2.2. Работа идеального газа в различных процессах
Имея уравнение состояния ( 1.7 ) идеального газа, мы найдем совершаемую им работу при некоторых типичных процессах. Заодно определим количество теплоты, получаемое от внешнего источника.
1. Изохорный процесс. При изохорном нагревании или охлаждении (соответственно, прямые 1–2 и 1–3 на рис. 2.7) работа просто равна нулю, поскольку объем не меняется.
Рис. 2.7. определению работы в изохорном процессе
Получаемое количество теплоты (обозначим Q12 при V = const через Q12V) полностью идет на изменение внутренней энергии газа (см. ( 1.19 ))
Ту же самую величину можно выразить через изменение температуры газа
2. Изобарный процесс. Поскольку в этом процессе р = const, то давление можно вынести из-под знака интеграла в ( 2.3 ). Тогда получаем (рис. 2.8)
Рис. 2.8. Работа в изобарном процессе
Складывая (2.8) и (2.9), находим количество теплоты, переданное газу в этом процессе:
Пример 1. Пусть система получила при постоянном давлении определенное количество теплоты Q. Найдем, какая часть расходуется на совершение работы А, а какая — на увеличение внутренней энергии газа. Определим также, как зависит ответ от вида используемого газа.
Из формул (2.8) и (2.9) сразу следует, что
Чем больше g, тем большая часть тепла переходит в работу: для одноатомных газов
для двухатомных (без учета колебаний ядер, при двух вращательных степенях свободы)
и для многоатомных газов (без учета колебаний ядер, при трех вращательных степенях свободы)
Заметим, что мы излагаем достаточно общий подход, который применим не только к идеальным газам. Для иных систем может измениться уравнение состояния, как следствие изменятся выражения для совершенной работы, но принципы их вывода остаются одними и теми же. Приведем пример. Пусть для некоторой системы давление, температура и объем связаны соотношением
Найдем выражение для работы такой системы при изменении ее температуры от Т1 до Т2 при постоянном давлении. Поскольку давление постоянно, имеем для работы в изобарном процессе стандартное выражение
Используя уравнение состояния (2.11), находим отсюда
3. Изотермический процесс расширения (или сжатия) газа может происходить в условиях, когда теплообмен между газом и внешней средой осуществляется при постоянной разности температур. Для этого теплоемкость внешней среды должна быть достаточно велика, и процесс расширения (или сжатия) должен происходить достаточно медленно. Диаграмма изотермического расширения представлена на рис. 2.9.
Рис. 2.9. Работа при изотермическом расширении системы
Используя уравнение состояния и выражение ( 2.2 ) для элементарной работы, находим
Далее используем общее выражение ( 2.3 ) для работы при конечном изменении объема
Поскольку объем обратно пропорционален давлению, тот же результат можно представить в виде
Так как внутренняя энергия идеального газа не меняется при изотермическом процессе, в работу преобразовалась вся теплота, полученная от источника:
Пример 2. Расширяясь, водород совершил работу 6 кДж. Найдем количество теплоты, подведенное к газу, если процесс протекал: а) изобарно; б) изотермически.
Рассмотрим сначала изобарное расширение. Из формул (2.8) и (2.10) следует связь количества теплоты и совершенной работы:
Мы использовали значение g = 7/5 для двухатомного газа. Для изотермического расширения, как мы видели, полученное количество теплоты просто равно произведенной работе:
Дополнительная информация
как изменяется внутренняя энергия идеального газа при изобарном расширении?
дельта U= 1.5*P*дельта V
дельта U- изменение внутренней энергии.
Р-давление
дельта V- изменение объема
так как изобарное расширение, то P=const, поэтому очевидно что внутренняя энергия возрастает 1.5 delta V
Остальные ответы
возрастает, наврное
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
§ 14. Первый закон термодинамики. Применение первого закона термодинамики к изопроцессам изменения состояния идеального газа
Закон сохранения энергии. В середине XIX в. известный английский физик Дж. Джоуль (1818–1889), проведя многочисленные опыты, показал, что совершённая при перемешивании воды механическая работа практически равна увеличению её внутренней энергии. Опыты Джоуля, а также исследования немецкого врача и естествоиспытателя Р. Майера (1814–1878), немецкого профессора физиологии и одного из самых знаменитых физиков второй половины XIX в. Г. Гельмгольца (1821–1894) позволили сформулировать закон сохранения и превращения энергии, распространив его на все явления природы.
Закон сохранения и превращения энергии: при любых взаимодействиях материальных объектов энергия не исчезает и не возникает из ничего, она только передаётся от одних объектов к другим или превращается из одной формы в другую.
Закон сохранения и превращения энергии является всеобщим законом природы и связывает воедино все физические явления. Этот закон выполняется абсолютно точно, на нём базируется всё современное естествознание.
От теории к практике
Если бутылку, заполненную до половины водой при комнатной температуре, встряхивать в течение нескольких минут, то окажется, что вода нагрелась на 1–2 °С. Что является причиной повышения температуры воды?
Первый закон термодинамики. В предыдущих параграфах мы рассматривали процессы, в которых внутренняя энергия системы изменялась или при совершении работы, или в результате теплообмена. Однако чаще всего при переходе системы из одного состояния в другое внутренняя энергия изменяется как за счёт совершения работы, так и за счёт теплообмена с окружающими телами.
Для термодинамических систем закон сохранения и превращения энергии называют первым законом термодинамики.
Первый закон термодинамики: приращение внутренней энергии термодинамической системы при переходе из одного состояния в другое равно алгебраической сумме работы, совершённой внешними силами, и количества теплоты, полученного (или отданного) системой при взаимодействии с внешними телами.
Поскольку работа внешних сил равна работе, совершаемой термодинамической системой, взятой с противоположным знаком (A′ = –A), то первый закон термодинамики можно сформулировать иначе:
Количество теплоты, полученное (или отданное) термодинамической системой при взаимодействии с внешними телами при её переходе из одного состояния в другое, идёт на приращение внутренней энергии системы и на работу, которую она совершает против внешних сил:
От теории к практике
Идеальный газ получил количество теплоты Q = 340 Дж. Каково приращение внутренней энергии газа, если при этом сила давления газа совершила работу А = 300 Дж?
Если термодинамическая система представляет собой действующее устройство, периодически возвращающееся в исходное состояние, то при этом ΔU = 0 и A = Q . Механизм, который мог бы совершать работу без изменения состояния составляющих его тел и без теплообмена с внешними телами, называют «вечным двигателем первого рода». Поэтому первый закон термодинамики можно сформулировать и следующим образом: невозможен вечный двигатель первого рода, т. е. такой двигатель, который при неизменном значении собственной внутренней энергии совершал бы работу большую, чем энергия, получаемая им извне.
Применим первый закон термодинамики к различным изопроцессам изменения состояния идеального одноатомного газа.
Рассмотрим в качестве термодинамической системы идеальный одноатомный газ, находящийся в цилиндрическом сосуде, закрытом поршнем.
Изохорный процесс. Пусть идеальный одноатомный газ находится в цилиндрическом сосуде, закрытом неподвижным поршнем ( V = const ). Нагреем цилиндр с газом. Объём газа остаётся практически постоянным (тепловым расширением сосуда пренебрегаем) ( рис. 78 ), следовательно, работа силы давления газа A = 0 . Тогда первый закон термодинамики примет вид
Это означает, что всё передаваемое газу количество теплоты идёт на увеличение его внутренней энергии. При этом приращение внутренней энергии газа ( рис. 78.1, а ). Если же газ при изохорном процессе отдаёт количество теплоты, то его внутренняя энергия убывает: ( рис. 78.1, б ).
От теории к практике
1. Каково приращение внутренней энергии идеального газа, если при изохорном процессе от него было отведено количество теплоты Q = –560 Дж?
2. Как изменяются внутренняя энергия и давление определённой массы идеального газа при изохорном повышении температуры?
Изотермический процесс. Пусть цилиндр с газом под поршнем находится в термостате — устройстве, в котором поддерживается постоянная температура. И пусть цилиндр изготовлен из вещества с хорошей теплопроводностью. В этом случае внутренняя энергия идеального одноатомного газа, находящегося в цилиндре, остаётся постоянной, и при медленном перемещении поршня её изменение ΔU = 0 . Тогда первый закон термодинамики примет вид
Если с помощью внешнего устройства медленно перемещать поршень в сосуде так, чтобы объём газа увеличивался (Δ V > 0 , поскольку V2 > V1 ) ( рис. 79 ), то работа силы давления расширяющегося газа A > 0 ( рис. 79.1, а ). При одинаковой первоначальной температуре термостата и газа теплопередача не происходит. Положительная работа силы давления расширяющегося газа совершается за счёт уменьшения его внутренней энергии, а значит, и температуры. Тут же возникает теплопередача от термостата газу. При медленном перемещении поршня в цилиндре температура газа успевает выравняться и реально происходящий процесс близок к изотермическому, при котором расширяющийся газ получает некоторое количество теплоты ( Q > 0 ) от термостата.
Если же внешнее устройство обеспечивает медленное уменьшение объёма газа в сосуде ( ΔV < 0 , так как V2 < V1 ), то работа силы давления при сжатии газа A < 0 ( рис. 79.1, б ) приводит к увеличению внутренней энергии, а следовательно, и его температуры. В результате возникает теплопередача от газа термостату. При сжатии газ отдаёт термостату некоторое количество теплоты Q < 0 . Изотермическое сжатие газа происходит за счёт работы внешних сил: A’ > 0 .
От теории к практике
1. Сила давления идеального газа при изотермическом расширении совершила работу А = 3640 Дж . Какое количество теплоты получил газ?
2. Возможно ли изотермическое сжатие (расширение) определённой массы идеального газа без теплообмена?
Изобарный процесс. Пусть газ находится в цилиндре, закрытом поршнем, который может свободно или под постоянной нагрузкой перемещаться ( рис. 80 ). Нагреем газ, передав ему некоторое количество теплоты ( Q > 0 ). Согласно первому закону термодинамики, переданное газу количество теплоты частично расходуется на увеличение внутренней энергии ( ΔU > 0 ) системы и частично идёт на совершение работы силой давления газа при его расширении ( А > 0 , рис. 80.1, а ): Q = ΔU + A .
При изобарном процессе работа расширения (сжатия) газа A = pΔV ≠ 0 и первый закон термодинамики принимает вид
При изобарном сжатии газа внешние силы совершают работу A’ > 0 . Чтобы давление газа при этом оставалось постоянным, газ необходимо охлаждать, т. е. он должен отдавать в окружающую среду некоторое количество теплоты ( Q < 0 ). Понижение температуры газа при изобарном сжатии приводит к уменьшению его внутренней энергии ( ΔU < 0 ). Работа силы давления газа при сжатии А < 0 ( рис. 80.1, б ).
От теории к практике
Сила давления идеального газа при изобарном расширении совершила работу А = 320 Дж . При этом газ получил количество теплоты Q = 680 Дж . Каково приращение внутренней энергии идеального газа?
Удельная теплоёмкость вещества зависит не только от его свойств, но и от характера осуществляемого процесса теплообмена. Действительно, из формулы Q = cmΔT следует, что удельная теплоёмкость .
Тогда, согласно первому закону термодинамики, при изохорном процессе удельная теплоёмкость идеального газа , а при изобарном — . Таким образом, для одинакового увеличения температуры при изобарном нагревании единице массы газа необходимо передать большее количество теплоты, чем при изохорном нагревании, т. е. cp > cV . Это объясняется тем, что при постоянном давлении часть подводимой энергии расходуется на совершение силой давления газа работы при расширении.
Расширение жидких и твёрдых тел при нагревании при постоянном давлении значительно меньше, чем газов, поэтому для них АΔU и их удельные теплоёмкости слабо зависят от характера осуществляемого процесса ( ср ≈ сV ).
Адиабатный процесс. Адиабатным называют процесс, в ходе которого термодинамическая система не получает и не отдаёт энергию путём теплообмена. Таким образом, при адиабатном процессе:
Применяя к этому процессу первый закон термодинамики, получим:
При адиабатном процессе изменение внутренней энергии системы происходит только за счёт совершения работы. Если внешние силы совершают работу по сжатию газа ( ΔV < 0 , А < 0 ) ( рис. 80.2 , а, б), то внутренняя энергия газа увеличивается ( ΔU > 0 ), газ нагревается.
Если сила давления газа совершает работу по расширению ( ΔV > 0 , А > 0 ) ( рис. 80.3 , а, б), то внутренняя энергия газа уменьшается ( ΔU < 0 ), газ охлаждается.
От теории к практике
1. При адиабатном расширении силой давления идеального газа совершена работа А = 265 Дж . Как изменилась при этом температура газа? Определите приращение внутренней энергии газа.
2. В цилиндре с подвижным поршнем находится идеальный газ, давление которого р1 и объём V1. В каком случае сила давления газа совершит большую работу: при изотермическом или адиабатном его расширении до объёма V2?
На практике адиабатный процесс осуществляют главным образом не за счёт теплоизоляции (нельзя окружить систему оболочкой, которая абсолютно не допускает теплообмена), а за счёт скорости протекания процесса. Если процесс протекает очень быстро, то теплообмен практически не проявляется. Очень нагляден опыт, иллюстрирующий уменьшение температуры газа при его адиабатном расширении. Если, используя насос, через отверстие в пробке накачивать в стеклянный сосуд воздух ( рис. 80.4 ), то через некоторый промежуток времени сила давления сжатого воздуха совершит работу по преодолению силы трения, которой сосуд действует на пробку, и силы атмосферного давления. Теплообмен между сосудом и окружающими телами не успевает проявиться за тот малый промежуток времени, в течение которого пробка вылетает из сосуда и часть газа выходит из него. Уменьшение внутренней энергии воздуха в сосуде обусловлено не только уменьшением массы, но и понижением его температуры, что приводит к конденсации водяных паров, т. е. к образованию тумана.
Примером адиабатного процесса может служить охлаждение воздуха в атмосфере. Нагретый возле поверхности земли воздух при быстром подъёме в верхние слои атмосферы расширяется почти адиабатно и при этом существенно охлаждается. Водяной пар в нём конденсируется в маленькие капли воды и кристаллики льда, образуя облака. Процесс, близкий к адиабатному, используют в двигателях внутреннего сгорания.
График адиабатного процесса в координатах (p, V) похож на график изотермического процесса ( рис. 80.5 ). Однако одному и тому же изменению объёма ΔV при адиабатном процессе соответствует большее изменение давления, чем при изотермическом: . Это объясняется тем, что в случае адиабатного расширения давление p = nkT уменьшается не только за счёт увеличения объёма газа (и уменьшения концентрации частиц), но и за счёт уменьшения температуры. При изотермическом расширении давление газа уменьшается только за счёт уменьшения концентрации частиц.
1. Приведите две формулировки первого закона термодинамики.
2. Чему равно изменение внутренней энергии при изохорном процессе?
3. На что расходуется количество теплоты, сообщаемое системе при изотермическом процессе?
4. На что расходуется количество теплоты, сообщаемое системе при изобарном процессе?
5. При быстром сжатии газа произошло повышение его температуры. Означает ли это, что газу сообщили некоторое количество теплоты? Можно ли утверждать, что внутренняя энергия газа увеличилась?
6. Почему невозможно создать «вечный двигатель первого рода»?
7. Можно ли передать газу некоторое количество энергии путём теплообмена, не вызывая при этом повышения его температуры? Приведите примеры.
8. Какой процесс изменения состояния газа называют адиабатным? Как этот процесс можно осуществить?
9. В § 12 мы утверждали, что работа, совершаемая при переходе системы из одного состояния в другое, является функцией процесса, т. е. зависит не только от начального и конечного состояний, но и от вида процесса. Используя первый закон термодинамики, докажите, что количество теплоты, получаемое или отдаваемое системой при её переходе из одного состояния в другое, также является функцией процесса.
10. Заполните таблицу в тетради.
| Процесс | Работа силы давления газа | Количество теплоты | Изменение внутренней энергии | Вывод |
| Изохорный (V = const и ΔV = 0) | ||||
| Изотермический (Т = const и ΔТ = 0) | ||||
| Изобарный (р = const) | ||||
| Адиабатный (ΔU = −A) |
Примеры решения задач
Пример 1. Идеальный одноатомный газ, давление которого p = 2,0 · 10 5 Па, изобарно расширяется так, что его объём возрастает на ΔV = 0,40 м 3 . Определите приращение внутренней энергии газа и количество теплоты, получаемое им в этом процессе.
Дано:
p = 2,0 · 10 5 Па
ΔV = 0,40 м 3
р = const
Решение: Приращение внутренней энергии идеального одноатомного газа При изобарном расширении идеального газа изменение его температуры связано с изменением объёма газа соотношением
Тогда . Согласно первому закону термодинамики для изобарного процесса .
Пример 2. На рисунке 81 представлен график процесса изменения состояния некоторой массы идеального газа (участок 2 3 — изотерма). На каком участке графика работа силы давления газа: а) положительная; б) отрицательная? На каком участке графика газ: а) получал количество теплоты; б) отдавал? Как изменялась внутренняя энергия газа?
Решение . Участок 1 2. Поскольку при постоянном давлении (р = const, р1 = р2) увеличивается объём газа (ΔV12 > 0), то растёт и его температура (ΔТ12 > 0). Следовательно, работа силы давления газа А12 > 0 и приращение его внутренней энергии ΔU12 > 0. Из первого закона термодинамики, записанного в виде Q12 = ΔU12 + А12, следует, что Q12 > 0.
| Участок графика | Работа силы давления газа | Количество теплоты | Приращение внутренней энергии газа |
| 1 2 | А12 > 0 | Q12 > 0 (газ получал количество теплоты) | ΔU12 > 0 |
| 2 3 | А23 < 0 | Q23 < 0 (газ отдавал количество теплоты) | ΔU23 = 0 |
Пример 3. Идеальный газ, масса которого постоянна, переводят из состояния 1 в состояние 3 двумя различными способами: 123 и 143 ( рис. 81.1 ), где 12 и 43 — изотермы, а 23 и 14 — изохоры. Одинаковы ли при этих переходах: а) приращения внутренней энергии газа; б) работы, совершаемые силой давления газа; в) количества теплоты, сообщённые газу?
Решени е. а) Так как начальное и конечное состояния для обоих переходов одинаковы, то одинаковы и приращения внутренней энергии:
б) Рассмотрев рисунок, можно заключить, что площадь фигуры, ограниченной осью OV, изотермой и изохорами, проходящими через точки 3 и 4, меньше площади фигуры, ограниченной осью OV, изотермой и изохорами, проходящими через точки 1 и 2. Следовательно, в процессе перехода 123 сила давления газа совершает большую работу, чем в процессе перехода 143 :
в) Из первого закона термодинамики следует:
Поскольку приращение внутренней энергии в обоих случаях одно и то же, а совершённая силой давления газа работа больше при переходе 123 , то количество теплоты, сообщённое газу, при переходе 123 также больше: Q123 > Q143 .
Упражнение 10
1. Определите количество теплоты, сообщённое кислороду, если при изотермическом расширении работа, совершённая силой давления газа, А = 6,4 кДж.
2. С идеальным газом определённой массы осуществлён процесс, график которого представлен на рисунке 82. Чему равна работа силы давления газа? Получал или отдавал газ количество теплоты в этом процессе? Как изменилась внутренняя энергия газа?
Заполните таблицу в тетради (см. пример 2).
| Работа силы давления газа | Количество теплоты | Приращение внутренней энергии газа |
3. С идеальным газом определённой массы осуществлён процесс, график которого представлен на рисунке 83. Определите приращение внутренней энергии газа, если он отдал количество теплоты Q12 = –2,25 кДж.
4. В герметично закрытом баллоне находится азот массой m = 4,00 кг. Определите количество теплоты, сообщённое азоту при повышении его температуры на ΔT = 120 К, если удельная теплоёмкость азота при постоянном объёме .
5. При изобарном расширении силой давления идеального одноатомного газа совершена работа А = 50,0 кДж. Определите приращение внутренней энергии газа и сообщённое ему количество теплоты.
6. Идеальный газ, количество вещества которого постоянно, испытывает адиабатное сжатие. Как изменяются в этом процессе давление и температура газа? Выберите верное утверждение.
1) Давление и температура газа уменьшаются.
2) Давление увеличивается, а температура газа уменьшается.
3) Давление уменьшается, а температура газа увеличивается.
4) Давление и температура газа увеличиваются.
5) Давление увеличивается, а температура газа не изменяется.
7. Гелий, количество вещества которого ν = 2 моль , находившийся при температуре T = 300 К , сначала изобарно нагрели, а затем изохорно перевели в состояние с температурой, равной начальной. Определите, во сколько раз увеличился объём гелия, если алгебраическая сумма количеств полученной и отданной теплоты Q = 5 кДж .
Вариант 1.
Задача 14.1.1. Как изменяется внутренняя энергия идеального газа при повышении его температуры?
Это не связанные величины
Задача 14.1.2. Давление идеального газа увеличилось в 3 раза, а его объем уменьшился в 2 раза при неизменной массе. Как изменилось при этом внутренняя энергия газа?
Увеличилась в 6 раз
Увеличилась в 3/2 раза
Уменьшилась в 3/2 раза
Уменьшилась в 6 раз
Задача 14.1.3. Как изменяется внутренняя энергия идеального газа при его изотермическом сжатии?
Сначала увеличивается, затем уменьшается
Задача 14.1.4. Два тела нагревают с помощью одинаковых нагревателей. На рисунках представлены графики зависимости температуры тел от времени нагревания. У какого из тел больше теплоемкость? Теплопотерями пренебречь.
У первого (график отмечен цифрой 1)
У второго (график отмечен цифрой 2)
Мало информации для ответа
Задача 14.1.5. Телу массой 5 кг сообщили количество теплоты 1000 Дж, в результате чего его температура выросла на 2 К. Чему равна удельная теплоемкость вещества тела?
100 Дж/(кг К)
400 (Дж К)/кг
400 (Дж кг)/К
мало информации для ответа
Задача 14.1.6. Какую работу совершил 1 моль одноатомного идеального газа при изохорическом нагревании на величину ?
Задача 14.1.7. В изохорическом процессе газу сообщили количество теплоты 
. Чему равно изменение внутренней энергии газа 
?
Мало информации для ответа
Задача 14.1.8. В изотермическом процессе газу сообщили количество теплоты . Чему равна работа 
, совершенная над газом?
Мало информации для ответа
Задача 14.1.9. Определить работу, совершаемую идеальным газом при адиабатическом расширении, если его внутренняя энергия уменьшилась на величину ?
Мало информации для ответа
Вариант 1. Задача 14.1.10.
Задача 14.1.10. Идеальный газ получил количество теплоты 50 Дж и совершил работу величиной 40 Дж. На сколько изменилась внутренняя энергия газа?