Коллинеарные векторы
Коллинеарные векторы это векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой).
 |
 |
Векторы а, b, c коллинеарны. Векторы АС, BD, и СВ коллинеарны.
Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление (равнонаправленные векторы) или противоположные.
Так, векторы а и с равнонаправлены, векторы а и b (а также b и c) противоположно направлены. Векторы АС и BD равнонаправлены, векторы АС и СВ противоположно направлены.
Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = < ax ; ay ; az > и b = < nax ; nay ; naz >. Найдем их векторное произведение
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Пример 1. Какие из векторов a = <1; 2>, b = , c = коллинеарны?
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | . |
| bx | by |
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | . |
| 4 | 8 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | ≠ | 2 | . |
| 5 | 9 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | ≠ | 9 | . |
| 4 | 8 |
Пример 2. Доказать что вектора a = <0; 3>и b = <0; 6>коллинеарны.
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Пример 3. найти значение параметра n при котором вектора a = <3; 2>и b = коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | . |
| bx | by |
| 3 | = | 2 | . |
| 9 | n |
Решим это уравнение:
| n = | 2 · 9 | = 6 |
| 3 |
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Пример 4. Какие из векторов a = <1; 2; 3>, b = , c = коллинеарны?
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12
Пример 5. Доказать что вектора a = <0; 3; 1>и b = <0; 6; 2>коллинеарны.
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Пример 6. найти значение параметров n и m при которых вектора a = <3; 2; m >и b = коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
| 3 | = | 2 | = | m |
| 9 | n | 12 |
Из этого соотношения получим два уравнения:
| 3 | = | m |
| 9 | 12 |
Решим эти уравнения:
| n = | 2 · 9 | = 6 |
| 3 |
| m = | 3 · 12 | = 4 |
| 9 |
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com
Условие коллинеарности двух векторов
т.е. если соответствующие координаты двух векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны.
Если m>0 , то векторы a и b имеют одинаковое направление; если m , то направление векторов противоположны.
Пример №1 . Проверить, коллинеарны ли векторы AB и CD ; если да, то сонаправлены ли они. A(1;1), B(7;3), C(-4;-5), D(5;-2).
Решение.
Находим координаты векторов:
AB = (6;2)
CD = (9;3)
Используя условие коллинеарности векторов, устанавливаем, что координаты этих векторов пропорциональны:
m = 6 / 9 = 2 / 3
m>0 : следовательно, векторы коллинеарны и сонаправлены.
Пример №2 . Проверить условие коллинеарности векторов a и b . a(-6;3), b(8;-4).
Решение.
Используя условие коллинеарности векторов, устанавливаем, что координаты этих векторов пропорциональны:
m = -6 / 8 = 3 / -4
m Пример №3 . Проверить, коллинеарны ли векторы AB и CD ; если да, то сонаправлены ли они.
A(2;1), B(6;5), C(3;-1), D(7;-2).
Решение.
Находим координаты векторов:
AB = (4;4)
CD = (4;-1)
Используя условие коллинеарности векторов, устанавливаем, что координаты этих векторов не пропорциональны:
4 / 4 ≠ 4 / -1
Следовательно, векторы не коллинеарны.
Учебно-методический
√ курсы переподготовки и повышения квалификации
√ вебинары
√ сертификаты на публикацию методического пособия
Библиотека материалов
√ Общеобразовательное учреждение
√ Дошкольное образование
√ Конкурсные работы
Все авторы, разместившие материал, могут получить свидетельство о публикации в СМИ
Инвестиции с JetLend
Удобный сервис для инвестора и заемщика. Инвестируйте в лучшие компании малого бизнеса по ставкам от 16,9% до 37,7% годовых.
- Задать вопрос или оставить комментарий
- Помощь в решении
- Поиск
- Поддержать проект
Правила ввода данных
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Поиск
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Коллинеарные векторы: общие принципы и свойства
Коллинеарность векторов — важное понятие линейной алгебры и геометрии. Рассмотрим его подробнее.
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых. Формально, векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число λ, что выполняется равенство:
b = λa
Геометрический смысл коллинеарности
Геометрически коллинеарность означает, что векторы направлены вдоль одной прямой. Если представить векторы как отрезки на координатной плоскости, то коллинеарные векторы будут лежать на одной прямой.
Например, на рисунке векторы a и b коллинеарны, так как лежат на одной прямой. А вектор c не коллинеарен a и b, поскольку имеет другое направление.
Алгебраические свойства коллинеарных векторов
Из определения коллинеарности вытекает несколько важных алгебраических свойств:
- Скалярное произведение коллинеарных векторов равно произведению их длин: a•b = |a|•|b|
- Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю: axb = 0
- Если векторы коллинеарны, то отношение их координат одинаково: ax/bx = ay/by = az/bz
Эти свойства часто используются при решении задач и доказательстве коллинеарности векторов.
Условие коллинеарности векторов
Из определения коллинеарности векторов вытекает простое алгебраическое условие:
Векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда выполнено равенство:
a x b = 0
Это векторное произведение, равное нулю в случае коллинеарных векторов. Таким образом, для проверки коллинеарности достаточно вычислить векторное произведение.
Признак коллинеарности векторов
Еще один простой признак коллинеарности:
Векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число k, что выполняется равенство:
b = ka
Это следует непосредственно из определения. Таким образом, для проверки коллинеарности можно попробовать представить один вектор через другой.
Практическое применение
Понятие коллинеарности часто возникает в различных областях:
- В аналитической геометрии при изучении прямых и плоскостей;
- В дифференциальной геометрии при изучении кривых и поверхностей;
- В физике при описании движения и взаимодействия объектов;
- В компьютерной графике при моделировании трехмерных сцен.
Понимание коллинеарности помогает решать многие прикладные задачи в этих областях.
Например, в компьютерной графике коллинеарность используется для оптимизации вычислений теней и освещения.
В физике коллинеарные силы и векторы скорости упрощают описание движения.
Таким образом, изучение общих принципов и свойств коллинеарных векторов важно как с теоретической, так и с практической точки зрения.
Коллинеарность и линейная зависимость
Коллинеарность векторов тесно связана с понятием линейной зависимости. Напомним, что векторы называются линейно зависимыми, если один из них можно представить как линейную комбинацию остальных.
Из определения коллинеарности следует, что коллинеарные векторы всегда линейно зависимы. Ведь если вектор b коллинеарен вектору a, то b = λ·a для некоторого λ.
Обратное верно не всегда: линейно зависимые векторы могут быть и неколлинеарными. Например, векторы (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1) в R3 линейно зависимы, но не коллинеарны.
Таким образом, коллинеарность — более сильное условие, чем линейная зависимость. Для неколлинеарных векторов проверяют линейную зависимость, а для коллинеарных — оба свойства выполнены.
Коллинеарность и компланарность
Еще одно важное понятие, связанное с коллинеарностью, — это компланарность векторов.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости. Формально, векторы a, b и c компланарны, если существуют такие λ и μ, что:
Из этого определения видно, что если векторы коллинеарны, то они также компланарны. Например, если b = λ·a, то b и a компланарны.
Обратное неверно — компланарные векторы могут быть и неколлинеарными. Например, векторы (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (1, 1, 0) компланарны, но не коллинеарны.
Таким образом, коллинеарность является частным случаем компланарности. При решении задач стоит проверить сначала коллинеарность, а затем, при необходимости, компланарность.
Коллинеарность векторов в пространстве
До сих пор мы рассматривали коллинеарность векторов на плоскости. Однако это понятие обобщается и на многомерное пространство.
В трехмерном и многомерном пространстве векторы также называются коллинеарными, если они направлены вдоль одной прямой. Формальное определение коллинеарности остается таким же.
Геометрически коллинеарные векторы в пространстве будут выходить из начала координат и лежать на одной прямой. Алгебраические свойства коллинеарности тоже сохраняются.
Проверка коллинеарности в трехмерном пространстве выполняется аналогично — с помощью векторного произведения или коэффициента пропорциональности.
Неколлинеарные векторы
Помимо коллинеарных, часто рассматривают и неколлинеарные векторы. Такие векторы направлены вдоль разных прямых.
Важное свойство — любые два неколлинеарных вектора задают плоскость. Это следует из определения компланарности: раз векторы не коллинеарны, их нельзя выразить друг через друга, значит, они задают плоскость.
Неколлинеарные векторы часто используются при построении базисов. Например, стандартный базис (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1) состоит из трех попарно неколлинеарных векторов.
Проверка коллинеарности векторов
На практике часто возникает задача проверки коллинеарности заданных векторов. Рассмотрим алгоритм:
- Вычислить векторное произведение векторов;
- Если векторное произведение равно нулю — векторы коллинеарны;
- Иначе попробовать записать один вектор через другой с помощью коэффициента;
- Если получилось — векторы коллинеарны, иначе — неколлинеарны.
Этот простой алгоритм позволяет эффективно проверять коллинеарность на практике.
Применение коллинеарных векторов
Помимо теоретического интереса, коллинеарные векторы находят применение в различных областях:
- В физике — при сложении коллинеарных сил;
- В аналитической геометрии — при задании прямых уравнениями;
- В компьютерной графике — для оптимизации вычислений;
- В статистике — при анализе коррелированных данных.
Понимание свойств коллинеарности позволяет оптимально использовать коллинеарные векторы в решении прикладных задач.