Доказать что множество выпукло

Доказать что множество выпукло

Задачи Выпуклый анализ (примеры)

Пример 1. Доказать выпуклость множества .

Пусть , т. е. , . Тогда для любого имеем

. Следовательно, , , т. е. множество X выпукло.

Пример 2. Найти минимальное число A, при котором множество выпукло.

Как видно из рис. , при A= -31/27 множество X будет выпукло.

Пример 3. Доказать, что множество является выпуклым конусом. Изобразить этот конус.

Очевидно, что множество X — конус. Докажем, что X выпуклый конус. Действительно, для любых имеем (неравенство Коши-Буняковского и неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим).

Т. е. . Таким образом, X — выпуклый конус.

Сечением конуса плоскостью является круг . Если , то получаем конус .

Пример 4. Записать уравнение гиперплоскости, отделяющей точку от множества , которое задается системой уравнений

Очевидно, что среди неравенств, задающих множество X, третье неравенство в точке не выполняется. Поэтому в качестве разделяющей (не строго) гиперплоскости можно взять гиперплоскость .

Пример 5. Записать уравнение гиперплоскости, опорной к множеству

Функция является строго выпуклой, т. к. матрица вторых производных , а, значит, множество X выпукло. Тогда опорной гиперплоскостью к множеству X в точке Является, очевидно, касательная плоскость к границе множества X в точке , т. е. . Имеем и .

Пример 6. Записать уравнение гиперплоскости, разделяющей выпуклые множества , .

Ясно, что множества и пересекаются (касаются) в единственной точке . Поэтому разделяющей гиперплоскостью будет касательная прямая к графику функции в точке , т. е. прямая .

Выпуклое множество: определение, свойства, функции и примеры

Выпуклые множества — важный класс математических объектов, широко используемый в оптимизации, теории управления, экономике и других областях. Рассмотрим основные определения, свойства и примеры выпуклых множеств, а также подробнее выпуклые функции, задачи выпуклой оптимизации, геометрические и вычислительные методы.

1. Определение выпуклого множества

Формально, выпуклое множество в векторном пространстве — это множество точек, которое вместе с любыми двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки.

Геометрически это означает, что если взять любые две точки выпуклого множества и соединить их отрезком, то весь этот отрезок целиком будет лежать внутри данного множества.

Понятие выпуклости можно обобщить и на произвольные топологические пространства. В этом случае в определении вместо отрезков фигурируют пути, соединяющие точки множества.

2. Примеры выпуклых множеств

Рассмотрим некоторые примеры выпуклых множеств:

• Отрезки, треугольники, многоугольники на плоскости
• Шары и эллипсоиды в трехмерном пространстве
• Полуплоскости и полупространства
• Множества, заданные системами линейных неравенств

Последний пример заслуживает пояснения. Пусть на плоскости задана система:

Множество решений такой системы всегда выпуклое множество. Это следует из того, что прямые вида ax + by ≤ c делят плоскость на два выпуклых полупространства.

3. Свойства и теоремы о выпуклых множествах

Выпуклые множества обладают многими полезными свойствами. Рассмотрим некоторые из них:

• Замкнутость. Замыкание выпуклого множества также является выпуклым.
• Теорема Каратеодори. Любая точка выпуклого множества в $\mathbb^n$ представима в виде выпуклой комбинации не более чем $n+1$ точек этого множества.
• Теорема о разделяющей гиперплоскости. Для любых двух непересекающихся выпуклых множеств существует гиперплоскость, разделяющая эти множества.

Последняя теорема важна в теории оптимизации — она позволяет строить разделяющие гиперплоскости в методе отсечений.

4. Операции над выпуклыми множествами

C выпуклыми множествами можно выполнять различные операции: брать пересечения, объединения, суммы и т.д. Рассмотрим некоторые из них:

• Пересечение двух выпуклых множеств — также выпуклое множество
• Объединение выпуклых множеств — не всегда выпукло
• При выполнении таких операций как сумма, разность и произведение по Минковскому результатом будут выпуклые множества, если исходные множества были выпуклыми.

Такие свойства выпуклых множеств широко используются в выпуклом анализе и его приложениях.

5. Выпуклые функции

Помимо выпуклых множеств, в математическом анализе рассматриваются выпуклые функции. Выпуклая функция — это функция, график которой лежит над выпуклым множеством.

Формально, функция f называется выпуклой на интервале [a, b], если для любых x1, x2 из [a, b] и любого λ из [0, 1] выполняется:

Классическими примерами выпуклых функций являются линейные и квадратичные функции.

6. Свойства выпуклых функций

Выпуклые функции обладают следующими свойствами:

• Сумма выпуклых функций — выпуклая функция
• Композиция выпуклой и возрастающей функции — выпуклая функция
• Любой локальный минимум выпуклой функции — глобальный минимум

Последнее утверждение важно в оптимизации — оно позволяет эффективно находить минимум выпуклых функций.

7. Выпуклое программирование

Задачи оптимизации, в которых целевая функция и множество допустимых решений являются выпуклыми, называют задачами выпуклого программирования.

Выпуклое программирование активно используется в экономике, логистике, теории управления и других областях. Существуют эффективные численные методы для решения таких задач.

8. Построение выпуклой оболочки

Для произвольного множества точек можно построить выпуклую оболочку — наименьшее выпуклое множество, содержащее данные точки.

Существуют различные алгоритмы построения выпуклых оболочек, например метод Грэма и метод Джарвиса. Они позволяют эффективно приближать сложные множества выпуклыми фигурами.

9. Приближение множеств выпуклыми оболочками

Приближая сложные невыпуклые множества их выпуклыми оболочками, можно оценить погрешность такой аппроксимации с помощью различных критериев:

• Хаусдорфова расстояния
• Объема симметрической разности множеств
• Площади границы оболочки

Такая оценка важна в теоретических исследованиях и практических приложениях.

10. Численные методы в выпуклом анализе

Для решения задач с выпуклыми множествами и функциями используются различные численные методы:

• Методы спуска для минимизации выпуклых функций
• Методы отсечений для поиска точек в пересечении выпуклых множеств
• Алгоритмы Эллипсоида для решения задач выпуклого программирования

Такие методы позволяют эффективно находить оптимальные решения в сложных прикладных задачах.

11. Пакеты компьютерной алгебры для работы с выпуклыми множествами

Существуют специализированные пакеты прикладных программ для работы с выпуклыми множествами и функциями, например:

• CVXPY — пакет для Python
• YALMIP — пакет для MATLAB
• Convex.jl — пакет для Julia

С их помощью можно эффективно моделировать задачи выпуклой оптимизации и вычислять их решения.

12. Выпуклые многогранники и политопы

Частными, но важными случаями выпуклых множеств являются выпуклые многогранники (политопы).

Политоп может быть задан как пересечение полупространств, выпуклая оболочка конечного числа точек или решение системы линейных неравенств.

Для политопов справедливы общие свойства выпуклых множеств, но они также обладают некоторыми специальными свойствами. Например, их граница состоит из конечного числа гиперплоскостей.

13. Выпуклый анализ и теория игр

Понятия и методы выпуклого анализа активно используются в теории игр — разделе прикладной математики, изучающем математические модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта.

В частности, множества стратегий игроков в биматричных играх являются выпуклыми. Это позволяет применять аппарат выпуклого программирования для нахождения оптимальных смешанных стратегий и точек равновесия в играх.

14. Выпуклые множества в машинном обучении

В задачах машинного обучения с учителем при классификации объектов на классы часто используется метод опорных векторов (SVM).

Он сводится к построению разделяющей гиперплоскости между выпуклыми множествами, соответствующими классам объектов. Таким образом, свойства выпуклых множеств играют ключевую роль в данном подходе.

15. Выпуклые функции в экономике

В экономической теории часто рассматриваются выпуклые функции спроса, предложения, полезности, производственные функции и др.

Выпуклость таких функций соответствует реалистичным предположениям об экономическом поведении агентов. Это позволяет применять аппарат выпуклого анализа для решения различных экономических задач.

18.Геометрический смысл задачи линейного программирования

1)Множество всех планов задачи линейного программирования выпукло.

2) Линейная функция задачи линейного программирования достигает своего минимального значения в угловой точке многогранника рещений. Если линейная функция принимает минимальное значение более чем в одной угловой точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

20. Доказать, что множество допустимых решений злп является выпуклым множеством

Необходимо доказать, что если Х₁ и Х₂ — планы задачи линейного программирования, то их выпуклая линейная комбинация Х=₁Х₁+₂Х₂, ₁  0, ₂  0, ₁+₂=1 также план задачи.

Так как Х₁ и Х₂ — планы задачи, то выполняются соотношения

получаем, что Х удовлетворяет системе:

x_i  0 (i=1,2. n) (2.53)

Но так как Х₁  0; Х₂  0, ₁  0, ₂  0, то и Х  0, т. е. удовлетворяет и условию (2.53). Таким образом Х — план задачи линейного программирования.

21. Доказать, что оптимум целевой функции злп, если он существует, достигается хотя бы в одной из вершин допустимого множества

Предположим, что многогранник решений ограниченный, имеющий конечное число угловых точек. Обозначим его через К. В двумерном пространстве К имеет вид многоугольника, изображенного на рис. 2.5. Обозначим угловые точки К через Х₁, Х₂, . , Х_p, а оптимальный план — через Х₀. Тогда Z(X₀) Z(X) для всех Х из К. Если Х₀ — угловая точка, то первая часть теоремы доказана. Предположим, что Х₀ не является угловой точкой; тогда Х₀ на основании теоремы 1 можно представить как выпуклую линейную комбинацию угловых точек К, т. е.

Так как Z(X) — линейная функция, получаем

В этом разложении среди значений Z(X_i) (i=1,2. p) выберем наименьшее пусть оно соответствует угловой точке Х_k (1 k  p) и обозначим его через m, т. е. Z(X_k)=m. Заменим в (2.54) каждое значение Z(X_i) этим наименьшим значением. Тогда, так как _i  0 , , то

Z(X₀)  ₁m + ₂m + . +_pm = m .

По предположению, Х₀ — оптимальный план, поэтому, с одной стороны, Z(X₀)  m, но с другой стороны, доказано, что Z(X₀)  m, значит, Z(X₀)=m=Z(X_k), где X_k — угловая точка. Итак, существует угловая точка X_k, в которой линейная функция принимает минимальное значение.

Для доказательства второй части теоремы допустим, что Z(X) принимает минимальное значение более чем в одной угловой точке, например в точках Х₁, Х₂, . , Х_q , 1< q  p; тогда Z(X₁)=Z(X₂)= . =Z(X_q)= m. Если Х — выпуклая линейная комбинация этих угловых точек:

то Z(X)=Z(₁Х₁+₂Х₂+ . +_qХ_q) = ₁Z(X₁) + ₂Z(X₂) + . +_qZ(X_q)=₁m + ₂m + . +_qm = m .

т.е. линейная функция Z принимает минимальное значение в произвольной точке Х, являющейся выпуклой линейной комбинацией угловых точек Х₁, Х₂, . , Х_q .

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Пересечение любого числа идеально выпуклых множеств идеально выпукло. Сумма 7 Тг идеально выпукла, если каждое из множеств 7 и Тг идеально выпукло и по крайней мере одно из них ограничено. Если Т идеально выпукло, то множества — Т, Т и ( при любом и е Е) идеально выпуклы. Все эти утверждения вытекают непосредственно из определений. [2]

Теорема 2.1. Пересечение любого числа выпуклых множеств выпукло. [3]

Теорема 24.1. Пересечение любого числа выпуклых множеств также является выпуклым множеством. [4]

Ясно, что пересечение любого числа выпуклых множеств , если оно непусто, снова будет множеством выпуклым. [5]

Выпуклым является и пересечение любого числа выпуклых множеств . [6]

Доказать, что пересечение любого числа выпуклых множеств выпукло. Верно ли это утверждение для объединения множеств. Доказать, что замыкание выпуклого множества выпукло. [7]

Кроме того, пересечение любого числа выпуклых множеств , очевидно, будет выпуклым. [8]

Легко видеть, что пересечение любого числа выпуклых множеств выпукло. [9]

Множество F С Еп называется выпуклым ( см. лекцию 2), если для любых двух точек аг1 аг2 F отрезок, соединяющий эти точки, содержится в множестве F, или, что то же самое, если для любого числа 0 А 1 выполняется условие Ai ( 1 — А) 2 F. Ясно, что пересечение любого числа выпуклых множеств снова будет множеством выпуклым. [10]

Множество А элементов ( точек) линейного пространства называется выпуклым, если для любых alt aa е А элемент aajf ( 1 — a) a2, 0 а 1, также принадлежит А. Очевидно, что пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством. [11]

Понятно, что пересечение любого числа выпуклых множеств выпукло. [12]

Важный класс задач на минимум составляют так называемые выпуклые задачи. Пустое и одноточечное множества считаются выпуклыми. Пересечение любого числа выпуклых множеств выпукло. [13]