Доказать что проектирование трехмерного пространства на координатную ось
Перейти к содержимому

Доказать что проектирование трехмерного пространства на координатную ось

  • автор:

§4. Задачи и упражнения для самостоятельной работы

1. Выяснить, какие из следующих векторных функций в трехмерном пространстве векторов являются линейными операторами, если х(х1, х2, х3):

а) Ах = (х2 + х3, 2х1 + 3х3, 3х1х2 + х3); б) Ах = (х1, х2 + 1, х3 + 2);

в) Ах = (2х1 + х2, х1 + х3, ); г) Ах = (х1х2 + х3, х3, х2).

2. Доказать, что любой линейный оператор в одномерном пространстве сводится к умножению всех векторов на одно и то же число, т.е. Ах = х, хV.

3. В бесконечномерном пространстве всех полиномов от t с вещественными коэффициентами заданы операторы А и В: АР(t) = Р(t), ВР(t) = (t).

а) показать, что оба оператора – линейны;

б) имеет ли место равенство АВ = ВА? в) найти АВВА;

г) показать, что .

 б) нет; в) АВВА = Е.

4. Можно ли рассматривать в пространстве полиномов степени не выше n оператор В такой, что ВР(t) = (t)?

  • нет, потому, что умножение на t повышает степень многочлена и, следовательно, не

действует в данном пространстве. 5. В линейном пространстве всех многочленов от t операторы А и В заданы так: A(a0 + a1t + … + antn ) = a1 + a2t + … + antn –1 и B(a0+a1t+ … +antn ) =a0t+a1t 2 + … +antn +1 Показать, что А и В линейные операторы и, что АВ = Е, ВАЕ. Имеет ли оператор А обратный? нет. 6. Пусть х(х1, х2, … , хn)произвольный вектор n-мерного арифметического пространства. Будет ли А линейным оператором, если: а) n = 2; Ах = (х2, х1х2); б) n = 2; Ах = (х2, х1х2); в) n = 3; Ах = (х2, х1х3, х3 +3); г) n = 3; Ах = (2х3 + х1, 2х3х1, х1х2); д) Ах = (0, 0, 0, … , 0, 0); е) n = 3; Ах = (0, х1+ 3х2, х1, ); ж) Ах = (0, 0, 0, … , 0, 1); з) n = 3; Ах = (sinх1, cosх2, х3); и) Ах = (хn, хn–1, хn–2, … , х2, х1).  а) да; б), в), г) нет; д) да; е), ж), з) нет; и) да. 7. Пусть – произвольный вектор; – фиксированные ненулевые векторы геометрического векторного пространства (двумерного или трехмерного). Проверить, что оператор А линеен и выяснить его геометрический смысл, если: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .  а) ортогональное проектирование на прямую ; б) проектирование на подпространство параллельно подпространству ; в) ортогональное проектирование на подпространство ; г) проектирование на подпространство параллельно вектору ā; д) ортогональное отражение в подпространстве ; е) ортогональное отражение в прямой . 8. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную ось е1 = i параллельно координатной плоскости векторов е2 = j, е3 = k является линейным оператором и найти матрицу этого оператора в базисе е1, е2, е3. . 9. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную плоскость векторов е1, е2 параллельно оси координат е3 является линейным оператором и найти его матрицу в базисе: а) е1, е2, е3; б) е1, е2, е1 + е2 + е3; в) е1е2, е1 + е3, – е1 + е2 + 2е3.  а) ;б) ; в) . 10. Доказать, что ортогональное проектирование трехмерного пространства на ось, образующую равные углы с осями прямоугольной системы координат, является линейным оператором, и найти его матрицу в базисе единичных векторов координатных осей. . 11. Доказать, что поворот плоскости на угол вокруг начала координат является линейным оператором и найти матрицу этого оператора в любом ортонормированном базисе, если положительное направление отсчета углов совпадает с направлением кратчайшего поворота, переводящего е1 в е2. . 12. Доказать, что поворот трехмерного пространства на угол вокруг i + j + k является линейным оператором, и найти матрицу этого оператора в базисе е1 = i, е2 = j, е3 = k.  , если е1 переходит в е2; , если е2 переходит в е1. 13. Составить матрицу оператора ортогонального проектирования в геометрическом линейном пространстве V3 на подпространство L, если L есть: а) прямая х = z = 0; б) прямая х = у = z; в) плоскость х + у + z = 0; г) плоскость, натянутая на векторы а(–1, 1, –1), b(1, –3, 2).  а) ; б) ; в) ; г) . 14. Составить матрицу оператора проектирования в геометрическом линейном пространстве V3 на подпространство L, параллельно подпространству М: а) L: x = 0; M: 2x = 2y = – z; б) L: –20x = 15y = 12z; M: 2x + 3yz = 0; в) ; M: 2x + 3y – 4z = 0.  а) ; б) ; в) . 15. Линейный оператор А в арифметическом пространстве в стандартном базисе задан матрицей. Найти образы векторов а1, а2, а3 для оператора А: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .  а) –2а1, а2, 4а3; б) 3а1, 3а2, 2а3; в) (0, 0, 0), (5, 0, –5), (11, 5, –1); г) а1, iа2, –iа3; д) –а1, (1 + i)a2, (1 – i)a3. 16. Линейный оператор Aℒ(Vn, Vm) задан матрицей А. Написать образы указанных векторов: а) ; б) ; в) .  а) (0, 6, 24), (6, 5, –1), (1, 2, 2); б) (0, 0, 0, 0), (2, 2, 2, 2), (10, 14, 18, 22), (7, 9, 11, 13); в) (–8, –13, 3, 0, –13), (–1, 5, 0, 8, 11), (3, 8, –1, 4, 0), (4, 14, –1, 11, 20), (–5, –3, –3, –4, 5); 17. Доказать, что существует единственный линейный оператор в Vn, переводящий данные линейно независимые векторы а1, а2, … , аn в данные векторы b1, b2, … , bn. Как найти матрицу этого оператора в базисе а1, а2, … , аn?  В i oм столбце матрицы стоят координаты вектора bi в базисе < ai>. 18. Пусть линейный оператор С в Vn переводит линейно независимые векторы а1, а2, … , аn в векторы b1, b2, … , bn соответственно. Доказать, что матрицу C этого оператора в некотором базисе е1, е2, … , еn можно найти из равенства С = ВА –1 , где А и В состоит из координат векторов а1, а2, … , аn и b1, b2, … , bn в базисе е1, е2, … , еn, записанных в столбцы. 19. Составить матрицу оператора А, переводящего в трехмерном линейном пространстве векторы х1(0, 0, 1), х2(0, 1, 1), х3(1, 1, 1) в векторы у1(2, 3, 5), у2(1, 0, 0), у3(0, 1, –1) соответственно, в базисе: а) е1(1, 0, 0), е2(0, 1, 0), е3(0, 0, 1); б) х1, х2, х3.  а) ; б) . 20. Составить матрицу оператора А, переводящего векторы а1, а2, а3 в векторы b1, b2, b3 в том же базисе в котором заданы координаты всех векторов: а) а1(2, 3, 5), а2(0, 1, 2), а3(1, 0, 0)  b1(1, 1, 1), b2(1, 1, –1), b3(2, 1, 2); б) а1(2, 0, 3), а2(4, 1, 5), а3(3, 1, 2)b1(1, 2, –1), b2(4, 5, –2), b3(1, –1, 1).  а) ; б) . 21. Доказать, что оператор в трехмерном пространстве , где является линейным оператором, и найти его матрицу: а) в ортонормированном базисе е1, е2, е3 в котором даны координаты векторов; б) в базисе: b1(1, 0, 1), b2(2, 0, –1), b3(1, 1, 0).  а) ; б) . 22. Скорости точек тела, движущегося вокруг неподвижной точки, определяются по формуле , где – мгновенная угловая скорость, а – радиус-вектор точки. Доказать, что оператор – линеен, и найти его матрицу в базисе: е1 = i, е2 = j, е3 = k.  . 23. Показать, что оператор дифференцирования является линейным оператором в пространстве полиномов степени не выше n от одного переменного с вещественными коэффициентами. Найти матрицу этого оператора в базисе: а) 1, х, х 2 , … , хn ; б) ; в) , где сR.  а) ; б), в) . 24. Доказать, что оператор является линейным и отображает пространство функций интегрируемых с косинусом на (0, 2) в пространство многочленов первой степени от sinx и cosx. Найти матрицу этого оператора в подпространстве с базисом: x, cosx>. . 25. Показать, что умножение квадратных матриц второго порядка слева и справа на данную матрицу являются линейными операторами в пространстве квадратных матриц второго порядка, и найти матрицу этого оператора в базисе: .  при умножении слева; при умножении справа . 26. Линейный оператор в V задан, матрицей А. Найти ядро и образ оператора. Выяснить задает ли данное преобразование изоморфизм или нет, если: а) ; б) ; в) ; г); д) ; е) .

  • а) (12, –5) и (5, 12); б) (1, 1, –1), (3, 0, 2) и (1, 1, –1); в) (1, –1, 1) и (1, 1, 0), (0, 1,–1);

г) (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1) и (1, 1, –3, –3), (1, –1, –1, 1); д)  > и V; А – изоморфизм; е)  > и V; А – изоморфизм. 27. Линейное отображение n-мерного пространства в m-мерное пространство задано матрицей А. Найти ядро и образ линейного оператора: а) m = 3, n = 4, ; б) m = 4, n = 3, ; в) m = 4, n = 3, ; г) m = 2, n = 3, ; д) m = 5, n = 3, ; е) m = 3, n = 5, .

  • а) (0, 2, 0, 1), (0, ­–3, 1, 0) и (0, 1, 0), (1, 0, –2); б)  > и (4, 3, –1, 7), (5, 2, 3, 7), (9, 7, 2, 6); в) (3, 1, 0), (2, 0, –1) и (­–2, 1, 7, –3); г) (2, 0, 1, –1, 0), (0, 1, 2, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 1) и V2; д) (0, 1, 1) и (–2, –2, –3, 4, 6), (2, 2, 2, 1, –5); е) (1, 1, 0, –3, –6), (–2, 0, 1, 5, 10) и V3.

28. Имеет ли оператор поворота плоскости на фиксированный угол нетривиальные инвариантные подпространства?

  • При k, kZ не имеет; При = k, kZ каждая прямая плоскости, проходящая

через центр вращения является инвариантным подпространством. 29. В плоскости задан оператор А – оператор растяжения плоскости в 1 раз вдоль оси х и в 2 раз вдоль оси у. Определить нетривиальные инвариантные подпространства оператора А, если: а) 1 = 2; б) 1  2.

  • а) любая прямая, проходящая через начало координат; б) оси координат – одномер-

ные инвариантные подпространства. 30. В трехмерном пространстве оператор А – поворот вокруг оси, проходящей через начало координат. Определить нетривиальные инвариантные подпространства этого оператора.  ось вращения – одномерное инвариантное подпространство; плоскость перпендикуля­р­- ная оси вращения и проходящая через начало координат – двухмерное инвариантное подпространство. 31. Пусть е1, е2, … еn – базис в Vn. Оператор Р, ставящий в соответствие вектору из Vn вектор называется оператором проектирования на Vm, порожденное векторами е1, е2, … еm. Найти нетривиальные инвариантные подпространства оператора Р.

  • Подпространство Vm и каждое его подпространство; Подпространство ℒ(em+1, …, en)

и каждое его подпространство. 32. В пространстве полиномов от х степени не выше n найти нетривиальные подпространства инвариантные относительно оператора дифференцирования .  Подпространство Lk многочленов степени не выше k (k = 0, 1, 2, … , n – 1). 33. Доказать, что в пространстве функций, дифференцируемых на всей оси подпространство, натянутое на функции является инвариантным относительно оператора дифференцирования . 34. Пусть А – линейный оператор в Vn и (aik) – матрица этого оператора в некотором базисе е1, е2, … еn. Доказать, что: а) подпространство натянутое на векторы е1, е2, … еn инвариантно относительно А тогда, и только тогда, когда aik = 0 для i >m, km; б) подпространства, натянутое на е1, е2, … еm и еm+1, еm+2, … , еn инвариантны относительно А тогда, и только тогда, когда aik = 0 для i >m, km и im, k >m. 35. Доказать, что множество всех собственных векторов линейного оператора, принадлежащих одному и тому же собственному значению 0, является линейным подпространством инвариантным относительно А. 36. Доказать, что линейное подпространство, натянутое на любую систему собственных векторов оператора А, инвариантно относительно А. 37. Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе своими матрицами: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) ; м) .  а) 1 = 1, с(1, –1); 2 = 3, с(1, 1); с  0; б) 1 = 7, с(1, 1); 2 = –2, с(4, –5); с  0; в) 1 = ai, с(1, i); 2 = –ai, с(1, –i); с  0; г)  = 2, с1(–2, 1, 0) + с2(1, 0, 1); ; д) 1= –1, с(1, 1,–1); 2 = 1, с(–2, 0, 1); 3 = 2, с(1, 0, 0); с  0; е) 1 = 1, с1(1, 0, 1)+с2(0, 1, 0); 2 = –1, с(1, 0, –1); с  0; ; ж) 1 = 1, с(3, –6, 20); 2 = –2, с(0, 0, 1); с  0; з) 1= 2, с(1, 0, 0); 2 = 1, с(1, 0, 1); 3 = –1, с(0, 1, –1); с  0; и) 1 = ­–1, с(1, 0, 0); 2 = 1, с1(1, 0, 1)+с2(0, 1, 1); с  0; ; к)  = 2, с(1, 0, 0); л)  = 2, с1(1, 2, 0)+с2(0, 0, 1); ; м) 1= –1, с(1, 1, 1); 2 = 0, с(1, 2, 3); с  0. 38. В пространстве непрерывных и дифференцируемых на всей оси функций f(x) найти собственные числа и собственные векторы оператора .   = – любое число; f(x) = cex , c  0. 39. Найти собственные числа и собственные векторы операторов, заданных в некотором ортонормированном базисе матрицами: ; ; .

  • Собственные значения у s1, s2, s3 – одинаковые: 1 = 1, 2 = 0, 3 = –1;

собственные векторы: y s1: c1(0, –i, 1), c2(1, 0, 0), c3(0, i, 1), ci  0; y s2: c1(i, 0, 1), c2(0, 1, 0), c3(–i, 0, 1), ci  0; y s3: c1(–i, 1, 0), c2(0, 0, 1), c3(i, 1, 0), ci  0. 40. Найти собственные числа и собственные векторы операторов, которые в некотором ортонормированном базисе, заданы матрицами: ; ; .

  • Собственные значения операторов s1, s2, s3 – одинаковы: 1 = 1, 2 = 0, 3 = –1;

собственные векторы: для s1: c1(1,, 1), c2(1, 0, –1), c3(0, –, 1), ci  0; для s2: c1(1, i, –1), c2(1, 0, 1), c3(1, –i, –1), ci  0; для s3: c1(1, 0, 0), c2(0, 1, 0), c3(0, 0, 1), ci  0. 41. Дана матрица оператора А в некотором базисе и полином f(x). Найти собственные числа и собственные векторы оператора f(А): а) ; б) ; в) .  а) 1 = 6(1 – i), с(1, i); 2 = 6(1 – i), с(1, –i); с  0; б) 1 = 14, с(1, 2, 2); 2 = 3 = 10, с(1, 2, 1); с  0; в) 1 = 9, с(1, 0, 0); 2 = –1, с(1, 0, 1); 3 = –15, с(0, 1, –1); с  0.

Координатные оси и координатные плоскости в 3D-пространстве

Мы знаем, что на плоскости нам нужны две взаимно перпендикулярные линии, чтобы определить положение точки. Эти линии называются координатными осями плоскости, а сама плоскость обычно называется декартовой плоскостью. Но в реальной жизни у нас нет такого самолета. В реальной жизни, чтобы найти объекты, нам нужна дополнительная информация, такая как высота. Итак, теперь нам нужны три вещи, чтобы найти точку в реальной жизни — x, y и ее высота, которая обычно обозначается как z. Они называются координатами относительно трехмерного пространства.

Координатные оси и координатные плоскости

На рисунке мы видим три пересекающиеся друг с другом плоскости. Эти плоскости взаимно перпендикулярны друг другу. Линии XOX’, Y’OY и Z’OZ представляют собой пересечение всех плоскостей друг с другом. Эти линии называются осью x, осью y и осью z соответственно, и они образуют прямоугольную трехмерную систему координат.

Координатные плоскости

Плоскости XOY, YOZ и ZOX называются XY-плоскостью, YZ-плоскостью и ZX-плоскостью соответственно. Пересечение всех плоскостей называется началом координат. Эти плоскости делят трехмерное пространство на 8 октантов.

Координаты точки в пространстве

Предполагается, что любая точка в трехмерном пространстве имеет три координаты, обозначающие значения координат x, y и z. На рисунке ниже нам дана точка A(x, y, z), расположенная в пространстве. Опускаем перпендикуляр из А на плоскость ху в точку М. Длина АМ дает нам значение координаты z. На рисунке LM и OL дают нам значение координаты y и x.

Таким образом, для любой точки, присутствующей в пространстве, существует упорядоченная тройка (x, y, z), которая задает положение этой точки в пространстве.

Coordinates of the origin are (0, 0, 0). A point on x-axis is of the form (x, 0, 0), same goes for the points on y-axis and z-axis.

Расстояние между двумя точками

Допустим, у нас есть две точки (x 1 , y 1 , z 1 ) и (x 2 , y 2 , z 2 ) в трехмерном пространстве. Формула для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве аналогична формуле Евклида для расстояния, которую мы изучили для двумерного пространства. Эта формула представляет собой небольшую модификацию исходной формулы, данной Евклидом.

The distance between two points (x1, y1, z1) and (x2, y2, z2) is given by,

Самолет

Плоскость — это двумерная плоская поверхность, простирающаяся бесконечно далеко. Это трехмерный аналог двухмерной линии и точки в одномерном пространстве. Сложно нарисовать самолет, если мы что-то пишем на бумаге, это тоже самолет. Мы пишем в самолете. На рисунке ниже показана плоскость в трехмерном пространстве.

Let’s say we have a plane, it intersects the x-axis at “a”, y-axis at “b” and the z-axis at “c”. Its equation is given by,

This is called intercept form of the equation of plane.

Примеры проблем

Вопрос 1: Допустим, у нас есть точка на оси x, каковы ее координата y и координата z?

Решение:

In the figure, the point lies on x-axis. It can be noticed that it’s coordinates for y and z are equal to zero.

Вопрос 2: Заполните пропуски:

  1. Оси X и Y вместе составляют _____ плоскость.
  2. Все координатные плоскости делят трехмерное пространство на _______ октанты.

Отвечать:

1. X and Y axis together make XY plane.

2. All the coordinates planes divide the 3-D space into eight octants.

Вопрос 3: Рассчитайте расстояние между (0,0,0) и (5,4,3).

Решение:

For the points (x1, y1, z1) and (x2, y2, z2)

Here, (x1, y1, z1) = (0,0,0) and (x2, y2, z2) = (5,,4,3). Let the distance be “l”

l =

=

=

=

= 5√2

Вопрос 4: Рассчитайте расстояние между (0,0,0) и (1,2,3).

Решение:

For the points (x1, y1, z1) and (x2, y2, z2)

Here, (x1, y1, z1) = (0,0,0) and (x2, y2, z2) = (1,2,3). Let the distance be “l”

l =

=

=

=

Вопрос 5: Рассчитайте расстояние между (1,1,1) и (2,4,3).

Решение:

For the points (x1, y1, z1) and (x2, y2, z2)

Here, (x1, y1, z1) = (1,1,1) and (x2, y2, z2) = (2,4,3). Let the distance be “l”

l =

=

=

=

Вопрос 6: По приведенному ниже рисунку найдите уравнение плоскости.

Решение:

We know the intercept form of an equation of a plane. Let’s say we have a plane, it intersects the x-axis at “a”, y-axis at “b” and the z-axis at “c”. It’s equation is given by,

Notice in the figure, a = 5, b = 4 and c = 3

So, the equation of the plane becomes,

=

=

68. Рассмотрим некоторые примеры линейных операторов

Оператор Проектирования. Пусть требуется найти матрицу линейного оператора, осуществляющего проектирование трехмерного пространства на координатную ось Е1 в базисе Е1, Е2, Е3. Матрица линейного оператора – это матрица, в столбцах которой должны стоять образы базисных векторов Е1 = (1,0,0), Е2 = (0,1,0), Е3 = (0,0,1). Эти образы, очевидно, есть: Ае1 = (1,0,0)

Следовательно, в базисе Е1, Е2, Е3 матрица искомого линейного оператора будет иметь вид:

Найдем ядро этого оператора. Согласно определению ядро – это множество векторов Х, для которых АХ = 0. Или

Т. е. ядро оператора составляет множество векторов, лежащих в плоскости Е1, Е2. Размерность ядра равна n – rangA = 2.

Множество образов этого оператора – это, очевидно, множество векторов, коллинеарных Е1. Размерность пространства образов равна рангу линейного оператора и равна 1, что меньше размерности пространства прообразов. Т. е. оператор А – вырожденный. Матрица А тоже вырождена.

Еще пример: найти матрицу линейного оператора, осуществляющего в пространстве V3 (базис I, J, K) линейное преобразование – симметрию относительно начала координат.

Имеем: Ai = — i

Т. е. искомая матрица

Рассмотрим линейное преобразование – Симметрию относительно плоскости Y = X.

Aj = I (1,0,0)

Ak = K (0,0,1)

Матрица оператора будет:

Еще пример – уже знакомая матрица, связывающая координаты вектора при повороте осей координат. Назовем оператор, осуществляющий поворот осей координат, — оператор поворота. Допустим, осуществляется поворот на угол j:

Ai ’ = cosjI + sinjJ

Aj ’ = — sinjI + cosjJ

Матрица оператора поворота:

Ai Aj

Вспомним формулы преобразования координат точки при смене базиса – замена координат на плоскости при смене базиса:

Эти формулы можно рассматривать двояко. Ранее мы рассматривали эти формулы так, что точка стоит на месте, поворачивается координатная система. Но можно рассматривать и так, что координатная система остается прежней, а перемещается точка из положения М* в положение М. Координаты точки М и М* определены в той же координатной системе.

Все сказанное позволяет подойти к следующей задаче, которую приходится решать программистам, занимающимся графикой на ЭВМ. Пусть необходимо на экране ЭВМ осуществить поворот некоторой плоской фигуры (например треугольника) относительно точки О’ с координатами (a, b) на некоторый угол j. Поворот координат описывается формулами:

Параллельный перенос обеспечивает соотношения:

Для того, чтобы решить такую задачу, обычно применяют искусственный прием: вводят так зазываемые “однородные” координаты точки на плоскости XOY: (x, y, 1). Тогда матрица, осуществляющая параллельный перенос, может быть записана:

А матрица поворота:

Рассматриваемая задача может быть решена в три шага:

1й шаг: параллельный перенос на вектор А(-а, — b) для совмещения центра поворота с началом координат:

2й шаг: поворот на угол j:

3й шаг: параллельный перенос на вектор А(а, b) для возвращения центра поворота в прежнее положение:

Искомое линейное преобразование в матричном виде будет выглядеть:

(**)

По формуле (**) можно пересчитать координаты любой точки плоской фигуры, а затем построить ее на экране, осуществив тем самым ее поворот.

  • Главная
  • Заказать работу
  • Стоимость решения
  • Варианты оплаты
  • Ответы на вопросы (FAQ)
  • Отзывы о нас
  • Примеры решения задач
  • Методички по математике
  • Помощь по всем предметам
  • Заработок для студентов

1.8.4. Базис и система координат пространства

Многие закономерности, которые мы рассмотрели на плоскости, будут справедливыми и для пространства. Тем не менее, рекомендую внимательно прочитать вводную часть, так как появятся новые термины и понятия.

Теперь вместо плоскости компьютерного стола исследуем трёхмерное пространство. Сначала создадим его базис. Кто-то сейчас находится в помещении, кто-то на улице, но в любом случае нам никуда не деться от трёх измерений: ширины, длины и высоты. Поэтому для построения базиса потребуется три пространственных вектора. Одного-двух векторов мало, четвёртый – лишний.

И снова разминаемся на пальцах. Пожалуйста, поднимите руку вверх и растопырьте в разные стороны большой, указательный и средний палец. Это будут векторы , они смотрят в разные стороны, имеют разную длину и имеют разные углы между собой. Поздравляю, базис трёхмерного пространства готов!

Кстати, не нужно демонстрировать такое преподавателям, как ни крути пальцами, а от определений никуда не деться =)

Далее зададимся важным вопросом, любые ли три вектора образуют базис трехмерного пространства? Пожалуйста, плотно прижмите три пальца к столешнице компьютерного стола. Что произошло? Три вектора расположились в одной плоскости, и, грубо говоря, у нас пропало одно из измерений – высота. Такие векторы являются компланарными, и совершенно понятно, что базиса трёхмерного пространства они не создают.

Следует отметить, что компланарные векторы не обязаны лежать в одной плоскости, они могут находиться в параллельных плоскостях (только не делайте этого с пальцами, так отрывался только Сальвадор Дали =)).

Определение: векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Здесь логично добавить, что если такой плоскости не существует, то и векторы будут не компланарны.

Три компланарных вектора всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга. Для простоты снова представим, что они лежат в одной плоскости. Во-первых, векторы мало того, что компланарны, могут быть вдобавок ещё и коллинеарны, тогда любой вектор можно выразить через любой вектор. Во втором случае, если, например, векторы не коллинеарны, то третий вектор выражается через них единственным образом: (почему?).

Справедливо и противоположное утверждение: три некомпланарных вектора всегда линейно независимы, то есть никоим образом не выражаются друг через друга.

И, очевидно, только такие векторы могут образовать базис трёхмерного пространства.

Определение: базисом трёхмерного пространства называется тройка линейно независимых (некомпланарных) векторов, взятых в определённом порядке, при этом любой вектор пространства единственным образом раскладывается по данному базису , где – координаты вектора в этом базисе. Также говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.

Понятие системы координат вводится точно так же, как и для плоского случая, достаточно одной точки (начала отсчёта) и любых трёх линейно независимых векторов:

Выбранное (где угодно) начало координат , и некомпланарные векторы , взятые в определённом порядке, задают аффинную систему координаттрёхмерного пространства:

Наиболее привычным и удобным частным случаем аффинной системы координаявляется «школьная» система. Начало координат и ортонормированный базис задают декартову прямоугольную систему координат пространства:

Ось абсцисс изображают под углом в по отношению к другим осям (к оси ординат и оси аппликат ). Популярный «тетрадный» масштаб: 1 ед. = 2 клетки по осям и 1 ед. = диагональ одной клетки – по оси .

И перед тем как перейти к практическим заданиям, вновь систематизируем теоретическую информацию:

Для трёх векторов пространства эквиваленты следующие утверждения:

1) векторы линейно независимы;
2) векторы образуют базис;
3) векторы не компланарны;
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

Противоположные высказывания, думаю, понятны.

Линейная зависимость / независимость векторов пространства традиционно проверяется с помощью определителя (пункт 5), и оставшиеся практические задания параграфа будут носить ярко выраженный алгебраический характер. Повесим на гвоздь геометрическую клюшку и начнём орудовать бейсбольной битой линейной алгебры:

Три вектора пространства компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: .

Обращаю внимание на небольшой технический нюанс: координаты векторов можно записывать не только в столбцы, но и в строки (результат не изменится). Но гораздо лучше в столбцы, поскольку это выгоднее для решения некоторых практических задач.

Задача 42

Проверить, образуют ли векторы базис трёхмерного пространства:

а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов (определитель раскрыт по первой строке):

, значит, векторы линейно независимы (не компланарны) и образуют базис трёхмерного пространства.

Ответ: данные векторы образуют базис.

б) Это пункт для самостоятельного решения. Не пропускаем! Для проверки правильности вычислений определителей я приложил к книге Алгебраический Калькулятор.

Решим творческую задачку:

Задача 43

При каком значении параметра векторы будут компланарны?

Решение: Векторы компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов равен нулю:

По существу, требуется решить уравнение с определителем. Определитель выгоднее всего раскрыть по второй строке:

Проводим дальнейшие упрощения и сводим дело к простейшему линейному уравнению:

Ответ: при

Здесь легко выполнить проверку, для этого нужно подставить полученное значение в исходный определитель и убедиться, что , раскрыв его заново.

И в заключение параграфа рассмотрим ещё одну типовую задачу, которая встречается в подавляющем большинстве контрольных работ по алгебре и геометрии:

Задача 44

Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение: Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе. Какой это базис – нас не интересует. А интересует следующая вещь: три вектора вполне могут образовывать свой базис. И первый этап полностью совпадает с решением Задачи 42 – необходимо проверить, действительно ли векторы линейно независимы. Для этого нужно вычислить определитель, составленный из координат векторов :

, значит, векторы линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства.

! Важно: координаты векторов обязательно записываем в столбцы определителя, а не в строки. Иначе будет путаница в дальнейшем алгоритме решения.

Теперь вспомним теоретическую часть: если векторы образуют базис, то любой вектор можно единственным способом разложить по данному базису: , где – координаты вектора в базисе .

Поскольку наши векторы образуют базис трёхмерного пространства (это уже доказано), то вектор можно единственным образом разложить по данному базису:
, где – координаты вектора в базисе .

И по условию требуется найти координаты .

Для удобства объяснения поменяю части местами: . В целях нахождения следует расписать данное равенство покоординатно:
– коэффициенты левой части берём из опр-ля ,
в правую часть записываем координаты вектора .

Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Обычно её решают по формулам Крамера, часто даже в условии задачи есть такое требование.

Главный определитель системы уже найден:
, значит, система имеет единственное решение.

Дальнейшее дело техники:

и ещё один определитель:

Таким образом:
– разложение вектора по базису .

Ответ:

Такая же задача для самостоятельного решения:

Задача 45

Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.

Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце книги. Для самоконтроля используйте тот же Алгебраический Калькулятор, где есть макет с автоматическим расчётом системы по правилу Крамера.

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

© mathprofi.ru — mathter.pro, 2010-2024, сделано в Блокноте.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *