Как сделать единичную матрицу

Единичная матрица

Единичная матрица — это квадратная матрица, расположенные элементы которой по главной диагонали равны единице, а оставшиеся равны нулю. Обозначается символом $ E $.

Общая формула единичной матрицы имеет вид: $$ E = \begin 1&0&0&\text<. >&0 \\ 0&1&0&\text<. >&0 \\ 0&0&1&\text<. >&0 \\ \text<. >&\text<. >&\text<. >&\text<. >&\text <. >\\ 0&0&0&\text<. >&1 \end $$

Свойства единичной матрицы подразумеваются для квадратных матриц:

1. При умножении матрицы на единичную матрицу получается та же самая матрица:
   $$ A \cdot E = E \cdot A = A $$
2. Любая квадратная матрица в нулевой степени равна единичной матрице:
   $$ A^0 = E $$
3. При умножении матрицы на обратную её матрицу получается единичная матрица:
   $$ A \cdot A^ = E $$
4. Определитель единичной матрицы $ E $ равен единице:
   $$ \Delta = \det E = 1 $$

По определению единичная матрица является квадратной, главная диагональ заполнена единицами, а остальные элементы равны нулю:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Как сделать единичную матрицу

Решение

Заметим, что в качестве единичной матрицы в произведении EA должна быть выбрана матрица второго порядка, тогда как в произведении AE под единичной матрицей следует понимать матрицу третьего порядка.

Решение

где i – мнимая единица (i 2 = –1).
Показать, что квадрат любой из матриц Паули есть единичная матрица.

Решение

Решение. При переходе к матричной функции f(A), переменную x следует заменить матрицей A, а числовое слагаемое 5 – матрицей 5E, где E – единичная матрица.
Следовательно,

Как сделать единичную матрицу

Трудно представить себе систему чисел, которая бы не содержала единичный элемент. В частности, именно единица является результатом умножения числа a на ему обратное. Алгебра любых объектов (вещественных или комплексных чисел, векторов и так далее) должна включать в себя единичный элемент. Не является исключением и матричная алгебра, в которой роль единицы играет диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице.

В качестве определения единичной матрицы могло бы выступать примерно такое.

Матрица E называется единичной, если при умножении на нее любой матрицы A (слева и справа) матрица A остается неизменной: AE = EA = A.

Оказывается, что элементы единичной матрицы описываются ранее введенным выражением δ _{i j} .
Разумеется, что такое утверждение о структуре единичной матрицы требует проверки. И следует позаботиться о соответствующем обобщении понятия единичного элемента в матричной алгебре — по сравнению с обычной единицей в системе чисел.

Связано это с тем, что операция умножения определена не для любых матриц и, следовательно, требуется определенное согласование размеров иатриц-сомножителей. В результате под единичной матрицей понимается матрица вышеуказанной структуры, порядок которой выбирается таким, чтобы соответствующее произведение было определено.

.

(1)

В матричной алгебре матрица E играет ту же роль, что число единица в системе вещественных чисел, а именно – при умножении на единичную матрицу (справа или слева) исходная матрица не изменяется:

.

(2)

Действительно, пусть – произвольная матрица размера m×n. Рассмотрим i,j-ый элемент матричного произведения AE, где E – единичная матрица n-го порядка.
Согласно определению матричного произведения и с учетом свойств дельта-символа,

(3)

для любых допустимых значений индексов i,j и, следовательно, AE = A.

Рассмотрим теперь i,j-ый элемент матричного произведения EA, где E – единичная матрица m-го порядка:

(4)

Как сделать единичную матрицу

Функция eye позволяет создать единичную матрицу необходимого размера. На­звание этой функции в английском произношении созвучно названию буквы «I», используемой в англоязычной литературе для обозначения единичной матрицы, и было выбрано таким с целью избежать путаницы с традиционным обозначе­нием индексной переменной i или мнимой единицы.

Следующий фрагмент демонстрирует, как прибавить число 3 к диагональ­ным элементам матрицы А:

В следующем примере мы создаем единичную матрицу В с использованием функции eye, при этом размер создаваемой матрицы будет равен размеру мат­рицы А, переданной в качестве параметра функции eye:

—>А = ones(2, 2)

—>В = еуе(А)

Наконец, используя синтаксис eye(m,n), можно явно указать количество строк m и столбцов n в генерируемой матрице.