Сколько градусов в угле шестиугольника объемного
| Учебный курс | Решаем задачи по геометрии |
Шестиугольник и его свойства
Шестиугольник — это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.
Выпуклый шестиугольник — это многоугольник, с общим количеством вершин, равным шести, при этом все точки такого шестиугольника лежат по одну сторону от прямой, которая проведена между двумя любыми соседними его вершинами.
Чему равна сумма углов выпуклого шестиугольника?
Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле 180°(n-2) и равна 180 ( 6 — 2 ) = 720 градусов. См. теорему о сумме углов многоугольника.
При решении задач для нахождения площади произвольного (неправильного) шестиугольника используют метод трапеций, который заключается в разбиении фигуры на отдельные трапеции, площадь каждой из которых можно найти по известным всем формулам.
Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник — это шестиугольник, все стороны которого равны между собой.
Свойства правильного шестиугольника
- все внутренние углы равны между собой
- каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
- все стороны равны между собой
- сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
- правильный шестиугольник заполняет плоскость без пробелов и наложений
- всі внутрішні кути рівні між собою
- кожен внутрішній кут правильного шестикутника дорівнює 120 градусам
- всі сторони рівні між собою сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу описаного кола
- правильний шестикутник заповнює плоскість без пропусків і накладень
Формулы для правильного шестиугольника
(по порядку следования формул)
- Радиус описанной окружности (R) правильного шестиугольника равен его стороне (t)
- Все внутренние углы равны 120 градусам
- Радиус вписанной окружности (r) равен корню из трех, деленному на два и умноженному на длину стороны t (радиус описанной окружности R)
- Периметр правильного шестиугольника (P) равен шести радиусам описанной окружности (R) или четыре корня из трех, умноженным на радиус вписанной окружности (r)
- Площадь правильного шестиугольника равна трем корням из трех пополам, умноженным на квадрат радиуса описанной окружности (R) или квадрат стороны (t); либо площадь правильного шестиугольника равна двум корням из трех, умноженным на квадрат радиуса вписанной окружности (t)
Задача
Найти объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, каждое ребро которой равно t .
Решение.
Так как высота цилиндра Н равна высоте призмы и равна а, достаточно найти радиус основания цилиндра, который будет равен радиусу окружности, вписанной в правильный шестиугольник.
Знайти об’єм циліндра, вписаного в правильну шестикутну призму, кожне ребро якої дорівнює t .
Рiшення.
Так як висота циліндра Н дорівнює висоті призми і дорівнює а, достатньо знайти радіус основи циліндра, який буде дорівнювати радіусу кола, вписаного в правильний шестикутник.
Как нарисовать шестиугольник
wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 50 человек(а).
Количество просмотров этой статьи: 308 886.
В этой статье:
В широком смысле шестиугольник — это многоугольник с шестью углами. У правильного же шестиугольника углы и стороны равны. Нарисовать такой шестиугольник можно при помощи рулетки и транспортира, грубый шестиугольник — при помощи круглого предмета и линейки или еще более грубый шестиугольник — при помощи интуиции и карандаша. Если вы хотите знать, как нарисовать шестиугольник различными способами, просто читайте далее.
Метод 1 из 3:
Рисуем идеальный шестиугольник при помощи циркуля
- Иногда легче сначала нарисовать полкруга в одном направлении, а затем вторую половину — в другом.
Передвиньте иглу циркуля к краю круга. Поставьте ее на вершину круга. Не меняйте угол и расположение циркуля.
Сделайте небольшую отметку карандашом на окружности. Сделайте ее отчетливой, но не слишком темной, так как позже вы ее сотрете. Не забудьте сохранять угол, который вы установили для циркуля.
Переместите иглу циркуля на ту отметку, которую вы только что сделали. Поставьте иглу прямо на отметку.
Сделайте еще одну отметку карандашом на окружности. Таким образом вы сделаете вторую отметку на определенной дистанции от первой отметки. Продолжайте двигаться в одном направлении.
Тем же способом сделайте еще четыре отметки. Вы должны вернуться назад на первоначальную отметку. Если нет, тогда, скорее всего, угол, под которым вы держали циркуль и делали отметки, изменился. Возможно, это случилось из-за того, что вы сжали его слишком сильно или наоборот, немного ослабили.
Соедините отметки при помощи линейки. Шесть мест, где ваши отметки пересекаются с краем круга, — это шесть вершин шестиугольника. При помощи линейки и карандаша нарисуйте прямые линии, соединяя соседние отметки.
Сотрите все вспомогательные линии. Сотрите и круг, и отметки на краях круга, и другие метки, которые вы сделали. Поздравляем — вы нарисовали правильный шестиугольник.
Метод 2 из 3:
Рисуем грубый шестиугольник при помощи круглого предмета и линейки
Обведите ободок стакана карандашом. Таким образом вы нарисуете круг. Очень важно рисовать именно карандашом, так как позже вам нужно будет стереть все вспомогательные линии. Вы также можете обвести перевернутую кружку, банку или что-либо еще, что имеет круглую основу.
Начертите горизонтальные линии через центр круга. Можете воспользоваться линейкой, книгой — чем угодно с прямым краем. Если у вас все же есть линейка, вы можете отметить середину, рассчитав вертикальную длину круга и разделив ее пополам.
Нарисуйте «Х» над половиной круга, разделив его на шесть равных секций. Так как вы уже провели линию через середину круга, «Х» должен быть больше в ширину, чем в высоту, чтобы части были равны. Представьте, что вы делите пиццу на шесть частей.
Сделайте из каждой секции треугольники. При помощи линейки нарисуйте прямую линию под изогнутой частью каждой секции, соединяя ее с другими двумя линиями, чтобы образовался треугольник. Сделайте это с оставшимися пятью секциями. Представьте, что формируете корочку вокруг кусков пиццы.
Сотрите все вспомогательные линии. К вспомогательным линиям относятся: круг, три линии, которыми круг разделен на секции, и другие отметки, которые вы делали в процессе.
Метод 3 из 3:
Рисуем грубый шестиугольник при помощи одного карандаша
Нарисуйте горизонтальную линию. Чтобы нарисовать прямую линию без линейки, просто нарисуйте начальную и конечную точку горизонтальной линии. Затем поместите карандаш в начальную точку и протягивайте линию к концу. Длина этой линии может составлять лишь несколько сантиметров.
Нарисуйте две диагональные линии с концов горизонтальной. Диагональная линия с левой стороны должна быть направлена наружу так же, как и диагональная линия справа. Представьте, что эти линии формируют угол в 120 градусов по отношению к горизонтальной линии.
Нарисуйте еще две горизонтальные линии, исходящие из первых горизонтальных прямых, нарисованных вовнутрь. Таким образом будет создано зеркальное отображение первых двух диагональных линий. Нижняя левая линия должна быть отражением верхней левой линии, а нижняя правая — отражением верхней правой линии. В то время как верхние горизонтальные линии должны смотреть наружу, нижние должны смотреть вовнутрь основания.
Нарисуйте еще одну горизонтальную линию, соединив нижние две диагональные линии. Таким образом вы нарисуете основу шестиугольника. В идеале эта линия должна быть параллельна верхней горизонтальной линии. Вот вы и завершили свой шестиугольник.
Шестиугольная призма — это многогранник, две грани которого являются равными шестиугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими треугольниками.
Правильная шестиугольная призма — это шестиугольная призма у которой основания правильные шестиугольники (все стороны которых равны, углы между сторонами основания составляют 120 градусов), а боковые грани прямоугольники.
Основания призмы являются равными правильными шестиугольниками.
Боковые грани призмы являются прямоугольниками.
Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
Размеры призмы можно выразить через длину стороны a и высоту h.
Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
Формула площади поверхности шестиугольной призмы:
Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания.
Формула объема правильной шестиугольной призмы:
Правильная шестиугольная призма может быть вписана в цилиндр.
Формула радиуса цилиндра вписанной шестиугольной призмы:
Двойственным многогранником прямой призмы является бипирамида.
Исторически понятие «призма» возникло из латыни и означало — нечто отпиленное.
Анимация демонстрирует как две параллельные плоскости отрезая лишнее формируют два основания призмы. Из одной заготовки можно получить как правильную призму, так и наклонную призму.
Правильный шестиугольник и его свойства
Подробнее
Подробнее
Подробнее
Определение
Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.
Замечание
Т.к. сумма всех углов \(n\) –угольника равна \(180^\circ(n-2)\) , то каждый угол правильного \(n\) –угольника равен \[\alpha_n=\dfracn \cdot 180^\circ\]
Пример
Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен \(\dfrac 4\cdot 180^\circ=90^\circ\) ;
каждый угол правильного шестиугольника равен \(\dfrac6\cdot 180^\circ=120^\circ\) .
Теоремы
1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Следствия
1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.
2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.
Теорема
Если \(a\) – сторона правильного \(n\) –угольника, \(R\) и \(r\) – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, то верны следующие формулы: \[\begin S&=\dfrac n2ar\\ a&=2R\cdot \sin\dfracn\\ r&=R\cdot \cos\dfracn \end\]
Свойства правильного шестиугольника
1. Сторона равна радиусу описанной окружности: \(a=R\) .
2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника.
3. Все углы правильного шестиугольника равны \(120^\circ\) .
4. Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \(\dfrac>a^2\) .
5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу \(r\) вписанной в правильный шестиугольник окружности.
6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный \(60^\circ\) относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).
Замечание
В общем случае правильный \(n\) -угольник инвариантен относительно поворота на угол \(\dfrac\) .