двух цифр после запятой по правилам.

Например, при округлении числа 140,225 получится 140,23, а 140,221 ≈ 140,22.

Пользуясь этим алгоритмом, можно округлить число до любого нужного разряда.

Округление с недостатком — это округление числа в меньшую сторону.

Например, округлением с недостатком будет 4,072 ≈ 4,07

Округление с избытком — это округление числа в большую сторону.

Например, округлением с избытком будет 79,28 ≈ 79,3.

Округление с недостатком и избытком может использоваться для решения текстовых задач, при этом не всегда получается пользоваться правилами для округления с числами. Рассмотрим несколько примеров. Для этого решим несколько задач №1 из ЕГЭ по базовой математике.

Пример 1. Апельсины стоят 95 рублей за килограмм. Сколько килограмм апельсинов можно купить на 361 рубль?

Решение. Разделим 361 на 95, получаем:
361:95=3,8.

То есть на всю сумму можно будет купить 3 килограмма и 800 грамм апельсинов. Однако в задаче спрашивается только про килограммы, поэтому на 361 рубль можно будет купить только 3 килограмма апельсинов.

Ответ: 3.

В решении получилось число 3,8, и по правилам мы должны были округлить его до 4. Однако на 4 килограмма у нас уже не хватило бы денег, поэтому тут применяется округление с недостатком.

Пример 2. В жилом доме пять подъездов. В каждом подъезде по 20 квартир. Саша живет в 68 квартире. В каком подъезде живет Саша?

Решение. Разделим 68 на 20:
68:20=3,4.

Тогда 68-ая квартира будет располагаться в четвертом подъезде, поскольку в трех подъездах будет всего 60 квартир, значит еще восемь располагаются в следующем подъезде.

Ответ: 4.

Несмотря на то, что в решении получилось число 3,4, мы воспользовались округлением с избытком из-за ситуации в самой задаче.

При действиях с обычными числами обязательно пользоваться правилами.

Числа — незаменимый инструмент в математике. Как и слова в предложениях, из чисел (а также из переменных, обозначаемых буквами) складываются выражения, которые имеют свой неповторимый смысл. Следовательно, если мы хотим научиться решать любые задачи, то должны уметь работать с числами, правильно считать примеры, округлять. С этими знаниями примеры любой сложности будут нам очень легко даваться.

Термины

Произведение чисел — это результат их умножения.

Частноечисел — это результат деления одного числа на другое.

Фактчек

  • Если в задании встречается выражение в несколько действий, то сначала считаются значения функций, после значения в скобках и в конце значения вне скобок (при этом сначала вычисляются действия второй ступени, а потом действия первой ступени).
  • Чтобы посчитать значение действия с числами разных знаков, необходимо воспользоваться абсолютной величиной числа и правильно определить знак в ответе.
  • Иногда невозможно (или не нужно) получить точное значение числа, в этом случае можно воспользоваться округлением.
  • Округление в большую сторону называется округлением с избытком, а в меньшую — с недостатком.

Проверь себя

Задание 1.
В каком порядке выполняются действия в выражениях с числами? Какое действие выполняется первым в примере \(7+36-5*(29+8:4)-3*4^3+27*9:6\)?

Задание 2.
Выберите верно решенный пример:

  1. \(6*7=42\)
  2. \(81:9=-9\)
  3. \((-3)*4=12\)
  4. \((-7):(-1)=-7\)

Задание 3.
Выберите верно решенный пример:

  1. \(-3-2=5\)
  2. \(21-5=-16\)
  3. \(-2-(+34)=36\)
  4. \(42-50=-8\)

Задание 4.
Какое число будет округляться в большую сторону при округлении до сотых?

Задание 5.
Какое число будет округляться в меньшую сторону при округлении до целых?

Ответы: 1. — 3; 2. — 1; 3. — 4; 4 — 3; 5. — 2.

Как поменять местами цифры в скобках алгебра

Математика часто требует решения сложных задач и выполнения различных операций. Одной из таких операций является перестановка цифр в скобках в алгебре.​ В основном, задачи по перестановке цифр в скобках возникают при раскрытии скобок или выполнении алгебраических преобразований.​ В этой статье мы рассмотрим, как можно поменять местами цифры в скобках в алгебре.​

Одним из способов поменять местами цифры в скобках является использование тождественных преобразований в алгебре.​ Тождественные преобразования позволяют изменить выражения, не изменяя их значения. В данном случае, нам нужно поменять местами цифры в скобках. Для этого можно использовать следующий подход⁚

  1. Рассмотрите выражение в скобках и определите цифры, которые нужно поменять местами.​
  2. Поменяйте местами выбранные цифры.
  3. Запишите измененное выражение с поменянными цифрами.​

Давайте рассмотрим пример.​ Пусть у нас есть выражение (а-1)(1-а)٫ и мы хотим поменять местами цифры во второй скобке.​ В данном случае٫ во второй скобке стоит (1-а)٫ и мы хотим получить (а-1). Чтобы это сделать٫ нам нужно просто поменять местами цифры 1 и а.​ Таким образом٫ выражение (а-1)(1-а) после перестановки цифр в скобке будет выглядеть как (а-1)(а-1).​

Важно отметить, что при перестановке цифр в скобках необходимо быть осторожным и не менять знаки операций или порядок выполнения алгебраических преобразований.​ Мы меняем только цифры внутри скобок и сохраняем остальные элементы выражения неизменными.​

Таким образом, для того чтобы поменять местами цифры в скобках в алгебре, необходимо использовать тождественные преобразования и заменить цифры внутри скобок, сохраняя остальные элементы выражения неизменными.

Раскрытие скобок: правила, примеры, решения

Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.

Что называется раскрытием скобок?

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2 · ( 3 + 4 ) на выражение вида 2 · 3 + 2 · 4 без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

  • знаки « + » или « — » перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
  • произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5 + ( − 3 ) − ( − 7 ) к 5 − 3 + 7 . Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида ( a + b ) · ( c + d ) на сумму a · c + a · d + b · c + b · d . Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x 2 · 1 a — x + sin ( b ) будет соответствовать выражение без скобок вида x 2 · 1 a — x 2 · x + x 2 · sin ( b ) .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3 − ( 5 − 7 ) мы получаем выражение 3 − 5 + 7 . Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3 − ( 5 − 7 ) = 3 − 5 + 7 .

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5 − ( 3 − ( 2 − 1 ) ) = 5 − ( 3 − 2 + 1 ) = 5 − 3 + 2 − 1 или 5 − ( 3 − ( 2 − 1 ) ) = 5 − 3 + ( 2 − 1 ) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, ( − 4 ) и 3 + ( − 4 ) . Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а , + ( а ) на + а , — ( а ) на – а . Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число ( 5 ) запишется как 5 , выражение 3 + ( 5 ) без скобок примет вид 3 + 5 , так как + ( 5 ) заменяется на + 5 , а выражение 3 + ( − 5 ) эквивалентно выражению 3 − 5 , так как + ( − 5 ) заменяется на − 5 .

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. + ( − a ) мы заменяем на − a , − ( − a ) заменяется на + a . Если выражение начинается с отрицательного числа ( − a ) , которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо ( − a ) остается − a .

Приведем примеры: ( − 5 ) можно записать как − 5 , ( − 3 ) + 0 , 5 принимает вид − 3 + 0 , 5 , 4 + ( − 3 ) превращается в 4 − 3 , а − ( − 4 ) − ( − 3 ) после раскрытия скобок принимает вид 4 + 3 , так как − ( − 4 ) и − ( − 3 ) заменяется на + 4 и + 3 .

Следует понимать, что записать выражение 3 · ( − 5 ) как 3 · − 5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность a − b равна a + ( − b ) . На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств ( a + ( − b ) ) + b = a + ( ( − b ) + b ) = a + 0 = a , которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a + ( − b ) — это разность a − b .

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что − ( − a ) = a , a − ( − b ) = a + b .

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть − ( − ( ( − ( 5 ) ) ) ) . Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: − ( − ( ( − ( 5 ) ) ) ) = − ( − ( ( − 5 ) ) ) = − ( − ( − 5 ) ) = − ( 5 ) = − 5 . Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: − ( − ( ( − ( 5 ) ) ) ) = ( ( − ( 5 ) ) ) = ( − ( 5 ) ) = − ( 5 ) = − 5 .

Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком « + » впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

К примеру, после раскрытия скобок выражение − ( − 2 · x ) − ( x 2 ) + ( − 1 x ) − ( 2 · x · y 2 : z ) примет вид 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2 : z . Как мы это сделали? Мы знаем, что − ( − 2 · x ) есть + 2 · x , а так как это выражение стоит вначале, то + 2 · x можно записать как 2 · x , − ( x 2 ) = − x 2 , + ( − 1 x ) = − 1 x и − ( 2 · x · y 2 : z ) = − 2 · x · y 2 : z .

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел − a и − b вида ( − a ) · ( − b ) мы можем заменить на ( a · b ) , а произведения двух чисел с противоположными знаками вида ( − a ) · b и a · ( − b ) заменить на ( − a · b ) . Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел — 4 3 5 и — 2 , вида ( — 2 ) · — 4 3 5 . Для этого заменим исходное выражение на 2 · 4 3 5 . Раскроем скобки и получим 2 · 4 3 5 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел ( − 4 ) : ( − 2 ) , то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4 : 2

На месте отрицательных чисел − a и − b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении — 3 · x x 2 + 1 · x · ( ln 5 ) . Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования: — 3 · x x 2 + 1 · x · ( ln 5 ) = — 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 = 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 .

Выражение ( − 3 ) · 2 можно преобразовать в выражение ( − 3 · 2 ) . После этого можно раскрыть скобки: − 3 · 2 .

2 3 · — 4 5 = — 2 3 · 4 5 = — 2 3 · 4 5

Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок: ( − 5 ) : 2 = ( − 5 : 2 ) = − 5 : 2 и 2 3 4 : ( — 3 , 5 ) = — 2 3 4 : 3 , 5 = — 2 3 4 : 3 , 5 .

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два примера.

— 1 x + 1 : x — 3 = — 1 x + 1 : x — 3 = — 1 x + 1 : x — 3

sin ( x ) · ( — x 2 ) = ( — sin ( x ) · x 2 ) = — sin ( x ) · x 2

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Для примера, возьмем выражение 5 · ( − 3 ) · ( − 2 ) , которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как ( 5 · 3 · 2 ) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5 · 3 · 2 .

В произведении ( − 2 , 5 ) · ( − 3 ) : ( − 2 ) · 4 : ( − 1 , 25 ) : ( − 1 ) пять чисел являются отрицательными. поэтому ( − 2 , 5 ) · ( − 3 ) : ( − 2 ) · 4 : ( − 1 , 25 ) : ( − 1 ) = ( − 2 , 5 · 3 : 2 · 4 : 1 , 25 : 1 ) . Окончательно раскрыв скобки, получаем −2,5·3:2·4:1,25:1.

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и — 1 или — 1 заменяем на ( − 1 ) · a .

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные − 1 , в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1 , а нечетного – равно − 1 , что позволяет нам использовать знак минус.

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении — 2 3 : ( — 2 ) · 4 : — 6 7 выглядела бы следующим образом:

— 2 3 : ( — 2 ) · 4 : — 6 7 = — 2 3 · — 1 2 · 4 · — 7 6 = = ( — 1 ) · 2 3 · ( — 1 ) · 1 2 · 4 · ( — 1 ) · 7 6 = = ( — 1 ) · ( — 1 ) · ( — 1 ) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = ( — 1 ) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = — 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

x 2 · ( — x ) : ( — 1 x ) · x — 3 : 2 .

Его можно привести к выражению без скобок x 2 · x : 1 x · x — 3 : 2 .

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»

Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Для примера приведем выражение ( 12 − 3 , 5 ) − 7 . Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид ( 12 − 3 , 5 ) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как + 12 − 3 , 5 − 7 = 12 − 3 , 5 − 7 .

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x и проведем с ним действия x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x = = x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x

Вот еще один пример раскрытия скобок:

2 + x 2 + 1 x — x · y · z + 2 · x — 1 + ( — 1 + x — x 2 ) = = 2 + x 2 + 1 x — x · y · z + 2 · x — 1 — 1 + x + x 2

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « — », скобки со знаком « — » опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

— — 1 2 = 1 2 , — 1 x + 1 = — 1 x + 1 , — ( — x 2 ) = x 2

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

— — x + x 3 — 3 — — 2 · x 2 + 3 · x 3 · x + 1 x — 1 — x + 2 ,

получаем x — x 3 — 3 + 2 · x 2 — 3 · x 3 · x + 1 x — 1 — x + 2 .

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида ( a 1 ± a 2 ± … ± a n ) · b = ( a 1 · b ± a 2 · b ± … ± a n · b ) или b · ( a 1 ± a 2 ± … ± a n ) = ( b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n ) , где a 1 , a 2 , … , a n и b – некоторые числа или выражения.

Например, проведем раскрытие скобок в выражении ( 3 − 7 ) · 2 . Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: ( 3 − 7 ) · 2 = ( 3 · 2 − 7 · 2 ) . Получаем 3 · 2 − 7 · 2 .

Раскрыв скобки в выражении 3 · x 2 · 1 — x + 1 x + 2 , получаем 3 x 2 · 1 — 3 · x 2 · x + 3 · x 2 · 1 x + 2 .

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида ( a 1 + a 2 ) · ( b 1 + b 2 ) . Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение ( b 1 + b 2 ) как b . Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим ( a 1 + a 2 ) · ( b 1 + b 2 ) = ( a 1 + a 2 ) · b = ( a 1 · b + a 2 · b ) = a 1 · b + a 2 · b . Выполнив обратную замену b на ( b 1 + b 2 ) , снова применим правило умножения выражения на скобку: a 1 · b + a 2 · b = = a 1 · ( b 1 + b 2 ) + a 2 · ( b 1 + b 2 ) = = ( a 1 · b 1 + a 1 · b 2 ) + ( a 2 · b 1 + a 2 · b 2 ) = = a 1 · b 1 + a 1 · b 2 + a 2 · b 1 + a 2 · b 2

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

( a 1 + a 2 + . . . + a m ) · ( b 1 + b 2 + . . . + b n ) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Проведем раскрытие скобок в выражении ( 1 + x ) · ( x 2 + x + 6 ) Оно представляет собой произведение двух сумм. Запишем решение: ( 1 + x ) · ( x 2 + x + 6 ) = = ( 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6 ) = = 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение ( 1 − x ) · ( 3 · x · y − 2 · x · y 3 ) .

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: ( 1 + ( − x ) ) · ( 3 · x · y + ( − 2 · x · y 3 ) ) . Теперь мы можем применить правило: ( 1 + ( − x ) ) · ( 3 · x · y + ( − 2 · x · y 3 ) ) = = ( 1 · 3 · x · y + 1 · ( − 2 · x · y 3 ) + ( − x ) · 3 · x · y + ( − x ) · ( − 2 · x · y 3 ) )

Раскроем скобки: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении ( 2 + 4 ) · 3 · ( 5 + 7 · 8 ) .

В выражении содержится сразу три множителя ( 2 + 4 ) , 3 и ( 5 + 7 · 8 ) . Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: ( 2 + 4 ) · 3 · ( 5 + 7 · 8 ) = ( ( 2 + 4 ) · 3 ) · ( 5 + 7 · 8 ) .

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ( ( 2 + 4 ) · 3 ) · ( 5 + 7 · 8 ) = ( 2 · 3 + 4 · 3 ) · ( 5 + 7 · 8 ) .

Умножаем скобку на скобку: ( 2 · 3 + 4 · 3 ) · ( 5 + 7 · 8 ) = 2 · 3 · 5 + 2 · 3 · 7 · 8 + 4 · 3 · 5 + 4 · 3 · 7 · 8 .

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения ( a + b + c ) 2 . Его можно записать в виде произведения двух скобок ( a + b + c ) · ( a + b + c ) . Произведем умножение скобки на скобку и получим a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c .

Разберем еще один пример:

1 x + 2 3 = 1 x + 2 · 1 x + 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x + 1 x · 2 + 2 · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 · 2 · 2

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, ( x 2 — x ) : 4 = x 2 : 4 — x : 4 .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении ( x + 2 ) : 2 3 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число ( x + 2 ) : 2 3 = ( x + 2 ) · 2 3 . Умножим скобку на число ( x + 2 ) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Вот еще один пример деления на скобку:

1 x + x + 1 : ( x + 2 ) .

Заменим деление умножением: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 .

Выполним умножение: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

  • первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
  • на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
  • заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения ( − 5 ) + 3 · ( − 2 ) : ( − 4 ) − 6 · ( − 7 ) . Намнем преобразование с выражений 3 · ( − 2 ) : ( − 4 ) и 6 · ( − 7 ) , которые должны принять вид ( 3 · 2 : 4 ) и ( − 6 · 7 ) . При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: ( − 5 ) + 3 · ( − 2 ) : ( − 4 ) − 6 · ( − 7 ) = ( − 5 ) + ( 3 · 2 : 4 ) − ( − 6 · 7 ) . Раскрываем скобки: − 5 + 3 · 2 : 4 + 6 · 7 .

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *