Извлечение квадратного корня в столбик на бумаге
Сегодня калькуляторы доступны повсеместно, и операцию извлечения корня так и подмывает выполнить на каком-нибудь устройстве. Но вычисляя корень на бумаге ученики используют и повторяют весь устный и письменный счёт, квадраты чисел, таблицу умножения. Рекомендуем учителю или родителю возводить в квадрат трёхзначные числа, и ученику раз в неделю или месяц вычислять корни. В конце каждого примера ученика ждёт автоматическая подсказка: если выше допущена хоть одна ошибка, то корень не будет извлекаться нацело. А если в остатке получился ноль, значит строгая дисциплина при вычислении корня была соблюдена полностью. Чтобы вы могли запомнить не только пример, а сам метод, который иллюстрируется примерами — мы разобрали целых три примера.
Извлечение квадратного корня из целых чисел. Пример 1.
Чтобы извлечь квадратный корень из целого числа мы будем циклично предпринимать одну и ту же последовательность действий: Подбери, Занеси, Вычти, Снеси, Удвой, Припиши. Сокращённо ПЗВ СУП — для запоминания: ПоЗоВи СУП.
Пример 1: 763876. Число разделяем на грани (по два разряда) от запятой: 76 38 76. В числе три грани — значит в корне будет три разряда. Сначала старшая грань 76.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб его квадрат был меньше, чем 76. Это число 8 (т.к. 8 × 8 = 64, а 9 × 9 = уже 81, то есть > 76). Заносим 8 в ответ — это старший разряд ответа (сотни). Вычитаем 64 из 76 — остаётся 12. Сносим к 12-ти следующую грань — 38. Получается 1238. Удваиваем то что в ответе — восьмёрку. Получается 16 — запишем 16 слева от 1238. Приписываем к 16 справа коробочку для ещё одного разряда.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб 16# × # было не больше, чем 1238. Это число 7 (т.к. 166 × 6 = 996 < 1238, 167 × 7 = 1169 < 1238, а 168 × 8 = 1344, то есть уже >1238). Заносим 7 в ответ — это следующий разряд ответа (десятки). Вычитаем 167 × 7 из 1238 — остаётся 69. Сносим к 69-ти следующую грань — 76. Получается 6976. Удваиваем то, что в ответе — 87. Получается 174 — запишем 174 слева от 6976. Приписываем к 174 справа коробочку для ещё одного разряда.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб 174# × # было не больше, чем 6976. Это число 4 (т.к. 1743 × 3 = 5229, 1744 × 4 = 6976, а 1745 × 5 = 8725, то есть уже > 6976). Заносим четвёрку в ответ — это будет разряд единиц. Вычитаем 1744 × 4 из 6976 — остаётся ноль.
Значит, квадратный корень из данного числа 763876 — число 874.
Пример 2: 79524.
Число разделяем на грани (по два разряда) от запятой: 07 95 24. В числе три грани — значит, в корне будет три разряда. Старшую грань дополнили ноликом (и стало 07). Вот сначала направляем внимание на старшую грань 07.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб его квадрат был меньше, чем 7. Это число 2 (т.к. 1 × 1 = 1 < 7, 2 × 2 = 4 < 7, а 3 × 3 = 9, а это уже >7). Заносим 2 в ответ — это старший разряд ответа (сотни). Вычитаем 4 из 07 — остаётся 3. Сносим к 3 следующую грань — 95. Получается 395. Удваиваем то, что в ответе — двойку. Получается 4. Запишем 4 слева от 395. Припишем к 4 справа коробочку для ещё одного разряда.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб 4# × # было не больше, чем 395. Это число 8 (т.к. 47 × 7 = 329 < 395, 48 × 8 = 384 < 395, а 49 × 9 = 441, то есть уже >395) Заносим 8 в ответ — это будет разряд десятков. Вычитаем (48 × 8 = ) 384 из 395 — остаётся 11. Сносим к 11 следующую грань — 24. Получается 1124. Удваиваем то, что в ответе — 28. Получается 56. Запишем 56 слева от 1124. Приписываем к 56 справа коробочку для ещё одного разряда.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб 56# × # было не больше, чем 1124. Это число 2 (т.к. 561 × 1 = 561 < 1124, 562 × 2 = 1124, 563 × 3 = 1689 >1124). Заносим 2 в ответ — это будут единицы ответа. Вычитаем 562 × 2 из 1124 — остаётся 0. Значит квадратный корень из данного числа 79524 — это число 282.
Пример 3: 487204.
Число разделяем на грани (по два разряда) от запятой: 48’72’04. В числе три грани, значит в корне будет три разряда. Сначала старшая грань 48.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб его квадрат был не больше 48. Это число 6 (т.к. 6 × 6 = 36, а 7 × 7 = 49). Заносим 6 в ответ. Это разряд сотен. Вычитаем 36 из 48 — остаётся 12. Сносим к 12 следующую грань — 72. Получается 1272. Удваиваем то, что в ответе — 6. Получается 12. Припишем 12 слева от 1272. Приписываем к 12 коробочку для ещё одного разряда.
Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб 138# × # было не больше, чем 11104. Это число 8 (т.к. 1388 × 8=11104, а 1389 × 9 = 12501 > 11104) Заносим 8 в ответ — это разряд единиц. Вычитаем 1388 × 8 = 11104 из 11104 — остаётся 0. Значит квадратный корень из данного числа 487204 — это число 698.
Извлечение квадратного корня столбиком
Вы спросите для чего это нужно? В старших классах извлекать число из под корня нужно очень часто. Не всегда под рукой есть калькулятор, а этот способ позволяет извлекать корень из любого числа с любой точностью. Да и знаний много не бывает.
Значит, рассмотрим извлечение квадратного корня из целого числа. Для наглядности возьмем сначала пример с трехзначным числом, например, извлечем корень из числа 625.
Теперь для тренировки поробуем извлечь корень из числа с точностью до десятых. Для этого возьмем число 113.
Продолжая процесс, можно вычислить корень из любого числа с любой точностью.
Случай, если число дробное, приводится к нашему алгоритму умножением на 100 = 10 в квадрате, 10000 = 100 в квадрате и так далее. Например, перед использованием приведенного метода для извлечения числа 25,8 его нужно умножить на 100, а после извлечения результат поделить на 10.
Поделиться:
Коды для вставки:
Скопируйте код и вставьте в окошко создания записи на LiveInternet, предварительно включив там режим «Источник»
| HTML-код: |
| BB-код для форумов: |
| Вы спросите для чего это нужно? В старших классах извлекать число из под корня нужно очень часто. Не всегда под рукой есть калькулятор, а этот способ позволяет извлекать корень из любого числа с любой точностью. Да и знаний много не бывает. Значит, рассмотрим извлечение квадратного корня из целого числа. Читать полностью |
| +10 | Lilit | 15.02.2012 | 210 | 18 | 2 комментария |
Построим каркасный дом вашей мечты
Каркасный дом с мансардой и 3 спальнями V157 «Белфаст»
Каркасный дом с гаражом на 2 машины V278 «Ричардсон»
Каркасный дом с мансардой V450 «Денвер»
Каркасный дом V020 «Эшвилл»
Комментарии
15 февраля 2012 года #
забрала в избранное, доча завтра разбираться будет)
24 ноября 2023 года #
Здравствуйте. Статья недороботана.
В первом примере умножаем 4х (от куда взялось 2х ?!)!
Десятичная точка и в первом и во втором примерах не там где нужно,
И как будут учиться по этой статье другие?
Способ решения раскрыт не полностью.
Спасибо за внимание.
Оставить свой комментарий
или войти если вы уже регистрировались.
| Можете войти как и оставить комментарий. |
Вставка изображения
Можете загрузить в текст картинку со своего компьютера:
Загрузка списка альбомов.
Вставка изображения
Фото вставлено в текст.
Можете вставить еще несколько или закрыть это окно.
— подписаться на тему
Чаще всего на сайте читают:
Хочу поделиться лекцией клинического фармаколога о наших популярных противовирусных препаратах. Начну с того, что клинические испытание новых препаратов на детях в нашей стране запрещены, но! Наверное все вы заметили, что как только в апетеке появляется новый препарат, педиатры (не все, но многие) начинают назначение препарата, а потом смотрят, помогло ли. Это я об испытаниях (все поняли). Теперь строго по фактам.
Я отношусь к малочисленному виду «мамаша-пофигист». Учится ребенок, и ладно. Золотая медаль в доме уже есть, висит-пылится на видном месте. Свой мозг в головы дочерей все равно не вложишь, поэтому приходится обходиться заводской комплектацией. На каждое собрание прихожу с открытой душой новорожденного ребенка: закономерные вопросы других, ответственных мам, типа «как вы решали №768 со страницы 878787 по учебнику Засланца-Марсианского» вводят меня в ступор. Однако и меня не обошел стороной конфликт с учителем. Но я смогла решить его с наименьшими потерями. Как? Об этом расскажу в своей записи.
Девочки, на одном сайте сегодня бурно проходили обсуждения о том «Что я никогла не сделаю при следующем ремонте». Тема оказалась такая актуальная и интересная, что я решила поднять ее здесь. Давайте поделимся своими ошибками и удачами в ремонте и обстановке наших гнездышек. Начну с себя.
Я гражданка России и я с трепетом в сердце вспоминаю мой дом, красоты Сибири, школу, детский сад, но время идет и жизнь разворачивает свои события по своему и нужно двигаться и жить дальше. В следующем году, январе месяце будет уже 9 лет, как мы иммигрировали в Австралию
Как извлекать корни в столбик?
Как складывать или вычитать числа столбиком помнят все. Умножать или делить — ну, почти все. А вот извлечение квадратных арифметических корней в столбик для многих будет в новинку. В старых школьных учебниках такой алгоритм описывался редко, в новых изданиях мне он попадался лишь в книге Мордковича (Алгебра, 8 класс).
Немало таких и прочих хороших счетных приемов показано в книге «Система быстрого счета по Трахтенбергу» Р. Мак-Шейна. Извлечение квадратных корней в столбик есть также в пособии «Математика — абитуриенту» В.В.Ткачука. Но очень надеюсь, что подача в видео будет приятней любой книжной. Наслаждайтесь!
6 лет назад
А нас такому не учили. Ёпть. Здорово.
6 лет назад
Офигинительно! Спасибо!
раскрыть ветку
6 лет назад
Текст бы глянул, видео не люблю — фона много)
раскрыть ветку
6 лет назад
В виде текста с картинками — с удовольствием почитал бы.
Видео смотреть, естественно, не стал.
раскрыть ветку
6 лет назад
Я студенткой научилась умножать устно, используя правила сокращенного умножения. Училась этому, используя Справочник по элементарной математике. Выгодский М.Я.. Навыки устного счета мне очень пригодились, когда в 90- е годы пришлось работать продавцом на улице.
Похожие посты
4 дня назад
Спасибо за детство
Это страница журнала «Лучик». Ежемесячный 80-страничный журнал для детей школьного возраста и их родителей.
Подписаться
5 дней назад
Как определять точное время с помощью созвездия Большой Медведицы?
Наверное, все знают, что первые две звезды ковша Большой Медведицы (крайние справа) являются «звёздами-указателями» – указывают направление на Полярную Звезду. Но знаете ли вы, что «ковш» Большой Медведицы можно использовать для того, чтобы определять время суток?
Но сначала научимся определять по Большой Медведице время года. Тут всё просто – надо найти Большую Медведицу в небе около 10 часов вечера и обратить внимание на положение ковша. Если ковш лежит низко над горизонтом, ручкой влево, значит, сейчас осень. Если ковш стоит вертикально, ручкой вниз, значит, сейчас зима. Если ковш поднялся высоко-высоко, так, что голову задираешь в самый зенит, значит, на дворе весна. Ну, а летом ковшик в это время чаще всего не виден, потому что Солнце ещё слишком высоко 🙂
А теперь давайте узнаем, как с помощью Большой Медведицы определять и местное время (именно местное, а не то, которое назначают разным часовым поясам депутаты Думы), причём весьма точно. В качестве «стрелки часов» будем использовать те самые «звёзды-указатели», которые называются Дубхе (верхняя) и Мерак (нижняя).
Вращается стрелка этих часов вокруг Полярной Звезды:
Чтобы определить местное время по Большой Медведице:
- Найдите на небе звёзды-указатели и запомните время, которое они показывают.
- К полученному времени прибавьте номер месяца с точностью до одной десятой (то есть на каждые 3 дня добавляем 0,1)
- Полученное число умножьте на два
- Итоговую цифру надо вычесть из числа 55,3. Если результат больше 24, отнимите ещё 24. Полученное значение – местное время в часах и долях часа.
Например, 22 октября мы видим в небе расположение звёзд, как на картинке:
Звёзды Дубхе и Мерак («стрелка» наших часов) показывают 4 часа. На дворе октябрь, десятый месяц, значит, прибавляем 10. У нас 22 октября – нам надо добавить 0,1 на каждые 3 дня, значит, добавляем 0,7. 4 + 10 + 0,7 = 14,7.
Умножаем на два: 14,7 х 2 = 29,4. Вычитаем из 55,3: 55,3 – 29,4 = 25,9. Результат больше 24, значит, отнимаем ещё 24: 25,9 – 24 = 1,9.
Значит, местное время равно 1 часу 55 минутам, на дворе без пяти два ночи.
При известной тренировке по таким звёздным часам можно узнавать время с точностью до 10 минут!
Как устроена бесконечность? Что такое энтропия, и грозит ли вселенной «тепловая смерть»? Почему время нам только кажется? Рассказывает журнал «Лучик». Отзывы о нём можно прочесть:
- на «Отзовике»
- на «Яндекс-картах»
- на Wildberries
Скачать журнал бесплатно и без регистрации можно здесь
Показать полностью 6
Поддержать
28 дней назад
Математики на секретной службе
Вы слышали о кладе Томаса Бейла? Двести лет назад золотоискатель Бейл спрятал где-то в Америке клад из серебра, золота и драгоценных камней – и оставил об этом три зашифрованных документа. Второй документ удалось расшифровать, а вот первый и третий пока никому не дались. Многие до сих пор мечтают найти этот клад (между прочим, его стоимость примерно 30 миллионов долларов).
Кстати, не хотите попытать счастья? Местоположение клада – вот оно, надо только суметь прочитать.
А знаете ли вы, чем прославил своё имя математик Христиан Гольдбах?
Тем, что в в 1742 году сформулировал гипотезу, истинность которой общепризнана, хотя за два с половиной столетия никому не удалось её доказать. Гипотеза очень простая:
(Может быть, вы докажете? )
Простое число – это натуральное число, которое делится только на само себя и на единицу. (Результатом деления его на любое другое число будет дробь.) Почему гипотезу Гольдбаха не удаётся доказать? Ведь очевидно, что 7 является суммой простых чисел 3, 2 и 2 – и так далее?
Вот именно – «и так далее». Можно заниматься подобными вычислениями годами, даже десятилетиями и убеждаться, что каждое новое нечётное положительное целое число, найденное вами, будет соответствовать гипотезе. Но. никто ещё не предложил убедительных доказательств того, что не существует нечётного положительного целого числа, которое не является суммой трёх простых чисел. Почему? Потому что нечётных чисел бесконечное множество и доказать верность гипотезы для каждого из них невозможно.
А знаете ли вы, что Гольдбах жил и работал в России. кем?
Ну-ка угадайте. (Напишите, кто уже догадался.)
Гольдбах служил при коллегии иностранных дел, то есть, говоря языком современным – в МИДе. Он был статским советником – это генеральский чин! А в 1760 году Гольдбах был пожалован в тайные советники с огромным по тем временам жалованием в 4500 рублей. За что такие деньги и почести? Математику? Да ещё в министерстве иностранных дел?
. За то, что Гольдбах блестяще владел искусством дешифровки. Секретные письма прусских, австрийских, французских послов и министров для него были «семечками». Русская дипломатическая служба читала тайную переписку, была в курсе самых мелких подробностей при заграничных королевских дворах, и Россия извлекала из этого огромную пользу – и во время войны, и во время мира.
Дешифровкой дипломатической переписки также занимались и другие известные математики – Даниил и Николай Бернулли, Леонард Эйлер, Павел Шиллинг (попутно он изобрёл ещё и электрический телеграф собственной конструкции). Вот вам и математики на разведывательной службе!
А знаете ли вы, для чего был сконструирован первый в мире цифровой компьютер – «прадедушка» всех современных ноутбуков, десктопов и планшетов? Случилось это в 1943 году, и был этот компьютер предназначен для «взлома» американцами шифров – прежде всего немецкого и японского, но также и советского, и даже британского. Знать тайны союзников иногда не менее важно, чем тайны врагов, знаете ли. А американский математик Клод Шеннон после войны написал целую книгу, которая так и называется – «Теория связи в секретных системах», и книга эта не про плащи и кинжалы, не про яды и револьверы, а математика, математика, снова математика!
Шведский математик Арне Берлинг в середине 30-х годов прошлого века, перед самой войной, сумел «взломать» советскую систему секретной связи. Эту информацию во время Зимней Войны шведы передавали финнам – и те этой информацией пользовались чрезвычайно умело! Финское командование знало о том, что советские бомбардировщики взлетают с аэродромов ещё до взлёта – и советская авиация сбрасывала бомбы по совершенно пустым целям. С помощью этой информации финны смогли нанести нашей армии тяжёлое поражение под Суомусалми и захватить большое количество военной техники и имущества. Вот что может сделать всего лишь один-единственный математик! И пока наша разведка не догадалась, что финны нас «тотально прослушивают», нашим войскам было очень нелегко.
Вообще, «секретные сообщения» изучают две разные науки. В чём-то схожие, в чём-то совсем непохожие друг на друга. Одна изучает именно шифры – буквенные и цифровые системы секретной передачи данных. Она называется «криптография». Вторая изучает не только буквы и цифры, но и вообще технику секретной передачи данных, создание скрытых сообщений. Она называется «стеганография».
Понимаете разницу? Зашифровать тайное донесение – задача криптографии. А вот искусно зашить это донесение в сапог или разрезать на части и спрятать в горсти пустых внутри грецких орехов в продуктовом мешке – это уже стеганография.
Криптография и стеганография возникли параллельно, примерно в одно и то же время. Сложно сказать, кто был изобретателем первых «секретных систем передачи данных» – древние военные, жрецы, ремесленники, астрологи, врачи? Скажем, древний мастер знает рецепт изготовления особенной краски – яркой и стойкой. Но рецепт этой краски необходимо держать в тайне, иначе её начнут делать все подряд! И вот мастер придумывает особые значки и записывает рецепт «тарабарской азбукой». Или изобретает невидимые чернила. Или прячет буквы рецепта между другими буквами!
Вы, наверное, видели когда-нибудь, как пишут арабскими буквами? Для непосвящённого искусная арабская «вязь», особенно древняя (куфическая) – это бессмысленный набор линий, точек и палочек. Но в этом узоре может быть спрятан самый настоящий текст! В Азербайджане, в столице государства, в Баку, находится замечательный памятник архитектуры – дворец Ширван-шахов. Мавзолей, находящийся внутри дворца, украшает торжественная арабская надпись:
Величайший султан, великий ширваншах, тёзка пророка Аллаха, защита веры Халиль-Улла, да увековечит Аллах его царство и власть, приказал выстроить светлую гробницу для своей матери и своего сына, да помилует их Аллах. Восемьсот тридцать девятый год [1435 по нашему исчислению].
Но султан, сами понимаете, сам ничего не строил. Долгое время считалось, что имя строителя мавзолея утрачено – но в 1954 году архитекторы приставили к одному из декоративных медальонов по бокам от главного входа зеркало – и прочли другую, скрытую надпись!
Узнай султан о том, что мастер посмел оставить свой «автограф» на стене мавзолея, рядом с именем султана, бедняге Мухаммаду Али немедленно отрубили бы голову. Но архитектор был хитёр и искусно «врисовал» свою монограмму в орнамент, так что почти пятьсот лет никто такого не подозревал!
Усыпальница Ширваншахов в Баку. В орнаменте на фасаде вписано имя архитектора
Вот такие вот «спрятанные», «хитрые» надписи изучает стеганография. Ну, а если вы знакомы со сборником рассказов о Ленине писателя Михаила Зощенко, то должны помнить оттуда забавный рассказ «Иногда можно кушать чернильницы». Ленин не шифровал текст (криптография), он писал его молоком – то есть невидимыми, «симпатическими» чернилами (стеганография).
Кстати, проверяли? Работает?
Ещё с IV века до нашей эры известны «доска Энея» и «книга Энея». Эней был знаменитым древнегреческим полководцем – однако это почти всё, что мы о нём знаем. Он придумал, как шифровать текст с помощью узелков на длинной нити! Нить обматывалась на специальной линейке, которая и была ключом к шифру. Гонец вместо пергамента или папируса нёс просто невинную нить или шнурок с узелками – сами понимаете, такую вещь можно легко спрятать в складках одежды или даже в волосах. Получивший нить доставал в точности такую же линейку, и читал секретное донесение!
Эней придумал и другой вид тайнописи – вместо донесения посылалась книга, обычного содержания, скажем, какие-нибудь стихи. Только нужные буквы были аккуратно надколоты иглами! Знающий об этом мог тайное послание прочесть, а никто другой – нет.
Однако хватит истории. Давайте поиграем!
Самый элементарный шифр, который только можно придумать, это «простая подстановка». Его так и называют часто – «детский» шифр или «пионерский». Потому что его обожают использовать дети, играющие в военные игры. Расставим все буквы по алфавиту и каждой букве припишем номер: буква А – 1, буква Б – 2, буква В – 3 и так далее.
Тогда, скажем, название нашего журнала ЛУЧИК превратится в 13 21 25 10 12.
Почему этот шифр «детский»? Потому что он очень прост. Для того, чтобы его взломать, достаточно догадаться, на каком языке текст написан. То есть буквы какого алфавита мы использовали. Обратите внимание, это важно: если мы знаем, что надпись сделана по-русски, то моментально расшифруем.
А если латинскими буквами? Пронумеруем латинский алфавит и подставим буквы на место цифр:
13 21 25 10 12 – M U Y J K
Кхм. вместо «лучика» какой-то «мужик» получился, уж извините.
Тем не менее, для того, чтобы «угадать» язык послания, есть много способов. Скажем, простой счёт разных букв! Если их 26 (как в английском алфавите), мы имеем дело с латиницей. Если 28 – как в арабском – то «подозрение» падает на арабский язык. Если 33 – то на русский. А вот в рассказе «Золотой жук» у Эдгара По главный герой сразу же знает, что к нему в руки попал зашифрованный текст на английском языке. Откуда? Под текстом стояла подпись, рисунок козлёнка (по-английски «кид»). Игра слов «кид» и «Кидд» (имя пиратского капитана) возможна только в английском языке – и дальше легко, просто рассуждая логически, Легран «взламывает» шифр и находит клад. Хотя внешне документ выглядит жутковато:
53‡‡†305))6*;4826)4‡.)4‡);806*;48†8 !60))85;1‡(;:‡*8†83(88)5*†;46(;88*96 *?;8)*‡(;485);5*†2:*‡(;4956*2(5*—4)8 !8*;4069285);)6†8)4‡‡;1(‡9;48081;8:8‡ 1;48†85;4)485†528806*81(‡9;48;(88;4 (‡?34;48)4‡;161;:188;‡?;
Как герой рассказа разгадал эту загадку? С помощью математического метода, который называется «частотным анализом». Несмотря на современное название, сам метод очень древний – впервые его описал в своей книге арабский математик, музыкант и астроном Абу Юсуф аль-Кинди, ещё в IX веке нашей эры! В чём смысл этого метода? Опять-таки, в умении считать, а также хорошем знании языка оригинала! Скажем, в арабском языке самое распространённое слово – это определённый артикль «аль-». В английском – артикль «the». Кому было адресовано секретное донесение? Кто его составил? Все письма обычно начинаются со слов типа «здравствуйте» и заканчиваются словами типа «до свидания». Нельзя ли здесь отыскать ключ к разгадке?
Вот и Легран – зная, что в английском слово «the» встречается очень часто, определяет: знак ; в шифровке означает букву t, знак 4 – букву h, а знак 8 – букву e. Так постепенно, букву за буквой, он «распутывает» эту, казалось бы очень сложную, головоломку.
А вот в рассказе про Шерлока Холмса и пляшущих человечков (а это тоже шифр с простой заменой) «ключом» послужило женское имя «Илси». Сыщик знал, что записки часто начинаются с имени того, кому они адресованы – и угадал верно!
С романом «Жангада» у Жюля Верна, кстати, случилась прелюбопытнейшая ситуация. Этот роман печатался в юношеском журнале «Обучение и развлечение» по главам. Писатель вставил в текст самое настоящее шифрованное сообщение – но. вышла промашка! Шифр, который он использовал, был слишком простым – и многие юные читатели смогли этот шифр «взломать», прочитать и тем самым узнать «что же будет дальше». В итоге Жюль Верн был вынужден использовать в книге более сложный шифр – так называемый шифр Виженера. Этот шифр – более крепкий орешек, математики не умели его взламывать целых триста лет! Однако в конце концов научились.
Напоследок давайте научимся составлять секретные сообщения «методом шахматной доски», он же «метод Кардано». Кстати, Джероламо Кардано – это ещё один математик (а ещё заодно астролог, изобретатель и врач) в нашем рассказе. Возможно, вы знаете про карданов вал в автомобиле. А может быть, слышали про формулу Кардано (мы про неё, кстати, скоро напишем). А вот сегодня расскажем, как сделать «решётку Кардано».
Возьмите лист плотной бумаги или картона и аккуратно начертите на нём квадратную «шахматную доску» из 64 клеток (8 клеток на 8). Клетки внимательно пронумеруйте так, как показано на рисунке.
Цифры в каждой четверти «решётки» (мы для наглядности раскрасили четверти в разные цвета) идут от 1 до 16, причём сначала слева направо, затем сверху вниз и справа налево, затем снизу вверх и слева направо, и наконец справа налево и снизу вверх. Запутаться можно, но вы постарайтесь, и у вас всё получится. Вы можете использовать цветные фломастеры или карандаши для того, чтобы раскрасить доску или цифры, то есть правильно расставить цифры по квадратам доски.
Затем внутри маленьких «угловых квадратов» 4 на 4 клетки нужно вырезать по одной или нескольку клеток в каждой строке. А можно вообще не вырезать. Но действовать по строгому правилу: если квадратик с таким номером уже был вырезан в другом «углу», то вырезать его уже нельзя! У нас получится решётка, «сетка».
Отверстия в решетке Кардано прорезаются так чтобы цифры не повторялись
Готовая решётка Кардано
Наложите ее на бумагу и в получившихся окошечках начните писать свой текст.
Затем поверните сетку на девяносто градусов и продолжайте писать сообщение – в «окошечках», если всё было сделано правильно, будет только чистая бумага! Заполните их и поверните решётку ещё раз. И снова пишите.
В результате, когда вы снимете решётку, у вас получится «секретное сообщение» – бессмысленная чехарда из рассыпанных в беспорядке букв.
Но стоит наложить сетку Кардано на бумагу и повернуть 4 раза – и ваше секретное сообщение станет видимым, читаемым! Такое секретное послание станет отличным подарком для друга. Или пригодится для игры в шпионов, уж как сами решите!
А применялись ли такие решётки в действительности, настоящими секретными агентами? – спросите вы. О, ещё как! Например, большим любителем шифровать свои письма с помощью хитро вырезанных решёток Кардано был знаменитый кардинал де Ришелье из романа «Три мушкетёра». Очень долгое время такие решётки были настоящими «королями дипломатической секретной переписки». Почему? Потому что они просты в изготовлении, удобны, а главное – позволяют передавать сообщение «прямым текстом», не шифруя. Упрощённый вариант «решётки» – метод, когда в тексте нужно читать (по предварительной договорённости) строго определённые слова. Тут мы снова можем вспомнить детективные рассказы о Шерлоке Холмсе. Сыщик читает записку, на первый взгляд совершенно бессмысленную:
С дичью дело, мы полагаем, закончено. Глава предприятия Хадсон, по сведениям, рассказал о мухобойках все. Фазаньих курочек берегитесь.
Но потом он догадывается, что читать нужно только каждое третье слово! И записка становится совершенно ясной:
Дело закончено. Хадсон рассказал всё. Берегитесь.
А вот как выглядела настоящая решётка Кардано для дипломатической переписки.
Письмо написано элегантным каллиграфическим почерком по моде XVI или XVII века. Выглядит оно совершенно невинно, как простое очень вежливое купеческое письмо, скажем, от одного торговца или банкира к другому. Однако при наложении решётки «выплывает» сообщение совершенно иного характера: «Испания в мае отправляет корабли на войну». А знание того, когда и какими силами враг собирается напасть на тебя – знание бесценное, что в XVI веке, что в XXI.
Познакомиться с журналом «Лучик» можно по этой ссылке.
Будем рады, если он вам понравится!
А это наш телеграм-канал: https://t.me/luchik_magazine Он не дублирует этот канал, там мы публикуем другие статьи! Присоединяйтесь!
Показать полностью 22
Поддержать
1 месяц назад
Моя игра про математику наконец вышла!
Разные режимы и уровни сложности
Немного предыстории для тех, кто не в курсе. Моя дочь с большим трудом осваивала таблицу умножения. Никак у неё это дело не шло. Поразмыслив, я решил сделать для неё игру, чтобы было веселее и интереснее. Начал с совсем простенькой версии, сделанной на коленке за пол часа. Пару месяцев назад выложил эту версию и пикабушникам игра внезапно зашла.
Что ж. Задумавшись, я решил допилить игру до приличного вида. Думал это займёт мало времени, но оказалось, что выпустить игру на площадке — дело не такое простое.
Игра полностью бесплатна, в ней нет ни встроенной рекламы, ни доната. Моя дочь играет с удовольствием, надеюсь и вашим детям понравится и поможет научиться хорошо считать. Есть режимы как для самых маленьких со сложением или вычитанием (5 + 4), так и усложнённые режимы для более взрослых.
Пока выложил на Яндекс играх, позже сделаю версию для Android (Там надо подумать куда её опубликовать, с Гугл плей есть некоторые заморочки).
Показать полностью 1
Поддержать
Математические посты
Подписаться
1 месяц назад
Смогли бы умножать таким способом?
1 месяц назад
В задаче ошибка
Показать полностью 1
1 месяц назад
Ответ на пост «Задачник для первого класса»
Мне кажется мы стали забывать как должен выглядеть задачник для первого класса
Показать полностью 3
2 месяца назад
Кипятильник, инопланетяне и ледяное одеяло
Привет, «Лучик»! Недавно я ходила в планетарий, и там мне рассказали о планете полностью покрытой льдом. После этого я не могу понять почему нельзя привезти на эту планету сильный обогреватель? Ведь лёд превратится в воду, а в ней образуется жизнь.
Полина П.
Привет, Полина! Спасибо за интересный вопрос! И для начала – встречный вопрос: а нравятся ли тебе в школе уроки математики? Потому что ответить на твой вопрос без математики не получится!
Европа, покрытый льдом спутник Юпитера
Многие дети математику не любят, даже боятся. И как только видят где-нибудь формулы, тут же пугаются и «читать дальше» совершенно не хотят. Потому что «скучно», «непонятно» и даже «страшно». Что намного хуже – откроем секрет, точно также себя ведут многие взрослые! Математики они не любят, формул и чисел боятся, как огня! Это грустно – и очень плохо.
Плохо вовсе не потому, что за неправильно решённую задачу или пример поставят двойку! Дело в том, что математика – единственный верный способ «предсказывать» события, «предвидеть результат». Именно поэтому в древние времена математику считали разделом магии, то есть волшебством. Скажем, читаем в новостях: в каком-то городе решили построить для детей стадион. Хорошее дело, правда? Началось строительство. А потом. как-то само собой закончилось «где-то посредине». И остался стадион стоять «недостройкой», «заброшкой». И ребята остались без нового стадиона. Почему? А потому что те самые не любящие формулы и цифры взрослые посчитали – на стадион надо (допустим) десять миллионов рублей. А когда строительство уже началось, вдруг выяснилось – посчитали неправильно, и нужно не десять миллионов, а сто! И где их взять? Скандалы в газетах, разбирательства в суде.
Вот почему так важно «подружиться» с математикой ещё в школе. Любое большое и сложное дело – это прежде всего точный и подробный план. А такой план без формул, цифр и расчётов невозможен!
Итак, «почему бы на покрытую льдом планету не привезти сильный обогреватель»? Помните, как в мультфильме «Ну, погоди!» Волк с помощью кипятильника согревает воду в пруду, и там становится так жарко, что на берегу начинают расти ананасы, а в самом пруду заводятся крокодилы, ага?
Так вот, сперва нам нужно оценить – а насколько «мощным» должен быть этот кипятильник, или (переводя на язык науки) сколько нам потребуется энергии?
Для примера возьмём Энцелад – полностью покрытый льдом спутник планеты Сатурн. Этот спутник учёными достаточно неплохо изучен, мы многое знаем о нём благодаря автоматическим космическим аппаратам «Вояджер» и «Кассини». Внимание! Вдохнули! Начинаются цифры и формулы! Диаметр Энцелада – 500 километров, а толщина ледяной корки на поверхности – около 2 километров. Используем формулу объёма шара из школьного учебника математики (два раза), вычитаем, и получаем ответ: нам предстоит растопить примерно 1 миллион 500 тысяч кубических километров льда.
Энцелад (спутник планеты Сатурн)
Причём совсем не простого льда! Энцелад находится на огромном расстоянии от Солнца – почти полтора миллиарда километров. Поэтому солнечного тепла там очень мало – температура на поверхности минус 200 градусов! А при такой температуре лёд становится очень плотным и твёрдым, из такого льда можно запросто сделать ножницы, нож или даже топор – причём острые, как бритва! Плотность привычного нам «земного» льда при температуре ноль градусов – 916 килограмм на кубический метр. «Инопланетный» лёд на Энцеладе намного тяжелее – примерно 934 килограмма на кубический метр. Теплоёмкость у него примерно в два раза меньше, а теплопроводность – наоборот, примерно в два раза больше. А в одном кубическом километре (таблицу на последней странице школьной тетради помните?) – ровнёшенько 1 миллиард кубических метров льда. Значит, нам предстоит растопить (умножаем):
1 500 000 кубических километров Х 1 миллиард кубических метров Х 934 килограмма
Масса льда на Энцеладе РАВНЯЕТСЯ = 1 494 400 000 000 000 000 килограмм. Буквами: один секстиллион четыреста девяносто четыре квинтиллиона четыреста квадриллионов килограмм.
Теперь можно рассчитать требуемую энергию. Для этого воспользуемся термином «количество энергии» из школьного учебника. Давным-давно учёные считали, что тепловая энергия – это невидимая и невесомая жидкость, этакая «волшебная вода», которая называется «теплород». Забавно – представляете себе, чтобы теплоту можно было, скажем, наливать в бутылки или стаканы, как газировку или сок? В общем, в конце концов учёные поняли, что ошибались и никакой «волшебной воды-теплорода» нет – но вот сам термин «количество теплоты» и даже формулы с тех времён сохранились! Потому что в науке бывает и так – теория была неправильная, но вот формулы в этой теории были правильные, дающие точный результат!
Чтобы растопить наше количество льда, нужно массу умножить на другое число из школьного учебника физики – удельную теплоту плавления, для льда это 333 (килоджоулей, то есть тысяч джоулей, на килограмм). Получаем
497 635 200 000 000 000 000 000 джоулей, или 497 635 200 000 000 гигаджоулей. Снова прописью: четыреста девяносто семь триллионов шестьсот тридцать пять миллиардов двести миллионов гигаджоулей.
Считать в таких огромных числах неудобно – да и не очень понятно, «на что же это похоже». Переведём наши джоули в «тротиловый эквивалент», то есть разделим на 4,184:
497 635 200 000 000 : 4,184 = 118 937 667 304 015 тонн, то есть примерно 120 000 000 мегатонн (120 тератонн) тротила. Самая мощная водородная бомба, когда-либо созданная людьми («Царь-бомба») обладала мощностью примерно в 60 мегатонн. А тут у нас таких бомб – целых два миллиона. мамочки!
«А если в более мирных единицах?» – спросите вы. Ну что ж, можно и в мирных:
497 635 200 000 000 гигаджоулей = 138 232 000 тераватт-часов. Чтобы вы поняли: общая мощность ВСЕХ-ВСЕХ-ВСЕХ электростанций на Земле составляет примерно 2 тераватта. То есть чтобы только растопить «нуль-градусный» лёд и превратить его в воду, нам понадобится в семьдесят миллионов раз больше энергии, чем производят все электростанции Земли. Другими словами: такое количество энергии все современные земные электростанции произведут примерно за восемь тысяч лет.
Но погодите! Прежде чем растопить лёд, нам его же ещё и нагреть нужно! С минус двухсот градусов до нуля! Снова возьмём формулу из школьного учебника и умножаем:
1 494 400 000 000 000 000 килограмм Х 200 градусов Х 1400 (джоуль-килограмм-градус) =
418 432 000 000 000 000 000 000 джоулей, или 418 432 000 000 000 гигаджоулей.
В тротиловом эквиваленте: 100 007 648 183 556 тонн, или примерно 100 тератонн тротила. Повторимся: бомб такой мощности люди не создавали (и надеемся, что не будут создавать) – взрыв такой силы произойдёт, если в Землю врежется метеорит диаметром 10 километров. Последствия взрыва такой силы чудовищны: человечество, скорее всего, будет уничтожено полностью. Именно такой силы был взрыв, погубивший динозавров 65 миллионов лет назад.
Если в мирных единицах, то получим
418 432 000 000 000 гигаджоулей = 116 231 111 тераватт-часов, то есть примерно в 60 миллионов раз мощнее всех электростанций Земли! Это ещё 7 тысяч лет работы – а всего получается 15 тысяч лет. Вся наша цивилизация столько времени не существует, увы.
Вот вам и ответ на вопрос Полины! Возможно, расчёты и были длинными и скучными – но зато теперь мы можем себе чётко представить, НАСКОЛЬКО «сильный обогреватель» потребуется для того, чтобы растопить лёд на Энцеладе! Таких «турбо-кипятильников» у человечества нет даже в планах на будущее, даже на далёкое будущее.
И тут, кстати, появляется ещё один, очень важный, вопрос: ну, растопим мы лёд, а что будет дальше? Ведь температура на Энцеладе как была минус 200 градусов, так и останется! Если наша атмосфера на Земле сравнима с толстым одеялом, сохраняющим тепло, то атмосфера Энцелада – тонюсенькая простыночка. То есть как только мы растопим лёд и получим воду, вода тут же замёрзнет обратно! И – «мочала начинай сначала».
И ещё один вопрос, наверное, самый важный: Полина пишет «лёд превратится в воду, а в ней образуется жизнь». Но что скрывается под двухкилометровой ледяной коркой на Энцеладе? Как раз та самая вода! Жидкая вода! Целый подлёдный океан! Железо-каменное ядро Энцелада активное, горячее, оно греет воду там, в непроглядной глубине, там возможны даже подводные вулканы! И очень может быть, что на Энцеладе уже есть жизнь – там, внизу, в том самом тёплом океане! Загадочная, неземная, инопланетная. И существовать она может в том числе именно потому, что этот океан надёжно укрыт от безжалостного космоса толстым ледяным одеялом, ледяной корой! Для нас с вами «ледяное одеяло» звучит немножко смешно – но в космосе это вполне реальная вещь! И растопив эту кору, это «одеяло» нашим «супер-мега-кипятильником», мы, земляне, подвергнем эту загадочную жизнь страшнейшей опасности! И намного мудрее будет не изобретать «сверхмощный нагреватель», а бурить с поверхности глубокие скважины – и отправлять на исследования подлёдного океана Энцелада автоматические аппараты! Что они увидят, что они сумеют отыскать – там, на двухкилометровой глубине, в полутора миллиардах километров от Солнца? Жизнь – а на что похожую? Будут ли это микроскопически малые существа вроде наших бактерий – или же существа крупного размера? Будут ли они похожи на рыб? Или на креветок и крабов? На моллюсков или медуз? Будет ли это похоже на то, что пишут писатели-фантасты – или будет интереснее самой интересной фантастики? Кто знает.
Квадратный корень
У каждой арифметической операции существует своя обратная, например, операцией обратной сложению является вычитание, действием противоположным умножению будет деление. В предыдущий раз мы изучали операцию возведения в квадрат, например, можно возвести в квадрат число 7 , получив 49 :
Существует операция обратная возведению в квадрат – это извлечение арифметического квадратного корня из числа, благодаря которой мы можем из 49 назад получить число 7 :
Чтобы извлечь арифметический квадратный корень из 49 , нужно подобрать такое число, квадрат которого равен числу 49 . Однако, существуют два таких числа – это 7 и −7 :
Поэтому для определенности принято считать, что арифметическим квадратным корнем из действительного числа является именно неотрицательное число.
Так, например, квадратный корень из 16 будет равен 4 , потому что 4 2 =16 , а число −4 не подходит, потому как оно отрицательное, несмотря на то, что его квадрат равен 16 :
Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа, например из −16 ? Для этого нужно найти число, которое в квадрате равно −16 , то есть число, которое при умножении на само себя будет равно −16 . Но если умножать какое-нибудь положительное число на само себя, то неизбежно получится положительное число, а если отрицательное умножать на отрицательное, то получится опять положительное.
Получается, что среди уже известных нам действительных чисел нет таких, квадрат которых равен отрицательному числу. А вот среди неизвестных комплексных чисел такие числа существуют, только, чтоб приступить к их изучению нужно для начала хотя бы узнать что такое синус и косинус на единичной окружности. Так что пока мы не выйдем за пределы школьной программы, мы будем считать извлечение квадратного корня из отрицательного числа невыполнимой операцией.
Поэтому следующее определение распространяется только на неотрицательные числа.
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a :
Число a , находящееся под знаком корня, называется подкоренным числом. Для краткости слово «арифметический» часто опускают, а иногда говорят просто «корень из a ».
Квадратный корень можно извлечь и из нецелого положительного числа, главное, чтоб оно было неотрицательным:
Очевидно, что квадратный корень из нуля и единицы тоже будет равен нулю и единице:
Далеко не из всех неотрицательных чисел возможно точно извлечь корень, а можно получить только его приближенное значение тогда, обычно, говорят, что корень не извлекается.
Например, не получится точно извлечь корень из семи:
Какое число при умножении на себя будет равно семи? 2 – мало, 3 – много, значит где-то больше двух, но меньше трех:
Корень из семи приблизительно равен такому числу:
На самом деле число – иррациональное, значит цифры после запятой будут идти до бесконечности, а бесконечное количество цифр написать невозможно. Так что корень из семи можно вычислить всегда только приблизительно. В таких случаях не пытаются извлечь корень, а так его и оставляют, имея ввиду такое число, квадрат которого равен семи.
Такие числа как и. т. д тоже иррациональные, поэтому можно получить только приближенные значения корней из этих чисел:
Извлечение квадратного корня в столбик
В процессе изучения математики редко придется сталкиваться с большими числами, а среди маленьких чисел не так много тех из которых корень извлекается, поэтому корень из таких чисел либо просто уже помнят, либо его легко можно подобрать. Если же корень из числа не извлекается, (как правило, это сразу заметно), тогда его и не требуется извлекать.
Но все же иногда приходится извлекать корень из большого числа или получать его приближенное значение без калькулятора, поэтому рассмотрим на примере способ извлечения квадратного корня в столбик.
Допустим нам нужно извлечь квадратный корень из числа 241081 . Напишем это число вместе с десятичной запятой, которая в этом числе идет сразу после цифры 1 и вертикальную черту справа, после которой будем потом записывать цифры результата. Затем, начиная с запятой, разобьем все число на группы разделителем – по две цифры в каждой. Количество таких групп равно количеству цифр в будущем извлеченном корне.
Подбираем наибольшее однозначное число, квадрат которого меньше либо равен числу 24 в первой группе, таких чисел всего десять:
0 2 =0∙0=0 5 2 =5∙5=25
1 2 =1∙1=1 6 2 =6∙6=36
2 2 =2∙2=4 7 2 =7∙7=49
3 2 =3∙3=9 8 2 =8∙8=64
4 2 =4∙4=16 9 2 =9∙9=81
Выходит, что наибольшим числом, не превосходящим 24 , является 16 , а 25 – уже больше чем 24 и не подходит. Значит, под 24 в первой группе записываем 16 , и под 16 проводим черту.
Число 16 мы получили, когда возводили в квадрат 4 , значит, справа от вертикальной черты записываем 4 – это первая цифра результата.
Отнимаем столбиком от 24 число 16 , проводим горизонтальную черту и под ней записываем результат равный восьми.
Приписываем к этой восьмерке вторую группу, чтобы под нижней чертой получилось число 810 , которое мы напишем синим цветом, и слева от него проведем вертикальную черту.
Возьмем имеющуюся часть результата (число 4 ) и умножим ее на 2 , результат этого умножения равный восьми запишем справа от вертикальной черты так, чтобы после этой восьмерки осталось место для еще одной цифры.
Теперь к этой восьмерке нужно приписать одну цифру, так чтобы получилось двухзначное число, после чего умножить это двухзначное число на цифру, которую приписали. Например, если приписать к этой восьмерке цифру 2 и умножить на 2 , то получится 164 :
А если приписать 3 , то получится 249 :
Из получившихся трехзначных чисел нужно выбрать наибольшее, которое не будет превосходить синего числа 810 . Подходит 801 , потому что, оно самое большее из тех чисел, которые меньше чем синее 810 .
Число 801 получилось в результате умножения 89 на 9 , значит, 9 – это вторая цифра результата, написать ее надо в трех местах – после четверки в результат, в оставленное после восьмерки место и еще раз под этой же девяткой.
Производим умножение 89∙9 в столбик. Только результат умножения 89∙9 следует записывать под синим 810 .
Подведем черту под 801 и столбиком отнимем 801 от 810 . К получившемуся результату вычитания (числу 9 ) припишем следующую группу, образовалось число 981 , которое мы также выделим синим цветом.
Далее все повторяется. Ставим вертикальную черту слева от синего 981 . Опять умножаем имеющуюся сейчас часть результата (это уже 49 ) на 2 , получаем 98 , пишем 98 слева от вертикальной черты, оставляя место для еще одной цифры.
И подбираем, наибольшую цифру, которую следует приписать к 98 . чтобы после умножения 98 с этой приписанной цифрой на эту же цифру получилось число меньшее или равное синему 981 :
Тут сразу можно увидеть, что приписать нужно единицу, потому что 981 , умноженное на приписанную единицу, как раз будет равно синему числу 981 . Следовательно, 1 – это очередная цифра результата, напишем 1 в трех местах: после 49 , после 98 в оставленное место и еще раз под этой же единицей. .
Умножаем в столбик 981 на 1 , результат умножения записываем под 981 .
Проводим горизонтальную черту под 981 и отнимаем 981 от 981 , будет ноль – это значит, что весь процесс завершен, и корень из числа извлекается. Если до нуля дойти так и не удалось, значит, корень не извлекается и получить можно лишь приближенное значение, либо где-то была допущена ошибка.
Проверим результат возведением в квадрат 491 :
491 2 =491∙491=241081
Полученное число совпало с первоначальным – все правильно.
Теперь извлечем корень в столбик из 41 , корень из этого числа не извлекается, поэтому вычислим его приблизительно – только первые три цифры после запятой. Для этого после запятой напишем еще шесть нулей, по два нуля на каждый знак после запятой в будущем приближенном корне.
Начиная с запятой, разделим все число на группы по две цифры и поставим вертикальную черту, после которой будем записывать результат.
Подбираем наибольшую цифру, квадрат которой меньше или равен 41 :
0 2 =0∙0=0 5 2 =5∙5=25
1 2 =1∙1=1 6 2 =6∙6=36
2 2 =2∙2=4 7 2 =7∙7=49
3 2 =3∙3=9 8 2 =8∙8=64
4 2 =4∙4=16 9 2 =9∙9=81
Очевидно, что подходит число 6 , квадрат которого равен 36 . Значит, после вертикальной черты ставим 6 , а под 41 пишем 36 .
Отнимаем столбиком 41−36 , записываем полученную разницу равную пяти, и рядом пишем следующую группу, состоящую из двух нулей.
Поскольку мы уже начали приписывать группы находящиеся за пределами запятой в числе 41 , то следует поставить запятую и после шести.
Умножаем на два часть результата, который уже есть, и получившееся 12 записываем, оставляя место для одной цифры.
Подбираем цифру, которую надо приписать к 12 . Подходит 4 , потому что 124∙4=496 – это наибольший результат не превосходящий 500 . Пишем цифру 4 и в результат после запятой, и после 12 , и ниже 12 -ти.
Умножаем столбиком 124 на 4 , результат записываем под 500 .
Отнимаем 500−496 , результат записываем под очередной горизонтальной чертой и сносим следующую пару нулей.
Снова умножаем на два весь существующий результат без учета запятой: 64∙2=128 . Записываем 128 , оставив место для еще одной цифры.
Дальше нужно подбирать цифру, которую нужно поставить после 128 . Но даже если подставить единицу и на нее умножить, получится слишком много – гораздо больше чем 400 :
Но существует цифра, значение которой еще меньше одного – ноль:
Следовательно, следующая цифра результата – ноль. Ставим этот ноль во все нужные три места.
Умножаем 1280 на 0 , результат записываем под 400 .
Столбиком вычитаем 0 из 400 , приписываем к разности следующую группу, состоящую из нулей.
Умножаем на два имеющуюся часть результата: 640∙2=1280 , записываем слева 1280 , оставив место под следующую цифру.
Если приписать к 1280 еще одну цифру получится больше чем 12 тысяч. Значит, умножить его надо на 3 , чтобы получилось максимальное число не превосходящее 40 тысяч. Следовательно, следующая цифра результата – три.
Так как корень из 41 не извлекается, то процесс извлечения корня из этого числа можно продолжать до бесконечности, с каждым разом увеличивая точность. Но мы собирались найти только первые три цифры после запятой.
Осталось только убедиться, что квадрат числа 6.403 достаточно близок к 41 :
6.403 2 =40.998409
Значит, корень из 41 приблизительно равен:
Этот метод имеет один недостаток – каждый следующий шаг будет сложнее предыдущего. Чтобы получить более точный результат придется каждый раз умножать и отнимать все более крупные числа. Например, так:
© Кирилл Морковкин & Машка Кулибякина