Интеграл с параметром как решать

Криволинейные интегралы. Понятие и примеры решений

Жизнь такова, что из любой новой темы (не обязательно научной) пытливый человеческий ум стремится «выжать» по максимуму – все идеи и все возможности. Появилось понятие вектора, и, пожалуйста – курс аналитической геометрии не заставил себя ждать. А также дифференциальная геометрия, теории поля и прочие гранитные плиты для зубов разной крепости. Пришла наука к понятию производной – …ну, думаю, тут объяснять не нужно! …некоторые до сих пор отойти не могут =)

Чертёж из статьи о смысле интеграл

И интегралы тоже не стали исключением из этого правила. Давайте посмотрим на криволинейную трапецию и вспомним классическую схему интегрального исчисления:

– отрезок дробится на части;
– составляется интегральная сумма, которая равна площади ступенчатой фигуры;
– и, наконец, количество отрезков разбиения устремляется к бесконечности – в результате чего эта фигура превращается в криволинейную трапецию площади .

Аналогично выводятся формулы объема тела вращения, длины дуги кривой и др.

Более того, наводящие ужас кратные интегралы «устроены» принципиально так же – по существу, они отличается только областью интегрирования: у двойных интегралов – это не отрезок, а плоская фигура, у тройных – пространственное тело.

И, чтобы у вас сразу отлегло от сердца – наши «сегодняшние» криволинейные интегралы далеки от «ужаса», они больше похожи на «обычные» ~~кошмары~~ интегралы. Уже из самого названия нетрудно догадаться, что областью интегрирования таких интегралов являются кривые линии (но иногда полностью либо частично – прямые).

На уроке о пределе функции двух переменных я придумал реалистичную модель, которая снискала большую популярность – да такую, что там каждый день собираются целые экскурсии =) Итак, паркет вашей комнаты – это координатная плоскость , в углу стоит ось , а вверху «зависло» расправленное одеяло, заданное функцией .

Возьмите в руки мел и начертите на полу под одеялом произвольную кривую . Как вариант, у неё могут быть «острые углы» – такая линия называется кусочно-гладкой. Можно изобразить даже ломаную. ВажнА спрямляемость (см. урок о методах Эйлера) и непрерывность пути интегрирования. Теперь суть:

Представьте, что от одеяла осталась всего лишь одна нитка – лежащая над кривой . Вертикальная поверхность, расположенная между кривой «эль» и этой «ниткой» представляет собой фрагмент криволинейного цилиндра. Представили? Отлично!

Криволинейный интеграл первого рода

имеет вид и по модулю* равен площади данного фрагмента.

* Если график целиком или бОльшей частью расположен ниже плоскости , то площадь получится со знаком «минус».

Согласно общему принципу интегрирования, произведение бесконечно малого кусочка кривой на соответствующую высоту равно бесконечно малому элементу площади данной поверхности:. А криволинейный интеграл как раз и объединяет эти элементы вдоль всей кривой: .

! Важно: во многих источниках информации дифференциал дуги кривой обозначают через , что, на мой взгляд, не слишком удачный выбор.

Если на плоскости вместо кривой начертить отрезок прямой, то получится не что иное, как плоская криволинейная трапеция, параллельная оси . Соответствующий интеграл хоть и каламбурно, но с полным правом можно назвать «прямолинейным».

В частности, если подынтегральная функция задаёт плоскость , то криволинейный интеграл равен площади «ленты» единичной высоты, а также и длине самой линии интегрирования: .
…Чего только не придумаешь, чтобы не делать чертежей =)

Как вычислить криволинейный интеграл 1-го рода?

Пусть точки являются концами линии , а сама она задана функцией одной переменной . Тогда криволинейный интеграл первого рода можно свести к обычному определённому интегралу по следующей формуле:

Знак модуля обусловлен природой рассматриваемого интеграла: поскольку дифференциал не может быть отрицательным (это же элемент длины), то при переходе к определённому интегралу нужно соблюсти статус-кво. В случае «арабского» интегрирования справа налево (когда ) значения «икс» убывают и поэтому – в результате чего появляется побочный минус, подлежащий немедленной ликвидации. Общую формулу можно расписать подробно:
, если (стандартный случай) или:
, если .

В частности, при получается хорошо знакомая формула длины дуги кривой . Вот так-то оно бывает – оказывается, криволинейные интегралы мы уже решали! И теперь вам совсем не нужно решимости:)

Вычислить интеграл от точки до точки , если кривая задана уравнением

Решение: перед нами каноническое уравнение параболы, и коль скоро в условии дана точка , то речь идёт о её верхней ветке: .

Желающие могут выполнить чертёж. Кстати, вне зависимости от его простоты, иногда это бывает обязательным требованием условия.

В данной задаче имеет место наиболее распространённый случай , а значит, нужно использовать формулу .

Сначала удобно найти производную и упростить корень:

Так как и , то – грубо говоря, на данном шаге мы избавляемся от «игреков».

Предварительная подготовка завершена, пользуемся формулой:

Здесь можно провести замену переменной, но гораздо сподручнее подвести подкоренное выражение под знак дифференциала и обойтись без перехода к новым пределам интегрирования:

Ответ:

Если вычислить тот же самый интеграл от точки до точки , то результат не изменится. В этом случае «икс» будет убывать от 1 до 0, следовательно, дифференциал станет отрицательным и при переходе к определённому интегралу потребуется добавить знак «минус»:

Таким образом, криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления интегрирования:

В этой связи типовая задача, как правило, формулируется «нейтрально»: вычислить интеграл вдоль дуги параболы , расположенной между точками . Иными словами, совершенно не важно, какая из точек является началом, а какая – концом кривой.

Следует отметить, что криволинейный интеграл можно вычислить и другим способом. Поскольку буква «игрек» ничем не хуже «икса», то для вычисления криволинейного интеграла 1-го рода справедлива «зеркальная» формула (тривиальный вариант ):
, где – обратная функция, выражающая линию . В нашей задаче:

При переходе от к мы должны избавиться от всех «иксов», однако функция от них не зависит, а значит, делать ничего не нужно.

И, учитывая, что для «игрековых» координат точек справедливо неравенство , доводим решение до того же самого результата:

В чём состоит геометрический смысл разобранной задачи? На плоскости между точками и находится кусок параболы , через который проходит «одноимённый» параболический цилиндр , «высекающий» из плоскости пространственную «ниточку». Криволинейный интеграл численно равен площади фрагмента параболического цилиндра, который расположен между куском параболы и этой «ниткой».

Как я уже отмечал, криволинейный интеграл может получиться отрицательным – это означает, что фрагмент полностью или бОльшей частью лежит ниже плоскости . Не удивляйтесь и нулю (в каких случаях?). То есть, «всё как у нормальных интегралов».

Замысловатый пример для самостоятельного решения:

Вычислить площадь фрагмента цилиндрической поверхности во 2-м и 6-м октантах , который высечен плоскостью и гиперболическим параболоидом .

Ситуацию крайне важно представить геометрически – надеюсь, на данный момент все знают, как выглядит круговой цилиндр ; картинку же последней поверхности можно найти в начале урока об экстремумах функций двух и трёх переменных (3-й чертёж). Также будет полезно изобразить на плоскости кривую интегрирования.

Краткое решение с комментариями в конце урока – тот, кто правильно во всём разберётся, может считать себя «самоваром» интегралов =)

Довольно часто линия бывает задана параметрическими уравнениями , и в этом случае нужно использовать следующую формулу:
– если значение параметра возрастает . И для убывающего параметра :

В частности, при получается опять же знакомая формула длины параметрически заданной кривой:

Вычислить криволинейный интеграл по дуге окружности при изменении параметра .

Параметрические уравнения эллипса и окружности я разбирал в тематической статье о площади и объёме, и поэтому если вам не понятен их смысл (или вообще смысл параметрического задания функции), то милости прошу по ссылке.

Возрастающему параметру соответствует интегрирование против часовой стрелки

Решение: указанным пределам изменения параметра соответствует левая верхняя дуга единичной окружности:

По условию, значение параметра возрастает, поэтому:

Нет, конечно, можно интегрировать и от до с добавочным минусом, но зачем?

Как и в предыдущих примерах, сначала удобно найти производные и причесать корень:

…мда, тут вообще стрижка наголо получилась =)

Ответ:

Два последних примера похожи, как близкие родственники, однако между ними есть существенное различие: в Примере 2 требовалось найти площадь, и поэтому было принципиально важно проанализировать положение поверхности относительно плоскости . В третьем же примере нужно было вычислить интеграл формально. Как видите, различие здесь точно такое же, как и между вычислением площади с помощью определённого интеграла и «просто» вычислением определённого интеграла.

И, разумеется, криволинейные интегралы обладают всеми типичными свойствами «клана интегралов», в частности, для них справедливо свойство линейности:

а также свойство аддитивности: если на линии выбрать промежуточную точку , то интеграл можно разделить на две части:

Или вот такой – более практически важный пример, …сейчас что-нибудь придумаю, чтобы легко было нарисовать в уме,… предположим, нам нужно вычислить криволинейный интеграл по ломаной :
, где .

Да без проблем – представим его в виде суммы двух интегралов по отрезкам :
– и вперёд с песнями.

И на всякий пожарный формула для кривой, заданной уравнением в полярных координатах:

Кроме того, у криволинейного интеграла 1-го рода существуют физические приложения, в частности, с помощью него можно вычислить массу плоской дуги , если – функция её плотности.

Впрочем, криволинейные интегралы 1-го рода – это вообще нечастый гость в самостоятельных и контрольных работах (по крайне мере, у студентов-заочников), однако если вам этих примеров не достаточно, то загляните, например, во 2-й том К.А. Бохана. Там, к слову, вполне доступно разобрана и теория.

Мой же урок ориентирован на реальную практику, и по этой причине значительная его часть будет посвящена

криволинейным интегралам второго рода

«Реалити-шоу» точно такое же. Отличие будет в способе интегрирования. Если в интеграле мы объединяли бесконечно малые кусочки самой линии , то сейчас интегрирование пойдёт по проекциям этих кусочков на ось абсцисс:
,
или, как вариант – по их проекциям на ось ординат:
,
и если не параллельна координатным осям, то:
.

В большинстве задач приходится иметь дело с так называемой общей формой криволинейного интеграла от двух функций:

С практической точки зрения будут важнЫ те же свойства линейности и аддитивности, а также тот факт, что:

криволинейный интеграл 2-го рода зависит от направления интегрирования, причём:

И в самом деле – здесь же интегрирование осуществляется не по длинам (которые беспрекословно положительны), а по их безразмерным проекциям, которые могут быть и отрицательными.

С чисто формальной точки зрения криволинейный интеграл 2-го рода «опознаётся» по наличию в подынтегральном выражении дифференциалов (намного реже – какого-то одного), и алгоритм его решения гораздо бесхитростнее, нежели «разборки» со «старшим братом»:

Вычислить криволинейный интеграл , где – отрезок прямой от точки до точки . Выполнить чертёж.

Решение: на первом шаге нам нужно найти уравнение прямой, которая содержит отрезок . Составим его по двум точкам:

При вычислении криволинейного интеграл 2-го рода принципиально важно направление интегрирования

Несмотря на то, что линия интегрирования весьма простА, по условию требуется выполнить чертёж:

Обязательно указываем направление интегрирования! – здесь оно имеет принципиальное значение. Также обратите внимание на область определения подынтегральных функций – в данном примере , и поэтому линия интегрирования не должна пересекать координатные оси! Иногда авторы задачников и методичек недоглядывают за этим моментом, в результате чего получается невразумительное решение, где ответ, например, может оказаться бесконечным. Нет, конечно, мы вправе рассмотреть и несобственный криволинейный интеграл, но обычно задумка совсем не такая.

Криволинейный интеграл 2-го рода тоже сводится к определённому интегралу с «избавлением» либо от всех «игреков», либо от всех «иксов».

Способ первый, традиционный, где осуществляется переход к интегрированию по переменной . Пределы интегрирования, как нетрудно догадаться, соответствуют «иксовым» координатам точек , при этом не имеет значения, какой из них больше, а какой меньше; НО, принципиально важен порядок – интегрировать нужно строго по заданному направлению: от 1 до 3.

Берём уравнение линии и находим дифференциал:

Подставим и в подынтегральное выражение – всё настолько прозрачно, что я даже формулу записывать не буду:

Ответ:

Если проинтегрировать наоборот – от точки до точки , то получится то же самое, только с другим знаком: – в силу известного свойства определённого интеграла.

Способ второй состоит в переходе к интегрированию по переменной . Для этого из уравнения выразим обратную функцию:

и найдём дифференциал .

Перейдём к определённому интегралу от 1 до 2 («игрековые» координаты точек и ), подставив при этом в подынтегральное выражение и :

Второй способ оказался технически труднее, но, разумеется, бывает и наоборот. Поэтому перед решением всегда полезно «прикинуть» оба пути. И да – проверка же, не ленИтесь!

Но тут есть исключение: если фрагмент или весь путь интегрирования параллелен координатной оси, то способ остаётся только один! Ибо проекция этого участка на другую ось равна нулю.

Ответ:

Для самостоятельного решения я всегда стараюсь подбирать наиболее интересные задачи, которые мои студенты всегда выполняют с большим энтузиазмом ~~иначе ни хрена не сдадут~~:);-)

Вычислить криволинейный интеграл от точки до точки вдоль ломаной, состоящей из отрезков прямых . Выполнить чертёж.

Краткое решение и ответ в конце урока.

У многих читателей наверняка назрел вопрос: в чём смысл такого интегрирования? У криволинейных интегралов 2-го рода есть каноничный физический смысл (и не только), с которым мы непременно познакомимся на следующем уроке (Интегрирование по замкнутому контуру и формула Грина). Всё будет – и примеры, и пояснения, и ссылки. А пока нарабатываем технические навыки.

Вычислить криволинейный интеграл , где – дуга кривой от точки до точки .

Криволинейный интеграл 2-го рода по дуге логарифма

Решение: для удобства выполним чертёж, не забывая подметить, что линия интегрирования не может пересекать ось ординат (т.к. ), впрочем, она здесь заведомо не может – ибо логарифм:

И сейчас я вас познакомлю с ещё одним приёмом решения. По причине той же аддитивности, интеграл можно разделить на две части:
– и с каждым из них разделаться по отдельности:

1) Вычислим . Так как , то , изменяется от 1 до :

Надеюсь, на данный момент все читатели понимают, как решать интеграл подведением функции под знак дифференциала. Результат, кстати, не помешает проверить интегрированием по «игрек»:

изменяется от 0 до 1 (см. чертёж):

, что и требовалось проверить. Напоминаю, что второй путь можно смело выбирать и за основной.

Со второй частью всё проще:

Контроль по «игрек»:

Осталось просуммировать полученные значения:

Ответ:

Разделение интеграла особенно удобно в тех случаях, когда подынтегральное выражение сильно «наворочено». Очередная «бомба» для самостоятельного решения:

Проверить, существует ли интеграл по данной кривой, и вычислить его, если это возможно
– по дуге параболы от точки до начала координат.
Выполнить чертёж.

Вспоминаем, как интегрируются дроби. Краткое решение и ответ в конце урока.

И в заключение урока пара ласковых о параметрически заданной кривой:

Вычислить криволинейный интеграл по кривой

Решение: чертежа здесь, благо, чертить не требуется, да он и не нужен – условие таково, что снимай данные, да решай.

Как решать? Объясню буквально в 7 словах:)

– в подынтегральном выражении нужно всё выразить через параметр.

При этом во многих случаях, и в этом в частности, «начинку» удобно обработать отдельно. Сначала разбираемся с дифференциалами:

Теперь без спешки и ВНИМАТЕЛЬНО подставляем их вместе с прародителями в подынтегральное выражение, после чего аккуратно проводим упрощения:

И что приятно, тут не нужно думать над пределами изменения параметра:

Ответ:

Вычислить криволинейный интеграл по верхней половине эллипса . Интегрировать против часовой стрелки.

Статья о площади и объёме для параметрически заданной линии в помощь (Пример 2). Краткое решение и ответ совсем рядом.

Во второй части урока мы рассмотрим интереснейший случай интегрирования по замкнутому контуру, а также физический смысл криволинейного интеграла 2-го рода.

Жду вас с нетерпением!

Решения и ответы:

Линия интегрирования находится во 2-й координатной четверти

Пример 2: Решение: проекцией цилиндра на плоскость является «одноимённая» окружность единичного радиуса:

По условию, , следовательно: , то есть в рассматриваемой области поверхность расположена ниже плоскости . Площадь искомого фрагмента цилиндрической поверхности вычислим с помощью криволинейного интеграла 1-го рода по дуге , при этом к интегралу следует добавить знак «минус» (по причине указанного выше обстоятельства):

Интегрирование проведём по переменной от точки до точки . Так как , то используем формулу .
Примечание: можно интегрировать в обратном направлении (от 0 до –1), но тогда к интегралу следует добавить дополнительный минус.
Верхняя полуокружность задаётся функцией . Найдём производную и упростим корень:

Таким образом:

Ответ:

Криволинейный интеграл по ломаной

Пример 5: Решение: выполним чертёж:

Интеграл по ломаной вычислим как сумму интегралов по её звеньям:

1) На отрезке : изменяется от 1 до 3:

Примечание: т.к. параллелен оси абсцисс, то 2-й способ применить нельзя!

2) На отрезке : изменяется от 3 до 4:

Криволинейный интеграл 2-го рода по дуге параболы

Пример 7: Решение: линия интегрирования спрямляема, непрерывна и не пересекает прямые , значит, данный криволинейный интеграл существует. Выполним чертёж:

Представим интеграл в виде:

1) Вычислим .
, изменяется от 1 до 0:

2) Вычислим .
, изменяется от –1 до 0:

Ответ: интеграл по данной кривой существует и равен

Пример 9: Решение: запишем параметрические уравнения эллипса:

Найдём дифференциалы:

Выполним подстановку и упростим подынтегральное выражение:

Предложенной дуге и направлению интегрирования соответствует изменение параметра от 0 до :

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

Решить интеграл с параметром

Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

Уважаемые форумчане, помогите, пожалуйста, решить такой интеграл:

Конечно, не прошу решать его за меня, но хотя бы подскажите, в каком направлении двигаться, каким методом решения воспользоваться, а то у меня с интегралами совсем плохо.
|a|
Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
Добавлено: 04 дек 2012, 00:11

Последняя инстанция

Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

В принципе, этот интеграл можно посчитать честно. Введём замену [math]t=\operatornamex[/math] и воспользуемся равенством [math]1+\operatorname^2x=\frac1[/math] . Тогда он сведётся к

Если [math]a\ne0[/math] , то

Ну, а в случае [math]a=0[/math] , думаю, Вы и сами посчитаете (легче брать исходный интеграл).

Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
Добавлено: 04 дек 2012, 01:06

Продвинутый

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

Human, спасибо Вам огромное! Да, думаю с a=0 справлюсь)) Можно еще вопрос, у меня изначально задание, «найти интеграл с параметром, с помощью дифференцирования», т.е. этот интеграл — это dF(x,a)/da, а надо найти F(x,a) (что изначально равняется интегралу от логарифма..) ну так вот, теперь мне, для нахождения F, нужно взять интеграл от ответа по а? Или я что-то не то думаю?

Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
Добавлено: 04 дек 2012, 01:20

Последняя инстанция

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

dollemika писал(а):

Можно еще вопрос, у меня изначально задание, «найти интеграл с параметром, с помощью дифференцирования», т.е. этот интеграл — это dF(x,a)/da, а надо найти F(x,a)

Напишите задание полностью, а то я пока не могу понять, в чём дело.

Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
Добавлено: 04 дек 2012, 01:25

Продвинутый

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

F(x,a) = интеграл от f. Задание — найти F с помощью дифференцирования. Я использовала формулу F'(x,a) = интеграл от производной ф-ии f, т.е. теперь мы знаем F'(x,a). Для нахождения F(x,a) возьмем интеграл по a от того, что получили? Вроде бы так)

Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
Добавлено: 04 дек 2012, 01:33

Последняя инстанция

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

dollemika писал(а):
F(x,a) = интеграл от f.

Интеграл по какой переменной, в каких пределах и почему [math]F[/math] зависит от [math]x[/math] ?

Напишите уже полностью исходное задание вместе с исходным интегралом.

Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
Добавлено: 04 дек 2012, 01:41

Продвинутый

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

[math]F(a) = \int\limits_<0>^><\ln <\frac<1-a \sin x>> \sin x>, |a|<1.[/math] Задание - найти F(a).
P.S. извиняюсь за неточности в предыдущих сообщениях
Заголовок сообщения: Re: Решить интеграл с параметром
Добавлено: 04 дек 2012, 01:53

Последняя инстанция

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

Так, теперь всё ясно. Тогда да, нужно теперь полученное выше выражение проинтегрировать по [math]a[/math] . Не забудьте про константу интегрирования.

По-хорошему, нужно ещё проверить, что подынтегральная функция и её частная производная по [math]a[/math] непрерывны в каждом прямоугольнике [math]\left[0;\frac<\pi>2\right]\times[-1+\varepsilon;1-\varepsilon][/math] , чтобы можно было пользоваться теоремой о дифференцировании интеграла с параметром, но это вроде и так очевидно из элементарности функций.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Интеграл с параметром

Интеграл с параметром
07.11.2014, 17:24

Необходимо вычислить интеграл $$\int_<0>^ <\inf>\frac <-2sin^2(\frac <ax>2)> dx$» /> Раскидываем двойку на две единицы и получаем два одинаковых итеграла <img decoding=$ 2)сходимость исходного интеграла 3) равномерная сходимость интеграла от $f'(x,a)$

$$\int_<0> в пункте 2 разбиваем на два интеграла от 0 до 1 и от 1 до inf. Второй сравниваем с интегралом ^ <\inf>\frac 1 dx$» /> он сходится. Как проверить от 0 до 1 не знаю также в пункте 3 непонятно, как проверить, что нет равномерной сходимости у производной по параметру a <img decoding=$ $$\int_<0>^ <\inf>\frac x dx$» /> на отрезке <img decoding=$ , содержащем $a=0$

Научный форум dxdy

Посчитать интеграл с параметром (Демидович, 3736)

Посчитать интеграл с параметром (Демидович, 3736)
15.09.2011, 13:50

Последний раз редактировалось PAV 27.01.2012, 22:02, всего редактировалось 1 раз.

Вопрос по номеру 3736 из Демидовича:

Цитата:

Пользуясь формулой $$\frac<\arctg x>=\int\limits_^\fracy^>\, dy$» /> вычислить интеграл <img decoding=$ чтобы потом интегрировать и получить $F(y)$ .
$$F'(y)=\int\limits_^\frac<-2x^y><(1+x^y^)\sqrt>\, dx$» />. Вот с этого момента идеи кончаются. Пробовал замену, пробовал по частям. Может быть последний шаг был лишним и надо попробовать явно интегрировать <img decoding=$ , там видно следующее:
$F(y)=\int\limits_^(\arcsin x)'(\frac)'\, dx$
Хотя я не уверен, что имею право делать последнее.