Доказать что а лежит на прямой оо1

Как доказать, что точки лежат на одной прямой: проверка в несколько шагов

Проверка, лежат ли точки на одной прямой — важная задача в геометрии. От этого зависит решение многих практических задач. В статье мы разберем несколько простых и наглядных способов проверки коллинеарности точек. Эти методы пригодятся школьникам, студентам и инженерам в повседневной практике.

Геометрические методы проверки коллинеарности точек

Геометрические методы основаны на использовании графических построений и наглядной интерпретации геометрических объектов. Рассмотрим основные геометрические подходы.

Согласно определению, прямая — это наименьшее расширение отрезка, то есть для любых двух точек на прямой между ними находится бесконечно много других точек. Три и более точки называются коллинеарными , если лежат на одной прямой.

Метод расширения отрезка

Для того, чтобы доказать, что точки лежат на одной прямой с помощью этого метода, необходимо последовательно соединить отрезками заданные точки и убедиться, что полученные отрезки лежат на одном расширении, то есть образуют одну прямую.

Если построить векторы между заданными точками и они окажутся коллинеарными (т.е. имеют одно направление), можно утверждать, что точки лежат на одной прямой.

Например, для точек A, B и C векторы AB и BC коллинеарны, следовательно точки A, B и C лежат на одной прямой.

Построение углов между отрезками

Если сумма углов, образованных последовательными отрезками заданных точек, равна 180 градусов, это значит, что точки лежат на одной прямой.

• Угол между отрезками AB и BC равен 120 градусов
• Угол между отрезками BC и CD равен 60 градусов
• Их сумма равна 180 градусов
• Значит точки A, B, C и D лежат на одной прямой

Геометрические методы хороши своей наглядностью, однако часто требуют выполнения громоздких построений.

Аналитические методы проверки лежания точек на одной прямой

Аналитические методы основаны на применении формул, уравнений и вычислений. Рассмотрим основные аналитические подходы.

Если заданы координаты трех точек (A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3)), то можно записать уравнение прямой и подставить координаты точек для проверки: Если для всех трех точек получаются верные равенства, значит они лежат на одной прямой.

Теорема Даламбера для проверки коллинеарности

Согласно теореме Даламбера, три точки с координатами (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) лежат на одной прямой, если следующее выражение равно нулю:

(x1 — x2)(y2 — y3) + (x2 — x3)(y3 — y1) + (x3 — x1)(y1 — y2) = 0

Это уравнение позволяет проверить коллинеарность сразу для трех точек.

Метод проекций на оси координат

Суть этого метода в том, чтобы спроецировать заданные точки на оси координат и проверить совпадение полученных проекций на каждой из осей. Если проекции совпадают, значит точки лежат на одной прямой.

Аналитические методы более точны, чем геометрические, но требуют выполнения вычислений и знания математического аппарата.

Пошаговая инструкция проверки лежания точек на одной прямой

Рассмотрим подробную последовательность действий для проверки коллинеарности точек с использованием описанных выше методов. Прежде всего, необходимо определиться с выбором метода проверки. Это зависит от того, как заданы исходные данные о точках и какой результат требуется получить.

• Если заданы координаты точек, удобно использовать аналитические методы
• Если требуется наглядность и точность не принципиальна, подойдут геометрические методы
• Если нужна высокая точность, следует выбрать аналитический подход

Геометрические методы: пошаговые инструкции

Рассмотрим последовательность действий для геометрических методов:

1. Нанести заданные точки на чертеж
2. Доказать, что точки лежат одной прямой методом расширения отрезка
3. Доказать коллинеарность векторным методом
4. Измерить и сложить углы между отрезками
5. Построить треугольник и вычислить его площадь

Аналитические методы: последовательность действий

Порядок применения аналитических методов:

1. Записать координаты заданных точек
2. Вывести уравнение прямой через две точки
3. Подставить координаты третьей точки в уравнение
4. Вычислить значение определителя матрицы точек
5. Найти проекции точек на оси координат

Таким образом, каждый из методов имеет свою последовательность шагов при проверке лежания точек на одной прямой.

Пример решения типовой задачи несколькими методами

Для закрепления материала рассмотрим конкретный пример проверки коллинеарности трех точек с координатами A(1,2), B(3,5) и C(4,7) двумя методами:

• Геометрический метод: построение углов и сложение их
• Аналитический метод: подстановка в уравнение прямой

В обоих случаях мы доказали, что данные точки лежат на одной прямой.

Доказательство, что а принадлежит прямой оо1

Доказательство принадлежности точки а прямой оо1 – это основной метод, который используется в геометрии для определения, принадлежит ли определенная точка данной прямой. Этот метод является одним из базовых принципов геометрии и широко применяется в решении различных задач и построения геометрических фигур.

Для доказательства принадлежности точки а прямой оо1 необходимо использовать известные геометрические факты и правила построения. В основе этого доказательства лежит теорема о параллельных линиях, по которой если две прямые параллельны, то они никогда не пересекаются. Также используется принцип равенства углов, который позволяет сравнивать их и определять их взаимное расположение.

Доказательство принадлежности точки а прямой оо1 выполняется следующим образом: сначала строится прямая о1 и определяются ее свойства. Затем строится прямая оо1, проходящая через точку а и параллельная прямой о1. С помощью угловых свойств и равенства углов определяется, пересекает ли прямая оо1 прямую о1 или проходит через нее.

Что такое принадлежность точки а прямой оо1?

Принадлежность точки а прямой оо1 – это геометрическое свойство, которое позволяет определить, лежит ли точка на заданной прямой или нет. Данное свойство играет важную роль в геометрии и находит применение в различных областях, таких как аналитическая геометрия, физика и инженерия.

Для понимания принадлежности точки а прямой оо1 сначала необходимо разобраться в определениях этих понятий:

• Точка (а): точка – это одномерное геометрическое понятие, которое не имеет ни размеров, ни формы. Точка обозначается с помощью заглавной буквы латинского алфавита.
• Прямая (оо1): прямая – это множество точек, которые расположены на одной линии и не имеют ни начала, ни конца. Прямая обычно обозначается двумя точками, через которые она проходит, например, оо1.

Принадлежность точки а прямой оо1 можно определить с помощью различных методов и критериев. Один из таких критериев – критерий координатной принадлежности точки прямой. Он основан на использовании координат точки и уравнения прямой.

Если координаты точки а удовлетворяют уравнению прямой оо1, то точка принадлежит данной прямой. В противном случае, если координаты точки не удовлетворяют уравнению прямой, то точка не принадлежит данной прямой.

Принадлежность точки а прямой оо1 играет важную роль в решении различных геометрических задач, таких как построение перпендикуляра к прямой через заданную точку, определение расстояния от точки до прямой и других.

Определение принадлежности точки а прямой оо1

Для определения принадлежности точки а прямой oo1 необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Доказать, что точка а лежит на прямой oo1.
2. Проверить, что прямая oo1 существует и является прямой.

Если оба условия выполняются, то можно сделать вывод о принадлежности точки а прямой oo1. В противном случае, точка а не принадлежит прямой oo1.

Чтобы доказать, что точка а лежит на прямой oo1, можно воспользоваться следующими приемами:

• Подставить координаты точки а в уравнение прямой oo1 и проверить, выполняется ли равенство.
• Построить график прямой oo1 и проверить, пересекает ли прямая эту точку.
• Воспользоваться геометрическими свойствами прямых и точек для доказательства принадлежности.

Проверка существования прямой oo1 и ее являениям прямой может быть произведена с помощью следующих критериев:

• Проверить, что коэффициент наклона прямой существует и не равен бесконечности.
• Проверить, что прямая не является вертикальной (коэффициент наклона не равен нулю).
• Проверить, что у прямой существует хотя бы одна точка (не вырожденная прямая).

Надежным способом определения принадлежности точки а прямой oo1 является использование нескольких проверок и различных видов доказательств. Только тогда можно быть уверенным в результате.

Как доказать принадлежность точки а прямой оо1

Доказательство принадлежности точки а прямой оо1 основано на использовании определения точки прямой. В геометрии точка прямой считается принадлежащей ей, если она удовлетворяет условию, что для нее выполняется уравнение прямой.

Уравнение прямой обозначается как о1 и задается в виде:

о1: y = kx + b

Где k — коэффициент наклона прямой, b — свободный член, а x и y — координаты точки.

Для доказательства принадлежности точки а прямой оо1 необходимо подставить ее координаты в уравнение прямой и проверить, выполняется ли оно.

Уравнение прямой	Координаты точки	Результат
о1: y = 2x + 1	(2, 5)	5 = 2*2 + 1 -> 5 = 4 + 1 -> 5 = 5 (выполняется)
о1: y = -3x — 2	(-1, 1)	1 = -3*(-1) — 2 -> 1 = 3 — 2 -> 1 = 1 (выполняется)
о1: y = 0.5x + 3	(4, 2)	2 = 0.5*4 + 3 -> 2 = 2 + 3 -> 2 = 5 (не выполняется)

Из приведенных примеров видно, что если уравнение прямой выполняется для заданных координат точки, то мы можем утверждать, что точка принадлежит прямой оо1. В противном случае точка не принадлежит прямой.

Важность доказательства принадлежности точки а прямой оо1

Доказательство принадлежности точки а прямой оо1 является важной задачей в геометрии и анализе. Это позволяет определить, лежит ли точка на заданной прямой или находится вне ее.

Для доказательства принадлежности точки а прямой оо1 можно использовать различные подходы и методы. Один из наиболее распространенных методов — это построение графика прямой оо1 и точки а на координатной плоскости.

Для этого можно использовать таблицу координат точек прямой и точку а. Затем, построив график с указанными координатами, можно визуально определить, лежит ли точка на прямой или нет.

Еще одним методом доказательства принадлежности точки а прямой оо1 является использование уравнения прямой. Уравнение прямой в общем виде имеет вид y = mx + b, где m — это угловой коэффициент, а b — свободный член. Подставив в данное уравнение координаты точки а, можно определить, лежит ли она на прямой или нет.

Также можно использовать геометрические свойства прямых и точек, например, свойство неизменности отношения расстояний между точками на прямой и заданной точкой.

Доказательство принадлежности точки а прямой оо1 является необходимым шагом для решения геометрических задач и применения математических методов в различных областях. Без этого доказательства невозможно определить, лежит ли точка на прямой или нет, что затрудняет решение задач и делает вычисления неточными.

Комплект необходимых инструментов для доказательства принадлежности точки а прямой оо1

Доказательство принадлежности точки а прямой оо1 является важным шагом в геометрии. Для этого требуется использовать определенный набор инструментов и применить определенные приемы и правила. Вот комплект необходимых инструментов:

1. Линейка. Линейка поможет измерить расстояние между точками и прямыми, что может быть полезно при доказательстве принадлежности точки прямой.
2. Циркуль. Циркуль позволяет провести окружность с заданным радиусом и центром. Это может быть полезно при построении отрезков или окружностей, которые помогут в доказательстве.
3. Транспортир. Транспортир используется для измерения углов. Он может быть полезен при доказательстве параллельности или перпендикулярности, что поможет в доказательстве принадлежности точки прямой.
4. Карандаш и ластик. Карандаш и ластик нужны для проведения линий и конструкции фигур. Они позволяют вносить изменения и исправлять ошибки.
5. Конспект или блокнот. Конспектирование поможет сохранить ход рассуждений и исходные данные, что поможет в организации доказательства и предотвращении ошибок.

Важно также помнить о следующих правилах и приемах при доказательстве принадлежности точки а прямой:

• Выводить посылки и аксиомы. Прежде чем проводить доказательство, необходимо рассмотреть имеющиеся посылки и аксиомы, чтобы использовать их в логических рассуждениях.
• Привлекать геометрические свойства и теоремы. Знание основных геометрических свойств и теорем позволит применять их в доказательстве и использовать для рассуждений.
• Точно следовать логике. Доказательство должно строиться на базе аксиоматики геометрии и логических выводов. Нужно быть внимательным и последовательно следовать шагам доказательства.
• Использовать четкие обозначения. Четкие обозначения позволяют лучше описывать и разбираться в рассуждениях, а также избежать путаницы.
• Рисовать схемы и фигуры. Визуализация помогает лучше понять задачу и проводить доказательства. Рисунки позволяют увидеть взаимосвязи и связи между элементами геометрической задачи.
• Не забывать о проверках. После окончания доказательства стоит проверить его на корректность и логическую последовательность.

С использованием указанного комплекта инструментов и подходов, доказательство принадлежности точки а прямой oо1 становится более доступным и понятным процессом. Внимательность, логика и систематичность играют важные роли в достижении верного результата.

Принципы доказательства принадлежности точки а прямой оо1

Доказательство принадлежности точки а прямой оо1 является важным элементом работы с геометрическими объектами. Существует несколько принципов, которые позволяют определить, принадлежит ли точка данной прямой.

1. Принцип пересечения: если точка а пересекает прямую оо1 в одной или нескольких точках, то она принадлежит этой прямой.
2. Принцип параллельности: если точка а находится на прямой, параллельной прямой оо1, то она не принадлежит этой прямой. При этом мы можем использовать другие методы, такие как проверка векторных уравнений и углов между прямыми, чтобы точно определить параллельность данных линий.
3. Принцип перпендикулярности: если точка а находится на прямой, перпендикулярной прямой оо1, то она не принадлежит этой прямой. Точно так же, в данном случае мы можем использовать методы, основанные на проверке векторных уравнений и углов между прямыми.
4. Принцип расстояния: если расстояние между точкой а и прямой оо1 равно нулю, то точка принадлежит этой прямой.

Применение этих принципов позволяет с высокой степенью точности определить принадлежность точки а прямой оо1 и использовать эту информацию в дальнейшей геометрической работе.

Шаги для доказательства принадлежности точки а прямой оо1

Доказательство принадлежности точки а прямой oо1 является одной из основных задач геометрии. Для выполнения этой задачи следуйте следующим шагам:

1. Постройте прямую oо1. Для этого возьмите две точки o и o1 и соедините их отрезком.
2. Получите уравнение прямой oо1. Уравнение прямой состоит из двух частей: уравнение прямой, проходящей через точку o, и уравнение прямой, параллельной прямой oо1 и проходящей через точку o1. Запишите эти два уравнения.
3. Подставьте координаты точки а в полученные уравнения прямой. Замените переменные на значения координат точки а.
4. Решите получившуюся систему уравнений относительно переменных. Это позволит определить, принадлежит ли точка а прямой oо1.
5. Если система уравнений имеет решение, значит, точка а принадлежит прямой oо1. Если система уравнений не имеет решения, значит, точка а не принадлежит прямой.

Важно заметить, что для выполнения этих шагов необходимо знание математических формул и умение работать с координатами точек и уравнениями прямых. Данные шаги являются общими и могут быть адаптированы под конкретную задачу.

Примеры доказательства принадлежности точки а прямой оо1

Доказательство принадлежности точки а прямой оо1 можно осуществить по различным методам. Ниже приведены несколько примеров:

Метод аналитической геометрии: Пусть координаты точки А равны (x₀, y₀), а уравнение прямой оо1 имеет вид y = kx + b. Для доказательства принадлежности точки А прямой оо1 подставим координаты точки в уравнение прямой и проверим его выполнение.

Шаги	Вычисления	Результат
1	Подставляем координаты точки А в уравнение прямой	y0 = kx0 + b
2	Вычисляем правую часть уравнения	kx0 + b
3	Сравниваем значение правой части с y0	Если kx0 + b = y0, то точка А принадлежит прямой оо1

• Построить координатную плоскость.
• Построить график уравнения прямой оо1.
• Проверить, что точка А лежит на этом графике.

Приведенные методы позволяют доказать принадлежность точки А прямой оо1 и могут быть использованы в различных задачах и областях математики и геометрии.

Вопрос-ответ

Как можно доказать, что точка а принадлежит прямой оо1?

Для доказательства принадлежности точки а прямой оо1, необходимо проверить, что точка а лежит на прямой оо1. Для этого можно работать с уравнением прямой оо1 (если оно известно), подставить координаты точки а в это уравнение и проверить, выполняется ли оно. Если уравнение прямой задано в виде ax + by + c = 0, где a, b, c — коэффициенты, а (x, y) — координаты точки а, то проверяем, что ax + by + c = 0. Если эта равенство выполняется, то точка а принадлежит прямой оо1.

Каким образом можно доказать, что точка а принадлежит прямой оо1 используя график?

Для доказательства принадлежности точки а прямой оо1 с использованием графика, необходимо провести линию, проходящую через точку а и параллельную прямой оо1. Если эта линия совпадет с прямой оо1, то можно сделать вывод, что точка а принадлежит прямой оо1. Если эти две линии не совпадают, то точка а не принадлежит прямой оо1.

Можно ли использовать уравнение прямой, чтобы доказать принадлежность точки а прямой оо1?

Да, уравнение прямой можно использовать для доказательства принадлежности точки а прямой оо1. Если уравнение прямой оо1 известно, то подставляем координаты точки а в это уравнение и проверяем, выполняется ли равенство. Если да, то точка а принадлежит прямой оо1, если нет — то не принадлежит.

Какое уравнение прямой нужно использовать для доказательства принадлежности точки а прямой оо1?

Уравнение прямой, которое нужно использовать для доказательства принадлежности точки а прямой оо1, должно быть уравнением, задающим прямую оо1. Если это уравнение известно и представлено в виде ax + by + c = 0, где a, b, c — коэффициенты, то подставляем координаты точки а в это уравнение и проверяем, выполняется ли равенство. Если да, то точка а принадлежит прямой оо1, если нет — то не принадлежит.

Алгебраическое доказательство принадлежности точки а прямой оо1

Доказательство принадлежности точки а прямой оо1 является одной из основных задач пространственной геометрии. Эта задача состоит в определении, лежит ли данная точка на заданной прямой.

Для доказательства принадлежности точки а прямой оо1 необходимо рассмотреть две возможные ситуации: когда точка лежит на прямой и когда точка не лежит на прямой.

Если точка а лежит на прямой оо1, то можно провести прямую, соединяющую точку и любую другую точку прямой. В этом случае, обе стороны этой прямой будут совпадать и прямая будет являться отрезком. Таким образом, принадлежность точки а прямой оо1 будет доказана.

Если же точка а не лежит на прямой оо1, то можно провести параллельную прямую, которая будет проходить через точку а, но не пересекать прямую оо1. В этом случае, прямая, соединяющая точку и любую другую точку прямой оо1, будет пересекать эту параллельную прямую на некотором расстоянии от точки а. Таким образом, принадлежность точки а прямой оо1 будет опровергнута.

Как доказать принадлежность точки а прямой оо1

Доказательство принадлежности точки а прямой оо1 может быть выполнено с использованием нескольких способов.

1. Метод координат. Для доказательства принадлежности точки а прямой оо1 с помощью координат, можно использовать уравнение прямой и координаты точки. Подставим координаты точки а в уравнение прямой и проверим, удовлетворяет ли это уравнение.
2. Метод расстояний. Если известны координаты точки о и точки о1 на прямой, а также координаты точки а, можно вычислить расстояние между точкой а и прямой оо1. Если расстояние равно нулю, то точка принадлежит прямой.
3. Метод пропорций. Если точка а делит отрезок между точками о и о1 в некотором заданном отношении, то она принадлежит прямой оо1. Для доказательства принадлежности точки а прямой оо1 с помощью метода пропорций, необходимо использовать соответствующие формулы и значения координат точек.
4. Метод перпендикулярности. Если прямая оо1 является перпендикулярной к другой прямой, содержащей точку а, то точка а принадлежит прямой оо1. Данный метод использует особенность перпендикулярных прямых и требует знания углов и наклонов прямых.

Для доказательства принадлежности точки а прямой оо1 рекомендуется использовать несколько методов, что поможет предоставить более убедительные аргументы и уменьшить вероятность ошибки.

Основные понятия и определения

Точка — это элементарное понятие геометрии, которое не имеет никаких измеримых свойств и не имеет размеров. Точку можно обозначить буквой латинского алфавита, например, точка А.

Прямая — это бесконечная и непрерывная линия, которая не имеет ширины и располагается между двумя точками. Прямую можно обозначить одной буквой латинского алфавита, например, прямая AB.

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Он обладает длиной и может быть измерен с помощью линейки или другого подобного инструмента. Отрезок можно обозначить двумя буквами, указывающими конечные точки отрезка, например, отрезок AB.

Принадлежность точки прямой — это свойство точки, которое означает, что данная точка лежит на данной прямой. Если точка лежит на прямой, то говорят, что точка принадлежит этой прямой.

Доказательство принадлежности точки прямой — это процесс логического обоснования факта, что данная точка лежит на данной прямой. Доказательство может быть геометрическим или аналитическим, в зависимости от используемого подхода и инструментов.

Вектор — это направленный отрезок, который обладает длиной и направлением. Вектор можно обозначить стрелкой над двумя буквами, которые указывают начальную и конечную точки вектора, например, вектор AB.

Перпендикулярные прямые — это две прямые, которые пересекаются под прямым углом, то есть образуют угол в 90 градусов.

Параллельные прямые — это две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

Геометрическое доказательство — это доказательство, основанное на свойствах геометрических фигур, используя аксиомы и определения геометрии.

Аналитическое доказательство — это доказательство, основанное на использовании координатной системы и алгебраических методов. В аналитическом доказательстве точки и прямые представляются числами и уравнениями.

Вопрос-ответ

Что такое точка а?

Точка а — это координатная точка на плоскости.

Что означает «принадлежность точки а прямой оо1»?

Принадлежность точки а прямой оо1 означает, что точка а лежит на прямой оо1 или принадлежит ей.

Является ли доказательство принадлежности точки а прямой оо1 сложным процессом?

Доказательство принадлежности точки а прямой оо1 может быть как простым, так и сложным процессом, в зависимости от заданных условий и используемых методов.

Как можно доказать принадлежность точки а прямой оо1?

Принадлежность точки а прямой оо1 можно доказать, проведя перпендикуляр от точки а к прямой оо1 и убедившись, что перпендикуляр пересекает прямую оо1 в точке а.

Какую информацию нужно знать, чтобы доказать принадлежность точки а прямой оо1?

Для доказательства принадлежности точки а прямой оо1 нужно знать координаты точки а и уравнение прямой оо1.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием. Часть 2

Вступление

Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.

Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.

Задача №1

Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.

Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P₁P₂ и P₁M и по его знаку сделать вывод.

Задача №2

Определить принадлежит ли точка лучу.

Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P₁(x₁, y₁) — начало луча, а P₂(x₂, y₂) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P₁(x₁, y₁), где P₂(x₂, y₂) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P₁P₂, P₁M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P₁P₂, P₁M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)

Задача №3

Определить принадлежит ли точка отрезку.

Решение
Пусть точки P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P₁, P₂. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P₁ и P₂, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP₁, MP₂). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P₁P₂, P₁M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP₁,MP₂) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P₁ и P₂)

Задача №4

Взаимное расположение двух точек относительно прямой.

Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.

Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.

Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] ≤ 0.

Задача №5

Определить пересекаются ли две прямые.

Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a₁b₂ — a₂b₁ = 0.
Если же прямые заданы точками P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), M₁(x₃, y₃), M₂(x₄, y₄), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P₁P₂ и M₁M₂: если оно равно нулю, то прямые параллельны.

В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b₁, a₁), (-b₂, a₂) которые называются направляющими векторами.

Задача №6

Определить пересекаются ли два отрезка.

Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P₁P₂, P₁M₂] > 0, [P₁P₂, P₁M₁] [P₁P₂, P₁M₂] * [P₁P₂, P₁M₁] 2 + b 2 ).

Задача №8

Расстояние от точки до луча.

Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.

В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.

Как же определить падает ли перпендикуляр на луч или нет? Если перпендикуляр не падает на луч, то угол MP₁P₂ – тупой иначе острый (прямой). Поэтому по знаку скалярного произведения векторов мы можем определить попадает ли перпендикуляр на луч или нет:
1. (P₁M, P₁P₂) 2 .

Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O₂ находится между точками O₁ и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d₂. Использование отрицательного значения d₂ приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.

Заключение

Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.

Видео: Вариант 48, № 3. Как определить, принадлежит ли точка с заданными координатами прямой ax+by=c? Скачать

Принадлежность точки отрезку. Почему не работает классика?

IP76 > Векторная графика > Принадлежность точки отрезку. Почему не работает классика?

Определить принадлежность точки отрезку, казалось бы, вполне себе тривиальная задача из школьного курса геометрии. Однако, есть определенные нюансы, которые заставляют усомниться в верности классической формулы:

Видео: Определить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику функции Скачать

Причины и постановка задачи

Запросы «как найти принадлежность точки отрезку» уводят на страницу «Пересечение прямых, угол и координаты пересечения», где есть пункт «Принадлежность точки отрезку». В нем рассматривается факт принадлежности точки отрезку, уже после того, как мы определили точку пересечения прямых. То есть точка уже принадлежит прямым, и это абсолютно точно. Осталось только определиться, точка в отрезке между двумя точками отрезка, либо где-то на прямой мимо них.

Людям свойственно искать готовые решения, и код, представленный в статье вряд ли удовлетворит запросу «как найти принадлежность точки отрезку, заданный двумя точками«. Поэтому здесь задачу так и сформулируем:

Есть отрезок, заданный точками P1(x1,y1) и P2 (x2,y2) . Необходимо определить, принадлежит ли точка P(x,y) этому отрезку.

Видео: Составляем уравнение прямой по точкам Скачать

Классическое уравнение

Предположим, вы делаете векторный редактор. Необходимо по курсору мыши определить попадает ли точка в ранее нарисованный отрезок. В этом многотрудном деле такая задача возникает всегда.

Для совместимости с Delphi 7 введем тип вещественной точки:

Почему бы не сделать сразу TPointF вместо типа TxPoint? Просто у меня гора старых исходников, где используется этот тип, а никакого TPointF не было ни в помине, ни в планах. Delphi 7 казалась вершиной инженерной мысли на тот момент.

В предложение uses дописываем следующее (ради TPointF, и чтобы компилятор XE не доставал хинтами):

Почему именно XE5? Если честно, нет возможности проверить, не ставить же ради этого всю линейку дельфей. Но в XE5 вещественная точка точно есть, а в Delphi 7 ее точно нет. Вот этим и объясняется выбор версии компилятора в директиве. Одни говорят, что TPointF появился в XE2, другие — аж в Delphi 2010. Короче, с таким директивным условием будет работать везде и точка.

Пишем небольшую функцию, которая использует классическое уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости, представленное выше.

SameValue — сравнивает два вещественных числа с учетом погрешности Epsilon. Находится в модуле Math, который надо подключить в предложении uses секции implementation.

Что происходит. Вначале проверяется допустимость координаты точки внутри координат отрезка. Условие необходимое, но недостаточное. Если координата может принадлежать отрезку, третьим условием проверяем нахождение точки на прямой, проходящей через точки отрезка.

Рис.1. Курсор точно на линии, но не определяет, что точка принадлежит отрезку

Если мы попытаемся по координатам курсора мыши определить, попала ли точка в отрезок, нас ждет фиаско. Складывается ощущение, что формула не работает, алгебра — отстой, все в жизни не так.

Видео: Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | Математика Скачать

Расширенная классика

Для начала навесим на функцию еще пару условий, чтобы определить попадание в точки, задающие отрезок.

Ну, во-первых, вот и разгадка, куда делись значения 1 и 2 из результатов предыдущей функции. Во-вторых, теперь в конечные точки отрезка попадает отлично, но между ними по-прежнему не хочет работать.

На самом деле — математика по-прежнему царица наук, а мы пытаемся повенчать розу белую с черной жабой.

Выведем в интерфейс значения dx = (p2.x-p1.x), dy = (p2.y-p1.y) и т.д. Плюс результат работы функции (p.x-p1.x)*(p2.y-p1.y) — (p.y-p1.y)*(p2.x-p1.x). И убедимся, что при самых казалось бы максимально возможных приближениях к отрезку, результат ошеломляет своей двух- или трехзначной непохожестью на ноль.

Рис.2. Теперь определяет конечные точки, но между ними по-прежнему работает так себе…

Конечно, используя операцию умножения вместо деления, мы избегаем деления на ноль, укорачиваем код. Но при этом надо помнить, что умножение даже 1 на 12, это уже далеко от нуля, а если появляется еще и минус в разницах, то от нуля мы улетаем очень быстро и очень ощутимо.

На рисунке 2 прицел точно на линии, но разность координат, которую получаем из классического уравнения, и которая должна быть равна нулю, между тем равна:

Функция применима в точных расчетах, но не в векторном редакторе.

Видео: Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом. Скачать

Модификация уравнения

Очевидно, надо вычислять как-то иначе. Например вычислять Y по имеющейся координате X и сравнивать с имеющейся координатой Y. Если разница меньше заданного Epsilon — точка принадлежит отрезку. Выразим Y из используемого уравнения прямой. Итак, дано:

Выразим Y:

И напишем еще одну функцию, в которой учтем ситуацию, когда (X₂-X₁) может быть равно нулю. Это ситуация вертикальной (или почти вертикальной) прямой.

Epsilon уже выступает, и как точность вычислений, и как допуск, при котором мы считаем, что точка на отрезке. Невозможно скрупулезно попасть мышкой в нужную точку отрезка, которая сама по себе уже есть огромное приближение к действительности. Все мы помним и любим Брезенхэма.

Рис.3. Все здорово определяет с учетом погрешности Epsilon=12 pix

Но, даже если мы упростили себе процесс «попадания» в отрезок, мы должны знать точные координаты на отрезке. Для этого у нас и появился тип вещественной точки TxPoint и возвращаемый параметр res. В этой версии функции мы производим расчет реальной точки на отрезке.

На рисунке 3 расчетная точка и ее координаты выделена коричневым цветом.

Однако, все равно есть нюанс. Если линия сильно вертикальна, то есть расстояние (X₂-X₁) невелико, попадать в линию все равно трудно.

Рис.3.1. На почти вертикальной линии функция снова капризничает

Связано с тем, что при уменьшении делителя, коим разность по X выступает в нашем случае, сильно вырастает результат, и чем расстояние (X₂-X₁) меньше, тем труднее попасть в Epsilon.

Видео: Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс. Скачать

Итоговая функция

В стремлении к совершенству, всегда что-то незамысловатое, в пару строк кода, разрастается в какую-то все учитывающую портянку листинга.

Давайте проверять, что больше (X₂-X₁) или (Y₂-Y₁), и в зависимости от результата, будем высчитывать либо Y, либо X. Формулу для X не привожу, он очевидна.

Видео: Попадание точки в заданную область. Два сектора. Уроки программирования на С++. Скачать

Почему такая большая функция получилась?

В функции помимо факта принадлежности точки отрезку, также осуществляется проверка на конечные точки — чтобы можно было менять их расположение мышкой. Также, функция возвращает «истинную» точку на отрезке, полученную из приближенной, содержащую погрешность Epsilon.

Можно сократить, не считать конечные точки, не анализировать «вертикальность» и «горизонтальность». Можно взять за настоящую ту точку, которую анализируем и не считать «истинную». Код в этом случае сильно сократиться. Поэтому лучше иметь полный комплект, из которого можно удалить «лишнее» на ваш взгляд.

Зачем нужны такие ощутимо большие проверки на вертикальность и горизонтальность. Ну, во-первых мы освобождаем от условий последний блок вычислений, во-вторых, если убрать, скажем, проверку на dy, погрешность станет в два раза меньше. Потому что отработает это условие: Abs(p1.Y-p.Y) + Abs(p2.Y-p.Y). Имея идеальную горизонтальную линию, подведя курсор на Epsilon допустимый интервал, мы получим в итоге Epsilon + Epsilon = 2 * Epsilon и условие конечно не сработает. Сработает, если подведем на расстояние в два раза меньшее Epsilon.

Если всех этих тонкостей не требуется, можно смело использовать либо эту, либо вообще эту функцию.

Видео: Как проверить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику данной функции Скачать

Классика всегда в моде или Математика — царица наук

Теперь давайте полученную в результате предыдущей функции вещественную точку res подставим в первую функцию. И убедимся, что теоретическая принадлежность точки отрезку работает прекрасно, просто в пространстве грубых целочисленных точек мы не в состоянии гарантированно получить такую точку, которая удовлетворила бы уравнению. Но если мы ее рассчитаем и получим значения с плавающей запятой — все заработает как надо.

Рис.5. Результат применения рассчитанной точки для первой функции

На рисунке 5 добавлен результат функции f(x,y)=(x-x₁) * (y₂-y₁) — (y-y₁) * (x₂-x₁) для рассчитанной точки на отрезке. Он равен, как и следовало ожидать, нулю. А также результат вызова первой функции, которая использует это уравнение и возвращает 3, если точка принадлежит отрезку. Что мы воочию и видим.

1)Поэтому в графике надо избегать типов TPoint, даже если это вызывает необходимость постоянно их округлять для функций GDI.

2)Поэтому функция правильная, классическая формула работает, просто в пространстве компьютерных упрощений надо использовать ту же самую формулу, но в другом качестве.

Видео: Определить точки, принадлежащие прямой Скачать

Скачать

Друзья, спасибо за внимание!

Надеюсь, материал был полезен.

Не пропустите новых интересных штуковин, подписывайтесь на телегу. )))

Если есть вопросы, с удовольствием отвечу.

Исходники и исполняемый файл для GDI и Delphi 7. Проверен в XE 7, XE 10.

Исходники (Delphi 7, XE7, XE10) 11 Кб

Исполняемый файл (zip) 213 Кб

Как подключить GDI+ в Delphi 7 и без проблем скомпилировать в XE 7, XE 10 читаем в этой статье. Там же забираем исходники.

Чтобы нарисовать отрезок, нажмите мышь и, не отпуская, ведите курсор. При отпускании отрезок зафиксируется. При повторном нажатии начнет рисоваться новый отрезок.

За концы отрезка можно таскать. Если попали на отрезок, т.е. видна коричневая точка, можно таскать весь отрезок.

Исходники намеренно выложены в D7 варианте.

При компиляции в XE10 следует снять галочку с Enable High-DPI

Видео: Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости. Скачать

Проверка принадлежности точки прямой

Видео: 33 Задача: Принадлежит ли точка кругу с центром в начале координат? Скачать

Проверка принадлежности точки прямой (Паскаль)

Пример. Составить программу для определения лежит ли точка (x3;y3), на прямой проходящей через точки (x1;y1),C(x2;y2) >

program z20;
uses crt;
var x1,x2,x3,y1,y2,y3 : real;
begin
clrscr;
write(‘x1=’);readln(x1);
write(‘y1=’);readln(y1);
write(‘x2=’);readln(x2);
write(‘y2=’);readln(y2);
write(‘x3=’);readln(x3);
write(‘y3=’);readln(y3);
if (x3-x1)*(y2-y1)-(y3-y1)*(x2-x1)=0
then write(‘лежит’)
else write(‘не лежит’);
readln;
end.

Урок из серии «Геометрические алгоритмы»

Здравствуйте, дорогой читатель!

Сегодня мы рассмотрим еще одну типовую задачу из серии геометрические алгоритмы. Напишем функцию, которая будет проверять принадлежность произвольной точки отрезку, заданному координатами своего начала и конца.

Для реализации операций сравнения над вещественными данными напишем еще две функции: функцию EqPoint(), которая ,будет проверять, совпадают ли две точки на плоскости и функцию RealMoreEq() , которую будем использовать для проверки отношения «>=» (больше или равно). Причина ввода специальных функций нам уже известна.

Задача. Проверить, принадлежит ли точка отрезку.

Пусть точки — начальная и конечные точки отрезка. — произвольная точка на плоскости.

Вектор с началом в точке и концом в точке будет иметь координаты (x2-x1, y2-y1).

Если P(x, y) – произвольная точка, то координаты вектора равны: (x-x1, y – y1).

Точка Р будет принадлежать отрезку если:

1. Векторы в и коллинеарны (равно нулю их векторное произведение):
   , т.е. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1) = 0
2. Абсцисса точки P удовлетворяет условию: или . Иначе точка будет находиться на прямой левее или правее отрезка.

Результаты выполнения программы.

Введите координаты точек: x1, y1, x2, y2, x,y
0.5 1 2.5 2.8 1.203 1.633
Да.

Результаты тестирования в программе GeoGebra:

Сегодня мы написали функцию AtOtres() , которая проверяет принадлежность произвольной точки отрезку, заданному своими координатами.

Ввели еще две функции: EqPoint() и RealMoreEq() для реализации операций сравнения над вещественными данными. Первая проверяет, совпадают ли две точки на плоскости, вторая — используется для проверки отношения «>=».

На следующем уроке, на основе ранее написанных процедур, напишем процедуру определения координат точки пересечения двух отрезков.

На этом я с вами прощаюсь. До встречи на следующем уроке.

Вступление

Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.

Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.

Задача №1

Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.

Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P₁P₂ и P₁M и по его знаку сделать вывод.

Задача №2

Определить принадлежит ли точка лучу.

Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P₁(x₁, y₁) — начало луча, а P₂(x₂, y₂) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P₁(x₁, y₁), где P₂(x₂, y₂) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P₁P₂, P₁M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P₁P₂, P₁M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)

Задача №3

Определить принадлежит ли точка отрезку.

Решение
Пусть точки P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P₁, P₂. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P₁ и P₂, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP₁, MP₂). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P₁P₂, P₁M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP₁,MP₂) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P₁ и P₂)

Задача №4

Взаимное расположение двух точек относительно прямой.

Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.

Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.

Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] ≤ 0.

Задача №5

Определить пересекаются ли две прямые.

Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a₁b₂ — a₂b₁ = 0.
Если же прямые заданы точками P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), M₁(x₃, y₃), M₂(x₄, y₄), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P₁P₂ и M₁M₂: если оно равно нулю, то прямые параллельны.

В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b₁, a₁), (-b₂, a₂) которые называются направляющими векторами.

Задача №6

Определить пересекаются ли два отрезка.

Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P₁P₂, P₁M₂] > 0, [P₁P₂, P₁M₁] [P₁P₂, P₁M₂] * [P₁P₂, P₁M₁] 2 + b 2 ).

Задача №8

Расстояние от точки до луча.

Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.

В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.

Как же определить падает ли перпендикуляр на луч или нет? Если перпендикуляр не падает на луч, то угол MP₁P₂ – тупой иначе острый (прямой). Поэтому по знаку скалярного произведения векторов мы можем определить попадает ли перпендикуляр на луч или нет:
1. (P₁M, P₁P₂) 2 .

Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O₂ находится между точками O₁ и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d₂. Использование отрицательного значения d₂ приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.

Заключение

Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.

�� Видео

Как найти проекцию точки на прямую. Линейная алгебра Скачать

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnline Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках. Скачать

23. Точка пересечения прямой и плоскости / Проекция точки на плоскость / Проекция точки на прямую Скачать

Уравнение окружности (1) Скачать

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс. Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной. Скачать

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости. Скачать