Как делить отрицательные числа на положительные

Деление отрицательных чисел: правило и примеры

В данной статье дадим определение деления отрицательного числа на отрицательное, сформулируем и обоснуем правило, приведем примеры деления отрицательных чисел и разберем ход их решения.

Деление отрицательных чисел. Правило

Напомним, в чем суть операции деления. Данное действие представляет собой нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному другому множителю. Число с называется частным от деления чисел a и b , если верно произведение c · b = a . При этом, a ÷ b = c .

В заключение отметим, что если делимое и делитель являются иррациональными числами и задаются в виже корней, степеней, логарифмов и т.д., результат деления записывается в виде числового выражения, приблизительное значение которого вычисляется в случае необходимости.

Пример 4. Как делить отрицательные числа

Вычислим частное от деления чисел — 0 , 5 и — 5 .

— 0 , 5 ÷ — 5 = — 0 , 5 ÷ — 5 = 0 , 5 ÷ 5 = 1 2 · 1 5 = 1 2 5 = 5 10 .

Деление отрицательных чисел

Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление — это действие, обратное умножению.

Если « a » и « b » положительные числа, то разделить число « a » на число « b », значит найти такое число « с », которое при умножении на « b » даёт число « a ».

Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.

Поэтому, например, разделить число « −15 » на число 5 — значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число « −15 ». Таким числом будет « −3 », так как

Примеры деления рациональных чисел.

1. 10 : 5 = 2 , так как 12 · 5 = 10
2. (−4) : (−2) = 2 , так как 2 · (−2) = −4
3. (−18) : 3 = −6 , так как (−6) · 3 = −18
4. 12 : (−4) = −3 , так как (−3) · (−4) = 12

Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками — число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками— число отрицательное (примеры 3, 4).

Правила деления отрицательных чисел

Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.

Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:

• модуль делимого разделить на модуль делителя;
• перед результатом поставить знак « + ».

Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:

• (−9) : (−3) = +3
• 6 : 3 = 2

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:

• модуль делимого разделить на модуль делителя;
• перед результатом поставить знак « − ».

Примеры деления чисел с разными знаками:

• (−5) : 2 = −2,5
• 28 : (−2) = −14

Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.

Правило знаков при делении

При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби

Можно обратить внимание, что в числителе два знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».

Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:

Запомните!

Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.

0 : a = 0, a ≠ 0

Делить на ноль НЕЛЬЗЯ !

Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.

• а : 1 = a
• а : (−1) = −a
• а : a = 1

Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):

• если a · b = с; a = с : b; b = с : a;
• если a : b = с; a = с · b; b = a : c

Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.

Пример нахождения неизвестного.

Знак «минус» в дробях

Разделим число « −5 » на « 6 » и число « 5 » на « −6 ».

Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби — это тот же знак деления, поэтому можно записать частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.

Таким образом знак «минус» в дроби может находиться:

• перед дробью;
• в числителе;
• в знаменателе.

Запомните!

При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.

Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.

Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.

Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Деление чисел с разными знаками: правило и примеры

В этой статье мы рассмотрим деление положительных чисел на отрицательные и наоборот. Дадим подробный разбор правила деления чисел с разными знаками, а также приведем примеры.

Правило деления чисел с разными знаками

Правило для целых чисел с разными знаками, полученное в статье о делении целых чисел, справедливо также для рациональных и действительных чисел. Приведем более общую формулировку этого правила.

Правило деления чисел с разными знаками

При делении положительного числа на отрицательное и наоборот нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, а результат записать со знаком минус.

В буквенном виде это выглядит так:

Результатом деления чисел с разными знаками всегда является отрицательное число. Рассмотренное правило, по сути, сводит деление чисел с разными знаками к делению положительных чисел, так как модули делимого и делителя являются положительными.

Еще одна эквивалентная математическая формулировка данного правила имеет вид:

Чтобы разделить числа a и b , имеющие разные знаки, нужно число a умножить на число, обратное числу b , то есть b — 1 . Данная формулировка применима на множестве рациональных и действительных чисел, она позволяет перейти от деления к умножению.

Рассмотрим теперь, как применять описанную выше теорию на практике.

Как делить числа с разными знаками? Примеры

Ниже мы рассмотрим несколько характерных примеров.

Пример 1. Как делить числа с разными знаками?

Разделим — 35 на 7 .

Сначала запишем модули делимого и делителя:

Теперь разделим модули:

Допишем перед результатом знак минус и получим ответ:

Теперь воспользуемся другой формулировкой правила и вычислим число, обратное 7 .

Теперь проведем умножение:

— 35 · 1 7 = — — 35 · 1 7 = — 35 7 = — 5 .

Пример 2. Как делить числа с разными знаками?

Вычислим значение 8 ÷ — 60 .

По правилу, имеем:

8 ÷ — 60 = — 8 ÷ — 60 = — 8 ÷ 60 = — 8 60 .

Мы получили дробь, которую можно сократить на 4 . После сокращения получаем:

8 ÷ — 60 = — 8 60 = — 2 15 .

Это и есть окончательный ответ.

Если мы делим дробные числа с рациональными знаками, делимое и делитель нужно представить в виде обыкновенных дробей.

Пример 3. Как делить числа с разными знаками?

Разделим смешанное число — 3 3 22 на десятичную дробь 0 , ( 23 ) .

Модули делимого и делителя соответственно равны 3 3 22 и 0 , ( 23 ) . Переводя 3 3 22 в обыкновенную дробь, получаем:

3 3 22 = 3 · 22 + 3 22 = 69 22 .

Делитель также представим в виде обыкновенной дроби:

0 , ( 23 ) = 0 , 23 + 0 , 0023 + 0 , 000023 = 0 , 23 1 — 0 , 01 = 0 , 23 0 , 99 = 23 99 .

Теперь делим обыкновенные дроби, выполняем сокращения и получаем результат:

— 69 22 ÷ 23 99 = — 69 22 · 99 23 = — 3 2 · 9 1 = — 27 2 = — 13 1 2 .

В заключение рассмотрим случай, когда делимое и делитель являются иррациональными числами и записываются в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.

В такой ситуации частное записывается в виде числового выражения, которое по возможности упрощается. При необходимости вычисляется его приближенное значение с необходимой точностью.

Пример 4. Как делить числа с разными знаками?

Разделим числа 5 7 и — 2 3 .

По правилу деления чисел с разными знаками, запишем равенство:

5 7 ÷ — 2 3 = — 5 7 ÷ — 2 3 = — 5 7 ÷ 2 3 = — 5 7 · 2 3 .

Избавимся от иррациональности в знаменателе и получим окончательный ответ:

— 5 7 · 2 3 = — 5 · 4 3 14 .

Урок 4. Умножение и деление целых отрицательных и положительных чисел

На этом уроке математики вы научитесь правильно делить целые числа.

• Подбор кредитов:

ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ // РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Умножение целых чисел

Правило умножения целых чисел звучит так:

Чтобы умножить целые числа, нужно перемножить их абсолютные величины и перед результатом поставить знак плюс, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки или минус, если сомножители имеют разные знаки.

-4 ⋅ 5 = — (|-4|⋅|5|) = — (4 ⋅ 5) = -20

-4 ⋅ (-5) = |-4|⋅|-5|= 4 ⋅ 5 = 20

4 ⋅ 5 = |4|⋅|5|= 4 ⋅ 5 = 20

4 ⋅ (-5) = — (|4|⋅|-5|) = — (4 ⋅ 5) = -20

Умножение чисел с разными знаками

Чтобы умножить числа с разными знаками, нужно перемножить модули множителей и перед произведением поставить знак минус.

Например, 8 ⋅ (-7) = — (|8|⋅|-7|) = — (8 ⋅ 7) = -56

Как умножать отрицательные числа?

Чтобы умножить отрицательные числа, нужно перемножить их модули и перед произведением поставить знак плюс.

Например, -9 ⋅ (-10) = |-9|⋅|-10|= 9 ⋅ 10 = 90

Как умножать положительные числа?

О разных методах и правилах умножения натуральных чисел читайте в нашем уроке: Умножение натуральных чисел. Умножение в столбик. Законы, правила и примеры

Умножение нескольких целых чисел

Как определить знак произведения, если множителей больше двух и они имеют разные знаки? Для нахождения произведения нескольких множителей целых чисел нужно перемножить модули множителей и перед результатом поставить знак:

– если количество отрицательных сомножителей четное число, то произведение будет положительным, перед результатом ставим знак «+»;

– если количество отрицательных сомножителей нечетное число, то произведение будет отрицательным, перед результатом ставим знак «-»;

Пример. Найти произведение: -5 ⋅ 2 ⋅3 ⋅ (-4) ⋅ (-10)

-5 ⋅ 2 ⋅3 ⋅ (-4) ⋅ (-20) = — 2400

Объяснение: вычислили произведение абсолютных величин множителей, перед произведением ставим знак минус, ведь количество отрицательных сомножителей составляет 3, нечетное число

Пример. Найти произведение: 8 ⋅ 4 ⋅ (-2) ⋅ (-10) ⋅ 6

8 ⋅ 4 ⋅ (-2) ⋅ (-10) ⋅ 6 = 3840

Объяснение: выполнили умножение абсолютных величин множителей, перед произведением ставим плюс или ничего не ставим, поскольку количество отрицательных сомножителей равно 2 — четное число

Свойства умножения целых чисел: переместительный, сочетательный, распределительный законы

Для умножения целых чисел характерными являются переместительный, сочетательный, распределительный законы:

Переставное свойство: от перестановки множителей местами произведение не изменится. Для любых целых чисел выполняется равенство:

Проверим на примере:

Ведь -3 ⋅ (-9) = 27 і (-9) ⋅ (-3) = 27

Сочетательное свойство:

Где a, b, c – любые целые числа

[–8 ⋅ (–3)] ⋅ 2 = 24 ⋅ 2 = 48

–8 × (–3 × 2) = -8 ⋅ (-6) = 48

Поэтому [–8 ⋅ (–3)] ⋅ 2 = –8 × (–3 × 2)

Распределительное свойство:

Для любых целых чисел a, b, c выполняется равенство:

Проверим распределительное свойство умножения целых чисел на примере:

(–5 + 9) ⋅ (–7) = 4 ⋅ (-7) = -28

(–5 + 9) ⋅ (–7) =- 5 ⋅ (-7) + 9 ⋅ (-7) = 35 – 63 = -28

Итак, (–5 + 9) ⋅ (–7) =- 5 ⋅ (-7) + 9 ⋅ (-7)

Умножение целых чисел на 0, 1 и -1

а ⋅ 0 = 0 , где а – любое целое число

Произведение целых чисел, хотя бы один множитель которых равен 0, равно нулю.

Для любых целых чисел выполняются следующие равенства:

Деление целых чисел

Деление двух отрицательных целых чисел и двух чисел с разными знаками имеет то же содержание, что и деление положительных чисел: по данному произведению и одному из множителей посредством деления определяют второй множитель.

Если (-4) ⋅ 6 = -24, то (-24) : (-4) = 6 и (-24) : 6 = -4

Рассмотрим подробнее равенство (-24) : (-4) = 6 – в ней делимое равно -24, делитель равен -4 и частное от деления равно 6

Найдем абсолютные величины каждого компонента:

Можно сделать вывод, что для нахождения модуля частного нужно поделить модуль делимого на модуль делителя. Если делимое и делитель являются отрицательными числами, то частное будет положительным числом.

Как правильно делить отрицательные числа?

Чтобы найти частное двух отрицательных целых чисел, нужно поделить модули этих чисел. Частное будет положительным числом.

Как правильно делить числа с разными знаками?

Чтобы разделить числа с разными знаками, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя и перед результатом поставить знак минус.

–18 : 6 = –(|–18| : |6|) = – (18 : 6) = -3

Деление целых чисел, если делимое или делитель равно 0 или 1

а – любое целое число, но в первом и третьем равенствах а≠ 0.

Ведь целые числа на 0 делить нельзя.