Известно что события а и б независимы

Учебник по теории вероятностей

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записывается как $A \subset B$.

События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается очевидно: А = В.

Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Если случайные события $A_1, A_2, . A_n$ образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство $P(A_1)+P(A_2)+. +P(A_n)=1.$ Такие события (гипотезы) используются при решении задач на полную вероятность.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности.

Примеры решений задач с событиями

Пример. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика,
;

— вынули черный шар из первого ящика,
;

В – белый шар из второго ящика,
;

— черный шар из второго ящика,
.

Нам нужно, чтобы произошло одно из событий или . По теореме об умножении вероятностей
, .
Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет
.

Пример. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) двойного промаха, в) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.

Пусть А – попадание первого стрелка, ;

В – попадание второго стрелка, .

Тогда — промах первого, ;

Найдем нужные вероятности.

а) АВ – двойное попадание,

б) – двойной промах, .

в) А+В – хотя бы одно попадание,

г) – одно попадание,

Пример. Решить задачу, применяя теоремы сложения и умножения. Мастер обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок потребует внимания рабочего в течение смены, равна 0,4, второй — 0,6, третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены: а) ни один станок не потребует внимания мастера, б) ровно 1 станок потребует внимания мастера.

Вводим базовые независимые события $A_i$ = (Станок $i$ потребовал внимания рабочего в течение смены), $i=1, 2, 3$. По условию выписываем вероятности: $p_1=0,4$, $p_2=0,6$, $p_3=0,3$. Тогда $q_1=0,6$, $q_2=0,4$, $q_3=0,7$.

Найдем вероятность события $X$=(Ни один станок не потребует внимания в течение смены):

$$ P(X)=P\left(\overline \cdot \overline \cdot \overline\right)= q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0,6\cdot 0,4 \cdot 0,7 = 0,168. $$

Найдем вероятность события $Z$= (Ровно один станок потребует внимания в течение смены):

$$ P(Z)= \\ = P(A_1) \cdot P\left(\overline \right) \cdot P\left(\overline \right) + P\left(\overline\right) \cdot P(A_2) \cdot P\left(\overline \right) + P\left(\overline \right) \cdot P\left(\overline \right) \cdot P(A_3)=\\ = p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + q_1 \cdot q_2 \cdot p_3 =\\ = 0,4\cdot 0,4 \cdot 0,7+0,6\cdot 0,6 \cdot 0,7+0,6\cdot 0,4 \cdot 0,3 = 0,436. $$

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.

А – формула содержится в первом справочнике;

В – формула содержится во втором справочнике;

С – формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Вероятность наступления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий?

Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий $A_1, A_2, . A_n$, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

$$ P(A)=1-P\left(\overline\right)\cdot P\left(\overline\right)\cdot . \cdot P\left(\overline\right)= 1-q_1 \cdot q_2 \cdot . \cdot q_n. $$

Если события $A_1, A_2, . A_n$ имеют одинаковую вероятность $p$, то формула принимает простой вид:

Примеры решений на эту тему

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события (попадание первого орудия), (попадание второго орудия) и (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям , и (т. е. вероятности промахов), соответственно равны:

Пример. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).

Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна

Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Пример. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Решение. Обозначим через А событие «при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз». События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому применима формула .

Приняв во внимание, что, по условию, (следовательно, ), получим

Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:

Итак, , т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

Известны вероятности независимых событий А, В,С

Обозначим
Р0 — вероятность непоявления ни одного из событий
Р1 — вероятность появления ровно одного события
Р2 — вероятность появления ровно двух событий
Р3 — вероятность появления всех трёх событий
Тогда Р0 + Р1 + Р2 +Р3 = 1, т. к. события несовместны
Решаем примеры
Р2, например, это
вероятность того, что произойдут первые два события и не произойдёт третье плюс
вероятность того, что произойдут первое и третье события и не произойдёт второе плюс
вероятность того, что произойдут второе и третье события и не произойдёт первое,
потому что все эти события несовместны
Следовательно
Р2 = Р (А) Р (В) (1-Р (С) ) + Р (А) (1-Р (В)) Р (С) + (1-Р (А)) Р (В) Р (С) = 0,3*0,8*0,5 + 0,3*0,2*0,5 + 0,7*0,8*0,5 = 0,12 + 0,03 + 0,28 = 0,43
б) Воспользуемся предыдущим примером
Р3 = Р (А) Р (В) Р (С) = 0,3 * 0,8 * 0,5 = 0,12
Искомая вероятность Р = Р0 + Р1 = 1 — Р2 — Р3 = 1 — 0,43 — 0,12 = 0,45

Похожие вопросы

Независимые события

Несовместные события [math]A[/math] и [math]B[/math] являются независимыми, тогда и только тогда если хотя бы одно из них является пустым множеством.

Если несовместные события являются независимыми, то выполняется [math] p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) [/math] . Также для несовместных событий выполняется [math] A \cap B = \emptyset [/math] . Следовательно [math] p(\emptyset) = p(A) \cdot p(B) [/math] . А это выполняется тогда и только тогда когда [math] p(A) = 0 [/math] или [math] p(B) = 0 [/math] .

[math] \Leftarrow [/math] :

Примеры

Игральная кость

[math] A = \\ p(A)=\dfrac [/math] — вероятность выпадения чётной цифры

[math] B=\\ p(B)=\dfrac [/math] — вероятность выпадения одной из первых трёх цифр

[math] A \cap B = \ \neq \emptyset [/math] , значит эти события не несовместны.

Получаем, что [math]p(A \cap B) \neq p(A) \cdot p(B)[/math] , значит эти события не независимы.

Карты

[math] A = \\ p(A)=\dfrac [/math] — вероятность выпадения карты заданной масти

[math] B=\\ p(B)=\dfrac [/math] — вероятность выпадения карты заданного достоинства

[math] A \cap B = \ \neq \emptyset [/math] , значит эти события не несовместны.

[math] p(A \cap B)=p(\)=\dfrac[/math] — вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства

Получаем, что [math]p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)[/math] , значит эти события независимы.

Честная монета

[math] A = \\ [/math] — выпадение орла

[math] B=\\ [/math] — выпадение решки

[math] A \cap B = \emptyset [/math] , значит эти события несовместны.

Тетраэдр Бернштейна

Попарно независимые события и события, независимые в совокупности — это не одно и то же.

Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета.

[math] A [/math] — выпадение грани, содержащей красный цвет

[math] B [/math] — выпадение грани, содержащей синий цвет

[math] C [/math] — выпадение грани, содержащей зеленый цвет

Так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх, вероятность каждого из этих событий равна:

Так как одна грань содержит все три цвета, а остальные — по одному, то вероятность пересечения любых двух событий равна: [math]p(A \cap B)=p(A \cap C)=p(B \cap C)=\dfrac [/math]

[math]p(A) \cdot p(B)=p(A) \cdot p(C)=p(B) \cdot p(C)=\dfrac\cdot\dfrac=\dfrac[/math]

Все события попарно независимы, так как:

[math]p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)[/math]

[math]p(A \cap C)=p(A) \cdot p(C)[/math]

[math]p(B \cap C)=p(B) \cdot p(C)[/math]

Вероятность пересечения всех трёх равна: [math]p(A \cap B \cap C)=\dfrac[/math]

[math]p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)=\dfrac\cdot\dfrac\cdot\dfrac=\dfrac[/math]

Cобытия не являются независимыми в совокупности, так как: [math]p(A \cap B \cap C) \neq p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)[/math]

Получили, что события являются попарно независимыми, но не являются независимыми в совокупности, значит, эти два понятия — не одно и то же, что мы и хотели показать.

См. также

Вероятностное пространство, элементарный исход, событие
Дискретная случайная величина

Источники информации

НГУ — Независимость

Википедия — Независимость (теория вероятностей)

Романовский И. В. Дискретный анализ

(Решено) про случайные события А и B известно, что они независимые и что P(A)=0,3, P(B)=0,4. Найдите вероятности событий P(A→), P(B→) ,P(A⋂B) ,P(A⋃B)…

Внимание! Ответы искусственного интеллекта могут быть неточными. Не полагайтесь на них в медицине, юриспруденции, финансах и вопросах безопасности. При принятии важных решений всегда консультируйтесь с профильными специалистами.
Администрация сайта не несет ответственности за любой автоматически созданный контент. Если вы обнаружили ошибки, пожалуйста, сообщите об этом через кнопку «репорт» внизу ответа и мы примем соответствующие меры. Спасибо за вашу помощь в улучшении качества нашего сервиса.

Ответ нейросети:

Для начала определимся с обозначениями. В данном вопросе «→» обозначает дополнение события (то есть событие, которое происходит, если не происходит исходное событие), а ⋂ обозначает пересечение событий (то есть событие, которое происходит, если происходят оба исходных события), а ⋃ обозначает объединение событий (то есть событие, которое происходит, если происходит хотя бы одно из исходных событий).

Дано, что события A и B независимые, то есть наступление одного из них не влияет на наступление другого.

Теперь посчитаем вероятности событий.

P(A→) — вероятность того, что событие А не произойдет:
P(A→) = 1 — P(A) = 1 — 0.3 = 0.7

P(B→) — вероятность того, что событие B не произойдет:
P(B→) = 1 — P(B) = 1 — 0.4 = 0.6

P(A⋂B) — вероятность того, что произойдут события A и B одновременно:
Так как события А и В независимые, то вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей:
P(A⋂B) = P(A) * P(B) = 0.3 * 0.4 = 0.12

P(A⋃B) — вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий A или B:
Так как события А и В независимые, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей минус вероятность их пересечения:
P(A⋃B) = P(A) + P(B) — P(A⋂B) = 0.3 + 0.4 — 0.12 = 0.58

Таким образом, получаем следующие значения вероятностей событий:
P(A→) = 0.7
P(B→) = 0.6
P(A⋂B) = 0.12
P(A⋃B) = 0.58

Чтобы оставить комментарий, необходимо авторизоваться.

Задай любой вопрос нейросети!

она справится с любой поставленной задачей быстрее чем поиск в Яндекс.

Для того, чтобы задать вопрос нейросети, необходимо войти на сайт.

Последние вопросы

Последние вопросы:

Хотите задать любой вопрос нейросети?

Нажимая «Регистрация» или «Войти через Google», вы соглашаетесь с Публичной офертой, даете Согласие на обработку персональных данных, а также подтверждаете что вам есть 18 лет»

Форма репорта неправомерного контента.

Обратная связь с администрацией проекта

только по почте. у нас поломалась отправка писем, пожалуйста пишите по адресам ниже

Уведомление об использовании cookie файлов

Наш сайт, как и большинство других, использует файлы cookie и другие похожие технологии (пиксельные тэги и т. п.), чтобы предоставлять услуги, наиболее отвечающие Вашим интересам и потребностям, а также собирать статистическую и маркетинговую информацию для анализа и совершенствования наших услуг и сайтов.

При использовании данного сайта, вы подтверждаете свое согласие на использование файлов cookie и других похожих технологий в соответствии с настоящим Уведомлением.

Если Вы не согласны, чтобы мы использовали данный тип файлов, Вы должны соответствующим образом установить настройки Вашего браузера или не использовать наш сайт.

Обращаем Ваше внимание на то, что при блокировании или удалении cookie файлов, мы не можем гарантировать корректную работу нашего сайта в Вашем браузере.

Cookie файлы, которые сохраняются через веб-сайт, не содержат сведений, на основании которых можно Вас идентифицировать.

Что такое файл cookie и другие похожие технологии

Файл cookie представляет собой небольшой текстовый файл, сохраняемый на вашем компьютере, смартфоне или другом устройстве, которое Вы используете для посещения интернет-сайтов.

Некоторые посещаемые Вами страницы могут также собирать информацию, используя пиксельные тэги и веб-маяки, представляющие собой электронные изображения, называемые одно-пиксельными (1×1) или пустыми GIF-изображениями.

Файлы cookie могут размещаться на вашем устройстве нами («собственные» файлы cookie) или другими операторами (файлы cookie «третьих лиц»).

Мы используем два вида файлов cookie на сайте: «cookie сессии» и «постоянные cookie». Cookie сессии — это временные файлы, которые остаются на устройстве пока вы не покинете сайт. Постоянные cookie остаются на устройстве в течение длительного времени или пока вы вручную не удалите их (как долго cookie останется на вашем устройстве будет зависеть от продолжительности или «времени жизни» конкретного файла и настройки вашего браузера).

Cookie файлы бывают различных типов:

Необходимые. Эти файлы нужны для обеспечения правильной работы сайта, использования его функций. Отключение использования таких файлов приведет к падению производительности сайта, невозможности использовать его компоненты и сервисы.

Файлы cookie, относящиеся к производительности, эффективности и аналитике. Данные файлы позволяют анализировать взаимодействие посетителей с сайтом, оптимизировать содержание сайта, измерять эффективность рекламных кампаний, предоставляя информацию о количестве посетителей сайта, времени его использования, возникающих ошибках.

Функциональные файлы cookie запоминают пользователей, которые уже заходили на наш сайт, их индивидуальные параметры (такие как язык и регион, например) и предпочтения, и помогают индивидуализировать содержание сайта.

Рекламные файлы cookie определяют, какие сайты Вы посещали и как часто, какие ссылки Вы выбирали, что позволяет показывать Вам рекламные объявления, которые заинтересуют именно Вас.

Электронная почта. Мы также можем использовать технологии, позволяющие отслеживать, открывали ли вы, прочитали или переадресовывали определенные сообщения, отправленные нами на вашу электронную почту. Это необходимо, чтобы сделать наши средства коммуникации более полезными для пользователя. Если вы не желаете, чтобы мы получали сведения об этом, вам нужно аннулировать подписку посредством ссылки «Отписаться» («Unsubscribe»), находящейся внизу соответствующей электронной рассылки.

Кнопки доступа к социальным сетям. Они используются для того, чтобы пользователи могли поделиться ссылкой на страницу в социальных сетях или сделать электронную закладку. Данные кнопки являются ссылками на веб-сайты социальных сетей, принадлежащих третьим лицам, которые, в свою, очередь могут фиксировать информацию о вашей активности в интернете, в том числе на нашем сайте. Пожалуйста, ознакомьтесь с соответствующими условиями использования и политикой конфиденциальности таких сайтов для понимания того, как они используют ваши данные, и того, как можно отказаться от использования ими ваших данных или удалить их.

Сторонние веб-сервисы. Иногда на данном сайте мы используем сторонние веб-сервисы. Например, для отображения тех или иных элементов (изображения, видео, презентации и т. п.), организации опросов и т. п. Как и в случае с кнопками доступа к социальным сетям, мы не можем препятствовать сбору этими сайтами или внешними доменами информации о том, как вы используете содержание сайта.

Как управлять файлами cookie?

Большинство интернет-браузеров изначально настроены на автоматический прием файлов cookie.

В любое время Вы можете изменить настройки вашего браузера таким образом, чтобы блокировать файлы cookie или предупреждать вас о том, когда они будут отправляться к вам на устройство (обратитесь к руководству использования конкретного браузера). Отключение файлов cookie может повлиять на Вашу работу в интернете.

Если вы используете несколько устройств и (или) браузеров для доступа в интернет, соответствующие настройки должны быть изменены в каждом из них.

Заключительные положения

По собственному усмотрению мы можем периодически изменять настоящее Уведомление.

По возникающим вопросам с нами можно связаться, используя контакты, размещенные на нашем сайте.