Доказать что линейный оператор простого типа
Перейти к содержимому

Доказать что линейный оператор простого типа

  • автор:

Линейные операторы

линейное отображение

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y=A(x) или y=Ax.

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x1 и x2 пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.

Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение

y=Ax, (1)

где Am×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:

, (2)
.

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.

Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда

(3)

является разложением x в по базису .

Применим оператор A к базисным векторам :

(4)

где aij − координаты полученного вектора в базисе .

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

Сделаем следующее обозначение:

(6)

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

(7)

Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе имеет координаты yi, i=1,2. m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента xj, j=1,2. n с коэффициентами aij i=1,2. m; j=1,2. n.

Построим матрицу A с элементами aij:

(8)

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

y=Ax. (9)

Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и .

2. Сложение линейных операторов

Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и Bmxn − матрицы соответствующие этим операторам.

Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством

Cx=Ax+Bx, x∈R, (10)

где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору ej, тогда:

Cej=Aej+Bej= n (aij+bij)ej
j=1

базис

Следовательно оператору C отвечает матрица ,где i=1,2. m, j=1,2. n, т.е.

C=A+B. (11)

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Cx=A(Bx), x ∈ R. (12)

Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C

y=Bx, z=Ay, z=Cx

можно записать в виде матричных равенств

y=Bx, z=Ay, z=Cx

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Cx=A(Bx)=(AB)x.

Учитывая произвольность х, получим

C=AB. (13)

Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.

4. Умножение линейного оператора на число

Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.

Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Cx=λ ( Ax) (14)

Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

y=Ax, z=λy, z=Cx

можно записать в виде матричных равенств

y=Ax, z=λy, z=Cx

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Cx=λ(Ax)=(λA)x.

Учитывая произвольность х, получим

C=λA. (15)

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:

6. Противоположный оператор

Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:

−A=(−1)A.

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.

Образ линейного оператора обозначается символом im A.

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).

Занятие 7(Фдз 8)

7.1. Определение линейного оператора простого типа, диагонализуемость его матрицы. Достаточное условие оператора простого типа. Примеры линейных операторов простого типа (операторы задачи 3 из типового расчета).

7.1. По определению, линейный оператор называется оператором простого типа (или простым оператором), если из собственных векторов этого оператора можно составить базис линейного пространства . Такой базис называется собственным базисом оператора .

Если оператор простого типа, и — собственный базис этого оператора, то матрица этого оператора в этом базисе является диагональной

, (1)

где — собственные значения оператора , соответствующие собственным векторам , т.е. .

Пример 1. Рассмотрим линейный оператор , действующий в линейном пространстве векторов декартова пространства следующим образом: проектирует каждый вектор на плоскость . Покажем, что данный оператор – оператор простого типа.

Собственные значения и собственные векторы найдены ранее в примере 3 занятия 5.

Этот оператор имеет собственное значение , соответствующие ему собственные векторы параллельны оси . Кроме этого оператор имеет собственное значение , соответствующие ему собственные векторы параллельны плоскости .

Из собственных векторов этого оператора можно составить базис пространства .

Например, векторы (где — единичный вектор оси , — единичные векторы осей и ) – образуют собственный базис оператора . Действительно, тройка служит базисом пространства и все эти векторы – собственные векторы оператора , т.к. .

Если — оператор простого типа, то все его собственные значения вещественны. Это условие представляет необходимое условие простоты оператора .

Однако вещественность всех собственных значений линейного оператора не служит достаточным условием простоты этого оператора.

Пример 2. Рассмотрим линейный оператор из примера 5 занятия 6. , .

Покажем, что данный оператор не является простым оператором.

Все собственные значения оператора равны нулю (см. пример 5 из занятия 6). Таким образом, необходимое условие простоты линейного оператора выполнено.

Однако из множества всех собственных векторов этого оператора нельзя составить базис пространства . Действительно, множество представляет линейную оболочку линейно независимых многочленов , следовательно, . Пространство трехмерно, т.к. оно имеет стандартный базис .

Чтобы из системы получить базис пространства , нужно к этой системе добавить многочлен , в котором . Никакой из многочленов не является собственным многочленом данного линейного оператора. Поэтому, оператор не имеет собственного базиса, и значит, не является простым оператором.

Достаточное условие того, чтобы заданный оператор был оператором простого типа, формулируются в виде следующей теоремы.

Теорема. Если все собственные значения линейного оператора действительны и различны, то оператор — оператор простого типа.

Пример 3. Линейный оператор действует в двумерном линейном пространстве . В базисе этого пространства оператор имеет матрицу . Доказать, что оператор — оператор простого типа. Найти собственный базис и матрицу оператора в этом базисе.

Действие оператора в базисе определяется равенством , где координаты вектора и — координаты вектора в базисе .

Собственные значения оператора найдем из характеристического уравнения.

.

Собственные значения оператора — действительные и различные числа. Следовательно, выполнено достаточное условие, доказывающее простоту оператора .

Найдем теперь собственный базис оператора .

— собственный вектор оператора .

— другой собственный вектор оператора .

Собственные векторы отвечают различным собственным значениям. Следовательно, эти векторы дают линейно независимую систему. Поскольку , векторы образуют базис пространства . Это – собственный базис оператора .

Осталось найти матрицу оператора в собственном базисе .

— первый столбец матрицы .

— второй столбец матрицы .

. Эта же матрица получается из формулы (1).

Пример 4. Линейный оператор действует в линейном пространстве

по правилу .

Требуется выяснить, является ли данный оператор оператором простого типа. Если да, то найти матрицу оператора в собственном базисе.

— линейная оболочка трех линейно независимых функций , служащих базисом пространства . .

Найдем матрицу оператора в базисе .

— первый столбец .

— второй столбец .

третий столбец . Следовательно,

.

С помощью этой матрицы найдем собственные значения оператора.

.

Необходимое условие оператора простого типа выполнено (все собственные значения вещественные числа), а достаточное условие нет (есть одинаковые собственные значения: ).

Найдем собственные функции оператора.

— собственная функция оператора, отвечающая собственному значению .

— собственные функции оператора, отвечающие собственному значению .

Собственные функции линейно независимы и служат базисом пространства . Следовательно, оператор имеет собственный базис, и он является оператором простого типа.

Матрица оператора в собственном базисе сразу же находится по формуле (1).

.

Пример 5. Дано множество матриц и преобразование , действующее на этом множестве по правилу , где .

Доказать, что — линейный оператор простого типа и найти матрицу этого оператора в собственном базисе.

1) , где .

— линейная оболочка матриц в линейном пространстве матриц . Следовательно, — линейное подпространство в пространстве .

2) .

Значит, — оператор.

3) Пусть — произвольные матрицы из множества и

— произвольные числа. .

Следовательно, — линейный оператор.

4) Матрицы образуют базис в пространстве . . Найдем матрицу этого оператора в базисе .

— первый столбец матрицы .

— второй столбец матрицы .

— третий столбец матрицы .

.

5) Теперь найдем собственные значения и собственные матрицы оператора .

.

Все собственные значения действительны и различны. Согласно достаточному условию

— линейный оператор простого типа.

6) Найдем собственный базис оператора .

— собственная матрица оператора .

— собственная матрица оператора .

— собственная матрица оператора .

7) — собственный базис оператора .

— матрица оператора в собственном базисе.

Домашнее задание.

1. Показать, что заданные линейные операторы являются оператороми простого типа, найти их собственный базис и матрицу в собственном базисе.

1.1. , .

1.2.. , , .

Доказать что линейный оператор простого типа

Самый простой линейный оператор — умножение вектора на число \(\lambda \). Этот оператор просто растягивает все вектора в \(\lambda \) раз. Его матричная форма в любом базисе — \(diag(\lambda ,\lambda . \lambda )\). Фиксируем для определенности базис \(\\) в векторном пространстве \(\mathit\) и рассмотрим линейный оператор с диагональной матричной формой в этом базисе, \(\alpha = diag(\lambda _1,\lambda _2. \lambda _n)\). Этот оператор, согласно определению матричной формы, растягивает \(e_k\) в \(\lambda _k\) раз, т.е. \(Ae_k=\lambda _ke_k\) для всех \(k=1,2. n\). С диагональными матрицами удобно работать, для них просто строится функциональное исчисление: для любой функции \(f(x)\) можно положить \(f(diag(\lambda _1,\lambda _2. \lambda _n))=diag(f(\lambda _1),f(\lambda _2). f(\lambda _n))\). Таким образом возникает естественный вопрос: пусть имеется линейный оператор \(A\), можно ли выбрать такой базис в векторном пространстве, чтобы матричная форма оператора \(A\) была диагональной в этом базисе? Этот вопрос приводит к определению собственных чисел и собственных векторов.

Пусть для линейного оператора \(A\) существует ненулевой вектор \(u\) и число \(\lambda \) такие, что \[ Au=\lambda \cdot u. \quad \quad(59) \] Тогда вектор \(u\) называют собственным вектором оператора \(A\), а число \(\lambda \) — соответствующим собственным числом оператора \(A\). Совокупность всех собственных чисел называют спектром линейного оператора \(A\).

Возникает естественная : найти для заданного линейного оператора его собственные числа и соответствующие собственные вектора. Эту задачу называют задачей о спектре линейного оператора.

Уравнение для собственных значений

Фиксируем для определенности базис в векторном пространстве, т.е. будем считать, что он раз и навсегда задан. Тогда, как обсуждалось выше, рассмотрение линейных операторов можно свести к рассмотрению матриц — матричных форм линейных операторов. Уравнение (59) перепишем в виде \[ (\alpha -\lambda E)u=0. \] Здесь \(E\) — единичная матрица, а \(\alpha\) — матричная форма нашего линейного оператора \(A\). Это соотношение можно трактовать как систему \(n\) линейных уравнений для \(n\) неизвестных — координат вектора \(u\). Причем это однородная система уравнений, и нам следует найти ее нетривиальное решение. Ранее было приведено условие существования такого решения — для этого необходимо и достаточно, чтобы ранг системы был меньше числа неизвестных. Отсюда следует уравнение для собственных чисел: \[ det(\alpha -\lambda E)=0. \quad \quad(60) \]

Опишем свойства этого уравнения и его решений. Если его выписывать в явном виде, получим уравнение вида \[ (-1)^n\lambda ^n+. +det(A)=0. \quad \quad(61) \] В левой части стоит полином по переменной \(\lambda \). Такие уравнения называются алгебраическими степени \(n\). Приведем необходимые сведения об этих уравнениях.

Уравнение (61) имеет решение на комплексной плоскости \(\mathbb\).

Уравнение (61) имеет на комплексной плоскости столько решений, какова его степень (решения учитываются с учетом кратности).

Рассмотрим уравнение \[ \lambda (\lambda-1)^2(\lambda+1)^3=0. \] Это уравнение 6 степени. Оно имеет следующие решения: \( \lambda =0\), \( \lambda =1\), \( \lambda =-1\), причем кратность первого решения равна 1 (такие решения называют простыми корнями), кратность второго решения равна 2, кратность третьего решения равна 3. Решения, кратность которых выше 1, называют кратными . В нашем случае 1+2+3=6. Уравнения степени \(n \geq 5\) невозможно решить с помощью радикалов (теорема Абеля-Руффини). Для уравнений степени \(n=2,3,4\) такие явные формулы существуют. Однако на практике уравнения высокой степени можно успешно решать с помощью компьютеров. Таким образом, в дальнейшем будем считать, что мы тем или иным способом построили решения уравнения (61).

Рассмотрим вопрос о построении собственного вектора, соответствующего известному собственному числу \(\lambda _k\). Для этого обратимся к уравнению \[ (\alpha -\lambda_k E)u=0. \] Это уравнение можно понимать как систему линейных уравнений для координат вектора \(u\) — собственного вектора, соответствующего собственному числу \(\lambda _k\). При этом данная система имеет нетривиальное решение, так как ранг этой системы меньше числа неизвестных. Решая эту систему методом Гаусса, можно определить координаты вектора \(u\). Перебирая все значения \(\lambda _k\), \(k=1,2. n\), находим соответствующие собственные вектора \(u_k\).

Найдем собственные значения и собственные вектора линейного преобразования, заданного в некотором базисе следующей матрицей: \[ A=\left ( \begin5 & -7 & 0 \\-3 & 1 & 0 \\12 & 6 & -3 \end \right ). \] Матрица \(A-\lambda E\) имеет в данном случае вид: \[ A- \lambda E=\left ( \begin5 -\lambda & -7 & 0 \\-3 & 1-\lambda & 0 \\12 & 6 & -3 -\lambda\end \right ). \] Вычисляем определитель \(det(A-\lambda E)\) и выписываем уравнение на собственные значения: \[ det(A-\lambda E)=-(\lambda +3)(\lambda ^2-6\lambda -16)=0. \] Отсюда находим 3 собственных значения: \(\lambda _1=-3, \lambda _2=8, \lambda _3=-2\). Мы получили 3 собсвенных значения, все они имеют кратность 1, т.е. это простые собственные числа. Вычислим соответствующие собственные вектора.

1. Рассмотрим \(\lambda _1=-3\). Соответствующее уравнение для собственного вектора \(u=(u_1,u_2,u_3)^T\) имеет вид: \[ \left( \begin8 & -7 & 0 \\-3 & 4 & 0 \\12 & 6 & 0\end \right) \left( \beginu_1 \\ u_2 \\ u_3 \end \right)=0, \] где справа стоит нулевой 3-вектор. Эта система уравнений для 3 неизвестных имеет следующее решение: \(u=(0,0,1)^T\).

2. Рассмотрим \(\lambda _2=8\). Соответствующее уравнение для собственного вектора \(u=(u_1,u_2,u_3)^T\) имеет вид: \[ \left ( \begin-3 & -7 & 0 \\-3 & -7 & 0 \\12 & 6 & 5 \end \right ) \left( \beginu_1 \\ u_2 \\ u_3 \end \right)=0, \] где справа стоит нулевой 3-вектор. Эта однородная система уравнений для неизвестных \(u_1,u_2,u_3\) имеет решение: \(u=(7, -3, 0)^T\).

3. Рассмотрим \(\lambda _3=-2\). Соответствующее уравнение для собственного вектора \(u=(u_1,u_2,u_3)^T\) имеет вид: \[ \left ( \begin7 & -7 & 0 \\-3 & 3 & 0 \\12 & 6 & -1 \end \right ) \left( \beginu_1 \\ u_2 \\ u_3 \end \right)=0, \] где справа стоит нулевой 3-вектор. Эта однородная система уравнений для неизвестных \(u_1,u_2,u_3\) имеет решение: \(u=(1,1,0)^T\).

Свойства собственных векторов

Пусть все собственные числа линейного оператора \(A\) — простые. Тогда набор собственных векторов, соответствующих этим собственным числам, образует базис векторного пространства.

Из условий теоремы следует, что все собственные числа оператора \(A\) различны. Предположим, что набор собственных векторов линейно зависим, так что существуют константы \(c_1,c_2. c_n\), не все из которых нули, удовлетворяющие условию: \[ \sum_^nc_ku_k=0. \quad \quad(62) \]

Рассмотрим среди таких формул такую, которая включает минимальное число слагаемых, и подействуем на нее оператором \(A\). В силу его линейности получаем: \[ A\left (\sum_^nc_ku_k \right )=\sum_^nc_kAu_k=\sum_^nc_k\lambda _ku_k=0. \quad \quad(63) \]

Пусть, для определенности, \(c_1 \neq 0\). Умножая (62) на \(\lambda _1\) и вычитая из (63), получим соотношение вида (62), но содержащее на одно слагаемое меньше. Противоречие доказывает теорему.

Итак, в условиях теоремы появляется базис, связанный с данным линейным оператором — базис его собственных векторов. Рассмотрим матричную форму оператора в таком базисе. Как упоминалось выше, \(k\)-ый столбец этой матрицы — это разложение вектора \(Au_k\) по базису. Однако по определению \(Au_k=\lambda _ku_k\), так что это разложение (то, что выписано в правой части) содержит только одно слагаемое и построенная матрица оказывается диагональной. В итоге получаем, что в условиях теоремы матричная форма оператора в базисе его собственных векторов равна \(diag(\lambda _1,\lambda _2. \lambda _n)\). Поэтому если необходимо развивать функциональное исчисление для линейного оператора разумно работать в базисе его собственных векторов.

Если же среди собственных чисел линейного оператора есть кратные, описание ситуации становится сложнее и может включать так называемые жордановы клетки. Мы отошлем читателя к более продвинутым руководствам для изучения соответствующих ситуаций.

Найти собственные числа и собственные вектора линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей \(A\).

1. \[ A=\left ( \begin0 & 1 & 0 \\-3 & 4 & 0 \\-2 & 1 & 4 \end \right ). \]

2. \[ A=\left ( \begin-3 & 2 & 0 \\-2 & 1 & 0 \\15 & -7 & 4 \end \right ). \]

3. \[ A=\left ( \begin4 & 0 & 5 \\ 7 & -2 & 9 \\3 & 0 & 6 \end \right ). \]

4. \[ A=\left ( \begin-1 & -2 & 12 \\0 & 4 & 3 \\0 & 5 & 6 \end \right ). \]

Линейный оператор простого типа.

7.1. Определение линейного оператора простого типа, диагонализуемость его матрицы. Достаточное условие оператора простого типа. Примеры линейных операторов простого типа (операторы задачи 3 из типового расчета).

7.1. По определению, линейный оператор называется оператором простого типа (или простым оператором), если из собственных векторов этого оператора можно составить базис линейного пространства . Такой базис называется собственным базисом оператора .

Если оператор простого типа, и — собственный базис этого оператора, то матрица этого оператора в этом базисе является диагональной

где — собственные значения оператора , соответствующие собственным векторам , т.е. .

Пример 1. Рассмотрим линейный оператор , действующий в линейном пространстве векторов декартова пространства следующим образом: проектирует каждый вектор на плоскость . Покажем, что данный оператор – оператор простого типа.

Собственные значения и собственные векторы найдены ранее в примере 3 занятия 5.

Этот оператор имеет собственное значение , соответствующие ему собственные векторы параллельны оси . Кроме этого оператор имеет собственное значение , соответствующие ему собственные векторы параллельны плоскости .

Из собственных векторов этого оператора можно составить базис пространства .

Например, векторы (где — единичный вектор оси , — единичные векторы осей и ) – образуют собственный базис оператора . Действительно, тройка служит базисом пространства и все эти векторы – собственные векторы оператора , т.к. .

Если — оператор простого типа, то все его собственные значения вещественны. Это условие представляет необходимое условие простоты оператора .

Однако вещественность всех собственных значений линейного оператора не служит достаточным условием простоты этого оператора.

Пример 2. Рассмотрим линейный оператор из примера 5 занятия 6. , .

Покажем, что данный оператор не является простым оператором.

Все собственные значения оператора равны нулю (см. пример 5 из занятия 6). Таким образом, необходимое условие простоты линейного оператора выполнено.

Однако из множества всех собственных векторов этого оператора нельзя составить базис пространства . Действительно, множество представляет линейную оболочку линейно независимых многочленов , следовательно, . Пространство трехмерно, т.к. оно имеет стандартный базис .

Чтобы из системы получить базис пространства , нужно к этой системе добавить многочлен , в котором . Никакой из многочленов не является собственным многочленом данного линейного оператора. Поэтому, оператор не имеет собственного базиса, и значит, не является простым оператором.

Достаточное условие того, чтобы заданный оператор был оператором простого типа, формулируются в виде следующей теоремы.

Теорема. Если все собственные значения линейного оператора действительны и различны, то оператор — оператор простого типа.

Пример 3. Линейный оператор действует в двумерном линейном пространстве . В базисе этого пространства оператор имеет матрицу . Доказать, что оператор — оператор простого типа. Найти собственный базис и матрицу оператора в этом базисе.

Действие оператора в базисе определяется равенством , где координаты вектора и — координаты вектора в базисе .

Собственные значения оператора найдем из характеристического уравнения.

Собственные значения оператора — действительные и различные числа. Следовательно, выполнено достаточное условие, доказывающее простоту оператора .

Найдем теперь собственный базис оператора .

— собственный вектор оператора .

— другой собственный вектор оператора .

Собственные векторы отвечают различным собственным значениям. Следовательно, эти векторы дают линейно независимую систему. Поскольку , векторы образуют базис пространства . Это – собственный базис оператора .

Осталось найти матрицу оператора в собственном базисе .

— первый столбец матрицы .

— второй столбец матрицы .

. Эта же матрица получается из формулы (1).

Пример 4. Линейный оператор действует в линейном пространстве

Требуется выяснить, является ли данный оператор оператором простого типа. Если да, то найти матрицу оператора в собственном базисе.

— линейная оболочка трех линейно независимых функций , служащих базисом пространства . .

Найдем матрицу оператора в базисе .

третий столбец . Следовательно,

С помощью этой матрицы найдем собственные значения оператора.

Необходимое условие оператора простого типа выполнено (все собственные значения вещественные числа), а достаточное условие нет (есть одинаковые собственные значения: ).

Найдем собственные функции оператора.

— собственная функция оператора, отвечающая собственному значению .

— собственные функции оператора, отвечающие собственному значению .

Собственные функции линейно независимы и служат базисом пространства . Следовательно, оператор имеет собственный базис, и он является оператором простого типа.

Матрица оператора в собственном базисе сразу же находится по формуле (1).

Пример 5. Дано множество матриц и преобразование , действующее на этом множестве по правилу , где .

Доказать, что — линейный оператор простого типа и найти матрицу этого оператора в собственном базисе.

— линейная оболочка матриц в линейном пространстве матриц . Следовательно, — линейное подпространство в пространстве .

3) Пусть — произвольные матрицы из множества и

Следовательно, — линейный оператор.

4) Матрицы образуют базис в пространстве . . Найдем матрицу этого оператора в базисе .

— первый столбец матрицы .

— второй столбец матрицы .

— третий столбец матрицы .

5) Теперь найдем собственные значения и собственные матрицы оператора .

Все собственные значения действительны и различны. Согласно достаточному условию

— линейный оператор простого типа.

6) Найдем собственный базис оператора .

— собственная матрица оператора .

— собственная матрица оператора .

— собственная матрица оператора .

7) — собственный базис оператора .

— матрица оператора в собственном базисе.

Домашнее задание.

1. Показать, что заданные линейные операторы являются оператороми простого типа, найти их собственный базис и матрицу в собственном базисе.

Прокрутить вверх

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

Научный форум dxdy

1 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 \end$» />

Собственно сами собственные значения и векторы я нашел, но не смог полностью доказать вид оператора

$\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 5 $

То есть, — собственные значения

Собственные векторы :
$ $x_1 = c_1 $\cdot$ (-2; 0 ; 1); $
$ $x_2 = c_2 $\cdot$ (- 15/14, -2/7, 1); $
$ $x_3 = c_3 $\cdot$ (1/2, 0 , 1); $

Если мы выберем по одному вектору из собственных и составим матрицу их координат, то получим

Однако, если мы составим матрицу в базисе из собственных векторов, то мы получим матрицу, ранг которой уже равен 2, а не 3. Определитель этой матрицы также равен нулю.

, действующий в — мерном линейном пространстве , называется оператором простой структуры, если в пространстве существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. В силу § 7.1 в базисе из собственных векторов матрица оператора простой структуры имеет вид , (7.5.1) где — собственные значения оператора. Если в исходном базисе оператор простой структуры имеет матрицу , а в базисе из собственных векторов — матрицу , то в силу соотношения (7.3.2) из § 7.3 имеем , (7.5.2) где — матрица перехода от базиса к базису . Она состоит из столбцов координат базиса в базисе , — матрица вида (7.5.1). На матричном языке соотношение (7.5.2) означает, что матрица приводится матрицей к диагональному виду. Разрешив соотношение (7.5.2) относительно матрицы , получим соотношение , (7.5.3) которое называется каноническим разложением матрицы . При построении матрицы для соотношений (7.5.2) и (7.5.3) нужно найти все собственные значения матрицы и при каждом собственном значении построить фундаментальную систему решений однородной системы уравнений ; из векторов всех построенных фундаментальных систем решений, как из столбцов, составить матрицу . Причём в матрице столбцами записываются решения по каждому в порядке нумерации собственных значений (одинаковые считаются столько раз, каковы их алгебраические кратности). Если матрица окажется квадратной, то она будет удовлетворять соотношениям (7.5.2) и (7.5.3). Если же матрица окажется неквадратной, то соотношения (7.5.2) и (7.5.3) для матрицы будут невозможны, т.е. матрица не приводится к диагональному виду и, следовательно, не имеет канонического разложения. Матрица будет квадратной лишь в случае, когда оператор с матрицей является оператором простой структуры. В соответствии с критерием простоты структуры линейного оператора для того, чтобы оператор имел простую структуру, необходимо и достаточно, чтобы для каждого его собственного значения алгебраическая кратность совпадала с геометрической кратностью, т.е. с максимальным числом линейно независимых собственных векторов матрицы по , равным , где — ранг матрицы . Справедлив следующий достаточный признак простой структуры линейного оператора: если все собственные значения линейного оператора попарно различны, то он имеет простую структуру. Пример. Выясните, является ли оператор, действующий в действительном трёхмерном линейном пространстве, с матрицей оператором простой структуры. Если да, то найдите матрицу , трансформирующую матрицу к диагональному виду, и запишите этот вид. Решение. Составим характеристический многочлен матрицы : . Решив характеристическое уравнение , получим собственные значения , и соответствующие им алгебраические кратности , . Найдём базисы собственных подпространств линейного оператора, попутно проверив, выполняется ли критерий простоты структуры оператора. . Геометрическая кратность первого собственного значения равна и совпадает с алгебраической кратностью . Общий вид собственных векторов, отвечающих , таков: . Полагая последовательно , и , , получаем базис первого собственного подпространства: ; . Геометрическая кратность второго собственного значения равна и совпадает с алгебраической кратностью . Таким образом, критерий простоты структуры линейного оператора выполняется. Общий вид собственных векторов, отвечающих , таков : . Выбирая , получаем базис второго собственного подпространства: . В базисе линейный оператор имеет матрицу и трансформирующая матрица . Проверим это: . 7.5.1. Квадратная матрица называется матрицей простой структуры, если она подобна некоторой диагональной матрице. Докажите, что оператор из тогда и только тогда будет оператором простой структуры, когда его матрица в произвольном базисе пространства является матрицей простой структуры. 7.5.2. Покажите, что операторы проектирования и операторы отражения имеют простую структуру. 7.5.3. Докажите, что если матрица имеет простую структуру, то это же верно в отношении транспонированной матрицы . 7.5.4. Пусть — линейный оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве . Докажите, что следующие высказывания равносильны: — оператор простой структуры; объединение базисов собственных подпространств является базисом в ; алгебраическая кратность каждого корня характеристического уравнения равна размерности соответствующего собственного подпространства; является прямой суммой собственных подпространств. 7.5.5. Докажите, что у оператора простой структуры: образ есть линейная оболочка собственных векторов, относящихся к ненулевым собственным значениям; пересечение ядра и образа состоит только из нулевого вектора. 7.5.6. Выясните, какие из матриц линейных операторов в пространстве над можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису. Найдите этот базис и соответствующую ему матрицу: а) б) в) г) д) е) 7.5.7. Подобна ли матрица а) б) в) диагональной матрице? 7.5.8. Для каждой из приведенных ниже матриц над полем выясните, является ли оператор с данной матрицей оператором простой структуры: а) б) в) г) д) Если да, то найдите матрицу , трансформирующую эту матрицу к диагональному виду и укажите этот вид.

27.03.2015 2.39 Mб 211 Глава 7(1).doc

27.03.2015 3.13 Mб 146 Глава 7(2).doc

27.03.2015 11.78 Кб 45 Оглавление (2).doc

27.03.2015 1.36 Mб 49 Ответы и указания (2).doc

27.03.2015 12.29 Кб 41 Предметный указатель (2).doc

27.03.2015 11.26 Кб 41 Список литературы (2).doc

27.03.2015 71.68 Кб 41 Указатель обозначений (2).doc

Для продолжения скачивания необходимо пройти капчу:

Как доказать, что линейный оператор является простым типом

khokku.ru

Линейные операторы являются важным понятием в линейной алгебре и математическом анализе. Они представляют собой функции, которые действуют на векторные пространства и сохраняют их структуру. Важной задачей является классификация линейных операторов и понимание их свойств.

Один из основных критериев для классификации линейного оператора является его тип. Простой тип — это особый класс линейных операторов, который обладает определенными свойствами и ограничениями.

Доказательство того, что линейный оператор является простым типом, может быть выполнено посредством проверки определенных условий и свойств. Это включает в себя анализ его ядра, образа, собственных значений и векторов, а также других характеристик, которые могут быть связаны с его типом.

Доказательство простого типа линейного оператора требует анализа его свойств, структуры и взаимосвязи с другими математическими объектами. Это важный этап в изучении линейной алгебры и применении линейных операторов в различных областях науки и техники.

Что такое линейный оператор?

Линейный оператор — это математическое понятие, которое относится к области линейной алгебры. Он представляет собой специальный тип функции, который действует на векторном пространстве, перенося векторы из одного пространства в другое.

Линейный оператор обладает двумя основными свойствами: линейностью и сохранение нуля.

Линейность означает, что оператор сохраняет линейные комбинации векторов. Если v и w — векторы, а a и b — скаляры, то линейный оператор T удовлетворяет следующему равенству:

Это означает, что если применить оператор T к линейной комбинации векторов, результат будет равен линейной комбинации результатов применения оператора к отдельным векторам.

Сохранение нуля говорит о том, что оператор превращает нулевой вектор в нулевой вектор:

Таким образом, линейный оператор сохраняет структуру и свойства векторного пространства, в котором он действует.

Линейные операторы часто используются для описания линейных преобразований в физике, геометрии, экономике и других областях науки. Они позволяют анализировать и описывать векторные системы и их свойства с помощью математических методов и формул.

Свойства линейных операторов

1. Линейность:

Линейный оператор обладает свойством линейности, если выполняются следующие два условия:

  • Оператор сохраняет операцию сложения: для любых векторов u и v оператор T выполняет условие T(u + v) = T(u) + T(v).
  • Оператор сохраняет операцию умножения на скаляр: для любого вектора u и любого скаляра a оператор T выполняет условие T(au) = aT(u).

2. Сохранение нулевого вектора:

Линейный оператор сохраняет нулевой вектор, то есть для нулевого вектора O выполняется условие T(O) = O.

3. Коммутативность со скалярным произведением:

Линейный оператор коммутирует со скалярным произведением, то есть для любого вектора u и любого скаляра a выполняется условие T(au) = aT(u).

4. Сочетание операций:

Линейный оператор сохраняет операцию композиции, то есть для любых операторов T и S и любого вектора u выполняется условие (TS)(u) = T(S(u)).

5. Связь с матрицами:

Линейный оператор может быть представлен матрицей, где столбцы матрицы соответствуют координатному столбцу векторов, а строки матрицы соответствуют трансформированию оператором.

T(e1) T(e2) T(en)
v a11 a12 a1n
w a21 a22 a2n
u am1 am2 amn

В данной таблице T(e1), T(e2), …, T(en) представляют себя результаты применения оператора T к базисным векторам e1, e2, …, en. Коэффициенты aij в матрице соответствуют коэффициентам разложения этих результатов применения по базису.

Что значит, что линейный оператор является простым типом?

Линейный оператор в математике — это функция, определенная на векторном пространстве, которая сохраняет линейные комбинации векторов. Более формально, линейный оператор отображает каждый вектор в пространстве в другой вектор в этом же пространстве. Что же значит, что линейный оператор является простым типом?

Простой тип линейного оператора означает, что векторное пространство, на котором определен оператор, имеет фиксированную размерность и структуру. В данном случае векторное пространство имеет конечную размерность, и линейный оператор можно полностью описать с помощью матрицы. Представление оператора в виде матрицы позволяет удобно и эффективно выполнять операции с векторами, такие как сложение, умножение на скаляр и умножение векторов.

Если линейный оператор является простым типом, то его действие на векторах полностью определяется значениями, которые принимает на векторах базиса данного векторного пространства. Другими словами, зная матрицу оператора и координаты вектора в базисе пространства, можно легко найти координаты результата действия оператора на этот вектор.

Простые типы линейных операторов широко используются в математике и физике, так как они позволяют анализировать и решать сложные задачи, связанные с векторами и пространствами конечной размерности. Простота типа линейного оператора упрощает вычисления и улучшает понимание его действия на векторы.

Примеры линейных операторов простого типа

Линейные операторы являются основным инструментом в линейной алгебре и математическом анализе. Они представляют собой функции, которые преобразуют векторы в другие векторы и удовлетворяют определенным линейным свойствам.

Линейный оператор называется «простым типом», если для любых двух векторов u и v, удовлетворяющих условию Lu = 0 и Lv = 0, следует, что u = v = 0, где L — линейный оператор.

Простые типы линейных операторов включают в себя:

  • Операторы с единичной матрицей: L(u) = Au, где A — единичная матрица;
  • Операторы с диагональной матрицей: L(u) = Au, где A — диагональная матрица;
  • Операторы с нулевой матрицей: L(u) = 0, для любого вектора u;
  • Операторы с произвольными матрицами, у которых все собственные значения равны нулю.

Примеры простых типов линейных операторов могут быть представлены следующим образом:

    Оператор с единичной матрицей:

A Линейный оператор
1 0 L(u) = (u1, u2)
0 1
A Линейный оператор
2 0 L(u) = (2u1, 3u2)
0 3
A Линейный оператор
0 0 L(u) = (0, 0)
0 0
A Линейный оператор
0 1 L(u) = (u2, 0)
1 0

Это лишь некоторые примеры простых типов линейных операторов. В линейной алгебре существует множество других простых типов, каждый из которых обладает своими уникальными свойствами и применениями.

Вопрос-ответ

Какие критерии помогут доказать, что линейный оператор является простым типом?

Для доказательства того, что линейный оператор является простым типом, необходимо выполнение следующих критериев: оператор должен иметь только одно собственное значение и кратность этого значения равна размерности пространства.

Как доказать, что линейный оператор является простым типом?

Для доказательства того, что линейный оператор является простым типом, можно воспользоваться следующим методом: необходимо найти характеристический многочлен оператора и вычислить его корни. Если существует только один корень, и кратности всех корней равны размерности пространства, то оператор является простым типом.

Какие критерии существуют для определения простого типа линейного оператора?

Существуют несколько критериев, позволяющих определить, является ли линейный оператор простым типом. Например, можно проверить, что оператор имеет только одно собственное значение и кратность этого значения равна размерности пространства. Кроме того, можно проверить характеристический многочлен оператора и вычислить его корни. Если существует только один корень, и кратности всех корней равны размерности пространства, то оператор также является простым типом.

Каким образом можно доказать, что линейный оператор простого типа?

Для доказательства того, что линейный оператор является простым типом, можно воспользоваться следующим методом: необходимо найти все собственные значения оператора и их кратности. Если найденные собственные значения равны размерности пространства и кратностям соответствующих значениям, то можно сделать вывод, что оператор является простым типом.

Какие методы можно использовать для доказательства простоты линейного оператора?

Для доказательства того, что линейный оператор является простым типом, можно воспользоваться несколькими методами. Например, можно проверить, что оператор имеет только одно собственное значение и кратность этого значения равна размерности пространства. Также можно вычислить характеристический многочлен оператора и найти его корни. Если существует только один корень и кратности всех корней равны размерности пространства, то оператор является простым типом.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *