Какие из перечисленных групп являются циклическими

§ 4. Циклические группы

Простейшими и в то же время очень важными группами являются циклические группы, которые мы сейчас и рассмотрим. О п р е д е л е н и е. Пусть a — элемент некоторой группы G. Наименьшее натуральное число n такое, что a n = e, называют порядком элемента a. Если такого n не существует, то говорят, что a — элемент бесконечного порядка. 29. Найти порядки всех элементов в группах симметрий правильного треугольника, квадрата и ромба (см. 3, 5, 6). 30. Пусть элемент a имеет порядок n. Доказать, что: 1) элементы e, a, a 2 , . . . , a n−1 все различны; 2) для любого целого m элемент a m совпадает с одним из указанных выше элементов. О п р е д е л е н и е. Если элемент a имеет порядок n и кроме элементов e, a, a 2 , . . . , a n−1 в группе G больше нет элементов, то группа G называется циклической группой порядка n, порожденной элементом a, а элемент a называется образующим этой группы. П р и м е р 8. Пусть на плоскости дан правильный n-угольник. Рассмотрим все вращения плоскости (без переворачивания), переводящие правильный n-угольник в себя.

31. Доказать, что эти вращения образуют циклическую группу порядка n. 32. Найти все образующие элементы в группах вращений треугольника и квадрата (примеры 1 и 3, стр. 15 и 17 ). 33. Пусть элемент a имеет порядок n. Доказать, что a m = e тогда и только тогда, когда m = nd, где d — произвольное целое число. 34. Пусть a имеет простой порядок p и m — произвольное целое число. Доказать, что либо a m = e, либо элемент a m имеет порядок p. 35. Пусть наибольший общий делитель натуральных чисел m и n равен d и a имеет порядок n. Доказать, что элемент a m имеет порядок n/d. 36. Найти все образующие в группе вращений правильного 12-угольника. 37. Пусть a — элемент бесконечного порядка. Доказать, что элементы . . . , a −2 , a −1 , a 0 = e, a, a 2 , . . . все различны. О п р е д е л е н и е. Если a — элемент бесконечного порядка и кроме элементов . . . , a −2 , a −1 , e, a, a 2 , . . . в группе G больше нет элементов, то G называют бесконечной циклической группой и a — ее образующим. 38. Доказать, что группа целых чисел по сложению (пример 7, стр. 21 ) является бесконечной циклической группой. Найти все ее образующие. П р и м е р 9. Пусть n — натуральное число. Рассмотрим всевозможные остатки, которые могут получаться при делении целых чисел на n, т. е. числа 0, 1, 2, . . . , n − 1. Зададим на множестве этих остатков следующую бинарную операцию. Будем складывать данные остатки как обычно, а за результат принимать остаток от деления полученного числа на n. Эту операцию будем называть сложением по модулю n. Так, по модулю 4 будет 1 + 2 = 3, а 3 + 3 = 2. 39. Составить таблицы сложения по модулю: а) 2, б) 3, в) 4. 40. Доказать, что остатки с операцией сложения по модулю n образуют группу, причем эта группа циклическая порядка n. Рассмотрим снова произвольную циклическую группу порядка n: e, a, a 2 , . . . , a n−1 . 41. Доказать, что a m · a r = a k , где 0 6 m < n, 0 6 r < n и 0 6 k < n, тогда и только тогда, когда по модулю n имеет

место равенство m + r = k. Из результата предыдущей задачи вытекает, что умножению элементов в произвольной циклической группе порядка n соответствует некоторым образом сложение остатков по модулю n. Точно так же умножению элементов в бесконечной циклической группе соответствует сложение целых чисел (см. 27). Здесь мы подошли к важному понятию в теории групп — понятию изоморфизма.

§ 5. Изоморфизм

О п р е д е л е н и е. Пусть даны две группы G 1 и G 2 , и пусть имеется взаимно однозначное отображение f элемен- тов группы G 1 на элементы группы G 2 (см. § 2), причем такое, что умножению в G 1 соответствует умножение в G 2 , т. е. если f(a) = a 0 , f(b) = b 0 , f(c) = c 0 и ab = c в группе G 1 , то a 0 b 0 = c 0 в группе G 2 . Тогда f называют изоморфизмом группы G 1 на группу G 2 , а группы, между которыми можно установить изоморфизм, называют изоморфными. Условие того, что взаимно однозначное отображение f является изоморфизмом, можно записать еще следующим образом: f(ab) = f(a) · f(b) для любых элементов a и b группы G 1 ; здесь произведение ab берется в группе G 1 , а произведение f(a) · f(b) в группе G 2 . 42. Какие из следующих групп изоморфны: 1) группа вращений квадрата, 2) группа симметрий ромба, 3) группа симметрий прямоугольника, 4) группа остатков с операцией сложения по модулю 4? 43. Пусть f : G 1 → G 2 — изоморфизм. Доказать, что обратное отображение f −1 : G 2 → G 1 также изоморфизм. 44. Пусть f 1 : G 1 → G 2 и f 2 : G 2 → G 3 — изоморфизмы. Доказать, что f 2 f 1 : G 1 → G 3 также изоморфизм. Из последних двух задач следует, что две группы, изоморфные третьей группе, изоморфны между собой. 45. Доказать, что любая циклическая группа порядка n изоморфна группе остатков при делении на n с операцией сложения по модулю n. 46. Доказать, что любая бесконечная циклическая группа изоморфна группе целых чисел по сложению. 47. Пусть f : G → F — изоморфизм. Доказать, что f(e G ) = e F , где e G и e F — единицы групп G и F .

48. Пусть f : G → F — изоморфизм. Доказать, что f(g −1 ) = [f(g)] −1 для всех элементов g группы G. 49. Пусть f : G → F — изоморфизм и f(g) = h. Доказать, что g и h имеют равные порядки. Если изучается сама групповая операция, а природа элементов, из которых составлены группы, не играет роли, то изоморфные группы можно не различать. Так, например, мы будем говорить, что существует лишь одна с точностью до изоморфизма (см. 45) циклическая группа порядка n, которую мы будем обозначать Z n , и одна с точностью до изоморфизма (см. 46) бесконечная циклическая группа, которую мы будем обозначать Z. Если группа G 1 изоморфна группе G 2 , то мы будем пи- сать G G . 1 = 2 50. Найти все (с точностью до изоморфизма) группы, содержащие: а) 2 элемента, б) 3 элемента. 51. Привести пример двух групп с одинаковым числом элементов и неизоморфных. 52. Доказать, что группа всех действительных чисел по сложению изоморфна группе положительных действительных чисел по умножению. 53. Пусть a — произвольный элемент группы G. Рассмот- рим отображение f a множества элементов группы G в себя, определенное следующим образом: f a (x) = ax для любого элемента x из G. Доказать, что f a является преобразованием множества элементов группы G ( т. е. взаимно однозначным отображением множества элементов группы G на себя). 54. Пусть для каждого элемента a группы G построено преобразование f a (см. задачу 53). Доказать, что множество всех этих преобразований f a образует группу с обычной операцией произведения преобразований. 55. Доказать, что группа G изоморфна построенной в предыдущей задаче группе преобразований.

§ 6. Подгруппы

Рассмотрим в группе G некоторое подмножество элементов . Может оказаться, что само является группой относительно той же бинарной операции, которая задана на G.

В этом случае H называют подгруппой группы G. Так, например, группа вращений правильного n-угольника является подгруппой группы всех симметрий правильного n- угольника. Если a — элемент группы G, то множество всех элементов вида a m является подгруппой группы G (эта подгруппа циклическая, мы ее рассмотрели в § 4). 56. Пусть H — подгруппа группы G. Доказать, что: а) единичные элементы в G и совпадают; б) если a — элемент подгруппы H, то элементы, обратные к a в G и H, совпадают. 57. Для того чтобы H было подгруппой группы G (относительно той же бинарной операции), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: 1) если a и b содержатся в H, то элемент ab (произведение в группе G) содержится в H; 2) e (единичный элемент группы G) содержится в H; 3) если a содержится в H, то и a −1 (в группе G) содержится в H. Доказать. З а м е ч а н и е. Из условий 1 и 3 вытекает условие 2. 58. Найти все подгруппы в группах: 1) симметрий правильного треугольника, 2) симметрий квадрата. 59. Найти все подгруппы в циклических группах: а) Z 5 , б) Z 8 , в) Z 15 . n 60. Доказать, что все подгруппы в Z n имеют вид e, a d , o a 2d , . . . , a , где d — делитель n и a — образующий группы Z n . 61. Доказать, что все подгруппы бесконечной циклической группы имеют вид <. . . , a −2r , a −r , e, a r , a 2r , . . . >, где a — образующий, a r — произвольное натуральное число. 62. Доказать, что в любой бесконечной группе бесконечно много подгрупп. 63. Доказать, что пересечение любого числа подгрупп *) некоторой группы G также является подгруппой группы G. П р и м е р 10. Рассмотрим правильный тетраэдр, вершины которого обозначены буквами A, B, C и D. Если посмотреть со стороны точки D на треугольник ABC, то *) Пересечение нескольких множеств — это множество всех тех элементов, которые содержатся одновременно во всех данных множествах.

точки A, B, C могут идти по часовой стрелке или против (рис. 5 ). Соответственно этому мы будем различать две ориентации тетраэдра.

Рис. 5 64. Сохраняют ли ориентацию тетраэдра следующие

A B C D
преобразования: a = B C A D — вращение на 120 ◦	во-
A B C D
круг высоты; b = D C B A — вращение на 180 ◦	во-

круг оси, проходящей через середины ребер AD и BC, A B C D c = A C B D — отражение относительно плоскости, про- ходящей через ребро AD и середину ребра BC; преобразование, порождающее циклическую подстановку вершин A B C D d = B C D A . Все симметрии правильного тетраэдра, очевидно, образуют группу, которая называется группой симметрий тетраэдра. 65. Сколько элементов в группе симметрий тетраэдра? 66. В группе симметрий тетраэдра найти подгруппы, изоморфные: а) группе симметрий треугольника, б) циклической группе Z 4 . 67. Доказать, что все симметрии тетраэдра, сохраняющие ориентацию, образуют группу. Сколько в ней элементов? Группа симметрий тетраэдра, сохраняющих ориентацию, называется группой вращений тетраэдра. 68. В группе вращений тетраэдра найти подгруппы, изо-

Циклическая группа

В теории групп группа ( G , ⋅ ) называется циклической, если она порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число.)

Таким образом, мы называем G циклической, если G = a n | n ∈ Z > >. Иначе говоря, группа G циклическая, если в G любая подгруппа, содержащая a, совпадает с G. Это следует из того, что в такой подгруппе должны содержаться все степени элемента a.

Например, если G = e, g 1 , g 2 , g 3 , g 4 , g 5 >, то G циклическая. В этом случае можно заметить, что G устроена также, как и группа с операцией сложения по модулю 6 (говоря формально, G изоморфна ей). Изоморфизм строится, если в соответствие g поставить 1 из второй группы.

Для каждого числа существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа такого g n будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению ( Z , + ,+> ).

Поскольку все циклические группы абелевы, их часто обозначают как Z n , хотя некоторые математики такого обозначения избегают, обозначая их как факторгруппы целых чисел ( Z / n Z /n\mathbb> ), чтобы не спутать с другими общепринятыми обозначениями.

Свойства [ ]

Каждая циклическая группа изоморфна группе со сложением по модулю n или Z > , группе целых чисел по сложению. Таким образом, для понимания устройства всех циклических групп достаточно изучить только эти. Такое свойство делает циклические группы очень лёгкими для изучения. Известно много интересных свойств таких групп. Пусть дана циклическая группа G порядка n (возможно, бесконечного). Тогда для всех g из G верно слеующее:

Порождающими Z n являются все числа от 1 до n, которые функция Эйлера. Более общо, если d является делителем n, то число элементов порядка d в Z / n Z /n\mathbb> равно φ(d). Порядок класса вычета m равен n / НОД(n,m).

Если p — простое число, то группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).

Прямое произведение двух циклических групп Z n и Z m циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты. Например, Z 12 _> является прямым произведением Z 3 и Z 4 , но не Z 6 и Z 2 .

Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа Z p n > , где p — простое число, или Z > .

Z n также являются коммутативными кольцами (по сложению и умножению). Если p — простое число, то Z p > — конечное поле, также обозначаемое F_p или GF(p). Каждое конечное поле с p элементами изоморфно F_p.

Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).

Примеры [ ]

нейтральный элемент группы, а остальные элементы располагаются по кругу в порядке возрастания степени образующего элемента.

Эндоморфизмы [ ]

Кольцо эндоморфизмов группы Z n изоморфно самой группе как кольцу. При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм Z n , который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, если и только если r взаимно просто с n, так что Z n изоморфна Z n × _<>^> .

Конечные разрешимые группы с циклическими пересечениями максимальных подгрупп Текст научной статьи по специальности «Математика»

Описаны конечные разрешимые группы с циклическими пересечениями максимальных подгрупп. Основной результат работы — теорема 5.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Половицкий Я. Д.

Конечные разрешимые группы с одним условием для пересечений неинцидентных подгрупп

Конечные разрешимые группы, в которых порядок пересечения любых двух неинцидентных подгрупп является делителем числа n

Некоторые классы конечных групп с примарными пересечениями неинцидентных подгрупп
Конечные группы с заданными примарными и максимальными подгруппами
О конечных группах с независимыми подгруппами
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

A finite soluble groups, in which a intersections of maximal subgroups are cyclic

A finite soluble groups, in which a intersections of any two maximal subgroups are cyclic, are described in this paper. The main result of this work is the theorem 5.

Текст научной работы на тему «Конечные разрешимые группы с циклическими пересечениями максимальных подгрупп»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика.

Конечные разрешимые группы с циклическими пересечениями максимальных подгрупп

Пермский государственный национальный исследовательский университет, Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 alg@psu.ru; (342)236-82-83

Описаны конечные разрешимые группы с циклическими пересечениями максимальных подгрупп. Основной результат работы — теорема 5.

группа; циклическая подгруппа; пересечение; максимальная под-

В теории групп представляет интерес изучение групп с различными условиями, накладываемым на попарные пересечения достаточно больших множеств их подгрупп. Некоторые из таких условий для неинцидентных подгрупп рассматривались в работах автора [1] и [2].

В настоящей работе рассматриваются конечные (в основном разрешимые) группы с циклическими пересечениями максимальных подгрупп.

Основные результаты работы приведены в [7].

В настоящей работе используются следующие обозначения:

группа типа р1 х р22 х . х р^—прямое произведение циклических групп порядков р^1, р^2. р’1к

А ^ В—подгруппы А и В инцидентны;

Определение 1. Группу, в которой либо пересечение любых двух различных

максимальных подгрупп является циклической группой, либо имеется не более одной максимальной подгруппы, назовём С1М-группой (или группой с С1М-условием).

Легко видеть, что С1М-группами являются: циклические и квазициклические группы, группы, в которых не более одной максимальной нециклической подгруппы, а

также группы порядков р2,р°,р^ и р2д.

Лемма 1. С1М-условие переносится на фактор-группы.

Лемма 2. В конечной СЛМ-группе каждая собственная нециклическая подгруппа содержится в единственной максимальной подгруппе (вытекает из определения СЛМ-группы).

©Половицкий Я.Д., 2013

Действительно, в силу леммы 2 в G/N не более одной максимальной подгруппы, и потому G/N—примарная циклическая группа.

Следствие 3.1. Всякая конечная СЛМ-группа, содержащая инвариантную нециклическую разрешимую подгруппу, разрешима.

и G/N не является примарной циклической группой, то N—циклическая группа.

группа, содержащая инвариантную максимальную подгруппу М индекса д. Тогда для любого р € (п(С) \ д) силовская р-подгруппа Р группы С либо циклическая, либо инва-С

СЛМ-группа, содержащая две инвариантные максимальные подгруппы различных индексов, то для любого р € п(С) все неинва-рС

утверждения следствия для всех р = д, а применяя к М2—справедливость его и для силовских д-подгрупп. □

Следствие 4.2. Если G—конечная CIM-группа и О/О/ —непримарная группа, то все неинвариантные силовские p-подгруппы группы О циклические.

Действительно, при условиях следствия 4.2 в О существуют подгруппы Mi и M2 такие, что |О/О/ : Mi/G/| = p, |О/О’ : M2/О/| = q, q = p a тогда Mi < О (i = 1, 2) и к О применимо следствие 4.1.

циклическая группа, то О/ < C(S).

q-подгруппа, то всякая силовская p-подгруппа P группы О при q = p содер-C(S)

Действительно, из условия следствия видно, что P < О/, и в силу леммы 5 P < C (S).

гда, когда она либо циклическая, либо группа одного из типов pn х p ми p х p х p.

подгруппу A типа p х ^^ли О = A, то О

О = A Тогда то лемме 3 О/A—циклическая группа, то есть О = A (g). Если (g) П A = 1, то О = (а) х (g)—группа типа pn х p. Если же (g) П A = 1, то

О = (ai) х (а2) х (g), (1)

Поэтому Т = 1, и в силу (1) и (2) О—группа типа р х р х р.

Достаточность. Всякая циклическая группа и группа порядка р3 являются С1М-группами. В группе О типаргахр как нетрудно видеть лишь одна максимальная подгруппа (типа рп-1 х р) нециклическая, и потому О—С1М-группа. □

держащей инвариантную циклическую подгруппу N простого индекса, любые две неинцидентные подгруппы пересекаются по циклической подгруппе.

Доказательство. Пусть М1 и М2^

—нециклическая группа. Тогда 5 ^ N (ибо N циклическая), и, так как N < О, существует § € 5 такой, что О = N ■ (з). Отсюда и из (3) следует, что

Но в циклической р-группе N любые две подгруппы инцидентны, и потому (М1 П N) ^ (М2 П N). Отсюда и из (4) и (5) следует, что М1 ^ М2. □

Следствие 7.1. Всякая группа

СЛМ-группой (ибо её различные максимальные подгруппы не инцидентны).

Теорема 1. Конечная нильпотентная группа Р является С1М-группой тогда и только тогда, когда она группа одного из следующих типов:

2. Типа д х д х гп(г = д).

3. Р = х Я, где —группа кватернионов, Я—циклическая г-группа, г = 2.

6.р-группа, в кото рой |Р/Ф(Р )| = р2 и ф(р)—максимальная циклическая подгруп-

(приведённые выше типы пересекаются).

Необходимость. Пусть P—конечная нильпотентная CIM-группа. Возможны два случая. P

Если все её силовские подгруппы цик-P

силовскую q-подгруппу Q. В силу леммы 3 P/Q—циклическая r-группа, причём r = q (ибо P непримарна). Значит, P = Q х R, где R—циклическая r-группа. Если Qi < Q,Ri < R, то M = Qi х R и Mi = Q х Ri—две максимальные под-P

(M П Mi) = Qi х Ri—циклическая груп-Qi Q

нециклическая, то из доказанного следует,

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

лические. Тогда, как известно (см., например, [4], задача 17.23), Q^либо типа q х q, либо Q = Qe- Поэтому P—группа типа 2 или типа 3.

II. P—p-rpvnna. Если |P| | p3, то P— группа типа 5. Пусть |P| = pn и n > 4. Возможны 2 случая:

(a) Хотя бы одна максимальная подгруп-

(b) Все максимальные подгруппы груп-P

потому в ней найдутся хотя бы две максимальные подгруппы Mi и M2 и |P/Mi| = p (i = 1, 2). Если

то, очевидно, P/S—группа типа p х p. В

циклическая группа. Так как P/#(P) элементарная абелева и является в силу леммы 1 СЛМ-группой, то из леммы 6, учитывая, что |P/S| = p2, получаем: P/^(P)— типа p х p (и тогда #(P) = S) или P/#(P)— типа p х p х p и |S/#(P)| = p. Рассмотрим каждый из них.

i. P/#(P)^типa p х p. Из (Ь) следует, что G—группа типа 6.

и. Р/Ф(Р)^типа р х р х р.

Очевидно, Р/Т—группа типа р х р, и в сиТ

Мы показали, что для любой М < Р

держащие Ф(Р), циклические. Из того что М/Ф(Р)—таи а р х р (что вытекает из усло-

лических максимальных подгрупп не менее

р + 1. Так как М имеет циклическую под-р

мальных подгрупп (см., например, [4], задаМ

группе типа рп-2 х р, либо группе кватернионов Q8.

Поэтому возможны 2 случая:

не является 2-порождённой, и потому любые её два элемента содержатся в абелевой

па, а тогда из (8) и (9) следует, что

Мы получили, что для любого д е Р \ Ф(Р) справедливо (10), откуда следует, что Ф(Р)—

лическая, либо обобщённая группа кватер-Р

максимальная подгруппа, вопреки условию пункта (Ь). Значит, случай В невозможен.

группа одного из типов 1-6 теоремы 1. Группы типов 1 и 5, очевидно, являются С1М-группами. В группах типов 2 и 3 лишь одна из максимальных подгрупп нециклическая, и потому такие группы—тоже С1М-группы.

Любая группа типа 4 является С1М-группой в силу следствия 7.1 леммы 7. Р

ресечение любых двух её максимальных подгрупп равно её циклической группе Ф(Р), и потому Р—С1М-группа. □

Лемма 8 (см., например, [6]). Группа

Лемма 9 (см., например, [6]). Группа

Лемма 10 (см. [4], задача 18.3). Пусть Р—абедева ргруппа, А—р’-подгруппа группы Аи£Р. Тогда Р = [Р, А] х СР(А).

циклическая р-группа, р = 2, А—р’-подгруппа из Аи£Р и Ср (А) = 1, то А = 1 Р

циклическая р-группа, р = 2 А—р’-подгруппа из Аи£Р и А действует тождественно на подгруппе порядка р из Р, то А = 1.

Следствие 10.3. Пусть С = Р X Р—циклическая р-группа, р = 2 Я—р’_ группа. Если (^(С) П Р) = 1, то С = Р х Я.

В силу условия следствия Са(Р ) = (^(С) П Р) = 1 и потому по следствию 10.1 А=1

что С = С(Р), а тогда С = Р х Я. □

Лемма 11 (см., например, [5]). Конечная группа Б, все собственные подгруппы которой циклические, есть группа одного из следующих типов: 1. Циклическая. р х р

3. Изоморфна группе кватернионов Яв-

4. B = D X C, W |D| = q = 2, C—циклическая ^^^^па, p и q—различные простые числа и Z(B) < C.

Лемма 12 (см., например, [4], задача 17.17). Группа порядка pn, обладаю-

морфна одной из следующих групп: циклической p-группе, группе типа pn-1 х p (и > 2), модулярной грvnne Mpn (и > 3), группе диэдра D2″ (и > 3), обобщённой группе кватернионов Q2n (и > 3) или по-лудпэдральной группе SD2″ (и > 4).

Теорема 2. Конечная пенильпотент-ная группа G, имеющая дополняемую инвариантную циклическую подгруппу, является CIM-группой тогда и только тогда, когда она сверхразрешима и является группой одного из следующих типов (ниже простые числа p, q, r всюду различны):

I. G = A X B, A—циклическая группа порядка qn, и > 2, q = 2 B—циклическая ^^^па, Z(G) < B;

II. G = A X B, |A| = q = 2 B^ p

III. G = (A X D) х C, |A| = q = 2, |D| = |C | = p;

IV. G = A X Qs, |A| = q = 2;

V. G = (A х D) X C, |A| = q = 2 |D| = r, C—циклическая p-rpvnna, Z(G) = Ci < C, (D X C)/Ci—нециклическая группа;

VI. G = A X B, |A| = q = 2 B = R х P, R и P, соответственно, циклические r- и p-rpvnnbi, #(B) < Z(G);

VII. G = (A х S) X P, |A| = |S| = q = 2,

(Во всех типах полупрямые произведения не могут быть прямыми.)

ненильпотентная группа и

марна, то A = Q х S, где Q^eanoBCKaH q-подгрупиа группы A. Так как Q и S—

и вида A получаем: G = (Q х S) X B =

^ X (5 X В), и С имеет дополняемую циклическую д-подгруипу Q. Тогда в условии теоремы можно взять ^ ^^сто А.

Значит, можно считать, что в (12) А— циклическая д-груипа.

группы В. Если В1 = 1,то, очевидно, В— циклическая группа простого порядка. Этот случай будет рассмотрен ниже в пункте 1 (после предложений 1-5).

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

дует, что все собственные подгруппы группы ВВ группа одного из описанных там типов 1-4.

Для дальнейшего доказательства необходимости сначала докажем справедливость для рассматриваемой нами группы С

В1 = 1, то В1—д’-группа. Если при этом д = 2, то

А1 = 1 (д, |В1|) = 1 В1

д’-группа. Пусть д = 2. Рассмотрим подгруппу Я = А X Вь В силу (14) А1 < /(Я),

а тогда из следствия 10.3 леммы 10 вытекает, что Я = А х В1, то есть справедливо (15). □

Предложение 2. Если С = А х В, то

полняющей некоторую инвариантную циклическую примарную подгруппу.

потентна, то при условиях предложения 2

\В\ = р и из перечня типов группы В, приведённого в лемме 11, следует, что В—группа типа 4. Тогда С = А х (БXС) = БX(А х С). Теперь в С вместо А можно взять Б, а вме-

не может быть примарной циклической). □

Предложение 3. Если д = 2, В д’-группа и (А П 2(С)) = 1, то С = А х В.

(Справедливость этого утверждения получается, если применить к С = А X В следствие 10.3 леммы 10.)

примарной циклической группой и А1 = 1, то В—д’-группа и А1 < 2(С). Если при этом д = 2, то С = А х В.

и предложения 1 следует, что любая максимальная подгруппа Вг группы В (Вг = 1 ввиду непримарности В) является д’-группой. Отсюда, так как

(ибо она не является примарной цикличе-В д’

С = А х В, либо В—непримарная циклическая группа чётного порядка и В £ С (А).

Доказательство. В силу леммы 9 С/С (А)^абелева 2-группа. Если С (А) = С, С=АхВ

ческая. В первом случае, в силу (17) и то-

Дальнейшее доказательство необходимости в теореме 2 разобьём на несколько случаев в зависимости от того, какая воз-В

ме 11 реализуется.

следует, что р = р С = А х В. Из этого и условия пункта 1 в силу предложения 5 д=2

Возможны 2 под случая.

1.1 А1 = 1, то есть \ А \ = дп, п > 2. Так как С неабелева, то из д = 2 В1 = 1

выполняется (18), то опять 1 = 2(С) < В и С

Вр группа типов 2 или 3 из леммы 11).

Так как С = А X В ненильпотентна, то

ния 5 следует, что

либо Из (21), (20) и предложения 4 сле-А1 = 1

Если теперь В = ^8, то получаем, что С— группа типа IV.

Пусть B—группа типа p х р. Так как q = 2, то по лемме 8 AutA—циклическая группа, и потому G/C (A)—циклическая группа. Но G/A = B—типа p х p. Отсюда получаем, что |G/C(A)| = p, то есть |B/(C(A) П B)| = p. Тогда B = S х D, где S < Z(G) и G = A X B = A X (S х D) = S х (A X D). Учитывая (22), получаем, что G

Случай 2 рассмотрен.

Пусть Ai = 1. Так как G ненильпо-

B является 2′-группой. Это противоречит

Так как A ^ Z(G), то

Пусть Pi(i = 1, 2. s)—силовские pi-подгруппы группы B.

Предположим, что s > 3. Тогда G/(A X Pi)—непримарные группы, и по лемме 3 все AXPi—циклические группы. Поэтому A < C(Pi) при всех i, откуда A < C(B) и G = A х B—абелева группа, вопреки условию.

непримарна, |n(B)| = 2 и B = Pi х P2.

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

следует, что |AutA| | (pi — 1), и потому

|G/C(A)| = |B/(B П C(A))|| (pi — 1). (26)

P2 £ Z(G), то P2(1) = P2 П Z(G^ G^rpvnna типа VII.

Случай 3 рассмотрен. Отметим, что в случаях 1-3 описаны все типы рассматриваемых CIM-групп с подгруппой B типов 1-3 леммы 11.

4. B—группа типа 4 из леммы 11, то есть B = D X G, где |D| = r, C—циклическая р-группа,

Если либо q = 2, либо q = 2 и Ai = 1, то в силу предложений 5 и 4 и условия пункта 4 G = A х B, а такие CIM-группа G в силу предложения 2 и сказанного перед пунктом 4 уже изучены в пунктах 1-3.

Значит, осталось рассмотреть случай, когда q = 2 и Ai = 1. Тогда

Поэтому из (30) следует, что

В силу (29) AutA—циклическая группа порядка (q — 1), и потому фактор-группа G/G(A)

(q — 1). Введём обозначение: |G/G(A)| = m. Мы показали, что

С/(А х С1) ^ В/С1. (37)

Из (37), (36) и (28) следует, что

Если т = рг, то в силу (37), (36) и (28) С (А) = А х С1 и

абелевой, вопреки условию пункта 4), а С/С(А)

Поэтому (39) невозможно, а тогда

Значит, т—это либо 1, либо р, либо г. Рассмотрим каждый из этих случаев. т=1

С(А) = С С = А х В С

рассмотренных выше в пунктах 1-3. т=г

Тогда в силу (35) р=д

С = (А х Б) X С. (42)

А / 2(С), получаем, что С—группа типа V. д=г

Нетрудно видеть, что группы всех полученных при доказательстве необходимости типов сверхразрешимы.

ного из типов теоремы 2. Покажем, что она является С1М-группой.

Так как группы всех типов теоремы 2 сверхразрешимы, то каждая максимальная подгруппа М группы С имеет простой ин-С

ла СЛМ-группой, достаточно проверить, что пересечения любых двух её максимальных нециклических подгрупп является циклической группой.

Рассмотрим отдельно каждый из типов I \ IГ теоремы 2. С

\С : М\ = д и М = А1 X Вх, где А1 < А. Так как В1 = 2(С), то Вх >В1 и М > 5 = А1 х В1, причём

Если теперь М1 < С и \С : М1 \ = д, то, по доказанному, М1 >5, и потому (М1 П М) > 5. В силу (43) М1 П М = 5, а 5-циклическая С

Тогда единственной её максимальной подгруппой, которая может быть нециклической, является, как нетрудно видеть, (А X В1), где В1 < В, и потому С—С1М-группа. С

Тогда \С\ = р2д и, как легко видеть,

пы ^8 содержится в 2(С). Все максималь-

жат А и имеют вид М = А X $1, где — одна из подгрупп порядка 4 группы $8 5 и по-С

это $8 и М П ^8 = —циклическая группа. С

|С : М| = д В = 5X^0 М = Вх. Так как все истинные

подгруппы группы Б, как видно из определения группы типа V и леммы 11, циклические, то M пересекается с любой другой максимальной подгруппой по циклической подгруппе.

Очевидно, G = A X Б и Б/Z(Б), как отмечено в определении группы типа V, является нециклической группой порядка pr. Пусть |G : Mi| = r. Тогда

другой максимальной подгруппой по циклической подгруппе.

Наконец, если |G : M2I = p, то такая M2 единственна: M2 = (A х D) х Z(G) и является циклической группой.

Значит, всякая группа типа V является СЛМ-группой. G

Если |G : M| = q, то M = Бх и является циклической группой.

Значит, группа типа VI является СЛМ-группой. G

Введём обозначение: AxS = A1. Пусть |G : M| = q. Тогда

для некоторого x G G, где 1 < A2 < Ai. | G : Mi | = q

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

при любом z G G. Тогда Pi < (PxnPy). Если A2 = A3

что (M П Mi) > (A2 x Pi) и при M = Mi имеем: (M П Mi) = (A2 x Pi)—циклическая группа. Пусть A2 = Тогдa A2 П A3 = 1 (ибо |A2| = |A3| = q) и (M П Mi^p-rpvnna, то есть циклическая группа.

Если |G : M2I = p, то M2 > Ai, и, так как G/Ai—циклическая p-группа,

M2 = Ai x Pi, а тогда, учитывая (45) и (47) имеем: M П M2 = (A2 x Pi)—циклическая группа (ибо |A21 = q).

Значит, всякая группа типа VII является CIM-группой. □

Следствие 1. Если в конечной

циклическая инвариантная силовская под-G

Действительно, эта силовская под-GG

менима теорема 2.

Следствие 2. Конечные неабелевы CIM-группы, все силовские подгруппы которых циклические—это группы типов I, II, V и VI из теоремы 2 (ибо в такой группе, как известно (см. [3]), есть инвариантная силовская подгруппа, и потому к ней применимо следствие 1 теоремы 2, если она ненильпо-тентна, или она абелева).

ненильпотентная CIM-rpynna, G’—абелева группа и |n(G)| > |n(G/G’)|. Тогд a G— группа одного из типов теоремы 2.

Доказательство. В силу условия в G’ содержится некоторая силовская p-подгруппа P группы G. Так как G’ абелева, то P < G, и по следствию 1 теоремы 2, G

Теорема 3. Конечная ненильпотентная CIM-группа G, в которой либо G’— циклическая группа, либо фактор-группа G/G’ не является примарной циклической, есть группа одного из типов теоремы 2.

Доказательство. Если G/G’ не является примарной циклической, то по следствию 3.2 леммы 3 G’—циклическая группа.

Значит, мы должны рассмотреть случай когда С—циклическая группа.

В силу следствия 3 теоремы 2 можно считать, что

(ибо в противном случае теорема верна).

что G/G’ непримарна. Поэтому существует N < G такая, что

Если |n(G)| > 2, то ввиду (49) в N найдётся силовская г-подгруппа группы G, ин-G

ме 2. Значит, осталось рассмотреть случай:

По следствию 4.1 леммы 4 все неинвариант-

силовской, то тогда все силовские подгруп-

GG (см.[3]), имела бы инвариантную силовскую, в противоречие с предположением. Значит, существует силовская р-подгруппа P груп-

где Q—силовская q-подгруппа группы G.

Так как G ненильпотентна, то Q ^ G и по Q

типов этой теоремы. P

лу (49) тогда (N П P) = Pi < P и Pi—

скую подгруппу Pi индекс а р. Строение таких групп известно и приведено в лемме 12. Рассмотрим приведённые там возможности

1. P изоморфна (n > 3) (n > 4) или Q2n(n > 4), то есть Q2n = Qs-

В этом случае p = 2. Тогда, как отмечено в [4] (задачи 17.20-17.22), P имеет ровно 2 нециклические максимальные подгруппы Mi и M2, и потому [G : N (Mi)] < 2 а тогда Q < N (Mi ), i = 1,2 (ибо q = 2). Так как Mi < P, то из доказанного следует, что Mi < G. Но G/Mi—непримарная группа, и по след-Mi

вопреки её выбору. Случай 1 невозможен.

Тогда, как отмечено в [4] (задача P

Как известно (см. [4], задача 18.17) AutDs = Ds, и потому G/C(P)—2-группа, то есть опять Q < C (P ), вопреки ненильпо-G

5. P—группа типа pn-i х p.

из перечисленных в этой теореме типов.

Конечные разрешимые ненильпотентные С1М-группы

Теорема 4. Конечная разрешимая G

группой тогда и только тогда, когда она— группа одного из следующих типов: I-VII из теоремы 2;

VIII. G = P X Q, Р^элементарная абеле-ва нециклическая ^^^па, Q—циклическая

q-группа, q = p и в Р нет собственных Q

IX. G = P X Q, P^p-rpynna, Q^ циклическая q-групиа, q = p Z (P)— циклическая группа, P/Z (P )—элементарная абелева группа, являющаяся минимальной

разрешимая ненильпотентная CIM-группа. Возможны следующие 3 случая. G

антная циклическая подгруппа. Такая CIM-группа по теореме 3—это группа одного из типов I \ IГ теоремы 2.

II. G’—циклическая групп а или G/G’—

также группа одного из типов I—VII теоремы 2.

вий пунктов I и II. Тогда G’—нециклическая, G/G’—примарная группа и в G нет дополняемых инвариантных циклических подгрупп. Пусть N—минимальная нормальная G

Возможны 2 случая. N

G ненильпотентна, Toq = p и G = N X Q. N

GN QG типа VIII. N

лическая подгруппа S. Если G/S абелева,™ G’—циклическая группа, в противоречие с условием пункта III. Значит, G/S— неабелева группа, и потому существует

В силу выбора S группа R нециклическая. По лемме 3 G/R—циклическая q-группа.

r-подгруппы группы G при r = q содержатся G’

Если |n(G)| > 2 ми G/S примарна, то тогда, так как |n(G/S)| < 2, в S суще-

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

rG в противоречие с условием пункта III. От-G

что |n(G)| = 2 ж p = q то есть n(G) = .

Пусть P—силовская p-подгруппа группы G. Так как G/R—q-группа, то

дует, что R абелева, а тогда P < G.

Из сказанного выше следует, что всегда P < G, а тогда

где Q—силовская q-подгруппа группы G.

Из (56) и условия пункта III получа-P

где Sp и Sq, соответственно, силовские p-

Из (55), (57) и (54) получаем

Я = (5р х )Р = х Р. (59)

Покажем, что Р/Бр—минимальная нормальная подгруппа группы О/Бр. Пред-

Из (61) следует, что Pi < G, а тогда

Ho (Pi X Sq) ^ R, a R/S—минимальная

да и из (62) следует, что либо P1 x Sq = S, либо Pi x Sq = R. В силу (60) первое из этих равенств противоречит равенству (57), а второе^равенству (59). Отсюда и из (56) получаем, что в P/Sp нет собственных (QSp)/Sp-допустимых подгрупп. Так как Z(P)/Sp < G/Sp, то из доказанного следует, что либо

M = (M П P) X Qf = Mp X Qf, (65)

где Mp—силовская р-подгруппа группы M. Рассмотрим

и (66) следует, что

па индекса q группы G. Из (64)-(66) получаем

(M П Mi) = Mp X Qf.

В силу С1М-условия, последняя подгруппа циклическая, и потому Мр—циклическая группа и

Возможны 2 подслучая: 2.2.1. Существует М < О такая, что |О : М| = ре и М ^ 5р.

Тогда 5р = 1 и |М| делится на |ф| и

потому М > для некоторого х € О. По Мр

Тогда, так как 5р < О, имеем:

дый из этих случаев.

РР лическая в силу следствия 3.3 леммы 3,

Пусть х € О и М—максимальная подгруппа группы О, содержащая Тогда |О : М| = рк. Так как из (56) следует, что

Так как в силу (63) £р = Z(Р) и Мр^ циклическая группа, то из (72) следует, что Р

Значит, 2.2.1 невозможен. 2.2.2. Все максимальные подгруппы индексов ре (при любых е) группы О содержат £р (это выполняется и при £р = 1).

Тогда из (70) следует, что £р < С(фх) хО

Так как остальные максимальные под-GP

Теперь из (56), (63), (73) и (74) и доказанного выше о Р/£р следует, что О—группа типа IX теоремы 4.

Достаточность. Если G—группа одного из типов I—VII теоремы 4, то по теореме 3 она является CIM-группой. G

симальными подгруппами являются только Qf(x £ G)—все они циклические, и M = P X Qi, где Qi < Q. Очевидно G является CIM-группой. G

Из (76) и (77) имеем:

(Mi П M) = Sp X Qf. (78)

для любого x £ G; тогда из (78) и цикличности Sp и Q следует, что (Mi П M)— циклическая группа.

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(Mi П M2) = Sp X Q2, (81)

Из теорем 1 и 4 вытекает следующее описание конечных разрешимых CIM-групп.

Теорема 5. Конечная разрешимая группа G, является CIM-группой тогда и только тогда, когда она—группа либо одного из типов 1-6 теоремы 1, либо одного из типов I-IX теоремы 4.

Из теоремы 5 нетрудно получить описания ряда подклассов CIM-групп. Отметим один из них.

Следствие 2. Конечная разрешимая G

циклическими пересечениями максимальных подгрупп тогда и только тогда, когда она—группа одного из следующих типов:

1. Любая группа порядка p2q ми pqr;

2. Циклическая порядка pnq;

б.ргруппа, в которой |G/#(G)| = р2 и ф(р)—максимальная циклическая подгруп-G

6. G = QXP, где Q—циклическая группа порядка n > 2, q = 2, |P| = p;

7.G = Q X P. где |Q| = q = 2, P-

8. G = P X Q, P—элементарная абеле-

9. G = P X Q, ^^^na, Z(P)—

циклическая группа, P/Z (P)—элементарная абелева группа, являющаяся минимальной

Несомненно, было бы интересно получить описание конечных простых и произвольных конечных CIM-rpvnn.

1. Половицкий Я.Д. Конечные разрешимые группы, в которых порядок пересечения любых двух неинцидентных подгрупп является делителем числа п// Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 4(4). С. 8-17.

2. Половицкий Я.Д. Конечные разрешимые группы с примарными пересечениями неинцидентных подгрупп// Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2012. Вып. 1. С. 5-18.

3. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Осно-

вы теории групп. М.: Наука, 1982. 288 с.

4- Белоногое В.А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000. 240 с.

5. Конторович П.Г., Пекелис A.C., Старостин А.И. Структурные вопросы теории групп// Математические заметки. Т. 3, тетрадь 1. Свердловск, 1961. С. 3-28.

6. Горчаков Ю.М. Теория групп. Тверь, 1998. 112 с.

7. Половицкий Я.Д. Конечные разрешимые группы с циклическими пересечениями максимальных подгрупп// Алгебра и линейная оптимизация. Тезисы международной конференции, посвящённой 100-летию С.Н. Черникова. Екатеринбург, 2012. С. 125-126.

A finite soluble groups, in which a intersections of maximal subgroups are cyclic

Ya. D. Polovitsky

Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st. 15 alg@psu.ru; (342)236-82-83

A finite soluble groups, in which a intersections of any two maximal subgroups are cyclic, are described in this paper. The main result of this work is the theorem 5.

Key words: group; cyclic subgroup; intersection; maximal subgroup.

Какие из перечисленных групп являются циклическими

%PDF-1.5 %���� 1 0 obj >>> endobj 2 0 obj > endobj 3 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/Annots[ 12 0 R 14 0 R 15 0 R] /MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 4 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 0>> endobj 4 0 obj > stream x��TK��0 ��t�-�F�%? v23���>�Vz��SK���P9�Ό�yA[��X�%��>��떏Û5P��j=�j�6˭�a��6Hl �)`����6����5������������۶�h� > endobj 6 0 obj > endobj 7 0 obj > endobj 8 0 obj [ 9 0 R] endobj 9 0 obj > endobj 10 0 obj > endobj 11 0 obj > endobj 12 0 obj >/F 4/Dest[ 13 0 R/XYZ 54 386 0] /StructParent 1>> endobj 13 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 85 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 4>> endobj 14 0 obj >/F 4/Dest[ 13 0 R/XYZ 54 386 0] /StructParent 2>> endobj 15 0 obj >/F 4/Dest[ 82 0 R/XYZ 54 386 0] /StructParent 3>> endobj 16 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 86 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 5>> endobj 17 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 109 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 6>> endobj 18 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 112 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 7>> endobj 19 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 113 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 8>> endobj 20 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 114 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 9>> endobj 21 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 115 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 10>> endobj 22 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 116 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 11>> endobj 23 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 119 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 12>> endobj 24 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 120 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 13>> endobj 25 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 121 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 14>> endobj 26 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 122 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 15>> endobj 27 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 125 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 16>> endobj 28 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 126 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 17>> endobj 29 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 127 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 18>> endobj 30 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 128 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 19>> endobj 31 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 129 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 20>> endobj 32 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 132 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 21>> endobj 33 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 133 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 22>> endobj 34 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 134 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 23>> endobj 35 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 135 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 24>> endobj 36 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 136 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 25>> endobj 37 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 137 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 26>> endobj 38 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 138 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 27>> endobj 39 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 139 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 28>> endobj 40 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 140 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 29>> endobj 41 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 141 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 30>> endobj 42 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 142 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 31>> endobj 43 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 143 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 32>> endobj 44 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 149 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 33>> endobj 45 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 150 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 34>> endobj 46 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 151 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 35>> endobj 47 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 152 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 36>> endobj 48 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 153 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 37>> endobj 49 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 154 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 38>> endobj 50 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 155 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 39>> endobj 51 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 156 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 40>> endobj 52 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 157 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 41>> endobj 53 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 158 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 42>> endobj 54 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 159 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 43>> endobj 55 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 160 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 44>> endobj 56 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 161 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 45>> endobj 57 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 162 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 46>> endobj 58 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 163 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 47>> endobj 59 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 164 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 48>> endobj 60 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 165 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 49>> endobj 61 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 166 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 50>> endobj 62 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 167 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 51>> endobj 63 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 168 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 52>> endobj 64 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 169 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 53>> endobj 65 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 170 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 54>> endobj 66 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 171 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 55>> endobj 67 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 172 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 56>> endobj 68 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 173 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 57>> endobj 69 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 174 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 58>> endobj 70 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 175 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 59>> endobj 71 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 176 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 60>> endobj 72 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 177 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 61>> endobj 73 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 178 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 62>> endobj 74 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 179 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 63>> endobj 75 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 180 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 64>> endobj 76 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 181 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 65>> endobj 77 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 182 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 66>> endobj 78 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 183 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 67>> endobj 79 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 184 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 68>> endobj 80 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 185 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 69>> endobj 81 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 186 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 70>> endobj 82 0 obj >/ExtGState >/ProcSet[/PDF/Text/ImageB/ImageC/ImageI] >>/MediaBox[ 0 0 841.92 595.32] /Contents 187 0 R/Group >/Tabs/S/StructParents 71>> endobj 83 0 obj > endobj 84 0 obj > endobj 85 0 obj > stream x��S�j�0 ��:����-Y ����c��6z+�����?̮��5���-=���`� ]�~F����8�f_W���zؿו ����>���+�c\��가���j�a�4